第七章 二阶电路
第七章 二阶电路
二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应
重点掌握
1,掌握求解二阶电路的方法、步骤。
2,了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不
同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡
与非振荡。
学习方法
§ 7-1 二阶电路的零输入响应
0 ??? CL uuRi
0dddd 2
2
??? CCC utuRCtuLC
012 ??? R C PL C P特征方程为
LC
LCCRRCP
2
422
2,1
???? LCL
R
L
R 1)
2(2
2 ????
uC(0-)=U0 i(0-)=0已知
求 uC(t),i(t),uL(t),
t
uCi C
d
d??
解
2
C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLu
L ???
RLC串联电路的零输入响应
(t=0)
R
LC+
-
i
uc uL
+
-
根的性质不同，响应的变化规律也不同
二个不等负实根 2 CLR ?
二个相等负实根 2 CLR ?
一对共轭复根 2 CLR ?
LCL
R
L
Rp 1)
2(2
2
2,1 ????
tptpC eeu 21 21 AA ??
tpC etu )AA( 21 ??
)s i n ( ???? ?? tKe t
tptpC eeu 21 21 AA ??
12 ????? jP
不等的负实根一,2, 21 ppCLR ?
tptpC eeu 21 21 AA ??
0210 AA)0( UUu C ?????
0AA0)0()0(dd 2211 ??????
?
? PP
C
i
t
u C
0
12
1
20
12
2
1 AA UPP
PU
PP
P
?
??
??
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
?
?
C
i
td
du
td
du
Ci
C
C
??
??
(t=0)
R
LC+
-
i
uc uL
+
-
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
??
t
uc 设 |P2| > |P1|
12
02
PP
UP
?
|P1|小
12
01
PP
UP
?
?
|P2|大
U0 uc
)(
)(
)(
)(
21
21
12
0
2121
12
0
tptp
tptpC
ee
PPL
U
eppepp
PP
CU
dt
du
Ci
?
?
?
?
?
?
?
???
t=0+ i=0,
t=? i=0
t = tm 时 i 最大
0< t < tm
i 增加,uL>0
t > tm
i 减小,uL <0
t = 2tm 时 uL 极小
)()( 21 21
12
0 tptp
L ePePPP
U
dt
diLu ?
?
???
2tm
uL
tm
i
uL(0)=U0
t > 2tm uL 衰减加快
t>0 i>0t
U0 uc )( 21 1212 0
tptp
C ePePPP
Uu ?
??
LCL
R
L
Rp 1)
2(2
2
2,1 ????
LCPP
1
21 ?
uL(?)=0
由 uL= 0 可计算 tm
021 21 ?? tptp epep
tpp
tp
tp
e
e
e
p
p )(2
2
1 12
1
2
)( ???
12
2
1ln
pp
p
p
t m
?
?
由 duL / dt 可确定 uL为极小值的时间 t
021 2221 ?? tptp epep
tpp
tp
tp
e
e
e
p
p )(
2
1 12
1
2
???
mtpp
p
p
t 2
)l n (
12
2
2
1
?
?
?
)()( 21 21
12
0 tptp
L ePePPP
Uu ?
?
??
能量转换关系
0 < t < tm uc减小, i 增加。 t > tm uc减小, i 减小,
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uc
tm
i
0
非振荡放电 过阻尼
2, CLR ?二 特征根为一对共轭复根
LCL
R
L
RP 1)
2(2
2
12 ????
12 ????? jP
2 LR??令
uC的解答形式：
tptpC eAeAu 21 21 ??
22
0
22 )
2(-
1 ??????
L
R
LC
0
12
1
20
12
2
1 AA UPP
PU
PP
P
?
??
??
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
?
?
?
?0
?
?
)(
2
)(
12
0
12
12
0 21
tjtjt
tptp
C
ePePe
j
U
ePeP
PP
U
u
????? ?
??
?
?
?
?
12 ????? jP ?
?0
?
?
)]()([2 0 tjtjtjtjt eejeeejU ???????? ?????????
]2 )(2 )([ 0
tjtjtjtj
t ee
j
eeeU ???????? ???
?
??
)c o ss i n( 0 tteU t ?????? ??
)co ss i n(
00
0
0 tteU t ?
?
???
?
?
?
?? ??
VtKeVteU tt )s i n ()s i n ( 00 ?????????? ????
t?s in t?c o s
?
?
??
??
?
?
??
?
?
a r c t g
s i n
c o s
0
0
虚数实数
tjte
tjte
tj
tj
??
??
?
?
s i nc o s
s i nc o s
??
??
?
]s i n)AA(c o s)AA[( 2121 tjte t ?????? ??
p1, p2 共轭 A1, A2 也共轭
)AA(AA 2121 21 tjtjttptpC eeeeeu ????? ????
)s i n ( ???? ?? tKe t
)AA( 21 tjtjtC eeeu ????? ??
]s i nBc o sA[ tte t ???? ??
0
12
2
1A UPP
P
?? 012
1
2A UPP
P
?
??式中
另解
00
12
12
0
UU
PP
PPjB
UA
?
??
?
??
?
]s i n[ c o s 0 tteU t ?????? ??
同前 VteU t )s i n ( 00 ?????? ??
0BA0)0(dd ????????tu C
由初始条件
00 A)0( UUu C ????
]s i nBco sA[ tteu tC ???? ??
00 BA UU ?
???
)s i n( c o s0 ttUeu tC ?????? ??
或
)s i n ( 00 ?????? ?? teU t
]osBinA[
]s i nBc o sA[
d
d
tctse
tte
t
u
t
tC
???????
??????
??
??
)s i nco s(
00
0
0 ttUeu t
C ??
???
?
?
?
?? ??
?
?0
?
?
也可直接求 A,B
teLUtuCi tC ????? ?? s i ndd 0
)s i n (dd 00 ???????? ?? teUtiLu tL
uL零点,?t = ?,?+?,2?+?,.,n?+?
i 零点,?t =0,?,2?,.,n?, i 极值点为 uL零点。
uL
uC
?-? 2?-?
uc
t
U0 teU ?
?
? ?
00
teU ??? ?? 00
0
? 2?
i
?
?+?
)s i n ( 00 ?????? ?? teUu tC
uC零点,?t = ?-?,2?-?,.,n?-?,uC 极值点为 i零点。
?< ?t < ?-? ?-? < ?t < ?
?
i
?
?+?
uc
t?-? 2?-? 2?
U0 teU ?
?
? ?
00
teU ??? ?? 00
0
uC
R
LC
+
-
R
LC
+
-
能量转换关系
0 < ? t < ?
R
LC
+
-
uC减小,i 增大 uC减小,i 减小 |uC |增大, i 减小
衰减振荡
欠阻尼
特例 R = 0
LC utUu ?
???? )
2s i n ( 00
t
LC +
-
02,1 ?jp ??
2
1
0
???? ???,
LC
0???
tLUi 0
0
0 s i n ?
??
teLUtuCi tC ????? ?? s i ndd 0
)s i n (dd 00 ???????? ?? teUtiLu tL
)s i n (00 ?????? ??? teUu tC
等幅振荡
无阻尼
?
?0
?
?
??????? LRPPP 221 )( 21 tAAeu tC ?? ??
010)0( UAUu C ????
解出
?
?
?
??
?
02
01
UA
UA
t
L
tC
t
C
etU
t
i
Lu
et
L
U
t
u
Ci
etUu
0
0
0
)1(
d
d
d
d
) 1(
??
??
??
????
???
???
相等的实根三,2, 21 ppCLR ?
0)(0)0(dd 21 ??????? AAtu C
由初始条件
非振荡放电
临界阻尼
小结：
非振荡放电过阻尼,2 CLR ? tptpc eAeAu 21 21 ??
振荡放电欠阻尼,2 CLR ? )s i n ( ???? ?? tAeu t
c
非振荡放电临界阻尼,2 CLR ? )(
21 tAAeu tc ?? ??
可推广应用于一般二阶电路
定积分常数
??
?
?
?
?
?
)0(
)0(
dt
du
u
C
C由
电路所示如图
t = 0 时打开开关。
求, 电容电压 uC,并画
波形图。
解 (1) u
c(0-)=25V iL(0-)=5A
特征方程为
50P2+2500P+106=0
13925 jP ???
0dd25]dd[dd.50 )3( ???? CCC utuCtuCt
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
例 1 5Ω
μF
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uc
+ -
iL
5Ω
20Ω
10Ω
10Ω
50V
+ -
iL+u
C
- 0-电路
20Ω
10Ω
10Ω
+
-
25V 5A
i
C
0+电路
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A
20Ω
10Ω
10Ω
+
-uC
LC
t >0 电路
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
??
?
?
?
???
?
? 410
5s i n25c o s1 3 9
25s i n
??
?
KK
K
?176 358 ?? ?，K
0V)1 7 61 3 9s i n (3 5 8 25 ??? ? tteu tC ?
(4)
??
?
?
?
??
??
5
25)0(
dt
duC
u
C
C由
uC
?t0
358
25
左图为有源 RC振荡电路，
讨论 k取不同值时 u2的
零输入响应。
节点 A列写 KCL有：
dt
duC
R
ui 11
1 ??
21
1111 )(1)( uudt
dt
duC
R
u
Cdt
duC
R
uR ????? ?KVL有：
0)3( 22 112 1
2
???? CR udtduRC kdt ud整理得：
例 2
u2u1 ku1
i 2 i 3
i 1
R C
R
C
A +
+
1111
1
1
1 Kuuudtu
RCdt
duRCu ????? ?
特征方程 013 222 ???? CRPRC kP
0)3( 22 112 1
2
???? CR udtduRC kdt ud
22 )1()
2
3(
2
3
RCRC
k
RC
kP ??????
特征根
（ 1） 特征根为实数即 23)1( )
2
3( 22 ???? k
RCRC
k
时为非振荡过程和即 5 1 ?? kk
)s in ( 1 ??? ?? ? tAeu t
1< k < 3 ? > 0 衰减振荡
3< k < 5 ? < 0 增幅振荡
k = 3 ? = 0 等幅振荡 )s i n ( 01 ?? ?? tKu
（ 2）
特征根为共轭复数即 23)1( ) 23( 22 ???? kRCRC k
时为振荡过程即 51 ?? k
22 )1()
2
3(
2
3
RCRC
k
RC
kP ??????
令 ???
RC
k
2
3
求所示电路中电流 i (t)的
零状态响应。
i1= i - 0.5 u1 =i - 0.5 ?2 (2 - i) = 2i - 2
由 KVL idtdidtiii 262)2(2 11 ??????
整理得,1212
d
d8
d
d
2
2
??? itit i 二阶非齐次常微分方程
解：第一步列写微分方程
2-i
i1
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
一, 零状态响应
§ 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
第二步求通解 i?
P1= -2, P2 = -6
iii ?????
解答形式为：
1212822 ??? idtdidt id
第三步求特解 i”
稳态模型
i = 0.5 u1
u1=2(2-0.5u1)
u1=2V
i(?)=1A
tt eAeAi 6221' ?? ??
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
P2+8P+12=0
+
u1
-
0.5u1
2W2W
i
2A
tt eAeAi 62211 ?? ???得零状态响应
第四步求初值
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? )0(
1
d
d
0)0()0(
0 L
u
Lt
i
ii
Vuuu L 825.0)0( 11 ?????
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
0+电路模型：
0.5 u
+
u1
-
1
2W
2W
2A +
uL
-
V4221 ???u
第五步定常数
tt eAeAi 62211 ?? ???
??
?
???
???
21
21
628
10
AA
AA
??
?
??
?
5.1
5.0
2
1
A
A
0 A5.15.01)( 62 ????? ?? teeti tt
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
??
?
?
?
??
??
??
??
8)0(1)0(
d
d
0)0()0(
LuLt
i
ii
二,阶跃响应：
二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，
其求解方法与零状态响应的求解方法相同。
三, 全响应：
如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应
称为二阶电路的全响应。全响应是零输入响应和零状态响应的
叠加，可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。
全响应举例
已知,iL(0)=2A uC(0)=0
R=50W,L=0.5H,C=100?F
求,iL(t),iR (t) 。
解 (1) 列微分方程
50dddd 2
2
??? LLL RitiLt iRL C
t
uCi
R
t
iL
L
L
d
dd
d-50
C??
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
R
L C
iR
i L iC50 V
t=0
+
-
uL +
-
uC
t
iLuu L
LC d
d??
(2)求通解 (自由分量）
02 0 0 0 02 0 02 ??? PP特征方程
特征根 P= -100 ? j100
)100s i n (1)( 100 ???? ? tKeti tL全解
(3)求特解（强制分量，稳态解）
Ai L 1" ?
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
)100s i n ()( 100 ??? ? tKeti tL通解
(4)求全解
(4)由 初值 定积分常数
??
?
?
?
?????
????
?
?
0c o s100s i n1000
2s i n12)0(
0 ??
?
KK
dt
di
Ki
L
L
o452 ?? ?K得
0)45100s i n (21)( 100 ????? ? tAteti tL ?
iL(0+)=2A,uC(0+)=0 （已知）
)1 0 0s i n (1)( 10 0 ???? ? tKeti tL全解
0)0(1)0(1dd 0 ??? ??? CLL uLuLti
)1 0 0c o s (1 0 0)1 0 0s i n (1 0 0dd 1 001 00 ?? ????? ?? tKetKeti ttL
(5) 求 iR(t)
)100s i n (1)( 100 ???? ? tKeti tR
解答形式为：
由初始值定积分常数
150 )0(50)0( ???
?
? C
R
ui
R
ui c
R
?? 50
)0(1 ??? CiRC
R
L C
iR
i L iC50 V
t=0
+
-
uL +
-
uC
R
t
u
t
i
C
R
?
? ??
0
0
d
d
d
d
0+电路
R iR
50 V 2A
iC
2001010050 1 6 ??? ??? ?
R=50W
C=100?F
Ai C 1)0( ???
(5) 求 iR
1)0( ??Ri
200dd 0 ??ti R
?
?
?
??
??
20 0s i n10 0c os10 0
1s i n1
??
?
KK
K
?
?
?
?
?
2
0
K
?
01 0 0s i n21)( 100 ??? ? tAteti tR
)100s i n (1 100 ???? ? tKei tR
1,一阶电路是单调的响应，可用时间常数 ?表示过渡过程
的时间。
小结
)( 过阻尼非振荡放电 tptp eAeA 21 21 ?
共轭虚根 0 ?R
)c o ss i n
)s i n (
tBtAe
tKe
t
t
???
???
??
??
（或
)( 临界阻尼非振荡放电 )( 21 tAAe t ???
2,二阶电路用三个参数 ?, ?和 ? 0来表示动态 响应。
2202 ?????????? jP
特征根 响应性质 自由分量形式
不等的实根 2 CLR ?
2 共轭复根CLR ?
) ( 阻尼无等幅振荡 )s i n ( 0 ?? ?tK
相等的实根 2 CLR ?
)( 欠阻尼衰减振荡
5.线性电路经典法解二阶过渡过程包括以下几步：
(1)换路后 (0+)电路列写微分方程
(2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定）
(3)求强制分量（稳态分量）
(4)全解 =自由分量 +强制分量
(5)将初值 f(0+)和 f ?（ 0+)代入全解，定积分常数求响应
(6)讨论物理过程，画出波形
3,电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结
构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
4,特征方程次数的确定：等于换路后的电路经过尽可能简化而
具有的独立初始值的数目。
t 在 0-至 0+间
)( tu L ??
LdtuLii LLL
11)0()0( 0
0 ??? ?
?
?
??
t >0+
0)0()0( ?? ?? cc uu
为 零输入响应
§ 7.3 二阶电路的冲激响应
uC(0-)=0,iL(0-)=0
?(t)
R L
C
+
-
uC
iL + -uL
uC(0-)=0,iL(0-)=0
?( t )
R L
C +
-
uC
iL + -uLt 在 0
-至 0+间
)(dddd 2
2
tutuRCtuLC CCC ????
有限值
???? ???????? ??? 00000000 2
2
d)(ddddddd tttuttuRCttuLC CCC ?
uC是跳变和冲激上式都不满足
设 uC不跳变,duC/dt 发生跳变
相等0 1)]0()0([]d
d
d
d[
00 ????
??
?? CC
CC uuRC
t
u
t
uLC
Lit
uC
L
C 1)0(
d
d
0 ??
?
?
t >0+ 为零输入响应
1dd 0 ??tuLC C
电感电流跳变
结论
)0(1)0(
0)0()0(
??
??
??
??
LL
CC
i
L
i
uu
022 ??? ccc udtduRCdt udLC
特征方程
012 ??? LCpLRp
?(t)
R L
C
+
-
uC
iL + -uL
tptpc eAeAu 21 21 ??
C
LR
LCL
R 2014)( 2 ??? 即
C
LR
LCL
R 2014)( 2 ??? 即
C
LR
LCL
R 2014)( 2 ??? 即 )s i n ( ??? ?? ? tKeu tc
ptc etAAu )( 21 ??
由初始值
)0(1)0(
0)0()0(
??
??
??
??
LL
CC
i
L
i
uu 定常数 A
1,A2 或 K,?
第七章 二阶电路
二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应
重点掌握
1,掌握求解二阶电路的方法、步骤。
2,了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不
同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡
与非振荡。
学习方法
§ 7-1 二阶电路的零输入响应
0 ??? CL uuRi
0dddd 2
2
??? CCC utuRCtuLC
012 ??? R C PL C P特征方程为
LC
LCCRRCP
2
422
2,1
???? LCL
R
L
R 1)
2(2
2 ????
uC(0-)=U0 i(0-)=0已知
求 uC(t),i(t),uL(t),
t
uCi C
d
d??
解
2
C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLu
L ???
RLC串联电路的零输入响应
(t=0)
R
LC+
-
i
uc uL
+
-
根的性质不同，响应的变化规律也不同
二个不等负实根 2 CLR ?
二个相等负实根 2 CLR ?
一对共轭复根 2 CLR ?
LCL
R
L
Rp 1)
2(2
2
2,1 ????
tptpC eeu 21 21 AA ??
tpC etu )AA( 21 ??
)s i n ( ???? ?? tKe t
tptpC eeu 21 21 AA ??
12 ????? jP
不等的负实根一,2, 21 ppCLR ?
tptpC eeu 21 21 AA ??
0210 AA)0( UUu C ?????
0AA0)0()0(dd 2211 ??????
?
? PP
C
i
t
u C
0
12
1
20
12
2
1 AA UPP
PU
PP
P
?
??
??
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
?
?
C
i
td
du
td
du
Ci
C
C
??
??
(t=0)
R
LC+
-
i
uc uL
+
-
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
??
t
uc 设 |P2| > |P1|
12
02
PP
UP
?
|P1|小
12
01
PP
UP
?
?
|P2|大
U0 uc
)(
)(
)(
)(
21
21
12
0
2121
12
0
tptp
tptpC
ee
PPL
U
eppepp
PP
CU
dt
du
Ci
?
?
?
?
?
?
?
???
t=0+ i=0,
t=? i=0
t = tm 时 i 最大
0< t < tm
i 增加,uL>0
t > tm
i 减小,uL <0
t = 2tm 时 uL 极小
)()( 21 21
12
0 tptp
L ePePPP
U
dt
diLu ?
?
???
2tm
uL
tm
i
uL(0)=U0
t > 2tm uL 衰减加快
t>0 i>0t
U0 uc )( 21 1212 0
tptp
C ePePPP
Uu ?
??
LCL
R
L
Rp 1)
2(2
2
2,1 ????
LCPP
1
21 ?
uL(?)=0
由 uL= 0 可计算 tm
021 21 ?? tptp epep
tpp
tp
tp
e
e
e
p
p )(2
2
1 12
1
2
)( ???
12
2
1ln
pp
p
p
t m
?
?
由 duL / dt 可确定 uL为极小值的时间 t
021 2221 ?? tptp epep
tpp
tp
tp
e
e
e
p
p )(
2
1 12
1
2
???
mtpp
p
p
t 2
)l n (
12
2
2
1
?
?
?
)()( 21 21
12
0 tptp
L ePePPP
Uu ?
?
??
能量转换关系
0 < t < tm uc减小, i 增加。 t > tm uc减小, i 减小,
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uc
tm
i
0
非振荡放电 过阻尼
2, CLR ?二 特征根为一对共轭复根
LCL
R
L
RP 1)
2(2
2
12 ????
12 ????? jP
2 LR??令
uC的解答形式：
tptpC eAeAu 21 21 ??
22
0
22 )
2(-
1 ??????
L
R
LC
0
12
1
20
12
2
1 AA UPP
PU
PP
P
?
??
??
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
?
?
?
?0
?
?
)(
2
)(
12
0
12
12
0 21
tjtjt
tptp
C
ePePe
j
U
ePeP
PP
U
u
????? ?
??
?
?
?
?
12 ????? jP ?
?0
?
?
)]()([2 0 tjtjtjtjt eejeeejU ???????? ?????????
]2 )(2 )([ 0
tjtjtjtj
t ee
j
eeeU ???????? ???
?
??
)c o ss i n( 0 tteU t ?????? ??
)co ss i n(
00
0
0 tteU t ?
?
???
?
?
?
?? ??
VtKeVteU tt )s i n ()s i n ( 00 ?????????? ????
t?s in t?c o s
?
?
??
??
?
?
??
?
?
a r c t g
s i n
c o s
0
0
虚数实数
tjte
tjte
tj
tj
??
??
?
?
s i nc o s
s i nc o s
??
??
?
]s i n)AA(c o s)AA[( 2121 tjte t ?????? ??
p1, p2 共轭 A1, A2 也共轭
)AA(AA 2121 21 tjtjttptpC eeeeeu ????? ????
)s i n ( ???? ?? tKe t
)AA( 21 tjtjtC eeeu ????? ??
]s i nBc o sA[ tte t ???? ??
0
12
2
1A UPP
P
?? 012
1
2A UPP
P
?
??式中
另解
00
12
12
0
UU
PP
PPjB
UA
?
??
?
??
?
]s i n[ c o s 0 tteU t ?????? ??
同前 VteU t )s i n ( 00 ?????? ??
0BA0)0(dd ????????tu C
由初始条件
00 A)0( UUu C ????
]s i nBco sA[ tteu tC ???? ??
00 BA UU ?
???
)s i n( c o s0 ttUeu tC ?????? ??
或
)s i n ( 00 ?????? ?? teU t
]osBinA[
]s i nBc o sA[
d
d
tctse
tte
t
u
t
tC
???????
??????
??
??
)s i nco s(
00
0
0 ttUeu t
C ??
???
?
?
?
?? ??
?
?0
?
?
也可直接求 A,B
teLUtuCi tC ????? ?? s i ndd 0
)s i n (dd 00 ???????? ?? teUtiLu tL
uL零点,?t = ?,?+?,2?+?,.,n?+?
i 零点,?t =0,?,2?,.,n?, i 极值点为 uL零点。
uL
uC
?-? 2?-?
uc
t
U0 teU ?
?
? ?
00
teU ??? ?? 00
0
? 2?
i
?
?+?
)s i n ( 00 ?????? ?? teUu tC
uC零点,?t = ?-?,2?-?,.,n?-?,uC 极值点为 i零点。
?< ?t < ?-? ?-? < ?t < ?
?
i
?
?+?
uc
t?-? 2?-? 2?
U0 teU ?
?
? ?
00
teU ??? ?? 00
0
uC
R
LC
+
-
R
LC
+
-
能量转换关系
0 < ? t < ?
R
LC
+
-
uC减小,i 增大 uC减小,i 减小 |uC |增大, i 减小
衰减振荡
欠阻尼
特例 R = 0
LC utUu ?
???? )
2s i n ( 00
t
LC +
-
02,1 ?jp ??
2
1
0
???? ???,
LC
0???
tLUi 0
0
0 s i n ?
??
teLUtuCi tC ????? ?? s i ndd 0
)s i n (dd 00 ???????? ?? teUtiLu tL
)s i n (00 ?????? ??? teUu tC
等幅振荡
无阻尼
?
?0
?
?
??????? LRPPP 221 )( 21 tAAeu tC ?? ??
010)0( UAUu C ????
解出
?
?
?
??
?
02
01
UA
UA
t
L
tC
t
C
etU
t
i
Lu
et
L
U
t
u
Ci
etUu
0
0
0
)1(
d
d
d
d
) 1(
??
??
??
????
???
???
相等的实根三,2, 21 ppCLR ?
0)(0)0(dd 21 ??????? AAtu C
由初始条件
非振荡放电
临界阻尼
小结：
非振荡放电过阻尼,2 CLR ? tptpc eAeAu 21 21 ??
振荡放电欠阻尼,2 CLR ? )s i n ( ???? ?? tAeu t
c
非振荡放电临界阻尼,2 CLR ? )(
21 tAAeu tc ?? ??
可推广应用于一般二阶电路
定积分常数
??
?
?
?
?
?
)0(
)0(
dt
du
u
C
C由
电路所示如图
t = 0 时打开开关。
求, 电容电压 uC,并画
波形图。
解 (1) u
c(0-)=25V iL(0-)=5A
特征方程为
50P2+2500P+106=0
13925 jP ???
0dd25]dd[dd.50 )3( ???? CCC utuCtuCt
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
例 1 5Ω
μF
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uc
+ -
iL
5Ω
20Ω
10Ω
10Ω
50V
+ -
iL+u
C
- 0-电路
20Ω
10Ω
10Ω
+
-
25V 5A
i
C
0+电路
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A
20Ω
10Ω
10Ω
+
-uC
LC
t >0 电路
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
??
?
?
?
???
?
? 410
5s i n25c o s1 3 9
25s i n
??
?
KK
K
?176 358 ?? ?，K
0V)1 7 61 3 9s i n (3 5 8 25 ??? ? tteu tC ?
(4)
??
?
?
?
??
??
5
25)0(
dt
duC
u
C
C由
uC
?t0
358
25
左图为有源 RC振荡电路，
讨论 k取不同值时 u2的
零输入响应。
节点 A列写 KCL有：
dt
duC
R
ui 11
1 ??
21
1111 )(1)( uudt
dt
duC
R
u
Cdt
duC
R
uR ????? ?KVL有：
0)3( 22 112 1
2
???? CR udtduRC kdt ud整理得：
例 2
u2u1 ku1
i 2 i 3
i 1
R C
R
C
A +
+
1111
1
1
1 Kuuudtu
RCdt
duRCu ????? ?
特征方程 013 222 ???? CRPRC kP
0)3( 22 112 1
2
???? CR udtduRC kdt ud
22 )1()
2
3(
2
3
RCRC
k
RC
kP ??????
特征根
（ 1） 特征根为实数即 23)1( )
2
3( 22 ???? k
RCRC
k
时为非振荡过程和即 5 1 ?? kk
)s in ( 1 ??? ?? ? tAeu t
1< k < 3 ? > 0 衰减振荡
3< k < 5 ? < 0 增幅振荡
k = 3 ? = 0 等幅振荡 )s i n ( 01 ?? ?? tKu
（ 2）
特征根为共轭复数即 23)1( ) 23( 22 ???? kRCRC k
时为振荡过程即 51 ?? k
22 )1()
2
3(
2
3
RCRC
k
RC
kP ??????
令 ???
RC
k
2
3
求所示电路中电流 i (t)的
零状态响应。
i1= i - 0.5 u1 =i - 0.5 ?2 (2 - i) = 2i - 2
由 KVL idtdidtiii 262)2(2 11 ??????
整理得,1212
d
d8
d
d
2
2
??? itit i 二阶非齐次常微分方程
解：第一步列写微分方程
2-i
i1
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
一, 零状态响应
§ 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
第二步求通解 i?
P1= -2, P2 = -6
iii ?????
解答形式为：
1212822 ??? idtdidt id
第三步求特解 i”
稳态模型
i = 0.5 u1
u1=2(2-0.5u1)
u1=2V
i(?)=1A
tt eAeAi 6221' ?? ??
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
P2+8P+12=0
+
u1
-
0.5u1
2W2W
i
2A
tt eAeAi 62211 ?? ???得零状态响应
第四步求初值
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? )0(
1
d
d
0)0()0(
0 L
u
Lt
i
ii
Vuuu L 825.0)0( 11 ?????
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
0+电路模型：
0.5 u
+
u1
-
1
2W
2W
2A +
uL
-
V4221 ???u
第五步定常数
tt eAeAi 62211 ?? ???
??
?
???
???
21
21
628
10
AA
AA
??
?
??
?
5.1
5.0
2
1
A
A
0 A5.15.01)( 62 ????? ?? teeti tt
+
u1
-
0.5u1
2W 1/6F 1Hk
2W 2W
2A
i
??
?
?
?
??
??
??
??
8)0(1)0(
d
d
0)0()0(
LuLt
i
ii
二,阶跃响应：
二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，
其求解方法与零状态响应的求解方法相同。
三, 全响应：
如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应
称为二阶电路的全响应。全响应是零输入响应和零状态响应的
叠加，可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。
全响应举例
已知,iL(0)=2A uC(0)=0
R=50W,L=0.5H,C=100?F
求,iL(t),iR (t) 。
解 (1) 列微分方程
50dddd 2
2
??? LLL RitiLt iRL C
t
uCi
R
t
iL
L
L
d
dd
d-50
C??
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
R
L C
iR
i L iC50 V
t=0
+
-
uL +
-
uC
t
iLuu L
LC d
d??
(2)求通解 (自由分量）
02 0 0 0 02 0 02 ??? PP特征方程
特征根 P= -100 ? j100
)100s i n (1)( 100 ???? ? tKeti tL全解
(3)求特解（强制分量，稳态解）
Ai L 1" ?
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
)100s i n ()( 100 ??? ? tKeti tL通解
(4)求全解
(4)由 初值 定积分常数
??
?
?
?
?????
????
?
?
0c o s100s i n1000
2s i n12)0(
0 ??
?
KK
dt
di
Ki
L
L
o452 ?? ?K得
0)45100s i n (21)( 100 ????? ? tAteti tL ?
iL(0+)=2A,uC(0+)=0 （已知）
)1 0 0s i n (1)( 10 0 ???? ? tKeti tL全解
0)0(1)0(1dd 0 ??? ??? CLL uLuLti
)1 0 0c o s (1 0 0)1 0 0s i n (1 0 0dd 1 001 00 ?? ????? ?? tKetKeti ttL
(5) 求 iR(t)
)100s i n (1)( 100 ???? ? tKeti tR
解答形式为：
由初始值定积分常数
150 )0(50)0( ???
?
? C
R
ui
R
ui c
R
?? 50
)0(1 ??? CiRC
R
L C
iR
i L iC50 V
t=0
+
-
uL +
-
uC
R
t
u
t
i
C
R
?
? ??
0
0
d
d
d
d
0+电路
R iR
50 V 2A
iC
2001010050 1 6 ??? ??? ?
R=50W
C=100?F
Ai C 1)0( ???
(5) 求 iR
1)0( ??Ri
200dd 0 ??ti R
?
?
?
??
??
20 0s i n10 0c os10 0
1s i n1
??
?
KK
K
?
?
?
?
?
2
0
K
?
01 0 0s i n21)( 100 ??? ? tAteti tR
)100s i n (1 100 ???? ? tKei tR
1,一阶电路是单调的响应，可用时间常数 ?表示过渡过程
的时间。
小结
)( 过阻尼非振荡放电 tptp eAeA 21 21 ?
共轭虚根 0 ?R
)c o ss i n
)s i n (
tBtAe
tKe
t
t
???
???
??
??
（或
)( 临界阻尼非振荡放电 )( 21 tAAe t ???
2,二阶电路用三个参数 ?, ?和 ? 0来表示动态 响应。
2202 ?????????? jP
特征根 响应性质 自由分量形式
不等的实根 2 CLR ?
2 共轭复根CLR ?
) ( 阻尼无等幅振荡 )s i n ( 0 ?? ?tK
相等的实根 2 CLR ?
)( 欠阻尼衰减振荡
5.线性电路经典法解二阶过渡过程包括以下几步：
(1)换路后 (0+)电路列写微分方程
(2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定）
(3)求强制分量（稳态分量）
(4)全解 =自由分量 +强制分量
(5)将初值 f(0+)和 f ?（ 0+)代入全解，定积分常数求响应
(6)讨论物理过程，画出波形
3,电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结
构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
4,特征方程次数的确定：等于换路后的电路经过尽可能简化而
具有的独立初始值的数目。
t 在 0-至 0+间
)( tu L ??
LdtuLii LLL
11)0()0( 0
0 ??? ?
?
?
??
t >0+
0)0()0( ?? ?? cc uu
为 零输入响应
§ 7.3 二阶电路的冲激响应
uC(0-)=0,iL(0-)=0
?(t)
R L
C
+
-
uC
iL + -uL
uC(0-)=0,iL(0-)=0
?( t )
R L
C +
-
uC
iL + -uLt 在 0
-至 0+间
)(dddd 2
2
tutuRCtuLC CCC ????
有限值
???? ???????? ??? 00000000 2
2
d)(ddddddd tttuttuRCttuLC CCC ?
uC是跳变和冲激上式都不满足
设 uC不跳变,duC/dt 发生跳变
相等0 1)]0()0([]d
d
d
d[
00 ????
??
?? CC
CC uuRC
t
u
t
uLC
Lit
uC
L
C 1)0(
d
d
0 ??
?
?
t >0+ 为零输入响应
1dd 0 ??tuLC C
电感电流跳变
结论
)0(1)0(
0)0()0(
??
??
??
??
LL
CC
i
L
i
uu
022 ??? ccc udtduRCdt udLC
特征方程
012 ??? LCpLRp
?(t)
R L
C
+
-
uC
iL + -uL
tptpc eAeAu 21 21 ??
C
LR
LCL
R 2014)( 2 ??? 即
C
LR
LCL
R 2014)( 2 ??? 即
C
LR
LCL
R 2014)( 2 ??? 即 )s i n ( ??? ?? ? tKeu tc
ptc etAAu )( 21 ??
由初始值
)0(1)0(
0)0()0(
??
??
??
??
LL
CC
i
L
i
uu 定常数 A
1,A2 或 K,?
