2.3 电阻的串联和并联
2.4 电阻 Y-? 联接的等效变换
2.5 电压源, 电流源的串联和并联
2.2 电路的 等效变换
2.7 输入电阻
2.1 引言
2.6 实际电源的模型及其 等效变换
? 重点,
1,电阻的串、并联；
3,电压源和电流源的等效变换；
2,Y—? 变换 ;
线性电路,
由时不变线性无源元件, 线性受控源和独立电源组成的
电路,称为时不变线性电路,简称 线性电路 。
本章首先介绍 电路的等效 概念, 其次介绍 电阻或电源的串
联, 并联, Y—Δ 变换 这是电路的几种等效变换 。 最后介绍
一端口网络的 输入电阻的计算 。
§ 2-1 引言
§ 2-2 电路的等效变换
等效
1
1，
Req
+
us
-
1，
1
+
us
-
§ 2-3 电阻的串联和并联
1,电路特点,
一,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 Rn
+ _uki + _u1 + _un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu ??????????? 1
Req=( R1+ R2 +…+R n) =? Rk
等效
2,等效电阻 Req
+
R1 Rn
u
Rk
_
+ _uki + _u1 + _un
u+ _
Req
i
uRRu
eq
k
k ?
uRR Ru
21
1
1 ??
uRR Ru
21
2
2 ???
3,串联电阻上电压的分配
+
_
u
R1
R2
+
-u1
-
+
u2
i
o
o
结论：
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
二、电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
1,电路特点,
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效
1/Req= 1/R1+1/R2+… +1/Rn
用电导表示 Geq=G1+G2+… +Gk+… +Gn=? Gk=? 1/Rk
+
u
_
i
Req
3,并联电阻的电流分配 iGGi
eq
kk ?
对于两电阻并联，
iRR RiRR Ri
21
2
21
11 /1/1 /1 ????
iRR RiRR Ri
21
1
21
2
2 /1/1
/1
????
??
R1 R2
i1 i2
io
o
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
三,电阻的串并联 ( 要求,弄清楚串、并联的概念。 )
例 1.
计算举例：
2?
6?
o
o
R 3?
例 2.
40?
30?
30?
o
o
R
R = 2 ? R = 30?
三,电阻的串并联
例 3,求 a,b 两端的入端电阻 Rab (b?1)
o
加流求压法 求 Rab
I
b I
a
b
R
o
Rab
+
U
_
C
R0
A
D
B
R12
R23
R31
1
2 3
1
2 3
3R2R
1R
Y-? 等效变换
B
A
C D R0
§ 2-4 电阻的 Y-? 等效变换
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
等效的条件, i1?=i1Y,i2 ? =i2Y,i3 ?=i3Y,
且 u12?=u12Y,u23?=u23Y,u31?=u31Y
?—Y 变换的 等效条件,
Y接, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?接, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1) (2)
由式 (2)解得：
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1)
133221
23 1Y31 2Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得由 Y接 ??接的变换结果：
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
??
?
??
?
??
?
或
类似可得到由 ?接 ?Y接的变换结果：
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
???
???
???
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
或
上述结果可从原始方程出发导出, 也可由 Y接 ? ?接
的变换结果直接得到 。
Y-?
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
312312
3123
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
?-Y
Y-? 等效变换
12U
12U
2R
1
2 3
3R
1R
R12
R23
R31
1
2 3
Y-? 等效变换
12U
12U
2R
1
2 3
3R
1R R
12
R23
R31
1
2 3
当 R1=R2=R3=RY，
YRR 3??
?? RR Y 3
1
?当 R12 = R23 =R31 =R 时：
例,对图示电路求总电阻 R12
R12
2?
1
2
2?
2?
1?
1?
1?
由图：
R12=2.68?
1
2?
1?
1?
0.4? 0.4?
0.8?
2
R12
1
0.8?
2.4? 1.4?
1?2
R12
1
2
2.684?
应用：简化电路
例, 桥 T 电路
1k?
1k? 1k?
1k? RE
1/3k? 1/3k?
1k? RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
§ 2-5 电压源与电流源的串联和并联
一,理想电压源的串联
uS=? uSk
(注意参考方向 )
o
+
uSn
_
+
_
uS1
o
+
_uS
o
o
二,、理想电流源的并联
可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向）,
o
iS1 iS2 iSk
o
iS
o
o
skssssks iiiiii ????????? 21,
?
?
????????
n
k
sksnsss uuuuu
1
21
§ 2-6 实际 电源的两种模型及其等效变换
一、电压源 I
RL
电压源模型
由图,
U = E - IRo
电压源外特性如图：
若 R0<< RL
理想电压源, U = E
E
电压源外特性
I
U
R0
+
-E U
+
－
(2) 输出电 压不变，其值恒等于电动势。
即 U ? E
(3) 电流由外电路决定。
特点, (1) 内阻 R0 ? 0
理想电压源（恒压源）,
伏安特性
I
U
E
I
E
+
_ U
+
_
结论, 恒压源中的电流由外电路决定
设, E=10V
2?
R1
当 R1 R2 同时接入时,I = 10A
当 R1接入时, I = 5A则：
R22
?
例, 电路如图 I
E
+
_ U
+
_
恒压源特性小结
R
EI ?
恒压源特性中不变的是,_______E
恒压源特性中变化的是,_______I
________________将引起电流 I 的变化。外电路的改变
I 的变化可能是 ______ 的变化，
或者是 ______ 的变化。
大小
方向
U+_
I
E R
+
_
后一页前一页
二、电流源
0R
UII
S ??
I
RO越大
特性越陡
RL
I
若, RO ?? 理想电流源, I = I S
U
I
伏安特性
电流源模型
R0 UR
0
UI
S
+
－
后一页前一页
理想电流源 （恒流源 ):
（ 2）输出电流不变，其值恒等于电
流源电流 IS。
（ 3）输出电压由外电路决定。
I
U
IS
伏安特性（ 1） R
O??特点：
I
UIs
+
－
后一页前一页
结论,恒流源两端电压由外电路决定
R = 10 ? 时,U = 10 V
设, IS = 1 A
R = 1 ? 时,U = 1 V则,
例 I
UIs R
+
－
后一页前一页
恒流源特性中不变的是,____Is
恒流源特性中变化的是,____U
________________ 会引起 U 的变化。外电路的改变
U 的变化可能是 ______ 的变化，
或者是 ______的变化。
大小
方向
RIU S ??
理想电流源两端
可否被短路？
I
UIs R
+
－
后一页前一页
三、电源的等效变换
转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
iii
ss RGRui 1,??
由电压源变换为电流源：
三、电源的等效变换
转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
由电流源变换为电压源：
iii
ss GRGiu 1,??
1）等效变换时，两电源的 参考方向 要一 一对应。
2） 理想 电压源与 理想 电流源之间 不能转换 。
3）等效变换是对 外电路 等效对内不等效。
注意：
例 1,求下列各电路的等效电源
a
(b)
U
5A
2?
3?
b(a)
+
-5V3?
2?
a
U +-
2V
5V U+
-
a
b
2?
(c)
+
-
a
b
U2?
5V
(a)
+
-
a
b
U5V
(c)
a
5A
b
U2?
(b)
解,
例 2,试用电压源与电流源等效变换的方法计算
2?电阻中的电流。
+
-
+
-6V 12V
2A
6?3?
1?
1?
2? I
(a)
4A
2?
1? 1?
2?
2V
+ -
I
(b)
8V+
-
2?
2V
+ -
2? I
(c)
由图（ C）：
A1
222
28 ?
??
??I
解,
例 3：
解,统一电源形式
2A
3? 6?
2A I
4?
2?
1?
1A
I4?
2?
1?
1A
2?
4A
+
-
+
-6V 4V
I
2A3 ? 4 ?
2 ?
6 ? 1?
试用电压源与电流源等效变换的方法
计算图示电路中 1 ?电阻中的电流 。
例 3:
解,
I4?
2?
1?
1A
2?
4A 1?
I4?
2?
1A
2?
8V
+
-
I
2? 1?
3A
+
-
+
-6V 4V
I
2A3 ? 4 ?
2 ?
6 ? 1?A2312
2 ??
??I
试用电压源与电流源等效变换的方法计算
图示电路中 1 ?电阻中的电流 。
I
4? 1?
1A
4?
2A
加压求流法或
加流求压法
求得等效电阻
例 4,简化电路：
注, 受控源和独立源一样可以进行电源转换。
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
I o
o
10V
2k? +
500I-
I o
o
+
_U
1.5k?
10V
I o
o
+
_U
+
_
5?
10V +
_U
I o
o
U=3(2+I)+4+2I=10+5I
o
+
_4V
2?
+
_
U
+-3(2+I）
oI
U=3I1+2I1=5I1=5(2+I)=10+5I
2?
+
_U
+-
I1
3I1
2A o
o
I
例 5.
§ 2-7 输入电阻
如果在端口处外施电压源 us或电流源 is,如图示，并求得端
口电流 i或端口电压 u,则此一端口的输入（入端）电阻 Rin定
义为
s
s
in i
u
i
uR ??
输入电阻与 等效电阻是相等的
如果一个网络具有两个引出端子与外电路相连而不管其内
部结构如何复杂，这样的网络叫做 一端口网络 （端口） 或二端
网络。
仅含电阻的一端口，可用串、并联或 Y-Δ 变换求其等效电阻
。
2.4 电阻 Y-? 联接的等效变换
2.5 电压源, 电流源的串联和并联
2.2 电路的 等效变换
2.7 输入电阻
2.1 引言
2.6 实际电源的模型及其 等效变换
? 重点,
1,电阻的串、并联；
3,电压源和电流源的等效变换；
2,Y—? 变换 ;
线性电路,
由时不变线性无源元件, 线性受控源和独立电源组成的
电路,称为时不变线性电路,简称 线性电路 。
本章首先介绍 电路的等效 概念, 其次介绍 电阻或电源的串
联, 并联, Y—Δ 变换 这是电路的几种等效变换 。 最后介绍
一端口网络的 输入电阻的计算 。
§ 2-1 引言
§ 2-2 电路的等效变换
等效
1
1，
Req
+
us
-
1，
1
+
us
-
§ 2-3 电阻的串联和并联
1,电路特点,
一,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 Rn
+ _uki + _u1 + _un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu ??????????? 1
Req=( R1+ R2 +…+R n) =? Rk
等效
2,等效电阻 Req
+
R1 Rn
u
Rk
_
+ _uki + _u1 + _un
u+ _
Req
i
uRRu
eq
k
k ?
uRR Ru
21
1
1 ??
uRR Ru
21
2
2 ???
3,串联电阻上电压的分配
+
_
u
R1
R2
+
-u1
-
+
u2
i
o
o
结论：
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
二、电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
1,电路特点,
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效
1/Req= 1/R1+1/R2+… +1/Rn
用电导表示 Geq=G1+G2+… +Gk+… +Gn=? Gk=? 1/Rk
+
u
_
i
Req
3,并联电阻的电流分配 iGGi
eq
kk ?
对于两电阻并联，
iRR RiRR Ri
21
2
21
11 /1/1 /1 ????
iRR RiRR Ri
21
1
21
2
2 /1/1
/1
????
??
R1 R2
i1 i2
io
o
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
三,电阻的串并联 ( 要求,弄清楚串、并联的概念。 )
例 1.
计算举例：
2?
6?
o
o
R 3?
例 2.
40?
30?
30?
o
o
R
R = 2 ? R = 30?
三,电阻的串并联
例 3,求 a,b 两端的入端电阻 Rab (b?1)
o
加流求压法 求 Rab
I
b I
a
b
R
o
Rab
+
U
_
C
R0
A
D
B
R12
R23
R31
1
2 3
1
2 3
3R2R
1R
Y-? 等效变换
B
A
C D R0
§ 2-4 电阻的 Y-? 等效变换
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
等效的条件, i1?=i1Y,i2 ? =i2Y,i3 ?=i3Y,
且 u12?=u12Y,u23?=u23Y,u31?=u31Y
?—Y 变换的 等效条件,
Y接, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?接, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1) (2)
由式 (2)解得：
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1)
133221
23 1Y31 2Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得由 Y接 ??接的变换结果：
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
??
?
??
?
??
?
或
类似可得到由 ?接 ?Y接的变换结果：
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
???
???
???
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
或
上述结果可从原始方程出发导出, 也可由 Y接 ? ?接
的变换结果直接得到 。
Y-?
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
312312
3123
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
?-Y
Y-? 等效变换
12U
12U
2R
1
2 3
3R
1R
R12
R23
R31
1
2 3
Y-? 等效变换
12U
12U
2R
1
2 3
3R
1R R
12
R23
R31
1
2 3
当 R1=R2=R3=RY，
YRR 3??
?? RR Y 3
1
?当 R12 = R23 =R31 =R 时：
例,对图示电路求总电阻 R12
R12
2?
1
2
2?
2?
1?
1?
1?
由图：
R12=2.68?
1
2?
1?
1?
0.4? 0.4?
0.8?
2
R12
1
0.8?
2.4? 1.4?
1?2
R12
1
2
2.684?
应用：简化电路
例, 桥 T 电路
1k?
1k? 1k?
1k? RE
1/3k? 1/3k?
1k? RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
§ 2-5 电压源与电流源的串联和并联
一,理想电压源的串联
uS=? uSk
(注意参考方向 )
o
+
uSn
_
+
_
uS1
o
+
_uS
o
o
二,、理想电流源的并联
可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向）,
o
iS1 iS2 iSk
o
iS
o
o
skssssks iiiiii ????????? 21,
?
?
????????
n
k
sksnsss uuuuu
1
21
§ 2-6 实际 电源的两种模型及其等效变换
一、电压源 I
RL
电压源模型
由图,
U = E - IRo
电压源外特性如图：
若 R0<< RL
理想电压源, U = E
E
电压源外特性
I
U
R0
+
-E U
+
－
(2) 输出电 压不变，其值恒等于电动势。
即 U ? E
(3) 电流由外电路决定。
特点, (1) 内阻 R0 ? 0
理想电压源（恒压源）,
伏安特性
I
U
E
I
E
+
_ U
+
_
结论, 恒压源中的电流由外电路决定
设, E=10V
2?
R1
当 R1 R2 同时接入时,I = 10A
当 R1接入时, I = 5A则：
R22
?
例, 电路如图 I
E
+
_ U
+
_
恒压源特性小结
R
EI ?
恒压源特性中不变的是,_______E
恒压源特性中变化的是,_______I
________________将引起电流 I 的变化。外电路的改变
I 的变化可能是 ______ 的变化，
或者是 ______ 的变化。
大小
方向
U+_
I
E R
+
_
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二、电流源
0R
UII
S ??
I
RO越大
特性越陡
RL
I
若, RO ?? 理想电流源, I = I S
U
I
伏安特性
电流源模型
R0 UR
0
UI
S
+
－
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理想电流源 （恒流源 ):
（ 2）输出电流不变，其值恒等于电
流源电流 IS。
（ 3）输出电压由外电路决定。
I
U
IS
伏安特性（ 1） R
O??特点：
I
UIs
+
－
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结论,恒流源两端电压由外电路决定
R = 10 ? 时,U = 10 V
设, IS = 1 A
R = 1 ? 时,U = 1 V则,
例 I
UIs R
+
－
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恒流源特性中不变的是,____Is
恒流源特性中变化的是,____U
________________ 会引起 U 的变化。外电路的改变
U 的变化可能是 ______ 的变化，
或者是 ______的变化。
大小
方向
RIU S ??
理想电流源两端
可否被短路？
I
UIs R
+
－
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三、电源的等效变换
转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
iii
ss RGRui 1,??
由电压源变换为电流源：
三、电源的等效变换
转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
由电流源变换为电压源：
iii
ss GRGiu 1,??
1）等效变换时，两电源的 参考方向 要一 一对应。
2） 理想 电压源与 理想 电流源之间 不能转换 。
3）等效变换是对 外电路 等效对内不等效。
注意：
例 1,求下列各电路的等效电源
a
(b)
U
5A
2?
3?
b(a)
+
-5V3?
2?
a
U +-
2V
5V U+
-
a
b
2?
(c)
+
-
a
b
U2?
5V
(a)
+
-
a
b
U5V
(c)
a
5A
b
U2?
(b)
解,
例 2,试用电压源与电流源等效变换的方法计算
2?电阻中的电流。
+
-
+
-6V 12V
2A
6?3?
1?
1?
2? I
(a)
4A
2?
1? 1?
2?
2V
+ -
I
(b)
8V+
-
2?
2V
+ -
2? I
(c)
由图（ C）：
A1
222
28 ?
??
??I
解,
例 3：
解,统一电源形式
2A
3? 6?
2A I
4?
2?
1?
1A
I4?
2?
1?
1A
2?
4A
+
-
+
-6V 4V
I
2A3 ? 4 ?
2 ?
6 ? 1?
试用电压源与电流源等效变换的方法
计算图示电路中 1 ?电阻中的电流 。
例 3:
解,
I4?
2?
1?
1A
2?
4A 1?
I4?
2?
1A
2?
8V
+
-
I
2? 1?
3A
+
-
+
-6V 4V
I
2A3 ? 4 ?
2 ?
6 ? 1?A2312
2 ??
??I
试用电压源与电流源等效变换的方法计算
图示电路中 1 ?电阻中的电流 。
I
4? 1?
1A
4?
2A
加压求流法或
加流求压法
求得等效电阻
例 4,简化电路：
注, 受控源和独立源一样可以进行电源转换。
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
I o
o
10V
2k? +
500I-
I o
o
+
_U
1.5k?
10V
I o
o
+
_U
+
_
5?
10V +
_U
I o
o
U=3(2+I)+4+2I=10+5I
o
+
_4V
2?
+
_
U
+-3(2+I）
oI
U=3I1+2I1=5I1=5(2+I)=10+5I
2?
+
_U
+-
I1
3I1
2A o
o
I
例 5.
§ 2-7 输入电阻
如果在端口处外施电压源 us或电流源 is,如图示，并求得端
口电流 i或端口电压 u,则此一端口的输入（入端）电阻 Rin定
义为
s
s
in i
u
i
uR ??
输入电阻与 等效电阻是相等的
如果一个网络具有两个引出端子与外电路相连而不管其内
部结构如何复杂，这样的网络叫做 一端口网络 （端口） 或二端
网络。
仅含电阻的一端口，可用串、并联或 Y-Δ 变换求其等效电阻
。
