第十四章 非正弦周期电流电路的计算
§ 14-1 非正弦周期电流电路
1,非正弦周期电流的产生
定义,随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。
分类：
1）偶函数,f(t)=f(-t)
4）偶谐函数
2）奇函数,f(t)=-f(-t)
3）奇谐函数
)2Tt(f)t(f ??
)2Tt(f)t(f ???
§ 14-2 周期函数展开为 Fourier Series
1、傅立叶级数展开式：
若非正弦函数 f(t)=f(t?nT),且满足狄
氏条件,则,
其中,
)s inco s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n ????? ?
?
?
?
?
?
2/
2/
0 )(
1 T
T
dttf
T
a ?
?
??
2/
2/
c o s)(2
T
T
n t d tntfTa
?
?
??
2/
2/
s in)(2
T
T
n t d tntfTb
其中,
)s inco s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n ????? ?
?
?
)tnco s (AA n
1n
mn0 ????? ?
?
?
2
n
2
nmn baA ??
n
n
n a
bar ct an???
讨论：
)tnco s (AA)t(f n
1n
mn0 ????? ?
?
?
1） A0=a0 —— 常量，与频率无关 （直流分量、零频分量）
2） Ancos(n?t+?0 )—— 正弦量，与 n有关 （谐波分量）
3）谐波分类：
直流分量
)tc o s (A 11m ???
A0=a0
基波分量
)t2c o s (A 22m ???
)t3c o s (A 33m ???
)tkc o s (A kmk ???
????????
二次谐波
三次谐波
k次谐波
高
次
谐
波
???
??? 2
??? 3
??? k
???
?
讨论：
偶谐函数：无奇次谐波
奇谐函数：无偶次谐波
)tnco s (AA n
1n
mn0 ????? ?
?
?
奇函数,无偶函数分量
偶函数,无奇函数分量
4）函数对称性与谐波的成份
)s inco s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n ????? ?
?
?
例,图示电压中,T=2?，求 u(t)傅立叶级数展开式。
m00 UaA ??
)0(0 ?? na n
?n
Ub m
n
4?
)5s in513s in31( s in4)( ????????? tttUUtu mm ?
2
)t(u)t(u)t(u
e
???
2
)t(u)t(u)t(u
o
???
解：
§ 14-4 有效值、平均值和平均功率
1,有效值 定义：
若非正弦电量 i(t)=i(t?nT),u(t)=u(t?nT) 则
有效值为,
1.1、计算：
1）按定义计算；
2）按傅立叶系数计算：
?? T dttiTI 0 2 )(1 ?? T dttuTU 0 2 )(1
??
?
??
1n
2
mn
2
0 I2
1II
??
?
??
1n
2
mn
2
0 U2
1UU
??
?
??
1
22
0
n
nII
??
?
??
1
22
0
n
nUU
)tnco s (II)t(i in
1n
mn0 ????? ?
?
?
)tnc o s (UU)t(u un
1n
mn0 ????? ?
?
?
例,图示电压中,T=2?，求 u(t)有效值。
解：
?
?
?
??
1
22
0 2
1
n
nmUUU m
U2?
?? T dttuTU 0 2 )(1或
)7151311(21)4( 22222 ?????? ? mm UU
)5s in513s in31( s in4)( ????????? tttUUtu mm ?
?? 20 2)2(1
T
m dtUT mU2?
2,平均功率 定义：
1） 瞬时功率,若单口网络端口
电流和电压为：
则瞬时功率为：
)co s (2)(
1
0 in
n
n tnIIti ????? ?
?
?
)co s (2)(
1
0 un
n
n tnUUtu ????? ?
?
?
)()()( titutp ?
2）平均功率：
?? T dttpTP 0 )(1
???????? )c o s ()c o s ( 2222111100 iuiu IUIUIUP ????
例, 求电路中 u1(t),i1(t)，并求各电源的发出功率。其中
.)905co s (10)( Vttu s ???
.)10co s (5)( Attis ?
+
u
-
i解：
1、电流源单独作用：
???? 455)1(1U 0)1(1 ?i
tii s 10c o s5)1()1( ????
)1()1(1 )4510c o s (25 utu ????
2、电压源单独作用：
0)2(1 ??U
????? ?? 4510)2()2(1 II
0)2(1 ?u
)905c o s (10)2( ???? tuu s
)455c o s (210)2(1)2( ???? tii
3、时域叠加：
Vtuuu )4510c o s (25)2(1)1(11 ?????
Atiii )455c o s (210)2(1)1(11 ?????
)2()1( uuu ??
Vtt )905c o s (10)4510c o s (25 ??????
)2()1( iii ??
Att )455c o s (21010c o s5 ?????
WPi 5.12? WP
u 50?
§ 14-5 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1） 将激励为 非正弦周期函数展开为傅立叶级数：
3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（ C开路,L短路）求 Y0;
（ 2）基波分量作用,???（正弦稳态分析）求有 y1;
（ 3）二次谐波分量作用,??2 ?（正弦稳态分析）求有 y2;
………………
)co s ()(
1
0 n
n
nm tnAAtf ????? ?
?
?2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率
的正弦激励分量；
4) 时域叠加,y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例 1,图示电路中
)185c o s (20 ??? t?
)453c o s (60c o s18040)( ????? tttu s ??
,f=50Hz，求 i(t)和电流有效值 I。
解,直流分量作用：
基波分量作用：
0)0( ?i
Ati )86c o s (4 2 6.1)1( ??? ?
???
??
?
?
?
86
2
4 2 6.1
)
1
(
)1()1(
C
LjR
U
I s
?
?
3次谐波作用：
???
??
?
?
45
2
6
)
3
1
3(
)3()3
C
LjR
U s
?
?
Ati )453c o s (6)3( ??? ?
Ati )615c o s (39.0)5( ??? ?5次谐波作用：
????
??
?
?
?
61
2
39.0
)
5
1
5(
)5()5(
C
LjR
U
I s
?
?
由叠加定理，有,)5()3()1()0( iiiii ????
电流有效值为,
2)5(2)3(2)1(2)0( IIIII ???? A37.4?
例 2,图示电路中，已知激励电压：
现欲使响应
）） 333131 103c o s (10c o s ()( ?? ????? tUtUtu mm
）1312 10c o s ()( ??? tUtu m 求 L和 C2。
解,依题意要求，应
3
2
101 ?LC
（ 1） L与 C2串联 — 短路，有
3
21
21
1031 ??
? CC
CCL
（ 2） L,C2与 C1并联 — 开路，
有
即,62 10 ??LC
6
21
21 10
9
1 ???
? CC
CCL
HL 1??
FC ?12 ?
1、非周期信号的有效值
2、非正弦周期电流电路的平均功率
3、非正弦周期电流电路的稳态分析
1）将非正弦周期电流电压分解成直流分量及各次谐波分量，
相当于在电路的输入端施加多个等效激励源 （多个等效电压源
或多个等效电流源并联）
2）分别计算各等效激励源单独作用时电路的响应分量
3）根据叠加定律，各个响应分量的代数和就是非正弦
周期电流电路的稳态响应
本章小结
4、由于不同频率的正弦量不能用相量法相加，故求出各响
应分量后应写出瞬时表达式，在时 域中进行叠加