第十章 具有耦合电感电路
10,1 互感
10,2 含有耦合电感电路的计算
10,3 空心变压器
10,4 理想变压器
章节内容
§ 10-1 互感
一,互感和互感电压
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
当线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时, 有部分磁通穿过临近线圈 2。 当 i1为时变电流
时, 磁通也将随时间变化, 从而在线圈两端产生感应电压 。
u11称为自感电压,u21称为互感电压。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
t
ΦN
t
Ψu
t
ΦN
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 21
2
21
21
11
1
11
11 ????
当 i1,u11,u21方向与 ? 符合右手螺旋时, 根据电磁
感应定律和楞次定律：
?：磁链 (magnetic linkage),? =N?
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时,?11,?22与 i1成正比。
d
d
d
d
,
d
d
d
d
1
21
21
21
1
1
11
11
t
i
M
t
u
t
i
L
t
u
?
?
?
?
?
?
互感电压
自感电压：
。为自感系数，单位亨称,H)( 1
1
11
1 LiL
??
）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称,H21 21
1
21
21 MiM
??
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
+ –u12 + –u22
i2
?12 ?22
N1 N2
)(
d
d
d
d
d
d
:
)(
d
d
d
d
d
d
:
2
22
2
2
2
22
2
22
22
2
12
12
2
12
12
1
12
12
i
Ψ
L
t
i
L
t
Φ
N
t
Ψ
u
i
Ψ
M
t
i
M
t
Φ
N
t
Ψ
u
????
????
自感电压
互感电压
可以证明, M12= M21= M。
同理, 当线圈 2中通电流 i2时会产生磁通 ?22,?12 。 i2为
时变时, 线圈 2和线圈 1两端分别产生感应电压 u22,u12 。
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均
包含自感电压和互感电压：
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
????
????
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
???
???
????
????
ILIMU
IMILU
互感的性质
① 从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M
② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数, 相互位置
和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有
M ? N1N2 （ L ? N2）
耦合系数 (coupling coefficient)k：
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
全耦合, ? s1 =?s2=0
21
d e f
LL
Mk ?
即 ?11= ?21, ?22 =?12
1
,
,
,
21
2
212112
2
121
12
1
212
12
2
222
2
1
111
1
??
???
??
??
k
LLMLLMM
i
ΦN
M
i
ΦN
M
i
ΦN
L
i
ΦN
L?
可以证明,k?1。
二、互感线圈的 同名端
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电
压 。 表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关 。 对自感
电压, 当 u,i 取关联参考方向, u,i与 ? 符合右螺旋
定则, 其表达式为
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu ???
上式说明, 对于自感电压由于电压电流为同一线圈上
的, 只要参考方向确定了, 其数学描述便可容易地写出,
可不用考虑线圈绕向 。
对线性电感, 用 u,i 描述其特性, 当 u,i 取关联方向
时, 符号为正；当 u,i 为非关联方向时, 符号为负 。
i1
u11
对互感电压, 因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此, 要确定其符号, 就必须知道两个线圈的绕向 。 这在
电路分析中显得很不方便 。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?0
N1 N2
+ –u31
N3
?s
t
i
Mu
t
i
Mu
d
d
d
d
1
3131
1
2121
??
?
引入同名端可以解决这个问题。
同名端,当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入, 其所
产生的磁场相互加强时, 则这两个对应端子称为同名端 。
* *? ?
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时, 两
个电流产生的磁场相互增强 。
?i
1
1'
2
2'
*
* 1
1'
2
2' 3'
3*
* ?
?
?
?
例,
注意,线圈的同名端必须两两确定。
确定图示电路的同名端
同名端的实验测定,i1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。
0,0 '22 ??? dtdiMudtdi
当闭合开关 S时,i增加，
当两组线圈装在黑盒里, 只引出四个端线组, 要确
定其同名端, 就可以利用上面的结论来加以判断 。
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时, 将
会引起另一线圈相应同名端的电位升高 。
??
当断开 S时，如何判
定？
三、由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再
考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 (参
考前图，标出同名端得到下面结论 )。
t
iMu
d
d 1
21 ?
t
iMu
d
d 1
21 ??
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ??
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2Mi1
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ???
时域形式,
i2
2111 jj IMωILωU ??? ??
2212 jj ILωIMωU ??? ??
* *
j? L1 j? L2
+
_
j? M
1
?U
+
_
2
?U
1
?I
2
?I
在正弦交流电路中，其 相量形式 的方程为
注意：
有三个线圈, 相互两两之间都有磁耦合, 每对耦
合线圈的同名端必须用不同的符号来标记 。
(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；
(2) 互感电压的符号有两重含义。
同名端；
参考方向；
互感现象的利与弊：
利 —— 变压器：信号、功率传递
弊 —— 干扰,合理布置线圈相互位置减少互感作用。
互感线圈的串联和并联
一、互感线圈的串联
1,顺串
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
MLLLRRR 2 2121 ??????
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
2,反串
MLLLRRR 2 2121 ??????
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
)(21 21 LLM ???
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 ???? MLLL
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM ??
* 全耦合
21 LLM ?
2
21
212121
)(
22
LL
LLLLMLLL
??
???????
当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
在正弦激励下：
? I
?
1IR
?
1j ILω
? j IMω
?
2IR
?
2j ILω
? j IMω
1 ?U
2 ?U
? U
? I
?
1 IR
?
1j ILω ? j IMω
?
2 IR
?
2j ILω
? j IMω
1
?U
2
?U
? U
相量图,
(a) 正串 (b) 反串
* *
1
?U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
?U
j? M
? U
? I
??
??? ????? )(j)(
2121 IMLLωIRRU
+–
1,同名端在同侧
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i的关系：
二、互感线圈的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
如全耦合,L1L2=M2
当 L1?L2, Leq=0 (物理意义不明确 )
当 L1=L2, Leq=L (相当于导线加粗，电感不变 )
故
21 LLM ?
互感小于两元件自感的几何平均值。
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
2,同名端在异侧
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i的关系：
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
三、互感消去法
1,去耦等效 (两电感有公共端 )
* *
j? L1
? I
1 ?I 2 ?I1
2
3
j? L2
j? M
* *j? (L
1–M)
? I
1 ?I 2 ?I
1 2
3
j? (L2–M)
j? M
21113
jj ??? ?? IMωILωU
12223
jj ??? ?? IωMILωU
21
??? ?? III
整理得 ??? ??? j)(j 1113 IMωIMLωU
??? ??? j)(j
2223 IMωIMLωU
(a) 同名端接在一起
21
??? ?? III
*
*
j? L1
? I
1 ?I 2 ?I1
2
3
j? L2
j? M
j? (L1+M)
? I
1 ?I 2 ?I
1 2
3
j? (L2+M)
j? (-M)
21113
jj ??? ?? IωMILωU
12223
jj ??? ?? IωMILωU
21
??? ?? III
整理得 ??? ??? j)(j 1113 IMωIMLωU
??? ??? j)(j
2223 IMωIMLωU
(b) 非 同名端接在一起
21
??? ?? III
2 ?I
–
+
1 ' ?? UΔM '1ΔL 2 ?U
1 ?I
–
+
2 ' ?? UMΔ'2Δ
L1 ?U
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
+
– –
+
2 j ?IωM 1
j ?IωM
+
–
2 ?U
+
–
1 ?U
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–
2 ?U
+
–
1 ?U
2,受控源等效电路
2111
jj ??? ?? IωMILωU
1222
jj ??? ?? IωMILωU
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
''
''
jj
jj1
U
U
Δ
L
Δ
M
Δ
ML
I
I
LM
ML
I
I
)(j' ),()j( 2212212 MLLωΔMLL ??????其中
两种等效电路的特点,
(1) 去耦等效电路简单, 等值电路与参考方向无关, 但
必须有公共端；
(2) 受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。
有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍
的相量分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电
压除自感电压外，还应包含互感电压。
例 1,列写下图电路的方程。
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
? ?L1 L2
L3
R1 R2
R3
1I? 2I?
3I?
§ 10-2 含有耦合互感电路的计算
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
? ?L1 L2
L3
R1 R2
R3
1I? 2I?
3I?
支路电流法：
1 2
1333321111 SUIRILjIMjILjIR ?????? ????????
2333312222 SUIRILjIMjILjIR ?????? ????????
213 III ??? ??
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
? ?L1 L2
L3
R1 R2
R3
1I? 2I?
3I?
aI? bI?
回路电流法：
1333311 )()( Sba UILjRILjRLjR ??? ????????? bIMj ???
2333322 )()( Sab UILjRILjRLjR ??? ????????? aIMj ???
(1) 不考虑互感 (2) 考虑互感
注意, 互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。
含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。
例 2.
1I? 2I?
3I?
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
S13322313133
3312121111
)jj j(
)jj j(
?????
????
???????
???????
UIRIMIMIL
IMIMILIR
S23322313133
3231122222
)jj j(
)jj j(
?????
????
???????
???????
UIRIMIMIL
IMIMILIR
支路法：
321
??? ?? III
1 2
S133133
2231213111
)j j(
)jj()j j(
??
??
????
??????
UIω MLR
Iω Mω MIω MLR
S232333
2232211312
)j j(
)j j()jj(
??
??
????
??????
UIω MLR
Iω Mω LRIω MM
整理，得
321
??? ?? III
1I? 2I?
3I?
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
1 2
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
bI?aI?
回路法：
12331313112
333311 )()(
Sbabab
ba
UIMjIMjIMjIMjIMj
ILjRIRLjLjR
??????
??
???????????
????????
22331232312
333322 )()(
Sbabaa
ab
UIMjIMjIMjIMjIMj
ILjRIRLjLjR
??????
??
???????????
????????
S1b23311233
a333111
)jjj j(
) jj2 j(
??
?
??????
??????
UIω Mω Mω MLR
IRω Lω MLR
2Sb332322
a23311233
) jj2 j(
)jjj j(
??
?
??????
??????
UIRω Lω MLR
Iω Mω Mω MLR
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
bI?aI?
整理得,
此题可先作出去耦等效电路，再列方程 (一对一对消 ):
M12
*
*
?
?
? ?
M23M13
L1 L2
L3
*
*
?
?
M23M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
。则三个电感均为，；若 MLMMMMLLLL ??????? 312312321
M
+
_
+
_
SU? ocU?
? ?L1 L2R1
R2
。计算开路电压 OCU?
例 3,已知,,6,6,5,10
2121 VURRMLL S ????????????
求其戴维南等效电路。
+
_ ocU?
Z1
– +
1U?
+
–2U?
IRIMjUUU OC ????? 221 ?????
AjRLjR UI S ??
????
8.3938 4.08.3962.15 061012 06
211
?????????????
Vj ?? 038.393 8 4.0)56( ??????
I?
M
? ?L1 L2R1
R2
0I?
+
_0U?
求内阻,Zi
（ 1）加压求流,列回路电流方程
aI? b
I?
0)( 2121 ??????? bba IMjIRILjRR ???
0222 )( UIMjIRILjR aab ???? ??????
????????? ??
????
2.6808.85.73,5.73
0
00
0 jI
UZ
j
UII
ib
M
? ?L1 L2R1
R2
（ 2）去耦等效：
R1
R2
ML ?1 ML ?2
M
?????
???
?
??
???
??
??
??????
?????
?
???
?
2.6808.85.73
5.235
2
56
5
)56()56(
)56)(56(
5
)(
)) ] (([
)(
211
211
2
j
jj
j
j
jj
jj
j
MjRMLjR
MjRMLjR
MLjZ
i
* *
j? L1
1 ?I
2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j-)j( ??? ??? UIMILωR
0)j(j 2221 ????? ?? IZLωRIMω
例 5,空心变压器：
22
2
11
1
S
in
22
2
11
S
1
)(
)(
Z
Mω
Z
I
U
Z
Z
Mω
Z
U
I ???
?
?
?
??
?
Z11=R1+j?L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
lll XRXR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
MZ jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
??????????
Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。
引入电阻???? 2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l
引入电抗????? 2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l
负号反映了付边的感性阻抗
反映到原边为一个容性阻抗
11in2,,0 ZZI ?? 即副边开路当 ?
* *
j? L1
1 ?I
2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗
来考虑 。 从物理意义讲, 虽然原副边没有电的联系, 但
由于互感作用使闭合的副边产生电流, 反过来这个电流
又影响原边电流电压 。
从能量角度来说,
不论变压器的绕法如何，
恒为正,这表示电路电阻吸收功率，
它是靠原边供给的。222222 22
22
XR
RMωR
l ??
电源发出有功 = 电阻吸收有功 = I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边；
I12Rl 消耗在付边，由互感传输。
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?同样可解得：
2 ?I+
–
oc
?U Z22
11
2)(
Z
Mω
11
S
oc
j
Z
UMωU
?
?
?
11
2)(
Z
Mω —原边对副边的引入阻抗。
副边吸收的功率：
222
22
2
22
2
1
22
22
2
2 RXR
IMωRI
??
22
1
2
j
Z
IMωI ?? ?
2
22
2
22
1
2 XR
MIωI
??∴
空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。
副边等效电路
—副边开路时，原边电
流在副边产生的互感电压。
例 a,已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求, ZX 并求负载获得的有功功率,
101010j4
22
22 j
ZZ MωZ Xl ?????
Ω 8.9j2.0102.02.0
10
2 00
)1010(4
10
1010
4
?????
?
??
??
?
??
jj
j
j
j
j
Z X
此时负载获得的功率,W10
1010 20 2 ???? lR RPP ）（引
W104,*
2
S
11 ??? R
UPZZ
l
实际是最佳匹配：
解：
* *
j10?
2 ?I
j10?
j2
+
–S
?U
10?
ZX
+
–
S
?U
10+j10?
Zl=10–j10?
例 b,L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,
RL=42?,??314rad/s,
V 01 1 5 o??sU?
.,,21 II ??求
法一,回路法（略）。 法二,空心变压器原边等效电路。
Ω4.1130j20j 1111 ???? ω LRZ
Ω 85.18+08.42=j++= 2222 jω LRRZ L
??
???
?
??
8188422
)1.24(3.462
1.2411.46
146 o2
22
2
.-j
Z
XZ M
l ?
A)9.64(1 1 1.0
9.642.1 0 4 0
01 1 5
6.9 4 14 4 2
01 1 5
8.1 8 84 2 24.1 1 3 020
01 1 5
o
11
S
1
???
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?
j
jjZZ
U
I
l
* *
j? L1
1 ?I
2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
RL
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
2 ?I+
–
oc
?U Z22
11
2)(
Z
Mω
又解：副边等效电路
V
j
j
j
LjR
U
MjIMjU
S
OC
?
?
??
?
??
085.14
906.1 1 3 0
01 1 5
1 4 6
4.1 1 3 020
01 1 5
1 4 6
11
1
??
?
?
??
?
?
??
??
?????
???????? 85.18906.11 3021 31 64.11 3020 14 6)(
2
11
2
jjZ M ?
Ajj UI OC ?
???
0353.008.42 085.1485.1808.425.182 ????????
AjjZ IMjI ??
????
135 1.01.2411.46 1.252.1685.1808.42 9.6411 1.014 6
22
1
2 ???
??
?
??????
2111
j j ??? ?? IωMILωU
1222
j j ??? ?? IωMILωU* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
Mω
ILωUI
j
j 222
1
??? ??
21222211 j)j( UM
LIMωILωU
M
LU ????? ????
1,,21 ?? kLLM全耦合时
)(
2
22
2
1
2
2
2
2
1
NL
UnU
N
N
U
L
M
U
L
L
?
???? ????
1.全耦合变压器 (transformer)
221121 ???????
1
1'
2
2'11?
22?
N1 N2
§ 10--3,4 空心变压器和理想变压器
当 L1,M,L2??,L1/L2 比值不变 (磁导率 m??),则有
2,理想变压器 (ideal transformer)：
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
21 UnU ?? ?
2
1
1
2
2
1
222
1
11 I
nLj
UI
Mj
LjU
MnjMj
ILjUI ??????? ?
???
??
???
???
全耦合变压器的电压、电流关系：
理想变压器的元件特性
理想变压器的电路模型
2
1
2
1
2
1
L
L
L
M
M
L
N
Nn ????
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1 ????? ?
?
?
?
?
?
(a) 阻抗变换性质
理想变压器的性质：
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
Z
1
?I
+
–
1
?U n
2Z
(b) 功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系, 因此无记忆作用 。
21 nuu ?
21
1 ini ??
* *+
–
n, 1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 ??????? niuniuiuiup
由此可以看出, 理想变压器既不储能, 也不耗能,
在电路中只起传递信号和能量的作用 。
21 UnU ?? ?
2
1
1
2
2
1
222
1
11 I
nLj
UI
Mj
LjU
MnjMj
ILjUI ??????? ?
???
??
???
???
全耦合变压器的电路模型,
1Lj?
2
1 I
n ??
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
2Lj?
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
例 1,已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使
RL上获得最大功率, 求理想变压器的变比 n。
* *
n, 1
RL
+
–
uS
RS
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
? n2=100,n=10,
例 2.
1
?I
2
?I
* * +
–2
?U
+
–
1
?U
1, 10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2 ?U求
方法 1：列方程
101 21 UU ?? ?
21 10 II ?? ??
o11 0101 ???? ?UI?
050 22 ?? ?UI? 解得
V033.33 o2 ???U
方法 2：阻抗变换
V01 0 0
1010
o
S1oc
??
?? UUU ???
0,0 12 ??? II ???
1
?I
Ω2150)101( 2 ??
+
–
1
?U
+
–
V010 o?
1?
V 0310212/11 010 o
o
1 ????
??U ?
V033.33
10
o
112
??
?? UUnU ???
方法 3：戴维南等效
1
?I
2
?I
* * +
–
oc
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
V010 o?
1?,ocU?求
求 R0：
* *
1, 101?
R0
R0=102?1=100?
戴维南等效电路：
+
–
2
?U
+
–
V010 0 o?
100?
50? V033.335050100 0100 oo2 ??????U ?
例 3,理想变压器副边有两个线圈, 变比分别为 5:1和 6:1。
求：原边等效电阻 R。
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6, 1
5?
1
?I
2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
R 100? 180?
Ω3.641 8 0//1 0 0 ??? R
* * +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6,
1 5?
1
?I
2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
*
??562
??452
变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的, 也不可能全耦合, k ?1。
且 L1,M,L2??,。 除了用具有互感的电路来分析计算
以外, 还常用含有理想变压器的电路模型来表示 。
一、理想变压器 (全耦合，无损,m=?线性变压器 )
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
21 nuu ?
21
1 ini ??* *
+
–
+
–
n, 1i1 i2
u1 u2
二、全耦合变压器 (k=1，无损, m??,线性 )
与理想变压器不同之处是要考
虑自感 L1, L2和互感 M。
2
1
2
1
21
2
1
//
N
N
L
L
LMMLn
U
U
??
????
?* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
21 UnU ?? ?
2111 1 j 1 InUω LI ??? ??
全耦合变压器的等值电路图
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
L1：激磁电感
(magnetizing inductance )
0I?
（空载激磁电流）
三,无损非全耦合变压器 (忽略损耗,k?1,m??,线性 )
?21
i1 i2
+ +
– –
u1 u2
?12
?1s ?2s
N1 N2
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 1221S111
11
??????????
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 2112S222
22
??????????
) 2 (
) 1 (
2S12222
121111
的漏磁通线圈
的漏磁通线圈
???????
???????
S
SS
211222
122111
???????
???????
S
S
)(
)(
211222222
122111111
?????????
?????????
S
S
NN
NN
全耦合
磁通
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
在线性情况下，有
全耦合部分
)(
)(
211222222
122111111
?????????
?????????
S
S
NN
NN
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 1221S111
11
??????????
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 2112S222
22
??????????
21
202S2101S1
1
212
1
21
2
121
2
12
2
122
2
12
20
2
2S2
2
2S
2S
1
211
1
21
10
1
1S1
1
1S
1S
/
,
,
,
NNn
LLLLLL
i
ΦN
i
ψ
i
ΦN
i
ψ
M
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
?
????
????
????
????
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
全耦合部分
由此得无损非全耦合变压器的电路模型：
* *
L10
+
–
+
–
n, 1
全耦合变压器
L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
+
–
u1'
+
–
u2'
L1S,L2S：漏电感
(leakage inductance)
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
全耦合部分
四, 考虑导线电阻 (铜损 )和铁心损耗的非全耦合变压器
(k?1,m??,线性 )
上面考虑的实际变压器认为是线性的情况下讨论的 。 实际
上铁心变压器由于铁磁材料 B–H特性的非线性,初级和次级都
是非线性元件, 本来不能利用线性电路的方法来分析计算,
但漏磁通是通过空气闭合的, 所以漏感 LS1,LS2 基本上是线性
的, 但磁化电感 LM(L10)仍是非线性的, 但是其值很大, 并联
在电路上起的影响很小, 只取很小的电流, 电机学中常用这
种等值电路 。
* *
L10
+
–
+
–
n, 1L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
Rm
R1 R2
小结：
变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。
空心变压器,电路参数 L1,L2,M,
储能 。
理想变压器,电路参数 n,不耗能,
不储能, 变压, 变流, 变阻抗,
等值电路为：
Z11
Z引入
n2Z2
注意,理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。
铁心变压器,电路参数 L1,L2,n,M,R1,R2,
10,1 互感
10,2 含有耦合电感电路的计算
10,3 空心变压器
10,4 理想变压器
章节内容
§ 10-1 互感
一,互感和互感电压
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
当线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时, 有部分磁通穿过临近线圈 2。 当 i1为时变电流
时, 磁通也将随时间变化, 从而在线圈两端产生感应电压 。
u11称为自感电压,u21称为互感电压。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
t
ΦN
t
Ψu
t
ΦN
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 21
2
21
21
11
1
11
11 ????
当 i1,u11,u21方向与 ? 符合右手螺旋时, 根据电磁
感应定律和楞次定律：
?：磁链 (magnetic linkage),? =N?
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时,?11,?22与 i1成正比。
d
d
d
d
,
d
d
d
d
1
21
21
21
1
1
11
11
t
i
M
t
u
t
i
L
t
u
?
?
?
?
?
?
互感电压
自感电压：
。为自感系数，单位亨称,H)( 1
1
11
1 LiL
??
）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称,H21 21
1
21
21 MiM
??
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
+ –u12 + –u22
i2
?12 ?22
N1 N2
)(
d
d
d
d
d
d
:
)(
d
d
d
d
d
d
:
2
22
2
2
2
22
2
22
22
2
12
12
2
12
12
1
12
12
i
Ψ
L
t
i
L
t
Φ
N
t
Ψ
u
i
Ψ
M
t
i
M
t
Φ
N
t
Ψ
u
????
????
自感电压
互感电压
可以证明, M12= M21= M。
同理, 当线圈 2中通电流 i2时会产生磁通 ?22,?12 。 i2为
时变时, 线圈 2和线圈 1两端分别产生感应电压 u22,u12 。
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均
包含自感电压和互感电压：
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
????
????
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
???
???
????
????
ILIMU
IMILU
互感的性质
① 从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M
② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数, 相互位置
和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有
M ? N1N2 （ L ? N2）
耦合系数 (coupling coefficient)k：
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
全耦合, ? s1 =?s2=0
21
d e f
LL
Mk ?
即 ?11= ?21, ?22 =?12
1
,
,
,
21
2
212112
2
121
12
1
212
12
2
222
2
1
111
1
??
???
??
??
k
LLMLLMM
i
ΦN
M
i
ΦN
M
i
ΦN
L
i
ΦN
L?
可以证明,k?1。
二、互感线圈的 同名端
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电
压 。 表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关 。 对自感
电压, 当 u,i 取关联参考方向, u,i与 ? 符合右螺旋
定则, 其表达式为
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu ???
上式说明, 对于自感电压由于电压电流为同一线圈上
的, 只要参考方向确定了, 其数学描述便可容易地写出,
可不用考虑线圈绕向 。
对线性电感, 用 u,i 描述其特性, 当 u,i 取关联方向
时, 符号为正；当 u,i 为非关联方向时, 符号为负 。
i1
u11
对互感电压, 因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此, 要确定其符号, 就必须知道两个线圈的绕向 。 这在
电路分析中显得很不方便 。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?0
N1 N2
+ –u31
N3
?s
t
i
Mu
t
i
Mu
d
d
d
d
1
3131
1
2121
??
?
引入同名端可以解决这个问题。
同名端,当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入, 其所
产生的磁场相互加强时, 则这两个对应端子称为同名端 。
* *? ?
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时, 两
个电流产生的磁场相互增强 。
?i
1
1'
2
2'
*
* 1
1'
2
2' 3'
3*
* ?
?
?
?
例,
注意,线圈的同名端必须两两确定。
确定图示电路的同名端
同名端的实验测定,i1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。
0,0 '22 ??? dtdiMudtdi
当闭合开关 S时,i增加，
当两组线圈装在黑盒里, 只引出四个端线组, 要确
定其同名端, 就可以利用上面的结论来加以判断 。
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时, 将
会引起另一线圈相应同名端的电位升高 。
??
当断开 S时，如何判
定？
三、由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再
考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 (参
考前图，标出同名端得到下面结论 )。
t
iMu
d
d 1
21 ?
t
iMu
d
d 1
21 ??
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ??
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2Mi1
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ???
时域形式,
i2
2111 jj IMωILωU ??? ??
2212 jj ILωIMωU ??? ??
* *
j? L1 j? L2
+
_
j? M
1
?U
+
_
2
?U
1
?I
2
?I
在正弦交流电路中，其 相量形式 的方程为
注意：
有三个线圈, 相互两两之间都有磁耦合, 每对耦
合线圈的同名端必须用不同的符号来标记 。
(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；
(2) 互感电压的符号有两重含义。
同名端；
参考方向；
互感现象的利与弊：
利 —— 变压器：信号、功率传递
弊 —— 干扰,合理布置线圈相互位置减少互感作用。
互感线圈的串联和并联
一、互感线圈的串联
1,顺串
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
MLLLRRR 2 2121 ??????
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
2,反串
MLLLRRR 2 2121 ??????
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
)(21 21 LLM ???
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 ???? MLLL
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM ??
* 全耦合
21 LLM ?
2
21
212121
)(
22
LL
LLLLMLLL
??
???????
当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
在正弦激励下：
? I
?
1IR
?
1j ILω
? j IMω
?
2IR
?
2j ILω
? j IMω
1 ?U
2 ?U
? U
? I
?
1 IR
?
1j ILω ? j IMω
?
2 IR
?
2j ILω
? j IMω
1
?U
2
?U
? U
相量图,
(a) 正串 (b) 反串
* *
1
?U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
?U
j? M
? U
? I
??
??? ????? )(j)(
2121 IMLLωIRRU
+–
1,同名端在同侧
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i的关系：
二、互感线圈的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
如全耦合,L1L2=M2
当 L1?L2, Leq=0 (物理意义不明确 )
当 L1=L2, Leq=L (相当于导线加粗，电感不变 )
故
21 LLM ?
互感小于两元件自感的几何平均值。
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
2,同名端在异侧
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i的关系：
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
三、互感消去法
1,去耦等效 (两电感有公共端 )
* *
j? L1
? I
1 ?I 2 ?I1
2
3
j? L2
j? M
* *j? (L
1–M)
? I
1 ?I 2 ?I
1 2
3
j? (L2–M)
j? M
21113
jj ??? ?? IMωILωU
12223
jj ??? ?? IωMILωU
21
??? ?? III
整理得 ??? ??? j)(j 1113 IMωIMLωU
??? ??? j)(j
2223 IMωIMLωU
(a) 同名端接在一起
21
??? ?? III
*
*
j? L1
? I
1 ?I 2 ?I1
2
3
j? L2
j? M
j? (L1+M)
? I
1 ?I 2 ?I
1 2
3
j? (L2+M)
j? (-M)
21113
jj ??? ?? IωMILωU
12223
jj ??? ?? IωMILωU
21
??? ?? III
整理得 ??? ??? j)(j 1113 IMωIMLωU
??? ??? j)(j
2223 IMωIMLωU
(b) 非 同名端接在一起
21
??? ?? III
2 ?I
–
+
1 ' ?? UΔM '1ΔL 2 ?U
1 ?I
–
+
2 ' ?? UMΔ'2Δ
L1 ?U
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
+
– –
+
2 j ?IωM 1
j ?IωM
+
–
2 ?U
+
–
1 ?U
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–
2 ?U
+
–
1 ?U
2,受控源等效电路
2111
jj ??? ?? IωMILωU
1222
jj ??? ?? IωMILωU
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
''
''
jj
jj1
U
U
Δ
L
Δ
M
Δ
ML
I
I
LM
ML
I
I
)(j' ),()j( 2212212 MLLωΔMLL ??????其中
两种等效电路的特点,
(1) 去耦等效电路简单, 等值电路与参考方向无关, 但
必须有公共端；
(2) 受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。
有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍
的相量分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电
压除自感电压外，还应包含互感电压。
例 1,列写下图电路的方程。
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
? ?L1 L2
L3
R1 R2
R3
1I? 2I?
3I?
§ 10-2 含有耦合互感电路的计算
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
? ?L1 L2
L3
R1 R2
R3
1I? 2I?
3I?
支路电流法：
1 2
1333321111 SUIRILjIMjILjIR ?????? ????????
2333312222 SUIRILjIMjILjIR ?????? ????????
213 III ??? ??
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
? ?L1 L2
L3
R1 R2
R3
1I? 2I?
3I?
aI? bI?
回路电流法：
1333311 )()( Sba UILjRILjRLjR ??? ????????? bIMj ???
2333322 )()( Sab UILjRILjRLjR ??? ????????? aIMj ???
(1) 不考虑互感 (2) 考虑互感
注意, 互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。
含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。
例 2.
1I? 2I?
3I?
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
S13322313133
3312121111
)jj j(
)jj j(
?????
????
???????
???????
UIRIMIMIL
IMIMILIR
S23322313133
3231122222
)jj j(
)jj j(
?????
????
???????
???????
UIRIMIMIL
IMIMILIR
支路法：
321
??? ?? III
1 2
S133133
2231213111
)j j(
)jj()j j(
??
??
????
??????
UIω MLR
Iω Mω MIω MLR
S232333
2232211312
)j j(
)j j()jj(
??
??
????
??????
UIω MLR
Iω Mω LRIω MM
整理，得
321
??? ?? III
1I? 2I?
3I?
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
1 2
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
bI?aI?
回路法：
12331313112
333311 )()(
Sbabab
ba
UIMjIMjIMjIMjIMj
ILjRIRLjLjR
??????
??
???????????
????????
22331232312
333322 )()(
Sbabaa
ab
UIMjIMjIMjIMjIMj
ILjRIRLjLjR
??????
??
???????????
????????
S1b23311233
a333111
)jjj j(
) jj2 j(
??
?
??????
??????
UIω Mω Mω MLR
IRω Lω MLR
2Sb332322
a23311233
) jj2 j(
)jjj j(
??
?
??????
??????
UIRω Lω MLR
Iω Mω Mω MLR
M12
+
_
+
_1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1 R2
R3
bI?aI?
整理得,
此题可先作出去耦等效电路，再列方程 (一对一对消 ):
M12
*
*
?
?
? ?
M23M13
L1 L2
L3
*
*
?
?
M23M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
。则三个电感均为，；若 MLMMMMLLLL ??????? 312312321
M
+
_
+
_
SU? ocU?
? ?L1 L2R1
R2
。计算开路电压 OCU?
例 3,已知,,6,6,5,10
2121 VURRMLL S ????????????
求其戴维南等效电路。
+
_ ocU?
Z1
– +
1U?
+
–2U?
IRIMjUUU OC ????? 221 ?????
AjRLjR UI S ??
????
8.3938 4.08.3962.15 061012 06
211
?????????????
Vj ?? 038.393 8 4.0)56( ??????
I?
M
? ?L1 L2R1
R2
0I?
+
_0U?
求内阻,Zi
（ 1）加压求流,列回路电流方程
aI? b
I?
0)( 2121 ??????? bba IMjIRILjRR ???
0222 )( UIMjIRILjR aab ???? ??????
????????? ??
????
2.6808.85.73,5.73
0
00
0 jI
UZ
j
UII
ib
M
? ?L1 L2R1
R2
（ 2）去耦等效：
R1
R2
ML ?1 ML ?2
M
?????
???
?
??
???
??
??
??????
?????
?
???
?
2.6808.85.73
5.235
2
56
5
)56()56(
)56)(56(
5
)(
)) ] (([
)(
211
211
2
j
jj
j
j
jj
jj
j
MjRMLjR
MjRMLjR
MLjZ
i
* *
j? L1
1 ?I
2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j-)j( ??? ??? UIMILωR
0)j(j 2221 ????? ?? IZLωRIMω
例 5,空心变压器：
22
2
11
1
S
in
22
2
11
S
1
)(
)(
Z
Mω
Z
I
U
Z
Z
Mω
Z
U
I ???
?
?
?
??
?
Z11=R1+j?L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
lll XRXR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
MZ jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
??????????
Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。
引入电阻???? 2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l
引入电抗????? 2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l
负号反映了付边的感性阻抗
反映到原边为一个容性阻抗
11in2,,0 ZZI ?? 即副边开路当 ?
* *
j? L1
1 ?I
2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗
来考虑 。 从物理意义讲, 虽然原副边没有电的联系, 但
由于互感作用使闭合的副边产生电流, 反过来这个电流
又影响原边电流电压 。
从能量角度来说,
不论变压器的绕法如何，
恒为正,这表示电路电阻吸收功率，
它是靠原边供给的。222222 22
22
XR
RMωR
l ??
电源发出有功 = 电阻吸收有功 = I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边；
I12Rl 消耗在付边，由互感传输。
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?同样可解得：
2 ?I+
–
oc
?U Z22
11
2)(
Z
Mω
11
S
oc
j
Z
UMωU
?
?
?
11
2)(
Z
Mω —原边对副边的引入阻抗。
副边吸收的功率：
222
22
2
22
2
1
22
22
2
2 RXR
IMωRI
??
22
1
2
j
Z
IMωI ?? ?
2
22
2
22
1
2 XR
MIωI
??∴
空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。
副边等效电路
—副边开路时，原边电
流在副边产生的互感电压。
例 a,已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求, ZX 并求负载获得的有功功率,
101010j4
22
22 j
ZZ MωZ Xl ?????
Ω 8.9j2.0102.02.0
10
2 00
)1010(4
10
1010
4
?????
?
??
??
?
??
jj
j
j
j
j
Z X
此时负载获得的功率,W10
1010 20 2 ???? lR RPP ）（引
W104,*
2
S
11 ??? R
UPZZ
l
实际是最佳匹配：
解：
* *
j10?
2 ?I
j10?
j2
+
–S
?U
10?
ZX
+
–
S
?U
10+j10?
Zl=10–j10?
例 b,L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,
RL=42?,??314rad/s,
V 01 1 5 o??sU?
.,,21 II ??求
法一,回路法（略）。 法二,空心变压器原边等效电路。
Ω4.1130j20j 1111 ???? ω LRZ
Ω 85.18+08.42=j++= 2222 jω LRRZ L
??
???
?
??
8188422
)1.24(3.462
1.2411.46
146 o2
22
2
.-j
Z
XZ M
l ?
A)9.64(1 1 1.0
9.642.1 0 4 0
01 1 5
6.9 4 14 4 2
01 1 5
8.1 8 84 2 24.1 1 3 020
01 1 5
o
11
S
1
???
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?
j
jjZZ
U
I
l
* *
j? L1
1 ?I
2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
RL
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
2 ?I+
–
oc
?U Z22
11
2)(
Z
Mω
又解：副边等效电路
V
j
j
j
LjR
U
MjIMjU
S
OC
?
?
??
?
??
085.14
906.1 1 3 0
01 1 5
1 4 6
4.1 1 3 020
01 1 5
1 4 6
11
1
??
?
?
??
?
?
??
??
?????
???????? 85.18906.11 3021 31 64.11 3020 14 6)(
2
11
2
jjZ M ?
Ajj UI OC ?
???
0353.008.42 085.1485.1808.425.182 ????????
AjjZ IMjI ??
????
135 1.01.2411.46 1.252.1685.1808.42 9.6411 1.014 6
22
1
2 ???
??
?
??????
2111
j j ??? ?? IωMILωU
1222
j j ??? ?? IωMILωU* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
Mω
ILωUI
j
j 222
1
??? ??
21222211 j)j( UM
LIMωILωU
M
LU ????? ????
1,,21 ?? kLLM全耦合时
)(
2
22
2
1
2
2
2
2
1
NL
UnU
N
N
U
L
M
U
L
L
?
???? ????
1.全耦合变压器 (transformer)
221121 ???????
1
1'
2
2'11?
22?
N1 N2
§ 10--3,4 空心变压器和理想变压器
当 L1,M,L2??,L1/L2 比值不变 (磁导率 m??),则有
2,理想变压器 (ideal transformer)：
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
21 UnU ?? ?
2
1
1
2
2
1
222
1
11 I
nLj
UI
Mj
LjU
MnjMj
ILjUI ??????? ?
???
??
???
???
全耦合变压器的电压、电流关系：
理想变压器的元件特性
理想变压器的电路模型
2
1
2
1
2
1
L
L
L
M
M
L
N
Nn ????
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1 ????? ?
?
?
?
?
?
(a) 阻抗变换性质
理想变压器的性质：
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
Z
1
?I
+
–
1
?U n
2Z
(b) 功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系, 因此无记忆作用 。
21 nuu ?
21
1 ini ??
* *+
–
n, 1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 ??????? niuniuiuiup
由此可以看出, 理想变压器既不储能, 也不耗能,
在电路中只起传递信号和能量的作用 。
21 UnU ?? ?
2
1
1
2
2
1
222
1
11 I
nLj
UI
Mj
LjU
MnjMj
ILjUI ??????? ?
???
??
???
???
全耦合变压器的电路模型,
1Lj?
2
1 I
n ??
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
2Lj?
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
例 1,已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使
RL上获得最大功率, 求理想变压器的变比 n。
* *
n, 1
RL
+
–
uS
RS
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
? n2=100,n=10,
例 2.
1
?I
2
?I
* * +
–2
?U
+
–
1
?U
1, 10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2 ?U求
方法 1：列方程
101 21 UU ?? ?
21 10 II ?? ??
o11 0101 ???? ?UI?
050 22 ?? ?UI? 解得
V033.33 o2 ???U
方法 2：阻抗变换
V01 0 0
1010
o
S1oc
??
?? UUU ???
0,0 12 ??? II ???
1
?I
Ω2150)101( 2 ??
+
–
1
?U
+
–
V010 o?
1?
V 0310212/11 010 o
o
1 ????
??U ?
V033.33
10
o
112
??
?? UUnU ???
方法 3：戴维南等效
1
?I
2
?I
* * +
–
oc
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
V010 o?
1?,ocU?求
求 R0：
* *
1, 101?
R0
R0=102?1=100?
戴维南等效电路：
+
–
2
?U
+
–
V010 0 o?
100?
50? V033.335050100 0100 oo2 ??????U ?
例 3,理想变压器副边有两个线圈, 变比分别为 5:1和 6:1。
求：原边等效电阻 R。
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6, 1
5?
1
?I
2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
R 100? 180?
Ω3.641 8 0//1 0 0 ??? R
* * +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6,
1 5?
1
?I
2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
*
??562
??452
变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的, 也不可能全耦合, k ?1。
且 L1,M,L2??,。 除了用具有互感的电路来分析计算
以外, 还常用含有理想变压器的电路模型来表示 。
一、理想变压器 (全耦合，无损,m=?线性变压器 )
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
21 nuu ?
21
1 ini ??* *
+
–
+
–
n, 1i1 i2
u1 u2
二、全耦合变压器 (k=1，无损, m??,线性 )
与理想变压器不同之处是要考
虑自感 L1, L2和互感 M。
2
1
2
1
21
2
1
//
N
N
L
L
LMMLn
U
U
??
????
?* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
21 UnU ?? ?
2111 1 j 1 InUω LI ??? ??
全耦合变压器的等值电路图
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
L1：激磁电感
(magnetizing inductance )
0I?
（空载激磁电流）
三,无损非全耦合变压器 (忽略损耗,k?1,m??,线性 )
?21
i1 i2
+ +
– –
u1 u2
?12
?1s ?2s
N1 N2
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 1221S111
11
??????????
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 2112S222
22
??????????
) 2 (
) 1 (
2S12222
121111
的漏磁通线圈
的漏磁通线圈
???????
???????
S
SS
211222
122111
???????
???????
S
S
)(
)(
211222222
122111111
?????????
?????????
S
S
NN
NN
全耦合
磁通
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
在线性情况下，有
全耦合部分
)(
)(
211222222
122111111
?????????
?????????
S
S
NN
NN
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 1221S111
11
??????????
tttttNu d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 2112S222
22
??????????
21
202S2101S1
1
212
1
21
2
121
2
12
2
122
2
12
20
2
2S2
2
2S
2S
1
211
1
21
10
1
1S1
1
1S
1S
/
,
,
,
NNn
LLLLLL
i
ΦN
i
ψ
i
ΦN
i
ψ
M
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
?
????
????
????
????
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
全耦合部分
由此得无损非全耦合变压器的电路模型：
* *
L10
+
–
+
–
n, 1
全耦合变压器
L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
+
–
u1'
+
–
u2'
L1S,L2S：漏电感
(leakage inductance)
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
全耦合部分
四, 考虑导线电阻 (铜损 )和铁心损耗的非全耦合变压器
(k?1,m??,线性 )
上面考虑的实际变压器认为是线性的情况下讨论的 。 实际
上铁心变压器由于铁磁材料 B–H特性的非线性,初级和次级都
是非线性元件, 本来不能利用线性电路的方法来分析计算,
但漏磁通是通过空气闭合的, 所以漏感 LS1,LS2 基本上是线性
的, 但磁化电感 LM(L10)仍是非线性的, 但是其值很大, 并联
在电路上起的影响很小, 只取很小的电流, 电机学中常用这
种等值电路 。
* *
L10
+
–
+
–
n, 1L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
Rm
R1 R2
小结：
变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。
空心变压器,电路参数 L1,L2,M,
储能 。
理想变压器,电路参数 n,不耗能,
不储能, 变压, 变流, 变阻抗,
等值电路为：
Z11
Z引入
n2Z2
注意,理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。
铁心变压器,电路参数 L1,L2,n,M,R1,R2,
