第七章 一阶电路
1、零输入响应，零状态响应，全响应
本章重点掌握：
3、阶跃响应和冲激响应
2、稳态分量 暂态分量
§ 7-1 动态电路的方程及其初始条件方程
K未动作前
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
一, 什么是动态电路
i
+
–
uCUs R C
稳态分析：
K
+
–
uCUs R C
it = 0
K接通电源后很长时间
动态电路概述
K
+
–
uCUs R C
i
初始状态
过渡状态
新稳态t1
USuc
t0
a,动态电路,含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时
需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
习惯上称为电路的过渡过程
b,动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路的方程为微分方程
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程
Sc
c Uu
td
duRC ??
iR
US
二,过渡过程产生的原因
1,电路内部含有储能元件 L, M,C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
t
wp
?
??
2,电路结构、状态发生变化
支路接入或断开 ; 参数变化
换路
+
- us
R1
R2 R3
三,稳态分析和动态分析的区别
稳 态
换路发生 很长时间 后重新
达到稳态 换路 刚 发生后的整个变化过程
微分方程的特解
动 态
微分方程的一般解
恒定或周期性激励 任意激励
四, 一阶电路
换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
经典法
时域分析法
复频域分析法
时域分析法
拉普拉斯变换法
状态变量法
数值法
五, 动态电路的分析方法
0011
1
1 ?????? ?
?
? tuiadt
dia
dt
ida
dt
ida
n
n
nn
n
n ?
激励 u(t) 响应 i(t)
电路的初始条件
一, t = 0+与 t = 0-的概念
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间
0+ 换路后一瞬间
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ? )(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ?
初始条件为 t = 0+时 u, i 及其各阶导数的值
0- 0+0
t
f(t)
二,换路定律（开闭定则）
?? d)(1)( ? ??? tC iCtu ???? d)(1d)(1 00 ?? ?? ?? ?? t iCiC
?? d)(1)0( 0? ??? ? tC iCu
q=C uC
t = 0+时刻
?? d)(1)0()0( 00?
?
???
?? i
Cuu CC
?? d)()0()( 0? ??? ? t iqtq
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q(0+) = q (0-)
uC (0+) = uC (0-)
电荷守恒
结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
1.
? ?? ???? ?? 00 )()0()0( diqq
? ?? ???00 0)( di
t
iLu L
d
d? ??? ?
?? d)(
1)( t
L uLti
?????? ?? ?
?
?? d))(
1d)(1)(
0
0 t
L uLuLti
?? duLi tL )(1)0( 0??? ??
当 u为有限值时
?????? ? ?? d)()0()( 0 t utLLi??
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
磁链守恒
i u L+
-
L
结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
2.
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
qc(0+) = qc (0-)
uC (0+) = uC (0-)
换路定律：
换路定律 成立的条件注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
三, 电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0( ????Ci
(1) 由 0-电路求 uC(0-)或 iL(0-)
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0-)=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+) i
C(0--)=0 iC(0+)
例 1 +
- 10V
i
iC
+
uC
-k
10k
40k
求 iC(0+)
0)0( 0)0( ??? ?? LL uu? ?
iL(0+)= iL(0-) =2A
Vu L 842)0( ??????
例 2
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
+
uL
-10V
1? 4?
0+电路
2A
先求 Ai
L 241
10)0( ?
??
?
由换路定律,
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等值电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容 （ 电感 ）用 电压源 （ 电流源 ）替代。
a,换路后的电路
取 0+时刻值，方向同原假定的电容电压,电感电流方向。
?
?
? 30
j
60 ??
???
??
L
E
L
EI mm
Lm
)30s i n ( ????? tLEi mL
L
E
t
L
E
i mtmL
?
????
?
? ??
2
)30s i n ()0( 0?
(1)
(2) LEii mLL ?2)0()0( ??? ??
).0(),0(),0( ??? RLL uui求
VtEu ms )60s in( ??? ?
已知例 3
iL
+
uL
-
LK
R+
- us
+ -uR
(3) 0+电路
L
RERiu m
LR ?2)0()0(
??? ??
L
REEu mm
L ?22
3)0( ????
VtEu ms )60s in( ??? ?
L
Eii m
LL ?2)0()0( ???
??
例 3
iL
+
uL
-
LK
R+
- us
+ -uR
+
-
+
uL
-
R
2
3 mE + -
uR
iL(0+)
iL(0+) = iL(0-) = IS
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= - RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
– 0)0( ???? RRIIi SsC
例 4
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
§ 6-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：激励 (独立电源 )为零，仅由储能元件初始储
能作用于电路产生的响应。
一, RC放电电路 已知 uC (0-)=U0
解, t
uCi C
d
d??
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
uRC
C
C
C
?
??
?
uR= Ri
RCp
1??特征根 tRCe 1 A ??
设 pt
C eu A? 0??
ptpt AeR C A p e
特征方程RCp+1=0得
ptC eu A?则
0dd ?? ptpt AetAeRC
0)1( ?? ptAeRCp
0??? CR uu
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0
A=U0
令 ? =RC,称 ?为一阶电路的 时间常数
??
?? ?
0
1
)0( ttRCc Aeu t
U0 uC
0
000 ???? ?? teIeRURui RC
t
RC
t
C
0 0 ?? ? teUu RC
t
c
tRC
c Aeu
1 ?
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?秒伏安秒欧伏库欧法欧 ??
?
?
??
??
??
?
??
???? RC?
I0
t
i
0
电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于 RC乘积
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = R C
?大 过渡过程时间的 长
?小 过渡过程时间的 短
电压初值一定：
R 大 （ C不变） i=u/R 放电电流小
放电时间 长
U0
t
uc
0 ?小
?大
C 大 （ R不变） w=0.5Cu2 储能大
?
11 ????
RCp
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为,经过 3 ? - 5 ?,过渡过程结束。
?：电容电压 衰减到 原来电压 36.8%所需的时间。
次切距的长度 t2-t1 = ?
t1时刻曲线的斜率等于
)(1dd 10 11 tueUtu Ct
t
t
C
??
? ???? ?
I0
t
uc
0
?
t1 t2
按此速率，经过 ?秒后 uc减为零
t 0 ? 2? 3? 5?
?
t
c eUu
0
?? U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(368.0)( 12 tutu CC ?
能量关系：
Rd tiW R ? ?? 0 2
C不断释放能量被 R吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量 2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量
Rd teRU RC
t
2
0
0 )( ????
2
02
1 CU?
uC R+
- C
dteRU RC
t2
0
2
0 ????
????
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
二, RL电路的零输入响应
特征方程 Lp+R=0
L
R?特征根 p =
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A
A= i(0+)= I0
i(0+) = i (0-) =
01 IRR
U S ?
?
00dd ??? tRitiL
i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
ptAeti ?)(
0)( 00 ??? ? teIeIti tL
R
pt得
t
iLu
L d
d?
令 ? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
tLReIi
0
??
0/ 0 ??? ? teRI RL
t
0/ 0 ?? ? teI RL
t
i(0)一定,L大 起始能量大
R小 放电过程消耗能量小
放电慢
?大
-RI0
uL
t
I0
t
i
0
][][][][][][ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 ???????? RL?
iL (0+) = iL(0-) = 1 A
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
例 iLK(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?V RV
10k?10V
t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象, 电压表坏了
?/ tL ei ??
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4 ????
???
01 0 0 0 0 2 5 0 0 ????? ? teiRu tLVV
分析
iL
L
R
10V
小结：
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响
应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数 ?
RC电路 ? = RC,RL电路 ? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
?
t
eyty ??? )0()(
时间常数 ?的简便计算：
R1
R2 L
? = L / R等 = L / (R1//R2 )
+
-
R1
R2 L
例 1
例 2
R等 C ? = R等 C
§ 6-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应,储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用
下产生的响应
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
列方程：iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0 非齐次线性常微分方程
解答形式为,"' ccc uuu ?? 齐次方程的通解
非齐次方程的特解
一, RC电路的零状态响应
与输入激励的变化规律有关，周期性激励时 强制分量 为
电路的稳态解，此时强制分量称为 稳态分量
RC
t
C Aeu
???? 变化规律由电路参数和结构决定
全解
uC (0+)=A+US= 0 ?A= - US
由起始条件 uC (0+)=0 定 积分常数 A
齐次方程 的通解
0dd ?? CC utuRC
,特解（强制分量）
Cu?
= US
Cu?
,通解（自由分量，暂态分量）
Cu??
RC
t
SCCC AeUuuu
????????
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
-US uC"
uC'U
S
t
i
R
US
0
t
uc
0
能量关系
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量
储存在电容中。
2
2
1
SCU?
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量,2
0
d SRC
t
S
S CUteR
UU ????
电阻消耗
tRRUtRi RCS
t
e d)(d 2
00
2 ??? ?? ?
R
C+
-
US
二, RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL ??
)1( tL
RS
L eR
Ui ???
tLR
S
L
L eUt
iLu ???
d
d
iLK(t=0)
US + –uRL +
–
uL
R
解
iL(0-)=0 求, 电感电流 iL(t)已知
LLL iii ?????
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0
R
Ui S
L ????
? A0)0(
tLRS Ae
R
U ???
三, 正弦电源激励下的 零状态响应（以 RL电路为例）
iL(0-)=0
iK(t=0)
L
+
–
uL
R
uS
+
-
)s i n ( ums tUu ?? ??
i (0-)=0
?u t
uS
求,i(t)
接入相位角
)s i n ( um tUdtdiLRi ?? ???
"' iii ??
强制分量 (稳态分量 )
自由分量 (暂态分量 ) ?tei " A ??
R
SU?
j? L
+
-
I?
22 )( LR
UI m
m ???
R
L?? a r c t g?
)s in(' ??? ??? um tIi
)s i n ( ums tUu ?? ??
iL(0-)=0
iK(t=0)
L
+
–
uL
R
uS
+
-
用相量法计算稳态解 i?
???????????
t
um AetIiii
"' )s i n(
)s i n ( ?? ??? umIA
??????
t
umum eItIi
)s i n ()s i n ( ??????解答为
讨论几种情况：
1） 合闸 时 ?u = ?,
电路直接进入稳态，不产生过渡过程。
2） ?u = ? ± ?/2 即 ?u - ? = ± ?/2
tIi m ?? s i n
mIA ??
?
t
m eIi
" ?? ?
定积分常数 A AIi um ????? )s in(0)0( ??由
则 A = 0,无暂态分量0???i
????
t
mum eItIi
)s i n ( ???? ?
?u =? -?/2时波形为
mIi 2m a x ?
最大电流出现在 t = T/2时刻。
iI
m
i?
???
t
mm eItIi
)2/s i n ( ????
-Im
i?
T/2 t
i
0
§ 6-4 一阶电路的全响应
全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应
一, 一阶电路的全响应及其两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
稳态解 uC' = US
解答为 uC(t) = uC' + uC"
uC (0-)=U0
非齐次方程
?=RC
?
t
SC eUu
A ???
暂态解 ?t
C eu
???? A
1、全响应
uC (0+)=A+US=U0 ?A=U0 - US由起始值定 A
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
uC"
-USU0
暂态解
uC'US 稳态解
U0 uc
全解
t
uc
0
(1),全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
2、全响应的两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0-)=0
+
uC (0-)=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
(2),全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
等效+
- uc
uC (0-)=U0
i
C +
- U0
uc
iC
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应
全响应
零输入响应
U0
(3).两种分解方式的比较
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
物理概念清楚
便于叠加计算
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
二, 三要素法分析一阶电路
?
t
effftf ?? ?????? ])()0([)()( 0
?
?
?
?
? ?
?
时间常数
起始值
稳态解
三要素
)0(
)(
?
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
?
t
eftf ???? A)()(
令 t = 0+ A)()0(
0 ??? ?
? ff
????
?
0)()0( ffA
cbftd fda ??
其解答一般形式为：
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
V2)0()0( ?? ?? CC uu
V667.0112 2)( ?????Cu
s2332 ???? CR 等?
033.16 6 7.0
)6 6 7.02(6 6 7.0
5.0
5.0
???
???
?
?
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关
求 换路后的 uC(t) 。
解：
t
uc
2
(V)
0.667
0
??? ?????
t
cccc euuutu )]()0([)()(
例 2
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
解,0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti ???
t > 0.2s
A2)(
s2.0
0)0(
1
??
?
??
i
i
?
Ai
i
5)(
5.0
26.1)2.0(
2
??
?
??
?
26.122)2.0( 2.05 ??? ??? ei
A74.35)( )2.0(2 ???? teti
)2.0(274.35 ???? tei
tei 522 ??? (0 < t ? 0.2)
( t ? 0.2)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.262
例 3,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0??t Tt
1,0<t<T RC t
cccc euuutu
?? ????? )]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11 ?? ?? Vu c 1)(1 ?? RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
c
0,)(1 ?? ? tVetu RC
t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
2,t >T RC tcccc euuutu ?? ????? )]()0([)()( 2222
VeTuu RC
T
cc
?? ??? 1)()0(
12
Vu c 0)(2 ?? RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC tRC
T
????
?
?
,1)(1
uc(t )
uR(t )
t0
R
Cus
uR
uc
i
t0(a) ?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b) ? >>T,uc为输出
t0输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i
2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T
uR uc
t0
(a) ? >T
R
Cus
uR
uc
i
U1
U2
uc
uR
§ 6-5 一阶电路的阶跃响应
一 单位阶跃函数
1,定义
??
?
?
??
0)( 1
0)( 0)(
t
tt?
)(t?用 来描述开关的动作
t = 0合闸 u(t) = E )(t?
t = 0合闸 i(t) = Is )(t?
t
? (t)
0
1
Is
K
)(ti
u(t))(tE?
KE u(t)
2,单位阶跃函数的延迟
?
?
?
?
???
)( 1
)( 0)(
0
0
0 tt
tttt?
3,由单位阶跃函数可组成复杂的信号
例 1
)()()( 0ttttf ??? ??
?(t)
t
f(t)
1
0
1
t0 t
f(t)
0
t
? (t-t0)
t00
1
t0
-? (t-t0)
)1()]1()([)( ????? tttttf ???
例 2
1 t
1
f(t)
0 )1()1()( ?????? tttt
)(tt?
)1()1( ???? tt
i
C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
)(t?
)( )1()( tetu RC
t
C ?
???
)( 1)( teRti RC
t
???
t
uc1
t0
R
1
i
二、阶跃响应,单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应
注意 )( tei RCt ??? 和 0 ?? ? tei RCt 的区别
t
iC
0
激励在 t = t0 时加入，
则响应从 t=t0开始。
iC
? (t -t0) C
+
–
uC
R+
-
t- t0
?RCC eRi
?
? 1
( t - t0 ) R1
t0
注意
?RCe
R
E ?
t
( t - t0 )不要写为
)5.0(10)(10 ??? ttu S ??
例 求图示电路中电流 iC(t)
10k
10kus
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)(10 t?
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)5.0(10 ?? t?
0.5
10
t(s)
us(V)
0
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
5k
)(5 t?
s5.010510100 36 ?????? ??RC?
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)5.0(10 ?t? mA)5.0()5.0(2 ??? ?? tei tC
mA)(2 tei tC ???
mA)5.0()( )5.0(22 ?????? ??? tetei ttC
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)(10 t? 等效
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
分段表示为
?
?
?
?
??? ?
s)0,5( mA 0,6 32-
s)5.0(0 mA )(
5)0.-2(-
2
te
teti
t
t
t(s)
i(mA)
0
1
-0.632
0.5
波形
0.368
mA)5.0()( )5.0(22 ????? ??? tetei ttC
)5.0()5.0()5.0()( )5.0(2222 ??????????? ????? tetetetei ttttC
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(222 ??????????? ???? tetette ttt
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(2)5.0(212 ??????????? ?????? teteette ttt
)5.0(632.0)]5.0()([ )5.0(22 ???????? ??? tette tt
§ 6-6 一阶电路的冲激响应
一 单位冲激函数
1,单位脉冲函数 p(t)
)]()([1)( ????? tttp ??
1d)( ?? ?
??
ttp?
1/ ?
t
p(t)
0
????? 1 0
)()(lim 0 ttp ????
2,单位冲激函数 ? (t)
? / 2
1/ ?
t
p(t)
-? / 2
)]2()2([1)( ??????? tttp ??
定义
??
?
?
??
0)( 0
0)( 0)(
t
tt?
? ??? ? 1d)( tt?
t
?(t)
(1)
0
+
- C
+
uc
-
ic
us
例
?
?
?
?
?
?
????
??
?
2/
2/2/)2/(
2/ 0
?
???
?
?
tE
tt
E
t
u s
sc uu ?
us
t
E
? /20-?/2
t
uCi C
C d
d? )]2/()2/([ ????
? ???? tt
CE
CE/ ?
iC
CEtiq C ?? ? ???? d
?? 0 uC?E? (t) iC ?CE ? (t)
iC
t
CE? (t)
0
uC
t
E
0
iC
t?/2
CE/ ?
0-?/2
uC
t
E
?/20-?/2
K
+
–
uCE C
iC
3,单位冲激函数的延迟 ? (t-t0)
??
?
?
?
??
???
?
?
??
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
?
?
t = t0 i
C
t
CE? (t-t0)
t00
t
? (t-t0)
t00
（ 1）
4,? 函数的筛分性
? ??? tttf d)()( ?
)(d)()( 00 tfttttf ??? ??? ?
同理有：
d)6()( s i n tttt? ?
??
?? ??
f(0)?(t)
02.162166s i n ????? ???
)0(d)()0( fttf ?? ? ??? ?
例 t
?(t)
(1)
0
f(t)
f(0)
* f(t)在 t0 处连续
=1=0
Cu c
1)0( ??
)( tRudtduC cc ???
????? ?????? 000000 )( dttdtRudtdtduC cc ?
uc 不可能是冲激函数,否则 KCL不成立
1, 分二个时间段来考虑冲激响应
iC
R
is
C
+
-
uC
0- 0+
0+ ?t 零输入响应
uC(0-)=0
电容充电
(1),t 在 0- 0+间
1)]0()0([ ?? ?? cc uuC )0( ?
Cu
电容中的冲激电流使 电容电压发生跳变
二、冲激响应,单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应
例 1.
(2),t > 0+ 零输入响应 （ RC放电）
Cu c
1)0( ??
ic
R C
+
uc
-
?? ?? 01 te
Cu
RC
t
c
?? ????? 01 te
RCR
ui RC tc
c
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
)(
1
)(
)(
1
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
c
RC
t
c
??
?
?
?
??
?
)( tdtdiLRi LL ??? iL不可能是冲激
dttdtdtdiLdtRi LL ???
?
?
?
?
?
? ??
0
0
0
0
0
0
)(?
100 ??
?
? LdiL Li L
1)0( ??
定性分析,)( tu L ??
100 ??? ? ?? dtu L? LLii LL 1)0()0( ?????? ?
LdtuLii LLL
11)0()0( 0
0 ??? ?
?
?
??
(1),t 在 0- 0+间
L
+
-
iL
R
)(t?
例 2
0)0( ??Li
+
-
uL
(2),t > 0+ RL放电
R
L??
?? ?? 01 te
Li
t
L
?
?? ????? 0 te
L
RRiu t
LL
?
)(1 teLi
t
L ?
???
)()( teLRtu
t
L ??
????
R
uL
iL
Li L
1)0( ??+
-
t
iL
0
L
1
t
uL
)(t?
L
R?
零状态 R(t))(te
2,由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃响应
单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
? (t)
单位阶跃
? (t)
dt
tdt )()( ?? ? )()( ts
dt
dth ?
零状态
h(t))(t?
零状态
s(t))(t?
证明：
?
?
1
f(t)
t
)(1)(1)( ?????? tttf ??
)(1 ts? )(1 ??
?? ts
)]()([1l i m)(
0
?????
??
tststh )( tsdtd?
??
1
注意,s(t)定义在（ -?,?）整个时间轴
)(t?先求 单位阶跃响应 令 is (t)=
)()1()( teRtu RC
t
C ?
???
iC
R
is
C
例 1
+
-
uC
uC(0+)=0 uC(?)=R ? = RC
0)0( ??cu已知：
求,is (t)为单位冲激时电路响应
uC(t)和 iC (t)
iC(0+)=1 iC(?)=0
)( tei RC
t
c ?
??
)()1( teRdtdu RC
t
C ?
???
)(t?再求 单位冲激响应 令 i s (t)=
)()1( teR RC
t
???? )(1 teC RC
t
???
)(1 teC RC
t
??? )()0(
)()(
tf
ttf
?
?
?0
)]([dd teti RC
t
c ?
??
)(1)( teRCte RC
t
RC
t
?? ?? ??
)(1)( teRCt RC
t
?? ???
uC
R
t
0
iC
1
t
0
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
冲激响应
阶跃响应
1、零输入响应，零状态响应，全响应
本章重点掌握：
3、阶跃响应和冲激响应
2、稳态分量 暂态分量
§ 7-1 动态电路的方程及其初始条件方程
K未动作前
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
一, 什么是动态电路
i
+
–
uCUs R C
稳态分析：
K
+
–
uCUs R C
it = 0
K接通电源后很长时间
动态电路概述
K
+
–
uCUs R C
i
初始状态
过渡状态
新稳态t1
USuc
t0
a,动态电路,含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时
需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
习惯上称为电路的过渡过程
b,动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路的方程为微分方程
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程
Sc
c Uu
td
duRC ??
iR
US
二,过渡过程产生的原因
1,电路内部含有储能元件 L, M,C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
t
wp
?
??
2,电路结构、状态发生变化
支路接入或断开 ; 参数变化
换路
+
- us
R1
R2 R3
三,稳态分析和动态分析的区别
稳 态
换路发生 很长时间 后重新
达到稳态 换路 刚 发生后的整个变化过程
微分方程的特解
动 态
微分方程的一般解
恒定或周期性激励 任意激励
四, 一阶电路
换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
经典法
时域分析法
复频域分析法
时域分析法
拉普拉斯变换法
状态变量法
数值法
五, 动态电路的分析方法
0011
1
1 ?????? ?
?
? tuiadt
dia
dt
ida
dt
ida
n
n
nn
n
n ?
激励 u(t) 响应 i(t)
电路的初始条件
一, t = 0+与 t = 0-的概念
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间
0+ 换路后一瞬间
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ? )(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ?
初始条件为 t = 0+时 u, i 及其各阶导数的值
0- 0+0
t
f(t)
二,换路定律（开闭定则）
?? d)(1)( ? ??? tC iCtu ???? d)(1d)(1 00 ?? ?? ?? ?? t iCiC
?? d)(1)0( 0? ??? ? tC iCu
q=C uC
t = 0+时刻
?? d)(1)0()0( 00?
?
???
?? i
Cuu CC
?? d)()0()( 0? ??? ? t iqtq
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q(0+) = q (0-)
uC (0+) = uC (0-)
电荷守恒
结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
1.
? ?? ???? ?? 00 )()0()0( diqq
? ?? ???00 0)( di
t
iLu L
d
d? ??? ?
?? d)(
1)( t
L uLti
?????? ?? ?
?
?? d))(
1d)(1)(
0
0 t
L uLuLti
?? duLi tL )(1)0( 0??? ??
当 u为有限值时
?????? ? ?? d)()0()( 0 t utLLi??
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
磁链守恒
i u L+
-
L
结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
2.
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
qc(0+) = qc (0-)
uC (0+) = uC (0-)
换路定律：
换路定律 成立的条件注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
三, 电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0( ????Ci
(1) 由 0-电路求 uC(0-)或 iL(0-)
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0-)=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+) i
C(0--)=0 iC(0+)
例 1 +
- 10V
i
iC
+
uC
-k
10k
40k
求 iC(0+)
0)0( 0)0( ??? ?? LL uu? ?
iL(0+)= iL(0-) =2A
Vu L 842)0( ??????
例 2
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
+
uL
-10V
1? 4?
0+电路
2A
先求 Ai
L 241
10)0( ?
??
?
由换路定律,
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等值电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容 （ 电感 ）用 电压源 （ 电流源 ）替代。
a,换路后的电路
取 0+时刻值，方向同原假定的电容电压,电感电流方向。
?
?
? 30
j
60 ??
???
??
L
E
L
EI mm
Lm
)30s i n ( ????? tLEi mL
L
E
t
L
E
i mtmL
?
????
?
? ??
2
)30s i n ()0( 0?
(1)
(2) LEii mLL ?2)0()0( ??? ??
).0(),0(),0( ??? RLL uui求
VtEu ms )60s in( ??? ?
已知例 3
iL
+
uL
-
LK
R+
- us
+ -uR
(3) 0+电路
L
RERiu m
LR ?2)0()0(
??? ??
L
REEu mm
L ?22
3)0( ????
VtEu ms )60s in( ??? ?
L
Eii m
LL ?2)0()0( ???
??
例 3
iL
+
uL
-
LK
R+
- us
+ -uR
+
-
+
uL
-
R
2
3 mE + -
uR
iL(0+)
iL(0+) = iL(0-) = IS
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= - RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
– 0)0( ???? RRIIi SsC
例 4
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
§ 6-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：激励 (独立电源 )为零，仅由储能元件初始储
能作用于电路产生的响应。
一, RC放电电路 已知 uC (0-)=U0
解, t
uCi C
d
d??
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
uRC
C
C
C
?
??
?
uR= Ri
RCp
1??特征根 tRCe 1 A ??
设 pt
C eu A? 0??
ptpt AeR C A p e
特征方程RCp+1=0得
ptC eu A?则
0dd ?? ptpt AetAeRC
0)1( ?? ptAeRCp
0??? CR uu
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0
A=U0
令 ? =RC,称 ?为一阶电路的 时间常数
??
?? ?
0
1
)0( ttRCc Aeu t
U0 uC
0
000 ???? ?? teIeRURui RC
t
RC
t
C
0 0 ?? ? teUu RC
t
c
tRC
c Aeu
1 ?
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?秒伏安秒欧伏库欧法欧 ??
?
?
??
??
??
?
??
???? RC?
I0
t
i
0
电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于 RC乘积
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = R C
?大 过渡过程时间的 长
?小 过渡过程时间的 短
电压初值一定：
R 大 （ C不变） i=u/R 放电电流小
放电时间 长
U0
t
uc
0 ?小
?大
C 大 （ R不变） w=0.5Cu2 储能大
?
11 ????
RCp
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为,经过 3 ? - 5 ?,过渡过程结束。
?：电容电压 衰减到 原来电压 36.8%所需的时间。
次切距的长度 t2-t1 = ?
t1时刻曲线的斜率等于
)(1dd 10 11 tueUtu Ct
t
t
C
??
? ???? ?
I0
t
uc
0
?
t1 t2
按此速率，经过 ?秒后 uc减为零
t 0 ? 2? 3? 5?
?
t
c eUu
0
?? U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(368.0)( 12 tutu CC ?
能量关系：
Rd tiW R ? ?? 0 2
C不断释放能量被 R吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量 2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量
Rd teRU RC
t
2
0
0 )( ????
2
02
1 CU?
uC R+
- C
dteRU RC
t2
0
2
0 ????
????
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
二, RL电路的零输入响应
特征方程 Lp+R=0
L
R?特征根 p =
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A
A= i(0+)= I0
i(0+) = i (0-) =
01 IRR
U S ?
?
00dd ??? tRitiL
i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
ptAeti ?)(
0)( 00 ??? ? teIeIti tL
R
pt得
t
iLu
L d
d?
令 ? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
tLReIi
0
??
0/ 0 ??? ? teRI RL
t
0/ 0 ?? ? teI RL
t
i(0)一定,L大 起始能量大
R小 放电过程消耗能量小
放电慢
?大
-RI0
uL
t
I0
t
i
0
][][][][][][ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 ???????? RL?
iL (0+) = iL(0-) = 1 A
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
例 iLK(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?V RV
10k?10V
t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象, 电压表坏了
?/ tL ei ??
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4 ????
???
01 0 0 0 0 2 5 0 0 ????? ? teiRu tLVV
分析
iL
L
R
10V
小结：
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响
应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数 ?
RC电路 ? = RC,RL电路 ? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
?
t
eyty ??? )0()(
时间常数 ?的简便计算：
R1
R2 L
? = L / R等 = L / (R1//R2 )
+
-
R1
R2 L
例 1
例 2
R等 C ? = R等 C
§ 6-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应,储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用
下产生的响应
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
列方程：iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0 非齐次线性常微分方程
解答形式为,"' ccc uuu ?? 齐次方程的通解
非齐次方程的特解
一, RC电路的零状态响应
与输入激励的变化规律有关，周期性激励时 强制分量 为
电路的稳态解，此时强制分量称为 稳态分量
RC
t
C Aeu
???? 变化规律由电路参数和结构决定
全解
uC (0+)=A+US= 0 ?A= - US
由起始条件 uC (0+)=0 定 积分常数 A
齐次方程 的通解
0dd ?? CC utuRC
,特解（强制分量）
Cu?
= US
Cu?
,通解（自由分量，暂态分量）
Cu??
RC
t
SCCC AeUuuu
????????
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
-US uC"
uC'U
S
t
i
R
US
0
t
uc
0
能量关系
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量
储存在电容中。
2
2
1
SCU?
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量,2
0
d SRC
t
S
S CUteR
UU ????
电阻消耗
tRRUtRi RCS
t
e d)(d 2
00
2 ??? ?? ?
R
C+
-
US
二, RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL ??
)1( tL
RS
L eR
Ui ???
tLR
S
L
L eUt
iLu ???
d
d
iLK(t=0)
US + –uRL +
–
uL
R
解
iL(0-)=0 求, 电感电流 iL(t)已知
LLL iii ?????
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0
R
Ui S
L ????
? A0)0(
tLRS Ae
R
U ???
三, 正弦电源激励下的 零状态响应（以 RL电路为例）
iL(0-)=0
iK(t=0)
L
+
–
uL
R
uS
+
-
)s i n ( ums tUu ?? ??
i (0-)=0
?u t
uS
求,i(t)
接入相位角
)s i n ( um tUdtdiLRi ?? ???
"' iii ??
强制分量 (稳态分量 )
自由分量 (暂态分量 ) ?tei " A ??
R
SU?
j? L
+
-
I?
22 )( LR
UI m
m ???
R
L?? a r c t g?
)s in(' ??? ??? um tIi
)s i n ( ums tUu ?? ??
iL(0-)=0
iK(t=0)
L
+
–
uL
R
uS
+
-
用相量法计算稳态解 i?
???????????
t
um AetIiii
"' )s i n(
)s i n ( ?? ??? umIA
??????
t
umum eItIi
)s i n ()s i n ( ??????解答为
讨论几种情况：
1） 合闸 时 ?u = ?,
电路直接进入稳态，不产生过渡过程。
2） ?u = ? ± ?/2 即 ?u - ? = ± ?/2
tIi m ?? s i n
mIA ??
?
t
m eIi
" ?? ?
定积分常数 A AIi um ????? )s in(0)0( ??由
则 A = 0,无暂态分量0???i
????
t
mum eItIi
)s i n ( ???? ?
?u =? -?/2时波形为
mIi 2m a x ?
最大电流出现在 t = T/2时刻。
iI
m
i?
???
t
mm eItIi
)2/s i n ( ????
-Im
i?
T/2 t
i
0
§ 6-4 一阶电路的全响应
全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应
一, 一阶电路的全响应及其两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
稳态解 uC' = US
解答为 uC(t) = uC' + uC"
uC (0-)=U0
非齐次方程
?=RC
?
t
SC eUu
A ???
暂态解 ?t
C eu
???? A
1、全响应
uC (0+)=A+US=U0 ?A=U0 - US由起始值定 A
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
uC"
-USU0
暂态解
uC'US 稳态解
U0 uc
全解
t
uc
0
(1),全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
2、全响应的两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0-)=0
+
uC (0-)=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
(2),全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
等效+
- uc
uC (0-)=U0
i
C +
- U0
uc
iC
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应
全响应
零输入响应
U0
(3).两种分解方式的比较
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
物理概念清楚
便于叠加计算
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
二, 三要素法分析一阶电路
?
t
effftf ?? ?????? ])()0([)()( 0
?
?
?
?
? ?
?
时间常数
起始值
稳态解
三要素
)0(
)(
?
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
?
t
eftf ???? A)()(
令 t = 0+ A)()0(
0 ??? ?
? ff
????
?
0)()0( ffA
cbftd fda ??
其解答一般形式为：
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
V2)0()0( ?? ?? CC uu
V667.0112 2)( ?????Cu
s2332 ???? CR 等?
033.16 6 7.0
)6 6 7.02(6 6 7.0
5.0
5.0
???
???
?
?
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关
求 换路后的 uC(t) 。
解：
t
uc
2
(V)
0.667
0
??? ?????
t
cccc euuutu )]()0([)()(
例 2
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
解,0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti ???
t > 0.2s
A2)(
s2.0
0)0(
1
??
?
??
i
i
?
Ai
i
5)(
5.0
26.1)2.0(
2
??
?
??
?
26.122)2.0( 2.05 ??? ??? ei
A74.35)( )2.0(2 ???? teti
)2.0(274.35 ???? tei
tei 522 ??? (0 < t ? 0.2)
( t ? 0.2)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.262
例 3,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0??t Tt
1,0<t<T RC t
cccc euuutu
?? ????? )]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11 ?? ?? Vu c 1)(1 ?? RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
c
0,)(1 ?? ? tVetu RC
t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
2,t >T RC tcccc euuutu ?? ????? )]()0([)()( 2222
VeTuu RC
T
cc
?? ??? 1)()0(
12
Vu c 0)(2 ?? RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC tRC
T
????
?
?
,1)(1
uc(t )
uR(t )
t0
R
Cus
uR
uc
i
t0(a) ?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b) ? >>T,uc为输出
t0输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i
2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T
uR uc
t0
(a) ? >T
R
Cus
uR
uc
i
U1
U2
uc
uR
§ 6-5 一阶电路的阶跃响应
一 单位阶跃函数
1,定义
??
?
?
??
0)( 1
0)( 0)(
t
tt?
)(t?用 来描述开关的动作
t = 0合闸 u(t) = E )(t?
t = 0合闸 i(t) = Is )(t?
t
? (t)
0
1
Is
K
)(ti
u(t))(tE?
KE u(t)
2,单位阶跃函数的延迟
?
?
?
?
???
)( 1
)( 0)(
0
0
0 tt
tttt?
3,由单位阶跃函数可组成复杂的信号
例 1
)()()( 0ttttf ??? ??
?(t)
t
f(t)
1
0
1
t0 t
f(t)
0
t
? (t-t0)
t00
1
t0
-? (t-t0)
)1()]1()([)( ????? tttttf ???
例 2
1 t
1
f(t)
0 )1()1()( ?????? tttt
)(tt?
)1()1( ???? tt
i
C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
)(t?
)( )1()( tetu RC
t
C ?
???
)( 1)( teRti RC
t
???
t
uc1
t0
R
1
i
二、阶跃响应,单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应
注意 )( tei RCt ??? 和 0 ?? ? tei RCt 的区别
t
iC
0
激励在 t = t0 时加入，
则响应从 t=t0开始。
iC
? (t -t0) C
+
–
uC
R+
-
t- t0
?RCC eRi
?
? 1
( t - t0 ) R1
t0
注意
?RCe
R
E ?
t
( t - t0 )不要写为
)5.0(10)(10 ??? ttu S ??
例 求图示电路中电流 iC(t)
10k
10kus
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)(10 t?
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)5.0(10 ?? t?
0.5
10
t(s)
us(V)
0
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
5k
)(5 t?
s5.010510100 36 ?????? ??RC?
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)5.0(10 ?t? mA)5.0()5.0(2 ??? ?? tei tC
mA)(2 tei tC ???
mA)5.0()( )5.0(22 ?????? ??? tetei ttC
10k
10k
+
-
ic
100?F
uC(0-)=0
)(10 t? 等效
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
分段表示为
?
?
?
?
??? ?
s)0,5( mA 0,6 32-
s)5.0(0 mA )(
5)0.-2(-
2
te
teti
t
t
t(s)
i(mA)
0
1
-0.632
0.5
波形
0.368
mA)5.0()( )5.0(22 ????? ??? tetei ttC
)5.0()5.0()5.0()( )5.0(2222 ??????????? ????? tetetetei ttttC
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(222 ??????????? ???? tetette ttt
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(2)5.0(212 ??????????? ?????? teteette ttt
)5.0(632.0)]5.0()([ )5.0(22 ???????? ??? tette tt
§ 6-6 一阶电路的冲激响应
一 单位冲激函数
1,单位脉冲函数 p(t)
)]()([1)( ????? tttp ??
1d)( ?? ?
??
ttp?
1/ ?
t
p(t)
0
????? 1 0
)()(lim 0 ttp ????
2,单位冲激函数 ? (t)
? / 2
1/ ?
t
p(t)
-? / 2
)]2()2([1)( ??????? tttp ??
定义
??
?
?
??
0)( 0
0)( 0)(
t
tt?
? ??? ? 1d)( tt?
t
?(t)
(1)
0
+
- C
+
uc
-
ic
us
例
?
?
?
?
?
?
????
??
?
2/
2/2/)2/(
2/ 0
?
???
?
?
tE
tt
E
t
u s
sc uu ?
us
t
E
? /20-?/2
t
uCi C
C d
d? )]2/()2/([ ????
? ???? tt
CE
CE/ ?
iC
CEtiq C ?? ? ???? d
?? 0 uC?E? (t) iC ?CE ? (t)
iC
t
CE? (t)
0
uC
t
E
0
iC
t?/2
CE/ ?
0-?/2
uC
t
E
?/20-?/2
K
+
–
uCE C
iC
3,单位冲激函数的延迟 ? (t-t0)
??
?
?
?
??
???
?
?
??
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
?
?
t = t0 i
C
t
CE? (t-t0)
t00
t
? (t-t0)
t00
（ 1）
4,? 函数的筛分性
? ??? tttf d)()( ?
)(d)()( 00 tfttttf ??? ??? ?
同理有：
d)6()( s i n tttt? ?
??
?? ??
f(0)?(t)
02.162166s i n ????? ???
)0(d)()0( fttf ?? ? ??? ?
例 t
?(t)
(1)
0
f(t)
f(0)
* f(t)在 t0 处连续
=1=0
Cu c
1)0( ??
)( tRudtduC cc ???
????? ?????? 000000 )( dttdtRudtdtduC cc ?
uc 不可能是冲激函数,否则 KCL不成立
1, 分二个时间段来考虑冲激响应
iC
R
is
C
+
-
uC
0- 0+
0+ ?t 零输入响应
uC(0-)=0
电容充电
(1),t 在 0- 0+间
1)]0()0([ ?? ?? cc uuC )0( ?
Cu
电容中的冲激电流使 电容电压发生跳变
二、冲激响应,单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应
例 1.
(2),t > 0+ 零输入响应 （ RC放电）
Cu c
1)0( ??
ic
R C
+
uc
-
?? ?? 01 te
Cu
RC
t
c
?? ????? 01 te
RCR
ui RC tc
c
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
)(
1
)(
)(
1
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
c
RC
t
c
??
?
?
?
??
?
)( tdtdiLRi LL ??? iL不可能是冲激
dttdtdtdiLdtRi LL ???
?
?
?
?
?
? ??
0
0
0
0
0
0
)(?
100 ??
?
? LdiL Li L
1)0( ??
定性分析,)( tu L ??
100 ??? ? ?? dtu L? LLii LL 1)0()0( ?????? ?
LdtuLii LLL
11)0()0( 0
0 ??? ?
?
?
??
(1),t 在 0- 0+间
L
+
-
iL
R
)(t?
例 2
0)0( ??Li
+
-
uL
(2),t > 0+ RL放电
R
L??
?? ?? 01 te
Li
t
L
?
?? ????? 0 te
L
RRiu t
LL
?
)(1 teLi
t
L ?
???
)()( teLRtu
t
L ??
????
R
uL
iL
Li L
1)0( ??+
-
t
iL
0
L
1
t
uL
)(t?
L
R?
零状态 R(t))(te
2,由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃响应
单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
? (t)
单位阶跃
? (t)
dt
tdt )()( ?? ? )()( ts
dt
dth ?
零状态
h(t))(t?
零状态
s(t))(t?
证明：
?
?
1
f(t)
t
)(1)(1)( ?????? tttf ??
)(1 ts? )(1 ??
?? ts
)]()([1l i m)(
0
?????
??
tststh )( tsdtd?
??
1
注意,s(t)定义在（ -?,?）整个时间轴
)(t?先求 单位阶跃响应 令 is (t)=
)()1()( teRtu RC
t
C ?
???
iC
R
is
C
例 1
+
-
uC
uC(0+)=0 uC(?)=R ? = RC
0)0( ??cu已知：
求,is (t)为单位冲激时电路响应
uC(t)和 iC (t)
iC(0+)=1 iC(?)=0
)( tei RC
t
c ?
??
)()1( teRdtdu RC
t
C ?
???
)(t?再求 单位冲激响应 令 i s (t)=
)()1( teR RC
t
???? )(1 teC RC
t
???
)(1 teC RC
t
??? )()0(
)()(
tf
ttf
?
?
?0
)]([dd teti RC
t
c ?
??
)(1)( teRCte RC
t
RC
t
?? ?? ??
)(1)( teRCt RC
t
?? ???
uC
R
t
0
iC
1
t
0
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
冲激响应
阶跃响应
