第三章 电阻电路的一般分析
? 重点：
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
节点电压法
目的,找出求解线性电路的 一般分析方法 。
对象,含独立源、受控源的 电阻网络 的直流稳态解。
(可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）
应用,主要用于复杂的线性电路的求解。
复杂电路的分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电
流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分
为 支路电流法,网孔电流法,回路电流法 和 节点电压法。
元件特性 (约束 )(对电阻电路，即欧姆定律 )
电路的连接关系 —KCL,KVL定律
相互独
立
基础,
§ 3-1 电路的图
,网络图论”就是应用图论（即图的理论）通
过电路的结构及其联接性质，对电路进行分析和研
究。
1.图 电路的, 图, 是由 支路 （ 线段 ） 和 结点 （ 点 ） 所组成的,
通常用 G来表示 。
定义,一个图 G是节点和支路的一个集合, 每条支路的两端都
联到相应的节点上 。
抽象 1
3
2
4 5
线图
+
- 自环
uS
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
+
-
R2
+
-
us R1 L
1 L2
M例：
2,有向图和无向图
对电路的图的每一支路指定一个方向 （ 此即该支路电流
的参考方向,电压取其关联参考方向 ）, 即为 有向图 。 没有
给支路赋以方向的即为 无向图 。
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
i2 i4 i5
542 iii ??
+
- us
1
3
2
4
5
有向图
§ 3-2 KCL和 KVL的独立方程数
1
6
54
3
21
2
3
4
对结点 1,2,3,4列 KCL方程有：
i1 - i4 –i6= 0
-i1 –i2 + i3 = 0
i2 + i5 + i6 = 0
-i3 +i4 – i5 = 0
上述四个方程并不相互独立, 可由任意三个推出另一个, 即
只有三个是相互独立的 。 此结论对 n个节点的电路同样适用 。
即对 n个节点的电路的图, 能且只能列出 （ n-1） 个 KCL独立方
程, 这些独立方程对应的节点称为独立节点 。
1,KCL的独立方程数
（ 1） 路径 从 G的某一节点出发到达另一指定的节点的一系
列支路构成了 G的路径 。
2,KVL的独立方程数
（ 2） 连通图 当图 G的任意两个节点之间至少存在一条路径
时,G就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。
（ 3） 闭合路径 如果一条路径的起点和终点重合, 这就构成了一
条闭合路径 。
（ 4） 回路 当闭合路径所经过的节点都是不同的时, 则这条闭合
路径就构成了图 G的一个回路 。
（ 5） 树 （ Tree） 一个连通图 G的一个树 T是指 G的一个连通子图,
它包含 G的全部节点但不包含回路 。
（ 6） 树支和连支 对一个连通图 G,当确定它的一个树 T后, 凡是
G的支路属于这个树 T的, 就称为 G的树支；不属于这个树 T的支
路, 就称为 G的连支 。 n个节点 b条支路的图 G的任一个树的树支
数为 （ n-1）, 连支数为 b-(n-1)=b-n+1。
树图
（ 7） 单连支回路（或基本回路） 任一个树，每加进一个连支
便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路
均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组
回路是独立的。
（ 8） 独立回路数 对一个节点数为 n,支路数为 b的连通图, 其
独立回路数为 l=b-n+1。 KVL的独立方程数 = 回路的独立回路
数 。
（ 9） 平面图 一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交
叉, 这样的图称为平面图 。
（ 10） 网孔 平面图的一个网孔是它的一个自然的, 孔,, 它所
限定的区域内不再有支路 。 平面图的全部网孔数即为其独立回
路数 。
§ 3-3 支路法 (branch current method )
一,出发点：以支路电流为电路变量。
对于有 n个节点,b条支路的
电路，要求解支路电流和电压，
未知量共有 2b个。只要列出 2b个
独立的电路方程，便可以求解这
2b个变量。
举例说明：
R6 uS
R1
R2
R3
R4
R5
+ –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
1
2
3
4
b=6
n=4
独立方程数应为 2b=12个。
支路电流法, 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电
路的方法。
(1) 标定各支路电流、电压的 参考方向
u1 =R1i1,u2 =R2i2,u3 =R3i3，
u4 =R4i4,u5 =R5i5,u6 = –uS+R6i6
(b=6,6个方程，关联参考方向 )
(2) 对节点，根据 KCL列方程
i1 + i2 – i6 =0
(2)式 (2)中的 4个方程不是独立的, 任
取其中 3个方程都是独立的, 所以,
独立方程数为 n–1=4–1=3个 。
(出为正，进为负 )
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
– i1 – i3 + i5 =0
i6
1
u6R6 uS
R1
R2
R3
R4
R5
+ –
i2 i3 i4
i1
i5
2
3
4
(1)
(3) 选定图示的 3个回路, 由 KVL，
列写关于支路电压的方程 。
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
可以检验，式 (3)的 3个方程是独
立的，即所选的回路是独立的。
独立回路,独立方程所对应的回路。
3
2
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
u6
1
i1 + i2 – i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
KCL
KVL
综合式 (1),(2)和 (3),便得到所需的
2b个独立方程 。 将式 (1)的 6个支路方
程代入式 (3),消去 6个支路电压, 便
得到关于支路电流的方程如下：
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
1 2
u6
二,2b法
对于一个具有 n个节点 和 b 条支路 的电路，按 KCL可以列出
（ n-1） 个独立的支路电流方程，按 KVL可列出 （ b-n+1） 个独立的
支路电压方程，这样只有 b个方程，按 支路内容 又可列出 b个支路方
程，所以 共可列出 2b个方程 。电路变量为 b个支路电流和 b个支路电
压，也是 2b个。此法即为 2b法
三,支路法的一般步骤
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
四,支路法的特点：
支路电流法是最基本的方法, 在方程数目不多的
情况下可以使用 。 由于支路法要同时列写 KCL和 KVL
方程, 所以方程数较多, 且规律性不强 (相对于后面的
方法 ),手工求解比较繁琐, 也不便于计算机编程求解 。
解
列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。
1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 ba
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3 方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源
列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,
并代入 (1)中所列的方程,
消去中间变量 。
KCL方程：
-i1- i2+ i3 + i4=0 (1)
-i3- i4+ i5 - i4=0 (2)
例,
KVL方程：
R1i1- R2i2= uS (3)
R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4)
R3i3- R4i4= μu 2 (5)
R5i5= u (6)1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 ba
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3
补充方程：
i6= ?i1 (7)
u2= R2i2 (8)
另一方法：去掉方程 (6)。
§ 3-4 网孔电流法
是以网孔电流作为电路的独立变量
uS1
i1 i3
uS2
R1
R2
R3
b
a
+
–
+
–
uS3
-
+
i2
im2im1
a
b
im2im1
KCL,-i1+i2+i3=0
网孔列 KVL,u1+u2=0
-u2+u3=0
各支路列 VCR,u1=-uS1+R1 i1 = -us1+R1im1
u2= R2 i2 +uS2= R2(im1 - im2 )+us2
u3= R3 i3 +uS3= R3 im2+us3
整理得,
(R1+R2) im1 – R2 im2 = us1- uS2
-R2im1 + (R2+R3) im2 = uS2-us3
即,
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2代表网孔 1的 自阻,为网孔 1所有电阻之和。
R22=R2+R3代表网孔 2的 自阻,为网孔 2所有电阻之和。
自阻总是正的
R12=R21=R2 代表网孔 1和网孔 2的 互阻,为网孔 1,2的公共电阻。
当两网孔电流通过公共电阻的参考 方向相同 时, 互阻为 正 ；
当两网孔电流通过公共电阻的参考 方向相反 时, 互阻为 负 ；
当两网孔电流间没有公共电阻时, 互阻为零 。
如果网孔电流的方向均为顺时针, 则互阻总为负 。
uS11=uS1-uS2 为网孔 1的总电压源电压，各电压源电压与网孔电流
一致时，前取负号，反之取正号 。
uS22=uS2-uS3 为网孔 2的总电压源电压。
推广,
R11im1+ R12 im2 + R13 im3 +- - - + R1mimm= us11
R21im1+ R22im2 + R23 im3 + - - - + R2mimm = uS22
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Rm1im1+ Rm2im2 + Rm3 im3 + - - - + Rmmimm = uSmm
举例,
用网孔法求各支路电流。
解：
(1) 设选网孔电流 (顺时针 )
(2) 列 网孔电流 方程
(R1+R2)I1 -R2I2 = US1- US2
-R2I1+ (R2+R3)I2 - R3I3 = US2
-R3I2+ (R3+R4)I3= -US4
I1 I3I2+
_US
2
+
_US
1
Ia Ib Ic
R1 R2
R3 +
_U
S4
R4
Id
即, 80I1 - 20I2 =40
-20 I1+ 60I2 - 40I3 =10
-40I2+ 80I3= 40
(3) 求解回路电流方程，得 I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071
(4) 求各支路电流：
Ia=I1,Ib=I2-I1,Ic=I2-I3,Id=-I3
(5) 校核：选一新回路。 60Ia-40Id=50+40 即 90=90
§ 3-5 回路电流法 (loop current method)
是以一组独立回路电流为电路变量求解电路的一种方法。
对于一个具有 n个节点,b条支路的电路，则 回路电流数 L=b-n+1。
故对 L个基本回路列 KVL方程，并利用支路方程（ VCR） 把所有 KVL
方程通过回路电流来表达，就可获得与网孔法类似的回路电流方
程。其一般式如下,R11i11 +R12 i12 +…+R 1L i1L= uS11
R21 i11 +R22i12 +…+R 2L i1L= uS22
… … … … … … … …
RL1 i11 +RL2i12 +…+R LL i1L= uSLL
回路法,
式中，关于自阻、互阻、电压源的讨论同网孔法。
回路法的一般步骤：
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l个独立回路, 以回路电流为未知量, 列写
其 KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
例 1,用回路法求各支路电流。
解,(1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且
互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
(5) 校核,选一新回路。
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
① 将看 VCVS作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
校核,
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia-3Ib=2
-12Ia+15Ib-Ic=0
9Ia-10Ib+3Ic=0
③
U2=3(Ib-Ia)②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
1?I1+2I3+2I5=2.01 ( ?UR 降 =?E升 )
例 2,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
?
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic 解,
将②代入①，得
各支路电流为：
I1= Ia=1.19A,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A,
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=–0.52A.
解得
* 由于含受控源, 方程的系数矩阵一般不对称 。
例 3,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1,引入电流源电压为变量，增加回路电流和
电流源电流的关系方程。
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
(1) 对 含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：
I
R
IS o
o
+
_RIS
I
R
o
o
转换
(2) 对含有受控电流源支路的电路, 可先 将受控源看
着独立源 按上述方法列方程, 再将控制量用回路
电流 （ 或网孔电流 ） 表示 。
说明：
§ 3-4 结点电压法 (node voltage method)
选某一节点为参考节点, 其它节点与此节点的参考电
压称 节点电压 。
节点法或节点电压法是以节点电压为独立变量列电路
方程求解电路的一种方法 。
1.节点法
节点电压法的独立方程数为 (n-1)个 。 与支路电流法
相比, 方程数可减少 b-( n-1)个 。
举例说明：
(2) 列 KCL方程：
? iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
(1) 选定参考节点, 标明其
余 n-1个独立节点的电压
代入支路特性：
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u ????????
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5
上式简记为
G11un1+G12un2 = iSn1
G11un1+G12un2 = iSn1
标准形式的节点电压方程 。
其中 G11=G1+G2+G3+G4—节点 1的自电导, 等于接在节点 1上
所有支路的电导之和 。
G22=G3+G4+G5 — 节点 2的自电导, 等于接在节点 2上所
有支路的电导之和 。
G12= G21 =-(G3+G4)—节点 1与节点 2之间的互电导, 等
于接在节点 1与节点 2之间的所有
支路的电导之和, 并冠以负号 。
iSn1=iS1-iS2+iS3—流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iSn2=-iS3 —流入节点 2的电流源电流的代数和 。
* 自电导总为正，互电导总为负。
* 电流源支路电导为零。
* 流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电
压, 各支路电流即可用节点电压表示：
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
1
n1
1 R
ui ?
2
n2
2 R
ui ?
3
n2n1
3 R
uui ??
4
n2n1
4 R
uui ??
5
n2
5 R
ui ?
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与
电阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu ?????????
整理，并记 Gk=1/Rk,得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1-iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G1+G2+G3+G4)un2= -iS3
等效电流源
一般情况：
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
? ? ? ?
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导, 等于接在节点 i上所有支路的电导之
和 (包括电压源与电阻串联支路 )。 总为 正 。
* 当电路含受控源时, 系数矩阵一般不再为对称
阵 。 且有些结论也将不再成立 。
iSni — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 (包括
由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导, 等于接在节点 i与节点 j之间的所
支路的电导之和, 并冠以 负 号 。
结点电压方程的推导过程 (2个结点 )
V0?bV设：
111 RIEU ???
1
1
1 R
UE
I
?
??
各支路电流分别为,
1
1
1 R
UE
I
?
?
2
2
2 R
UE
I
?
?
3
3 R
U
I ?
321 IIII ??? S
对 a 结点列电流方程：
b
a
E2
+
-
I2
IS
I3E
1
+
-
I1 R1 R2 R3
U
+
－
E1
+
-
I1 R1
U
+
－
则有：
321
1
R
UI
R
UE
R
UE ?????
S
2
整理：
0
32121
1 ?????? )
R
U
R
U
R
U(I
R
E
R
E
S
2
321
2
2
1
1
111
RRR
I
R
E
R
E
U
??
??
??
S
R
IRE
U
S
1?
???
?
一般表达式,（弥尔曼定理）
(2个结点 )
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点, 以节点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
(1) 先 把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
例 1,列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
uR2= un1
S1
2
n1
1
n2n1 i
R
u
R
uu ???
2m
3
n2
1
n1n2
RugR
u
R
uu ????
解,
iS1
R1 R3
R2 gmuR2
+ uR2 _
1
2
* 可先进行电源变换。
例 2.
(1) 列节点电压方程：
UA=21.8V,UB=-21.82V
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I4= UB /40=0.546mA
I5= UB /20=-1.09mA
(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB= 0.006
-0.1UA+(0.1+0.05+0.025)UB=-0.006
(2) 解方程，得：
(3) 各支路电流：
用节点法求各支路电流。
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
解：
试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法 1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系
方法 2,选择合适的参考点
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2 3
1
(G1+G2)U1-G1U2+I =0
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3-I =0
U1-U2 = US
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2
3
1I
例 3.
支路法,网孔法,回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点
较容易。
(3) 回路法, 节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网, 集成电路设计等 )采用节点法较多 。
(1) 方程数的比较
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-(n-1)
0
0n-1
方程总数
b-(n-1)
n-1
b-(n-1)
b
网孔法 0 b-(n-1) b-(n-1)
? 重点：
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
节点电压法
目的,找出求解线性电路的 一般分析方法 。
对象,含独立源、受控源的 电阻网络 的直流稳态解。
(可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）
应用,主要用于复杂的线性电路的求解。
复杂电路的分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电
流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分
为 支路电流法,网孔电流法,回路电流法 和 节点电压法。
元件特性 (约束 )(对电阻电路，即欧姆定律 )
电路的连接关系 —KCL,KVL定律
相互独
立
基础,
§ 3-1 电路的图
,网络图论”就是应用图论（即图的理论）通
过电路的结构及其联接性质，对电路进行分析和研
究。
1.图 电路的, 图, 是由 支路 （ 线段 ） 和 结点 （ 点 ） 所组成的,
通常用 G来表示 。
定义,一个图 G是节点和支路的一个集合, 每条支路的两端都
联到相应的节点上 。
抽象 1
3
2
4 5
线图
+
- 自环
uS
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
+
-
R2
+
-
us R1 L
1 L2
M例：
2,有向图和无向图
对电路的图的每一支路指定一个方向 （ 此即该支路电流
的参考方向,电压取其关联参考方向 ）, 即为 有向图 。 没有
给支路赋以方向的即为 无向图 。
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
i2 i4 i5
542 iii ??
+
- us
1
3
2
4
5
有向图
§ 3-2 KCL和 KVL的独立方程数
1
6
54
3
21
2
3
4
对结点 1,2,3,4列 KCL方程有：
i1 - i4 –i6= 0
-i1 –i2 + i3 = 0
i2 + i5 + i6 = 0
-i3 +i4 – i5 = 0
上述四个方程并不相互独立, 可由任意三个推出另一个, 即
只有三个是相互独立的 。 此结论对 n个节点的电路同样适用 。
即对 n个节点的电路的图, 能且只能列出 （ n-1） 个 KCL独立方
程, 这些独立方程对应的节点称为独立节点 。
1,KCL的独立方程数
（ 1） 路径 从 G的某一节点出发到达另一指定的节点的一系
列支路构成了 G的路径 。
2,KVL的独立方程数
（ 2） 连通图 当图 G的任意两个节点之间至少存在一条路径
时,G就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。
（ 3） 闭合路径 如果一条路径的起点和终点重合, 这就构成了一
条闭合路径 。
（ 4） 回路 当闭合路径所经过的节点都是不同的时, 则这条闭合
路径就构成了图 G的一个回路 。
（ 5） 树 （ Tree） 一个连通图 G的一个树 T是指 G的一个连通子图,
它包含 G的全部节点但不包含回路 。
（ 6） 树支和连支 对一个连通图 G,当确定它的一个树 T后, 凡是
G的支路属于这个树 T的, 就称为 G的树支；不属于这个树 T的支
路, 就称为 G的连支 。 n个节点 b条支路的图 G的任一个树的树支
数为 （ n-1）, 连支数为 b-(n-1)=b-n+1。
树图
（ 7） 单连支回路（或基本回路） 任一个树，每加进一个连支
便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路
均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组
回路是独立的。
（ 8） 独立回路数 对一个节点数为 n,支路数为 b的连通图, 其
独立回路数为 l=b-n+1。 KVL的独立方程数 = 回路的独立回路
数 。
（ 9） 平面图 一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交
叉, 这样的图称为平面图 。
（ 10） 网孔 平面图的一个网孔是它的一个自然的, 孔,, 它所
限定的区域内不再有支路 。 平面图的全部网孔数即为其独立回
路数 。
§ 3-3 支路法 (branch current method )
一,出发点：以支路电流为电路变量。
对于有 n个节点,b条支路的
电路，要求解支路电流和电压，
未知量共有 2b个。只要列出 2b个
独立的电路方程，便可以求解这
2b个变量。
举例说明：
R6 uS
R1
R2
R3
R4
R5
+ –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
1
2
3
4
b=6
n=4
独立方程数应为 2b=12个。
支路电流法, 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电
路的方法。
(1) 标定各支路电流、电压的 参考方向
u1 =R1i1,u2 =R2i2,u3 =R3i3，
u4 =R4i4,u5 =R5i5,u6 = –uS+R6i6
(b=6,6个方程，关联参考方向 )
(2) 对节点，根据 KCL列方程
i1 + i2 – i6 =0
(2)式 (2)中的 4个方程不是独立的, 任
取其中 3个方程都是独立的, 所以,
独立方程数为 n–1=4–1=3个 。
(出为正，进为负 )
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
– i1 – i3 + i5 =0
i6
1
u6R6 uS
R1
R2
R3
R4
R5
+ –
i2 i3 i4
i1
i5
2
3
4
(1)
(3) 选定图示的 3个回路, 由 KVL，
列写关于支路电压的方程 。
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
可以检验，式 (3)的 3个方程是独
立的，即所选的回路是独立的。
独立回路,独立方程所对应的回路。
3
2
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
u6
1
i1 + i2 – i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
KCL
KVL
综合式 (1),(2)和 (3),便得到所需的
2b个独立方程 。 将式 (1)的 6个支路方
程代入式 (3),消去 6个支路电压, 便
得到关于支路电流的方程如下：
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
1 2
u6
二,2b法
对于一个具有 n个节点 和 b 条支路 的电路，按 KCL可以列出
（ n-1） 个独立的支路电流方程，按 KVL可列出 （ b-n+1） 个独立的
支路电压方程，这样只有 b个方程，按 支路内容 又可列出 b个支路方
程，所以 共可列出 2b个方程 。电路变量为 b个支路电流和 b个支路电
压，也是 2b个。此法即为 2b法
三,支路法的一般步骤
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
四,支路法的特点：
支路电流法是最基本的方法, 在方程数目不多的
情况下可以使用 。 由于支路法要同时列写 KCL和 KVL
方程, 所以方程数较多, 且规律性不强 (相对于后面的
方法 ),手工求解比较繁琐, 也不便于计算机编程求解 。
解
列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。
1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 ba
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3 方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源
列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,
并代入 (1)中所列的方程,
消去中间变量 。
KCL方程：
-i1- i2+ i3 + i4=0 (1)
-i3- i4+ i5 - i4=0 (2)
例,
KVL方程：
R1i1- R2i2= uS (3)
R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4)
R3i3- R4i4= μu 2 (5)
R5i5= u (6)1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 ba
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3
补充方程：
i6= ?i1 (7)
u2= R2i2 (8)
另一方法：去掉方程 (6)。
§ 3-4 网孔电流法
是以网孔电流作为电路的独立变量
uS1
i1 i3
uS2
R1
R2
R3
b
a
+
–
+
–
uS3
-
+
i2
im2im1
a
b
im2im1
KCL,-i1+i2+i3=0
网孔列 KVL,u1+u2=0
-u2+u3=0
各支路列 VCR,u1=-uS1+R1 i1 = -us1+R1im1
u2= R2 i2 +uS2= R2(im1 - im2 )+us2
u3= R3 i3 +uS3= R3 im2+us3
整理得,
(R1+R2) im1 – R2 im2 = us1- uS2
-R2im1 + (R2+R3) im2 = uS2-us3
即,
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2代表网孔 1的 自阻,为网孔 1所有电阻之和。
R22=R2+R3代表网孔 2的 自阻,为网孔 2所有电阻之和。
自阻总是正的
R12=R21=R2 代表网孔 1和网孔 2的 互阻,为网孔 1,2的公共电阻。
当两网孔电流通过公共电阻的参考 方向相同 时, 互阻为 正 ；
当两网孔电流通过公共电阻的参考 方向相反 时, 互阻为 负 ；
当两网孔电流间没有公共电阻时, 互阻为零 。
如果网孔电流的方向均为顺时针, 则互阻总为负 。
uS11=uS1-uS2 为网孔 1的总电压源电压，各电压源电压与网孔电流
一致时，前取负号，反之取正号 。
uS22=uS2-uS3 为网孔 2的总电压源电压。
推广,
R11im1+ R12 im2 + R13 im3 +- - - + R1mimm= us11
R21im1+ R22im2 + R23 im3 + - - - + R2mimm = uS22
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Rm1im1+ Rm2im2 + Rm3 im3 + - - - + Rmmimm = uSmm
举例,
用网孔法求各支路电流。
解：
(1) 设选网孔电流 (顺时针 )
(2) 列 网孔电流 方程
(R1+R2)I1 -R2I2 = US1- US2
-R2I1+ (R2+R3)I2 - R3I3 = US2
-R3I2+ (R3+R4)I3= -US4
I1 I3I2+
_US
2
+
_US
1
Ia Ib Ic
R1 R2
R3 +
_U
S4
R4
Id
即, 80I1 - 20I2 =40
-20 I1+ 60I2 - 40I3 =10
-40I2+ 80I3= 40
(3) 求解回路电流方程，得 I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071
(4) 求各支路电流：
Ia=I1,Ib=I2-I1,Ic=I2-I3,Id=-I3
(5) 校核：选一新回路。 60Ia-40Id=50+40 即 90=90
§ 3-5 回路电流法 (loop current method)
是以一组独立回路电流为电路变量求解电路的一种方法。
对于一个具有 n个节点,b条支路的电路，则 回路电流数 L=b-n+1。
故对 L个基本回路列 KVL方程，并利用支路方程（ VCR） 把所有 KVL
方程通过回路电流来表达，就可获得与网孔法类似的回路电流方
程。其一般式如下,R11i11 +R12 i12 +…+R 1L i1L= uS11
R21 i11 +R22i12 +…+R 2L i1L= uS22
… … … … … … … …
RL1 i11 +RL2i12 +…+R LL i1L= uSLL
回路法,
式中，关于自阻、互阻、电压源的讨论同网孔法。
回路法的一般步骤：
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l个独立回路, 以回路电流为未知量, 列写
其 KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
例 1,用回路法求各支路电流。
解,(1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且
互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
(5) 校核,选一新回路。
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
① 将看 VCVS作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
校核,
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia-3Ib=2
-12Ia+15Ib-Ic=0
9Ia-10Ib+3Ic=0
③
U2=3(Ib-Ia)②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
1?I1+2I3+2I5=2.01 ( ?UR 降 =?E升 )
例 2,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
?
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic 解,
将②代入①，得
各支路电流为：
I1= Ia=1.19A,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A,
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=–0.52A.
解得
* 由于含受控源, 方程的系数矩阵一般不对称 。
例 3,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1,引入电流源电压为变量，增加回路电流和
电流源电流的关系方程。
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
(1) 对 含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：
I
R
IS o
o
+
_RIS
I
R
o
o
转换
(2) 对含有受控电流源支路的电路, 可先 将受控源看
着独立源 按上述方法列方程, 再将控制量用回路
电流 （ 或网孔电流 ） 表示 。
说明：
§ 3-4 结点电压法 (node voltage method)
选某一节点为参考节点, 其它节点与此节点的参考电
压称 节点电压 。
节点法或节点电压法是以节点电压为独立变量列电路
方程求解电路的一种方法 。
1.节点法
节点电压法的独立方程数为 (n-1)个 。 与支路电流法
相比, 方程数可减少 b-( n-1)个 。
举例说明：
(2) 列 KCL方程：
? iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
(1) 选定参考节点, 标明其
余 n-1个独立节点的电压
代入支路特性：
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u ????????
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5
上式简记为
G11un1+G12un2 = iSn1
G11un1+G12un2 = iSn1
标准形式的节点电压方程 。
其中 G11=G1+G2+G3+G4—节点 1的自电导, 等于接在节点 1上
所有支路的电导之和 。
G22=G3+G4+G5 — 节点 2的自电导, 等于接在节点 2上所
有支路的电导之和 。
G12= G21 =-(G3+G4)—节点 1与节点 2之间的互电导, 等
于接在节点 1与节点 2之间的所有
支路的电导之和, 并冠以负号 。
iSn1=iS1-iS2+iS3—流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iSn2=-iS3 —流入节点 2的电流源电流的代数和 。
* 自电导总为正，互电导总为负。
* 电流源支路电导为零。
* 流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电
压, 各支路电流即可用节点电压表示：
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
1
n1
1 R
ui ?
2
n2
2 R
ui ?
3
n2n1
3 R
uui ??
4
n2n1
4 R
uui ??
5
n2
5 R
ui ?
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与
电阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu ?????????
整理，并记 Gk=1/Rk,得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1-iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G1+G2+G3+G4)un2= -iS3
等效电流源
一般情况：
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
? ? ? ?
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导, 等于接在节点 i上所有支路的电导之
和 (包括电压源与电阻串联支路 )。 总为 正 。
* 当电路含受控源时, 系数矩阵一般不再为对称
阵 。 且有些结论也将不再成立 。
iSni — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 (包括
由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导, 等于接在节点 i与节点 j之间的所
支路的电导之和, 并冠以 负 号 。
结点电压方程的推导过程 (2个结点 )
V0?bV设：
111 RIEU ???
1
1
1 R
UE
I
?
??
各支路电流分别为,
1
1
1 R
UE
I
?
?
2
2
2 R
UE
I
?
?
3
3 R
U
I ?
321 IIII ??? S
对 a 结点列电流方程：
b
a
E2
+
-
I2
IS
I3E
1
+
-
I1 R1 R2 R3
U
+
－
E1
+
-
I1 R1
U
+
－
则有：
321
1
R
UI
R
UE
R
UE ?????
S
2
整理：
0
32121
1 ?????? )
R
U
R
U
R
U(I
R
E
R
E
S
2
321
2
2
1
1
111
RRR
I
R
E
R
E
U
??
??
??
S
R
IRE
U
S
1?
???
?
一般表达式,（弥尔曼定理）
(2个结点 )
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点, 以节点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
(1) 先 把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
例 1,列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
uR2= un1
S1
2
n1
1
n2n1 i
R
u
R
uu ???
2m
3
n2
1
n1n2
RugR
u
R
uu ????
解,
iS1
R1 R3
R2 gmuR2
+ uR2 _
1
2
* 可先进行电源变换。
例 2.
(1) 列节点电压方程：
UA=21.8V,UB=-21.82V
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I4= UB /40=0.546mA
I5= UB /20=-1.09mA
(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB= 0.006
-0.1UA+(0.1+0.05+0.025)UB=-0.006
(2) 解方程，得：
(3) 各支路电流：
用节点法求各支路电流。
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
解：
试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法 1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系
方法 2,选择合适的参考点
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2 3
1
(G1+G2)U1-G1U2+I =0
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3-I =0
U1-U2 = US
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2
3
1I
例 3.
支路法,网孔法,回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点
较容易。
(3) 回路法, 节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网, 集成电路设计等 )采用节点法较多 。
(1) 方程数的比较
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-(n-1)
0
0n-1
方程总数
b-(n-1)
n-1
b-(n-1)
b
网孔法 0 b-(n-1) b-(n-1)
