第十三章 拉普拉斯变换
§ 13-1 拉普拉斯变换的定义
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质
§ 13-4 运算电路
§ 13-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路
§ 13-3 拉普拉斯反变换
§ 13-1 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换法是一种数学变换，可将微分方程变换为代数方程以
便于求解。
例 1:对数变换
ABBA
ABBA
lglglg
??
???
??
乘法运算简化
为加法运算
例 2:相量法
???
??
????
??
III
iii
21
21
相量
正弦量
正弦运算简化
为复数运算
?? js ??
1,双边拉氏变换
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
??
?
反变换
正变换
)(
2
1
)(
)()(
dsesF
j
tf
dtetfsF
stj
j
st
S为复频率
f(t)与 F(s)一 一对应
时，当 0 ?? js ??
??
?
?
?
???
?
?
???
??
??
??
??
??
反变换
正变换
)(
2
1)(
)()(
dejFtf
dtetfjF
tj
tj
傅立叶变换
拉氏变换 将时域函数 f(t) (原函数 )变换为
复频域函数 F(s) (象函数 ).
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?? ?
反变换
正变换
)(
2
1
)(
)()( 0
dsesF
j
tf
dtetfsF
stj
j
st
?
?
?
?
?
0
00 积分下限从 0?开始，称为 0?拉氏变换 。
积分下限从 0+ 开始，称为 0+ 拉氏变换 。
dtetfdtetf
dtetfsF
stst
st
????
??
?? ??
?? ?
?
?
?
?
0
0
0
0
)()(
)()(
f(t)=?(t)时此项 ? 0
今后讨论的拉氏变换均为 0?拉氏变换
2,单边拉氏变换
0+拉氏 变换
t < 0,f(t)=0
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?
?
反变换
正变换
)(
2
1
)(
)()(
0
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
? ?
? ???
?
?
?
? )()(
)()(
1 sFLtf
tfLsF简写
F(s)称为象函数，大写字母表示,如 I(s),U(s)。
f(t )为原函数用小写字母表示，如 i(t ),u(t )。
3.存在条件
??? ? ?? dtetf st0 )( ??? ? ??? dtetf t0 )(
为收敛因子te ??
常见函数为指数阶函数 ),0[ )( ??? tMetf ct
dtMedtetf tct )(00 )( ??? ??? ? ?? ? ??CM?? ?
积分存在0?? c?
4.典型函数的拉氏变换
(2)单位阶跃函数
0
1 ??? ? ste
s s
1?
(1)指数函数
dteeteL statat ?? ?? ?? ?0)]([ ? 0
1 )( ?
???
?? tase
as as ?
1
? ? ??? 0 )()]([ dtettL st??
)()( 0 ttea at ???? ?时当
(3)冲激函数
?? ? ??0 )()]([ dtettL st?? ?? ?? ?00 0)( dtet s? = 1
?? ??? 0 dte st
)()( 0 dtetfSF st? ?? ???
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质
一,线性
)()]([,)()]([ 2211 SFtfLSFtfL ??若
dtetbftaf st??? ? ? ])()([0 21证,dtetbfdtetaf stst ???? ?? ?? ?? 0 20 1 )()(
)()( 21 SbFSaF ??
)]([ 1 tUL ?：例
)]([ s i n 2 ttL ??：例
)]()([ 21 tbftafL ?则
]11[21 ?? jSjSj ????
)()( 21 SbFSaF ??
22 ?
?
?? S
)]()(21[ teejL tjtj ??? ???
)()( 0 dtetfSF st? ?? ???
S
U?
二,导数性质
1,时域导数性质 )0()(])([ ??? fSSF
dt
tdfL
? ? ??? ? ?? ? 00 )()( tdfedtedt tdf stst
? ???? ? ??? ?0 ))((0)( dtestftfe stst
)()0( SSFf ??? ?
022 ??? ??? ss 22 ??? s s
) ) ](( s i n1[)]([ c o s1 ttdtdLttL ??????：例
)()]([ sFtfL ?设：
? ??? vd uuvu d v
??
?? ? ?
?
?
?0 )(0)( dtetfstfe
stst
推广,])([
2
2
dt
tfdL )0()]0()([ ' ?? ??? ffSSFS
)0()0()( '2 ?? ??? fSfSFS
])([ n
n
dt
tfdL
)0()0()( 11 ???? ???? nnn ffSSFS ?
)0()(])([ ??? fSSFdt tdfL
)]([2 tL ?：例 )]([ tdtdL ?? 11 ?? SS
)]([1 ttL ?：例 )1( Sdsd?? )1( 2S?
)]([2 ttL n ?：例 )1()1( Sdsd n
n
n?? )!(
1?? nS
n
)1( ???? Sdsd 2)(
1
??? S][3 tteL ??：例
2.频域导数性质
dS
SdFtftL )()]([ ??
? ? ??0 )( dtetfdsd st证,? ?? ? ??0 ))(( dtettf st)]([ ttfL ??
)()]([ SFtfL ?设：
三,积分性质
)(1])([
0
SFSdfL t ???? ?
])([)]([
0? ?
??? t dfdtdLtfL
)(SF
?? ?? ????? 00 )()( t
t dfss
)(])([ 0 sdfL t ????? ?证：令
S
SFS )()( ?? ?
)]([1 ttL ?：例
SS
11 ??
)]([2 2 ttL ?：例 ?
???
t t d ttt
0
2 2)]([?3
2
S?
)()]([ SFtfL ?设：
])([ 0? ? ?? t dttL
四,平移性质
1.时域平移 (延迟定理 )
f(t)?(t)
t t
f(t-t0)?(t-t0)
t0
f(t)?(t-t0)
t
t0
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?
dtettttf st??? ???0 00 )()( ?证：
dteettf stttst 000 )(0 )( ????? ?? ?
?? ? defe sst ?? ? ?? ?0 )(0 )(0 SFe st????? 0tt令
)()]([ SFtfL ?设：
延迟因子0ste ?
例 1：
1
T t
f(t) )()()( Ttttf ??? ??
STe
SSSF
??? 11)(
T
T
f(t)
)]()([)( Tttttf ??? ??
22
1)(
S
e
SSF
ST?
???
)()()()()( TtTTtTttttf ?????? ???
STST e
S
Te
SSSF
?? ???
22
11)(
T t
例 2：
例 3：周期函数的拉氏变换
...
t
f(t)
1
T/2 T
设 f1(t)为第一周函数
)()]([ 11 SFtfL ?
)(1 1)]([ 1 SFetfL ST???则：
??????????? )2()2()()()()( 111 TtTtfTtTtftftf ??证：
??????? ?? )()()()]([ 1211 SFeSFeSFtfL STST
])[( 321 ??????? ??? STSTST eeeSF
)(1 1 1 SFe ST???
2/
1
11)( STe
SSSF
???
)(1 1)]([ 1 SFetfL ST???则：
2.频域平移性质
dttfe ts?? ? ???0 )( )(?
)2()()(1 Ttttf ??? ??上例：
)(1 1)]([ 1 SFetfL ST???
)1 1(1 2/STeS ???
)()]([ ?? ??? SFtfeL t
dtetfe stt ?? ??? ? )(0
)()]([ SFtfL ?设：
)( ??? SF
)](c o s[2 tteL t ????：例 22)( ??
?
??
??
S
S
2)(
1
??? S
五,初值定理和终值定理
)(li m)(li m)0(
0
SSFtff s
t ???
? ??
?
初值定理,f(t)在 t = 0处无冲激则
)]([)( tfeLSF t?? ???
)]([1 tteL t???：例
存在时)(lim tft ??
)()(li m)(li m 0 ??? ??? ftfSSF ts
2
1)]([
SttL ??
22][ c os ?? ?? s
stL
终值定理：
)(lim)(lim)( 0 SSFtff st ??? ???
证：利用导数性质
)]0()([lim)(lim
000
?
?
??
?
??? ? fSSFdtetfdtd
s
st
s
dtetfdtd st
s
?
??
??
00
lim)(
)0()32( 543)(1 2
2
?
??
??? f
SSS
SSSF 求：已知例
3)32( 543l i m 2
2
??? ???
?? SS
SS
s
???
0)( tf )0()(lim)0()( 0
?
?
? ????? fSSFff
s
例 2：
?(t)
R
C
+
u
-
0)0( ??cu
)( tudtduRC ???
SSUSS RCU
1)()( ??
)1(
1)(
S R CSSU ??校验：
)1(
1l i m)0(
S R CSSu s ?? ??
? 0
)1(
1lim ?
?? ?? S R Cs
1)1( 1l i m)(
0
????
? S R C
u
s
积分
微分
)(t? )( t? )( tt? )( tt n????
1 1 S 2S1 1! ???? nSn
)(s in tt?? )(c o s tt?? )(e t- t?? )(s ine t- tt???
)(e t- tt n??
22 ?
?
?S 22 ??S
S
??S
1
22)( ??
?
??S
1)(
!
?? nS
n
?
小结：
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?
§ 13-3 拉普拉斯反变换
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 dseSFjtf stjj )(2
1)(
? ?? ??? ???
(2)查拉普拉斯变换表
)()()()( 21 SFSFSFSF n???????
)()()()( 21 tftftftf n???????
象函数的一般形式：
)( )( )()( 1
10
1
10
2
1 mn
bSbSb
aSaSa
SF
SFSF
n
nn
m
mm
??????? ???????? ?
?
(3)对 F(S)进行数学处理
nSSSF ???? 12 0)(.1 的根为不等实根
利用部分分式将 F(S)分解为：
n
n
SS
k
SS
k
SS
kSF
?????????? 2
2
1
1)(
tsntsts nekekektf ?????? 21 21)(
)( )( )()( 1
10
1
10
2
1 mn
bSbSb
aSaSa
SF
SFSF
n
nn
m
mm
??????? ???????? ?
?
1)()( 11 SSSFSSk ???
2)()( 22 SSSFSSk ???
nSSnn SFSSk ?????? )()(
)( 1SS ? )( 1SS ?)( 1SS ?
)( 1SS ?
65
54)(:
2 ??
??
SS
SSF例
32
21
??? S
K
S
K
21 3
54
???
??
SS
SK 3?? 7
2
54
32 ??
??
??SS
SK
)(7)(3)( 32 tetetf tt ?? ?? ???
)(
))((lim
2
1
SF
SSSFk i
ssi i
??
?
)(
)())((lim
2
11
SF
SFSSSF i
ss i ?
????
? )(
)(
2
1
i
i
SF
SF
??
)3)(2(
54
??
??
SS
S
3,2 21 ???? SS
（洛比达法则）
（分解定理）
)(
)(
2
1
i
i
i SF
SFk
??
有共轭复根)(.2 2 SF
一对共轭复根为 ????? jS
2,1
)]()][([
)(
)(
)()( 1
2
1
???????????? jSjS
SF
SF
SFSF
?????????? jS
k
jS
k 21
k1,k2也是一对共轭复根
?? ????? kkkk 21 设
352 54 21 ????? ??SSSk
752 54 32 ???? ??SSSk
上例,
65
54)(
2 ??
??
SS
SSF
)()()( )()( teekeektf tjjtjj ??? ???????????
)(][ )()( teeek tjtjt ?????? ???? ??
)()c o s (2 ttek t ???? ?? ?
52)(,2 ??? SS
SSF例 21 jS ???
?6.265 5 9.0
)21( 211 ?????? ??? jSjS
Sk
?6.26559.0
)21( 212 ??????? ??? jSjS
Sk
)()6.262c os (559.02)( ttetf t ????? ?
)()6.262c o s (1 1 8.1 tte t ??? ? ?
法二：配方法
522 ?? SS
S
2222 2)1(
1
2)1(
1
?????
??
SS
S
tetetf tt 2s i n212co s)( ?? ?? )()6.262c o s (118.1 tte t ???? ?
22 )]([ s in ?
???
?? SttL
）有相等的实根（重根)(.3 2 SF
)()(
1
1
10
n
m
mm
SS
aSaSaSF
?
??????? ?
n
n
n
n
SS
k
SS
k
SS
k
SS
kSF
)()()()( 1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
???????????? ?
?
22 2)1(
11
??
???
S
S
n
n
n
n
SS
k
SS
k
SS
k
SS
kSF
)()()()( 1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
???????????? ?
?
1)]()[( 11 SS
nn SFSSk ???
1
)]()[( 111 SSnn SFSSdsdk ?? ??
1
)]()[(!21 12
2
21 SS
n
n SFSSds
dk
?? ???
1
)]()[()!1( 1 11
1
11 SS
n
n
n
SFSSdsdnk ??
?
????
?
2
22211
)1()1( ????? S
K
S
K
S
K
2)1(
4
?
?
SS
S例：
4)1( 4 021 ???? ?SSSK 34 122 ???? ??SSSK
1
2
21 )]()1[( ???? SSFSds
dK 4]4[
1 ??
??
??SS
S
ds
d
tt teetf ?? ??? 344)(
频域延迟
65
119)(
2
2
??
???
SS
SSSF例：
65
541
2 ??
???
SS
S
3
7
2
31
???
???
SS
)()37()()( 23 teettf tt ?? ?? ???
2.)求 F（ S）分母多项式等于零的根，将 F（ S）分解成
部分分式之和
3.)求各部分分式的系数
4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
小结：
1.) 将 F(S)化成最简真分式
由 F(S)求 f(t) 的步骤
相量形式 KCL,KVL
元件 ? 复阻抗、复导纳
相量形式
电路模型Uu
Ii
?
?
?
?
§ 13-4 运算电路
类似地
)()(
)()(
sIti
sUtu
?
?
元件 ? 运算阻抗、运算导纳
运算形式 KCL,KVL 运算形式
电路模型
IZU ?? ?
)()()( sIsZsU ?
一、复频域中的电路定律、电路元件与模型
2.电路元件的运算形式
R,u=Ri
)()( SGUSI ?
)()( SRISU ?
1.电路定律的运算形式
0
0
?
?
?
?
uK V L
iK C L
? ? 0)( SU
0 (S ) ?? I
+ u -
i R
+ U(S) -
I(S) R
GsY
RsZ
?
?
)(
)(
二、运算电路
L:
dt
diLu ?
)0()(
))0()(()(
?
?
??
??
LiSS L I
iSSILSU
S
i
SL
SUSI )0()()( ???
i
+ u -
L
+ -
sL )0( ?Li
U(s)
I(s)
sL
+ -U(s)
I(s )
si /)0( ?
sLsY
sLsZ
1)(
)(
?
?
+ u -
iC,
S
uSI
SCSU
c
cc
)0()(1)( ???
dtiCuu t ccc ? ??? ?
0
1)0(
)0()()( ??? cCC CuSSC USI
IC(S)
1/sC
uc(0-)/S
Uc(s)
1/sC
Cuc(0-)
Ic(s) U
c(s)
sCsY
sCsZ
?
?
)(
1)(
M
L1 L2
i1 i2
+
u1
-
+
u2
-
?
?
?
?
?
??
??
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
?
?
?
????
????
??
??
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MiSS MIiLSISLSU
MiSS MIiLSISLSU
L1i1(0-) Mi2(0-) Mi1(0-)L2i2(0-)
+
U2(S)
-
+
U1(S)
-
I1(S) I2(S)
SL1 SL2
+ - + -
SM
M,
sMsY
sMsZ
M
M
1)(
)(
?
?
12
11
uu
Riu
??
?
)()(
)()(
12
11
SUSU
RSISU
??
?
+
u1
-
+
u2
-
R
i1
?u1
受控源：
(s)U +
1(s)
-
?R
I1(S)
+
U2
-U1(S)
+
u
-
i R L
C
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
???? ?t c dtiCdtdiLiRu 01
)(1)()()( SISCSS L IRSISU ???
)1)(( SCSLRSI ???+
U(S)
-
I(S) R SL
1/SC 运算阻抗
)()()( SISZSU ?
)()()( SUSYSI ? )(
1)(
SZSY ?
运算形式
欧姆定律
SCSLRSZ
1)( ???
3.运算电路模型
运算电路
R R
L
SL
1/SC
I1(S)
E/S
I2(S)
R
RL
L
C
i1
i2
E?(t)
时域电路
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
1,电压、电流用象函数形式
2,元件用运算阻抗或运算导纳
3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示
时域电路
例
5Ω
1F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-uc
+ -i
L
t=0时打开开关
uc(0-)=25V iL(0-)=5A
t >0 运算电路
20?
0.5s?
-
++
-
1/s?
25/s
2.5V
5?
IL(S)
UC(S)
§ 13-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路
步骤,1.由,换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2,画运算电路模型
3,应用电路分析方法求象函数。
4,反变换求原函数。例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL Vu c 1 00)0( ??已知：
t = 0时闭合 k,求 iL,uL.。
例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL
Ai L 5)0()1( ??解：
(2)画运算电路
SSL 1.0?
S
SSC
1000
101000
11
6
?
??
?
?
Vu c 100)0( ??
200/S V
30 0.1s 0.5 V
10
1000/S
100/S V
IL(S) I2(S)
??
?
)3( 回路法
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
5.0200)(10)1.040)(( 21 ???? SSISSI
SSISSI
100)()100010()(10-
21 ???
200/S V
30 0.1s 0.5 V
10
1000/S
100/S V
IL(S) I2(S)
)(1 sI
)(2 sI
)(lim)0( SSFi s ??? ? 52 0 04 0 0
)4 0 0 0 07 0 0(5lim
22
2
??? ???
?? SS
SS
s
)(lim)( 0 SSFi s ??? 52 0 04 0 0 )4 0 0 0 07 0 0(5lim 22
2
0
??? ???
? SS
SS
s
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
(4)反变换求原函数
200030)( 3212 ????? SSSSF,个根有
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
01 )( ?? SSSFK 52 0 04 0 0
)4 0 0 0 07 0 0(5
022
2
??? ??? ?SSS SS
1500)200)(( 2 0 0222 ??? ??SSSFK
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
0)()2 0 0( 2 0 0221 ??? ??SSFSdsdK
21 )2 0 0(
1 5 0 0
)2 0 0(
05)(
????? SSSSI
Atteti t )()15005()( 2001 ????
SLSISU L )()( 1?求 UL(S)
UL(S)
5.0)()( 1 ?? SLSISU L 2)200(
3 0 0 0 0
200
150
?
??
?? SS
Vteetu ttL 2 0 02 0 0 3 0 0 0 01 5 0)( ?? ??
200/S V
30 0.1s 0.5 V
10
1000/S
100/S V
IL(S) I2(S)
R C
+
uc
?
is
例 2：求冲激响应 0)0(),( ??? ?
cs uti
R
1/SC
+
Uc(S)
?
Is(s)
SCsISCR
RsU
sC
1)(
/1)( ?? )/1( RCSRC
R
??
1
1)()(
??? RS C
RS C
SCSUSI CC 1
1
1
1
???
?
RS CRS C
RS C
)0(1 / ?? ? teCu RCtc )0(1)( / ??? ? teRCti RCtc ?
1)( ?sI s
t
uc (V)
C
1
0
t
ic
RC
1?
)(t?
例,
+
- Us k
R1 L1 L2
R2
i1 i20.3H 0.1H
10V
2Ω
3Ω
t = 0时打开开关 k,
求电流 i1,i2。
0)0(
5)0(
2
1
?
?
?
?
i
Ai
10/S V
2
0.3S 1.5V
3
0.1S
I1(S)
S
SSI
4.05
5.110
)(1
?
?
? SS
S
)4.05(
5.110
?
??
5.12
75.12
??? SS
25.121 75.12 iei t ??? ?
)0()0( 11 ?? ? ii
)0()0( 22 ?? ? ii
t
i1
5
2
3.75
0
SS
S
)5.12(
75.325
?
??
5.1)(3.0)(1 ?? SISU L
3 7 5.05.1256.6)(1 ???? SSU L
UL1(S)
)(1.0)(2 SISU L ?
5.12
19.23 7 5.0)(
2 ??? SSU L
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
10/S V
2
0.3S 1.5V
3
0.1S
I1(S)
uL1
-6.56 t-0.375?(t)
0.375?(t)
uL2
t-2.19
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
t
i1
5
2
3.75
0
Aii 75.31.0 375.0)0()0( 22 ??? ?? iL
??
Ai 75.33.0 375.053.0)0(1 ?????
小结,1、运算法直接求得全响应
3、运算法分析动态电路的步骤
2、用 0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中
1).由,换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2),画运算电路图
3),应用电路分析方法求象函数。
4),反变换求原函数。
磁链守恒,)0()()0()0( 212211 ??? ??? iLLiLiL
75.34.0053.0 ????
§ 13-1 拉普拉斯变换的定义
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质
§ 13-4 运算电路
§ 13-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路
§ 13-3 拉普拉斯反变换
§ 13-1 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换法是一种数学变换，可将微分方程变换为代数方程以
便于求解。
例 1:对数变换
ABBA
ABBA
lglglg
??
???
??
乘法运算简化
为加法运算
例 2:相量法
???
??
????
??
III
iii
21
21
相量
正弦量
正弦运算简化
为复数运算
?? js ??
1,双边拉氏变换
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
??
?
反变换
正变换
)(
2
1
)(
)()(
dsesF
j
tf
dtetfsF
stj
j
st
S为复频率
f(t)与 F(s)一 一对应
时，当 0 ?? js ??
??
?
?
?
???
?
?
???
??
??
??
??
??
反变换
正变换
)(
2
1)(
)()(
dejFtf
dtetfjF
tj
tj
傅立叶变换
拉氏变换 将时域函数 f(t) (原函数 )变换为
复频域函数 F(s) (象函数 ).
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?? ?
反变换
正变换
)(
2
1
)(
)()( 0
dsesF
j
tf
dtetfsF
stj
j
st
?
?
?
?
?
0
00 积分下限从 0?开始，称为 0?拉氏变换 。
积分下限从 0+ 开始，称为 0+ 拉氏变换 。
dtetfdtetf
dtetfsF
stst
st
????
??
?? ??
?? ?
?
?
?
?
0
0
0
0
)()(
)()(
f(t)=?(t)时此项 ? 0
今后讨论的拉氏变换均为 0?拉氏变换
2,单边拉氏变换
0+拉氏 变换
t < 0,f(t)=0
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?
?
反变换
正变换
)(
2
1
)(
)()(
0
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
? ?
? ???
?
?
?
? )()(
)()(
1 sFLtf
tfLsF简写
F(s)称为象函数，大写字母表示,如 I(s),U(s)。
f(t )为原函数用小写字母表示，如 i(t ),u(t )。
3.存在条件
??? ? ?? dtetf st0 )( ??? ? ??? dtetf t0 )(
为收敛因子te ??
常见函数为指数阶函数 ),0[ )( ??? tMetf ct
dtMedtetf tct )(00 )( ??? ??? ? ?? ? ??CM?? ?
积分存在0?? c?
4.典型函数的拉氏变换
(2)单位阶跃函数
0
1 ??? ? ste
s s
1?
(1)指数函数
dteeteL statat ?? ?? ?? ?0)]([ ? 0
1 )( ?
???
?? tase
as as ?
1
? ? ??? 0 )()]([ dtettL st??
)()( 0 ttea at ???? ?时当
(3)冲激函数
?? ? ??0 )()]([ dtettL st?? ?? ?? ?00 0)( dtet s? = 1
?? ??? 0 dte st
)()( 0 dtetfSF st? ?? ???
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质
一,线性
)()]([,)()]([ 2211 SFtfLSFtfL ??若
dtetbftaf st??? ? ? ])()([0 21证,dtetbfdtetaf stst ???? ?? ?? ?? 0 20 1 )()(
)()( 21 SbFSaF ??
)]([ 1 tUL ?：例
)]([ s i n 2 ttL ??：例
)]()([ 21 tbftafL ?则
]11[21 ?? jSjSj ????
)()( 21 SbFSaF ??
22 ?
?
?? S
)]()(21[ teejL tjtj ??? ???
)()( 0 dtetfSF st? ?? ???
S
U?
二,导数性质
1,时域导数性质 )0()(])([ ??? fSSF
dt
tdfL
? ? ??? ? ?? ? 00 )()( tdfedtedt tdf stst
? ???? ? ??? ?0 ))((0)( dtestftfe stst
)()0( SSFf ??? ?
022 ??? ??? ss 22 ??? s s
) ) ](( s i n1[)]([ c o s1 ttdtdLttL ??????：例
)()]([ sFtfL ?设：
? ??? vd uuvu d v
??
?? ? ?
?
?
?0 )(0)( dtetfstfe
stst
推广,])([
2
2
dt
tfdL )0()]0()([ ' ?? ??? ffSSFS
)0()0()( '2 ?? ??? fSfSFS
])([ n
n
dt
tfdL
)0()0()( 11 ???? ???? nnn ffSSFS ?
)0()(])([ ??? fSSFdt tdfL
)]([2 tL ?：例 )]([ tdtdL ?? 11 ?? SS
)]([1 ttL ?：例 )1( Sdsd?? )1( 2S?
)]([2 ttL n ?：例 )1()1( Sdsd n
n
n?? )!(
1?? nS
n
)1( ???? Sdsd 2)(
1
??? S][3 tteL ??：例
2.频域导数性质
dS
SdFtftL )()]([ ??
? ? ??0 )( dtetfdsd st证,? ?? ? ??0 ))(( dtettf st)]([ ttfL ??
)()]([ SFtfL ?设：
三,积分性质
)(1])([
0
SFSdfL t ???? ?
])([)]([
0? ?
??? t dfdtdLtfL
)(SF
?? ?? ????? 00 )()( t
t dfss
)(])([ 0 sdfL t ????? ?证：令
S
SFS )()( ?? ?
)]([1 ttL ?：例
SS
11 ??
)]([2 2 ttL ?：例 ?
???
t t d ttt
0
2 2)]([?3
2
S?
)()]([ SFtfL ?设：
])([ 0? ? ?? t dttL
四,平移性质
1.时域平移 (延迟定理 )
f(t)?(t)
t t
f(t-t0)?(t-t0)
t0
f(t)?(t-t0)
t
t0
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?
dtettttf st??? ???0 00 )()( ?证：
dteettf stttst 000 )(0 )( ????? ?? ?
?? ? defe sst ?? ? ?? ?0 )(0 )(0 SFe st????? 0tt令
)()]([ SFtfL ?设：
延迟因子0ste ?
例 1：
1
T t
f(t) )()()( Ttttf ??? ??
STe
SSSF
??? 11)(
T
T
f(t)
)]()([)( Tttttf ??? ??
22
1)(
S
e
SSF
ST?
???
)()()()()( TtTTtTttttf ?????? ???
STST e
S
Te
SSSF
?? ???
22
11)(
T t
例 2：
例 3：周期函数的拉氏变换
...
t
f(t)
1
T/2 T
设 f1(t)为第一周函数
)()]([ 11 SFtfL ?
)(1 1)]([ 1 SFetfL ST???则：
??????????? )2()2()()()()( 111 TtTtfTtTtftftf ??证：
??????? ?? )()()()]([ 1211 SFeSFeSFtfL STST
])[( 321 ??????? ??? STSTST eeeSF
)(1 1 1 SFe ST???
2/
1
11)( STe
SSSF
???
)(1 1)]([ 1 SFetfL ST???则：
2.频域平移性质
dttfe ts?? ? ???0 )( )(?
)2()()(1 Ttttf ??? ??上例：
)(1 1)]([ 1 SFetfL ST???
)1 1(1 2/STeS ???
)()]([ ?? ??? SFtfeL t
dtetfe stt ?? ??? ? )(0
)()]([ SFtfL ?设：
)( ??? SF
)](c o s[2 tteL t ????：例 22)( ??
?
??
??
S
S
2)(
1
??? S
五,初值定理和终值定理
)(li m)(li m)0(
0
SSFtff s
t ???
? ??
?
初值定理,f(t)在 t = 0处无冲激则
)]([)( tfeLSF t?? ???
)]([1 tteL t???：例
存在时)(lim tft ??
)()(li m)(li m 0 ??? ??? ftfSSF ts
2
1)]([
SttL ??
22][ c os ?? ?? s
stL
终值定理：
)(lim)(lim)( 0 SSFtff st ??? ???
证：利用导数性质
)]0()([lim)(lim
000
?
?
??
?
??? ? fSSFdtetfdtd
s
st
s
dtetfdtd st
s
?
??
??
00
lim)(
)0()32( 543)(1 2
2
?
??
??? f
SSS
SSSF 求：已知例
3)32( 543l i m 2
2
??? ???
?? SS
SS
s
???
0)( tf )0()(lim)0()( 0
?
?
? ????? fSSFff
s
例 2：
?(t)
R
C
+
u
-
0)0( ??cu
)( tudtduRC ???
SSUSS RCU
1)()( ??
)1(
1)(
S R CSSU ??校验：
)1(
1l i m)0(
S R CSSu s ?? ??
? 0
)1(
1lim ?
?? ?? S R Cs
1)1( 1l i m)(
0
????
? S R C
u
s
积分
微分
)(t? )( t? )( tt? )( tt n????
1 1 S 2S1 1! ???? nSn
)(s in tt?? )(c o s tt?? )(e t- t?? )(s ine t- tt???
)(e t- tt n??
22 ?
?
?S 22 ??S
S
??S
1
22)( ??
?
??S
1)(
!
?? nS
n
?
小结：
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?
§ 13-3 拉普拉斯反变换
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 dseSFjtf stjj )(2
1)(
? ?? ??? ???
(2)查拉普拉斯变换表
)()()()( 21 SFSFSFSF n???????
)()()()( 21 tftftftf n???????
象函数的一般形式：
)( )( )()( 1
10
1
10
2
1 mn
bSbSb
aSaSa
SF
SFSF
n
nn
m
mm
??????? ???????? ?
?
(3)对 F(S)进行数学处理
nSSSF ???? 12 0)(.1 的根为不等实根
利用部分分式将 F(S)分解为：
n
n
SS
k
SS
k
SS
kSF
?????????? 2
2
1
1)(
tsntsts nekekektf ?????? 21 21)(
)( )( )()( 1
10
1
10
2
1 mn
bSbSb
aSaSa
SF
SFSF
n
nn
m
mm
??????? ???????? ?
?
1)()( 11 SSSFSSk ???
2)()( 22 SSSFSSk ???
nSSnn SFSSk ?????? )()(
)( 1SS ? )( 1SS ?)( 1SS ?
)( 1SS ?
65
54)(:
2 ??
??
SS
SSF例
32
21
??? S
K
S
K
21 3
54
???
??
SS
SK 3?? 7
2
54
32 ??
??
??SS
SK
)(7)(3)( 32 tetetf tt ?? ?? ???
)(
))((lim
2
1
SF
SSSFk i
ssi i
??
?
)(
)())((lim
2
11
SF
SFSSSF i
ss i ?
????
? )(
)(
2
1
i
i
SF
SF
??
)3)(2(
54
??
??
SS
S
3,2 21 ???? SS
（洛比达法则）
（分解定理）
)(
)(
2
1
i
i
i SF
SFk
??
有共轭复根)(.2 2 SF
一对共轭复根为 ????? jS
2,1
)]()][([
)(
)(
)()( 1
2
1
???????????? jSjS
SF
SF
SFSF
?????????? jS
k
jS
k 21
k1,k2也是一对共轭复根
?? ????? kkkk 21 设
352 54 21 ????? ??SSSk
752 54 32 ???? ??SSSk
上例,
65
54)(
2 ??
??
SS
SSF
)()()( )()( teekeektf tjjtjj ??? ???????????
)(][ )()( teeek tjtjt ?????? ???? ??
)()c o s (2 ttek t ???? ?? ?
52)(,2 ??? SS
SSF例 21 jS ???
?6.265 5 9.0
)21( 211 ?????? ??? jSjS
Sk
?6.26559.0
)21( 212 ??????? ??? jSjS
Sk
)()6.262c os (559.02)( ttetf t ????? ?
)()6.262c o s (1 1 8.1 tte t ??? ? ?
法二：配方法
522 ?? SS
S
2222 2)1(
1
2)1(
1
?????
??
SS
S
tetetf tt 2s i n212co s)( ?? ?? )()6.262c o s (118.1 tte t ???? ?
22 )]([ s in ?
???
?? SttL
）有相等的实根（重根)(.3 2 SF
)()(
1
1
10
n
m
mm
SS
aSaSaSF
?
??????? ?
n
n
n
n
SS
k
SS
k
SS
k
SS
kSF
)()()()( 1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
???????????? ?
?
22 2)1(
11
??
???
S
S
n
n
n
n
SS
k
SS
k
SS
k
SS
kSF
)()()()( 1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
???????????? ?
?
1)]()[( 11 SS
nn SFSSk ???
1
)]()[( 111 SSnn SFSSdsdk ?? ??
1
)]()[(!21 12
2
21 SS
n
n SFSSds
dk
?? ???
1
)]()[()!1( 1 11
1
11 SS
n
n
n
SFSSdsdnk ??
?
????
?
2
22211
)1()1( ????? S
K
S
K
S
K
2)1(
4
?
?
SS
S例：
4)1( 4 021 ???? ?SSSK 34 122 ???? ??SSSK
1
2
21 )]()1[( ???? SSFSds
dK 4]4[
1 ??
??
??SS
S
ds
d
tt teetf ?? ??? 344)(
频域延迟
65
119)(
2
2
??
???
SS
SSSF例：
65
541
2 ??
???
SS
S
3
7
2
31
???
???
SS
)()37()()( 23 teettf tt ?? ?? ???
2.)求 F（ S）分母多项式等于零的根，将 F（ S）分解成
部分分式之和
3.)求各部分分式的系数
4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
小结：
1.) 将 F(S)化成最简真分式
由 F(S)求 f(t) 的步骤
相量形式 KCL,KVL
元件 ? 复阻抗、复导纳
相量形式
电路模型Uu
Ii
?
?
?
?
§ 13-4 运算电路
类似地
)()(
)()(
sIti
sUtu
?
?
元件 ? 运算阻抗、运算导纳
运算形式 KCL,KVL 运算形式
电路模型
IZU ?? ?
)()()( sIsZsU ?
一、复频域中的电路定律、电路元件与模型
2.电路元件的运算形式
R,u=Ri
)()( SGUSI ?
)()( SRISU ?
1.电路定律的运算形式
0
0
?
?
?
?
uK V L
iK C L
? ? 0)( SU
0 (S ) ?? I
+ u -
i R
+ U(S) -
I(S) R
GsY
RsZ
?
?
)(
)(
二、运算电路
L:
dt
diLu ?
)0()(
))0()(()(
?
?
??
??
LiSS L I
iSSILSU
S
i
SL
SUSI )0()()( ???
i
+ u -
L
+ -
sL )0( ?Li
U(s)
I(s)
sL
+ -U(s)
I(s )
si /)0( ?
sLsY
sLsZ
1)(
)(
?
?
+ u -
iC,
S
uSI
SCSU
c
cc
)0()(1)( ???
dtiCuu t ccc ? ??? ?
0
1)0(
)0()()( ??? cCC CuSSC USI
IC(S)
1/sC
uc(0-)/S
Uc(s)
1/sC
Cuc(0-)
Ic(s) U
c(s)
sCsY
sCsZ
?
?
)(
1)(
M
L1 L2
i1 i2
+
u1
-
+
u2
-
?
?
?
?
?
??
??
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
?
?
?
????
????
??
??
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MiSS MIiLSISLSU
MiSS MIiLSISLSU
L1i1(0-) Mi2(0-) Mi1(0-)L2i2(0-)
+
U2(S)
-
+
U1(S)
-
I1(S) I2(S)
SL1 SL2
+ - + -
SM
M,
sMsY
sMsZ
M
M
1)(
)(
?
?
12
11
uu
Riu
??
?
)()(
)()(
12
11
SUSU
RSISU
??
?
+
u1
-
+
u2
-
R
i1
?u1
受控源：
(s)U +
1(s)
-
?R
I1(S)
+
U2
-U1(S)
+
u
-
i R L
C
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
???? ?t c dtiCdtdiLiRu 01
)(1)()()( SISCSS L IRSISU ???
)1)(( SCSLRSI ???+
U(S)
-
I(S) R SL
1/SC 运算阻抗
)()()( SISZSU ?
)()()( SUSYSI ? )(
1)(
SZSY ?
运算形式
欧姆定律
SCSLRSZ
1)( ???
3.运算电路模型
运算电路
R R
L
SL
1/SC
I1(S)
E/S
I2(S)
R
RL
L
C
i1
i2
E?(t)
时域电路
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
1,电压、电流用象函数形式
2,元件用运算阻抗或运算导纳
3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示
时域电路
例
5Ω
1F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-uc
+ -i
L
t=0时打开开关
uc(0-)=25V iL(0-)=5A
t >0 运算电路
20?
0.5s?
-
++
-
1/s?
25/s
2.5V
5?
IL(S)
UC(S)
§ 13-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路
步骤,1.由,换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2,画运算电路模型
3,应用电路分析方法求象函数。
4,反变换求原函数。例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL Vu c 1 00)0( ??已知：
t = 0时闭合 k,求 iL,uL.。
例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL
Ai L 5)0()1( ??解：
(2)画运算电路
SSL 1.0?
S
SSC
1000
101000
11
6
?
??
?
?
Vu c 100)0( ??
200/S V
30 0.1s 0.5 V
10
1000/S
100/S V
IL(S) I2(S)
??
?
)3( 回路法
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
5.0200)(10)1.040)(( 21 ???? SSISSI
SSISSI
100)()100010()(10-
21 ???
200/S V
30 0.1s 0.5 V
10
1000/S
100/S V
IL(S) I2(S)
)(1 sI
)(2 sI
)(lim)0( SSFi s ??? ? 52 0 04 0 0
)4 0 0 0 07 0 0(5lim
22
2
??? ???
?? SS
SS
s
)(lim)( 0 SSFi s ??? 52 0 04 0 0 )4 0 0 0 07 0 0(5lim 22
2
0
??? ???
? SS
SS
s
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
(4)反变换求原函数
200030)( 3212 ????? SSSSF,个根有
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
01 )( ?? SSSFK 52 0 04 0 0
)4 0 0 0 07 0 0(5
022
2
??? ??? ?SSS SS
1500)200)(( 2 0 0222 ??? ??SSSFK
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
0)()2 0 0( 2 0 0221 ??? ??SSFSdsdK
21 )2 0 0(
1 5 0 0
)2 0 0(
05)(
????? SSSSI
Atteti t )()15005()( 2001 ????
SLSISU L )()( 1?求 UL(S)
UL(S)
5.0)()( 1 ?? SLSISU L 2)200(
3 0 0 0 0
200
150
?
??
?? SS
Vteetu ttL 2 0 02 0 0 3 0 0 0 01 5 0)( ?? ??
200/S V
30 0.1s 0.5 V
10
1000/S
100/S V
IL(S) I2(S)
R C
+
uc
?
is
例 2：求冲激响应 0)0(),( ??? ?
cs uti
R
1/SC
+
Uc(S)
?
Is(s)
SCsISCR
RsU
sC
1)(
/1)( ?? )/1( RCSRC
R
??
1
1)()(
??? RS C
RS C
SCSUSI CC 1
1
1
1
???
?
RS CRS C
RS C
)0(1 / ?? ? teCu RCtc )0(1)( / ??? ? teRCti RCtc ?
1)( ?sI s
t
uc (V)
C
1
0
t
ic
RC
1?
)(t?
例,
+
- Us k
R1 L1 L2
R2
i1 i20.3H 0.1H
10V
2Ω
3Ω
t = 0时打开开关 k,
求电流 i1,i2。
0)0(
5)0(
2
1
?
?
?
?
i
Ai
10/S V
2
0.3S 1.5V
3
0.1S
I1(S)
S
SSI
4.05
5.110
)(1
?
?
? SS
S
)4.05(
5.110
?
??
5.12
75.12
??? SS
25.121 75.12 iei t ??? ?
)0()0( 11 ?? ? ii
)0()0( 22 ?? ? ii
t
i1
5
2
3.75
0
SS
S
)5.12(
75.325
?
??
5.1)(3.0)(1 ?? SISU L
3 7 5.05.1256.6)(1 ???? SSU L
UL1(S)
)(1.0)(2 SISU L ?
5.12
19.23 7 5.0)(
2 ??? SSU L
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
10/S V
2
0.3S 1.5V
3
0.1S
I1(S)
uL1
-6.56 t-0.375?(t)
0.375?(t)
uL2
t-2.19
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
t
i1
5
2
3.75
0
Aii 75.31.0 375.0)0()0( 22 ??? ?? iL
??
Ai 75.33.0 375.053.0)0(1 ?????
小结,1、运算法直接求得全响应
3、运算法分析动态电路的步骤
2、用 0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中
1).由,换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2),画运算电路图
3),应用电路分析方法求象函数。
4),反变换求原函数。
磁链守恒,)0()()0()0( 212211 ??? ??? iLLiLiL
75.34.0053.0 ????
