a0 a1 star a2a3a4a5a6a7a8a9a10 4 star §1.7 a11a12a8a13a14a15a16a17a18a6a7 a0a1a2 a3a4a5a6 a71 a8 a9a10a11 a12 a13 a14 a15 §2.1 a16a17a18a19a20a21a19a22 a23a24 a25w = f(z) a26a27a28G a29a30a31a32a33a34a35a36a37a38 G a29a30a39a40 z a35 lim ?z→0 ?w ?z = lim?z→0 f(z + ?z)?f(z) ?z a41 a38a35a42a43a33a34 f(z)a38z a40a44a45a46 a47a48a49 a32a35a50a51 fprime(z)a35a52a43a51f(z)a38z a40a30a45a34a46 a36a37a33a34w = f(z)a38z a40a30a53a54a55 ?w = f(z + ?z)?f(z)a44a56a57a58 ?w = A(z)?z + ρ(?z), a59a60 lim ?z→0 ρ(?z) ?z = 0, a42a43w = f(z)a38z a40a61a62a35?w a30a63a64a65a66 A(z)?z a43a51a33a34w a38z a40a30a62a67a35a50a68 dw = A(z)dz, a59a60a69a70 dz = ?z a46 a71a72a73a74 a35a36a37a33a34w = f(z)a38za40a44a45a35a42a75 a70 a38a76a40a44a77a35 a78a79a80a81 a46 a82a83A(z) = fprime(z) a35 a52 dw = fprime(z)dz a84 dw dz = f prime(z). a85a47 a45a34a86a43a68a62a87a46 a88a89 lim ?z→0 (?w/?z)a90a91a35 a92a93a94a95?z a96 a97a93a98a99a100a1010 a102a35?w/?za103 a100a101a104 a105a106a107a108a109 a46 a110a111a112a113 a35a114a115a116?z a96a117 a104a98a99a100a1010 a35 ?w/?z a100a101a117 a104 a106a109a106a118 a35a119 lim ?z→0 (?w/?z)a120a117a90 a91 a106 a46 a121a122 a26a35a123a124 ?z → 0a30a125a126 a121a127a128a129 a35a130a44a56a131a132 a133 a24 a61 a23a134a135a136a137a138 a46 ? ?x → 0a35?y = 0a35 fprime(z) = lim ?z→0 ?w ?z = lim?x→0 ?u + i?v ?x = ?u ?x + i ?v ?x; ? ?x = 0a35?y → 0a35 fprime(z) = lim ?z→0 ?w ?z = lim?y→0 ?u + i?v i?y = ?v ?y ?i ?u ?y. a85a47 ?u ?x = ?v ?y, ?u ?y = ? ?v ?x. §2.1 a139 a6a140a141a142a143a141a144 a72 a8 a145 a125a146 a128a147 a43a51 Cauchy-Riemanna128a147a46 Cauchy-Riemanna128a147a35a26a33a34a44a45a30a148a149a150a151a35a152a153a26a154a66a150a151a46a152a26a35a44a56a73a74a35 a114a115 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) a106a155a156 u(x,y) a157a158 a156 v(x,y) a159a160a161a162 a35a163a164a165 Cauchy- Riemanna98a166a35a119a167a168 f(z)a160a169a46 a170a171 a34a172a173a75a174a35 ? a36a37a33a34f(z)a38z a40a44a45a35a42a38z a40a148a175a176a177 ? a152a26a33a34a38a39a40a175a176a35 a82 a153a178a179a180a33a34a38a76a40a44a45a46 ? a181a182a183 a145 a174a30a172a184a185a33a34a38a39a27a28a29a186a186a175a176a35a187a186a186a153a44a45a46 a45a34a30 a70a188 a38a173 a129a189a170a171 a34 a60 a75a174a35a190a26a191a192a54a55 xa193a58a194z a46 a85a47 a35a38a195a196a34a197 a60 a30a198a126a199a45 a34a30a200 a129a201 a44a56a202a203a132a204a34 a60a205 a46a206a36 (zn)prime = nzn?1, n = 0, 1, 2, ···. a162a207a208a209a210a211a212 ?u/?x, ?u/?y, ?v/?xa213?v/?ya214a215a216a217a218a219 a0a1a2 a3a4a5a6 a73 a8 §2.2 a220 a221 a222 a17 a223a224 a133 a24 a38a27a28G a29a225a75a40 a201 a44a45a30a33a34a35a43a51 G a29a30a226a227a33a34a46 a91a168a228a229a230a231a232a233a234a235(analytic) a236a237a238 a239a240a241(holomorphic) a46 a242a243a106a244a245 a231a246a247 a111a106a104a248a249 a250a107 “homodromic”( a251 a109) a252 “monogenic” (a251a253) a252 “regular”(a254a119) a157 “synetic” a255a46a0a1a2 a249a3a112 a103a120a247 a112a4a5a6a7 a234a235a167a168 a106a8a9a10a11 a35a12 a112a13a14a15a16a17a18 a120a19a20a255a21 a106 a35a22a23a24a25a26a247a46 a133 a24w = f(z) a27Ga28 a223a224a134a135a136a137a138 a38G a29a186a186a29a30 Cauchy-Riemanna128a147a46 1814a31a35Cauchya91a32a33(a155a106)a34a35a36 a4a37a38 a102a39 a16a40Cauchy-Riemanna98a166 a35 a41 a23a42a43a44 a107 a233a0a1 a98a166a45a46 a120(a47)a167a168a33 a106a48a49 a46 Riemanna120a50a51 a9a52a53dw/dz a106 a90a91 a11 a120a54?w/?z a106a55 a108a56a57a58 a101z + ?z a100a59a101z a106a60 a51a61a62a63a103a20 a104 a106a64 a46a42 a14a15a16 a167a168 f(z) = u+ iv a91a51a65a66a67a68 a69 a234a235a35a114a115 a17a70a71 a160a161a43a163a164a165 Cauchy-Riemanna98a166a46 a67 a155a88a89a106Cauchy-Riemann a98a166 a35 a242a243a92a72a73a74a75 a91d’Alembert a76 a101a77a78a79 a33 a106a80 a237a231(1752 a31)a46a91Euler(1777a31)a157Lagrangea106a80a237a231a81a74a75a111a46 a226a227a33a34a30 a171 a65 a170a82 a65a153a26a83a84a30a46 Cauchy-Riemanna128a147a78a85a194a226a227a33a34a30 a171 a65a86 a82 a65 a79 a87 a30a88a89a46a206a36a35 a85 a51 dv = ?v?xdx + ?v?ydy = ??u?ydx + ?u?xdy a26a90a77a66a35 a85a47 a35a91a226a227a33a34a30 a171 a65 u(x,y)a35a92a93a94a66integraldisplay (x,y) parenleftbigg ??u?ydx + ?u?xdy parenrightbigg , a44a56a95a75a96 (a44a97a75a146a44a98a99a34) a100 a70a82 a65 v(x,y)a46 a101 a174a35a102a103a226a227a33a34a30 a82 a65 v(x,y) a35a86a44a56a95a75a96 (a86a26a44a97a75a146a44a98a99a34) a100 a70a59a171 a65 u(x,y)a46 a104 2.1 a102a103u(x,y) = x2 ?y2 a35a199f(z)a46 a223 dv = ??u ?ydx + ?u ?xdy = 2(ydx + xdy)a35a105a56v = 2xy + C a35 f(z) = parenleftbigx2 ?y2parenrightbig+ i(2xy + C) = z2 + iC. a106a223 a38u(x,y) a60a107a108a109a110 x = z + z ? 2 , y = z ?z? 2i , a111a112a113u(x,y) a114a58[f(z) + f?(z)]/2a30a173 a129 a35 u(x,y) = parenleftbiggz + z? 2 parenrightbigg2 ? parenleftbiggz ?z? 2i parenrightbigg2 = 12bracketleftbigz2 +parenleftbigz2parenrightbig?bracketrightbig, a101 a174a86a178a199a180 f(z) = z2 + iC a46 §2.2 a3 a4 a5 a6 a74a8 (a51a115a116a117a118 a119a120a121a122a123 a119a35 a113a124a120a121a125a126a122) a226a227a33a34a30 a171 a65a252 a82 a65 a79a87 a30 a145 a126a127a128a129a130a131a89a35 a132 a44a56a173a133a114a134a135a180 a205 a46a36a37a38a136a137 a189 a68a75 a138a139 a63a35u(x,y) =a99a34a35 a140a141 a35 a145 a75 a138a139 a63a30a142a63a30 a128a143a144 a55a145a26(?u/?y, ??u/?x)a46 a101 a174a35 a146 a68a75 a138a139 a63a35v(x,y) =a99a34a35 a147a148 a30a142a63a30 a128a143a144 a55a149 a81 a86a130a26 (?v/?y, ??v/?x)a46a91Cauchy-Riemann a128a147 a35a44a56a199a131 a145 a125 a138a128a143a144 a55 a79a87 a30a150a94 parenleftbigg?u ?y, ? ?u ?x parenrightbigg? ? ?v/?y ??v/?x ? ? = ?u?y ?v?y + ?u?x ?v?x = 0. a145 a134 a74 a35 a145 a125 a138a139 a63a26a127a128a151a152a30a46a153 2.1 a60a154a180a194a125a146 a145 a174a30a206a155a46 a147a148 a66 a122 a26a33a34 w = z2 a170 w = 1/z2 a46a153 a60 a30a156 a171 a63a134a157 a171 a65 u(x,y) =a99a34a35a158 a171 a63a134a157 a82 a65 v(x,y) =a99a34a46 a1592.1 star a160a161a162a163a164a165a133 a24 a35a166a167a168a61a169a170a171a172 a223a224 a133 a24a134a173a174a175a176a174a177a122 a178a179 a26a180 a70 a30a46 3.2a181 a60a113a73a74 a35a68a51a226a227a33a34a30 a171 a65 a170a82 a65a35 u(x,y)a170v(x,y)a35 a147a148 a30a182 a183a184 a45a34a75 a70a41 a38 a82a83 a175a176a35 a85a47 a35a185a186 Cauchy-Riemann a128a147 a35a183 ?2u ?x2 = ? ?x ?v ?y = ?2v ?x?y, ?2u ?y2 = ? ?y parenleftbigg ??v?x parenrightbigg = ? ? 2v ?x?y, ?2v ?x2 = ? ?x parenleftbigg ??u?y parenrightbigg = ? ? 2u ?x?y, ?2v ?y2 = ? ?y ?u ?x = ?2u ?x?y. a145a187a74 a35u(x,y)a170v(x,y)a201a148a188a29a30a182a189 Laplacea128a147 ?2u ?x2 + ?2u ?y2 = 0, ?2v ?x2 + ?2v ?y2 = 0. a52a226a227a33a34a30 a171 a65 a170a82 a65 a201 a148a188a26a190 a170 a33a34a46 a0a1a2 a3a4a5a6 a75 a8 a33a34a30a226a227a64a35a26a75a146a191a195a30a149a199a35 a145 a134a135a51a226a227a33a34a192a183a75a89a193a30a194a149a64a195a46a196a197a226a227a33 a34a30a198a126 a121a127 a64a195a35a130a26a204a54a33a34a197a30 a60a198a199a200 a46 a33a34a30a226a227a64a35a201a26 a170 a75 a70 a30a27a28a88a89a38a75a202a30a46 a238a33a34a38a39a40a226a227 a241 a35a203a204a226a51a33a34a38a76a40a205 a59a206 a28a29a186a186a44a45a46 a36a37 ? a75a146a33a34a38a39a40 z0 a207 a70a188 a35 ? a84a208a38z0 a209 a183 a70a188 a152a153a44a45a35 ? a84a208a38z0 a209 a44a45a152a153a226a227a35 a42z0 a43a51a33a34a30a210a40a46a206a36a35 z = 0a130a26a33a34 w = 1/z a30a210a40a46 a36a37a149a196a197a33a34 f(z) a38 z = ∞a40a26a180a226a227a35a42a211a68a54a193 t = 1/z a35 a81a112 a196a197a33a34 f(1/t) a38 t = 0a40a26a180a226a227a52a44a46 §2.3 a212 a213 a5 a6 a76 a8 §2.3 a214 a215 a222 a17 star a216a33a34zn star a217a34a33a34 ez star a218a219a33a34 sinz, cosz, ··· star a220 a139 a33a34 sinhz, coshz,··· star ······ a147a148a201 a44a56a221a58a26a128a203 a171 a54a33a34a38a204a34a28 a60 a30a179a222a46 ? a36a223 a113 a128a203 a171 a54a33a34a179a222a132a204a34a28 ? a145a224a33a34a30a226a227a64 ? a145a224a33a34a68a51a204a54a33a34a105a121a183a30a64a195 star a225a133 a24 zn ? a149n = 0,1,2,···a226a35zn a38a90a136a137a226a227a35a83a149 n = 1,2,···a226a35z = ∞a26a210a40a46 ? a149n = ?1,?2,?3,···a226a35zn a227z = 0a228a186a186a226a227a35a38 z = ∞a86a226a227a35 (zn)prime = nzn?1. star a229 a24 a133 a24 ez ez = ex+iy = ex (cosy + isiny). a230 a212a231a212a232a233 a230 a212a231a212a234a233 a0a1a2 a3a4a5a6 a77 a8 ? a238a217a34a33a34a128a235a196a236a217a34a128a98 a241a145 a146a237a238a239a42a35a240a236a204a217a34a33a34a241 a81 a58a84a46 ez1 ·ez2 = ex1+iy1 ·ex2+iy2 = ex1 ·ex2 ·eiy1 ·eiy2 = ex1+x2 ·ei(y1+y2) = e(x1+x2)+i(y1+y2) = ez1+z2. ? ez a38a90a136a137a226a227a35 (ez)prime = ez. ? ez a38 a207a242a243 a40 a207 a70a188 a46a206a36a35a149z a244a151 a171a245 a252 a246a171a245 a84 a82a245a247 a236∞a226a35ez a248a249 a153 a101 a30a32a46a105a56a35 z = ∞a26a217a34a33a34 ez a30a210a40a46 ? a204a217a34a33a34a30 a121 a183a64a195a185a250a251a64a35 a59 a250a251a51 2piia35 ez+2pii = ex+i(y+2pi) = ex [cos(y + 2pi) + isin(y + 2pi)] = ex [cosy + isiny] = ex+iy = ez. §2.3 a212 a213 a5 a6 a78 a8 star a252a253a133 a24 sinz,cosz,··· a204a218a219a33a34 sinz,cosz a44a56a203a204a217a34a33a34 a70a188 a35 sinz = e iz ?e?iz 2i , cosz = eiz + e?iz 2 . a254a255 a231a212a232a233 a254a255 a231a212a234a233 a0a255 a231a212a232a233 a0a255 a231a212a234a233 ? sinz, cosz a38a90a136a137a226a227a35 (sinz)prime = cosz, (cosz)prime = ?sinz. ? z = ∞a26 a147a148 a30a95a75a210a40a46 ? sinz a170cosz a201a26a250a251a33a34a35a250a251a51 2pia46 ? sinz a170cosz a30a1a44a56a2a236 1a46 i sini = e ?1 ?e1 2 = ?1.1752012···, cosi = e ?1 + e1 2 = 1.5430806···. a0a1a2 a3a4a5a6 a79 a8 a59a3 a218a219a33a34a35 tanz,cotz,secz,cscz a44a56a203 sinz a170cosz a70a188a35a173 a129a170a171 a34a226a75a174a35 tanz = sinzcosz, cotz = coszsinz , secz = 1cosz, cscz = 1sinz. a185a186 a145a224a70a188 a35 a71a72a73a74 a35 a171 a218a219a33a34a30a198a126a4a196 a129 a240a236a204a218a219a33a34a241 a81 a58a84a46 star a5a6a133 a24 sinhz,coshz,··· a220 a139 a33a34 sinhz,coshz a86a26a92a93a204a217a34a33a34 a70a188 a30a46 sinhz = e z ?e?z 2 , coshz = ez + e?z 2 , tanhz = sinhzcoshz, cothz = coshzsinhz , sechz = 1coshz, cschz = 1sinhz. ? a220 a139 a33a34 a170 a218a219a33a34a44a56a127a114 sinhz = ?isiniz, coshz = cosiz, tanhz = ?itaniz. a85a47 a35a220 a139 a33a34a30a64a195a7a90a44a56a91a218a219a33a34a179a180a46 ? a250a251a64a35a220 a139 a33a34 sinhz,coshz a30a250a251a26 2piia177 ? a45a34a200 a129 (sinhz)prime = coshz, (coshz)prime = sinhz, (tanhz)prime = sech2z. §2.4 a8 a9 a5 a6 a710 a8 §2.4 a10 a11 a222 a17 a12a109 a167a168a66a67a13a247a91a234a235a167a168 a79 a33a231a14 a107 a35 a52a15a16 a46 a17 a99 a167a168a35 a58 a168a167a168a35 a110a18a19 a167a168a35a103a120 a12a109 a167a168a46 a20a21a17a99 a167a168a66 a58 a168a167a168a35a43a22 a111 a0a23a24a167a168a25a26 a12a109 a167a168 a106 a51a1 a48a27a28a29a30 a31a32a33a34a35a36a37a38a39a40a41 a23a24 a33a34a35a36a42a43a30 star a44a45a46a47 √z ?a a44a45a46a47a48a49a50 a51a52a53a54a55 a56a57a58z a59 a60a61a62a63a64a65 w2 = z a66wa58a59a67a61a68a65a69a70√za66 a69a70a58 a59a71a72a73 a61 z a66a74a75 a68a30 a76a61a77a69a70 z2 = w a78w = z2 a66a79 a69a70a30 a76 a66a80 a58a81a82a83a84a85 a86a87a88a89a90a91a92a93a34 z a59a94a95 a35a36√z a38a96a97a90a34a30 a98a99a100a101a102a103a104a105 a80 a58a69a70 a66 a81a106 a59 a83a84a107a108a109a110 a53a111 a69a70 w = √z ?a. a112a113a114a115a116a82a117a65 w = ρeiφ, z ?a = reiθ, a118a119a120a121 ρ = √r, φ = θ2 + npi, n = 0,±1,±2,···. a122a123 a59a124a125a51a52a66a53a54 z a58a59 a121a126 a54 w a58a127a128a124a129 a85 w1(z) =√reiθ/2 a130a131a125a132a133a66n = 0,±2,··· w2(z) =√rei(pi+θ/2) = ?√reiθ/2 a130a131a125n = ±1,±3,··· a134a135a85 ? a69a70w = √z ?aa66a80 a58a81a136a137 a125a138a139a66a80 a58a81 a59 a140a141 a73a59 a136a137 a125a142 a57 z ?a( a143a144a55 a56a57 z) a138a139a66a80 a58a81a30 ? a80 a58a81 a66 a82a83a120a61a69a70 w a66a138a139 a30 a98a99a141 a52a145a146a59a147a148 a67a149a69a70 w = √z ?a a150 a141a82a151a152 |w| = radicalbig |z ?a|, argw = 12 arg(z ?a). a153a154a155 a156a157a158a159 a16011 a161 a98a99a100a162 a53a163a164 a151 a80 a58a69a70w = √z ?a a66 a81a106 a59 a83a84a165a166a167 a52a168z a74a133a132a169a53a170 arg(z ?a) a66 a58 a59a143a148a171a172 za173a53a52a174a175a176a177 a56a178a179 a59 a130 a129a66wa58a66a176a177a56a178a30a131za173a53a52a180a181a182a183a174a175(a78 a55 a184a165 a130a185 a66a182a183a174a175) a56a178 a53a186a187a188a189a190 a179 a59a191a192 a105a83a126a193a134a194a30 ?a182a183a174a175a195 a165a196a197a a170a59z a173a182a183a174a175 a56a178 a53a186a187a188a189a190a59arg(z ?a)a198a199a189a59 a122a123 a124a129a66 a69a70a58a165a56a30 a200a85a201 2.2a a202a66C1 a30 a2032.2a a2032.2b ?a182a183a174a175a195 a197a121a a170a59 a131z a56a178 a53a186a187a188a189a190 a179 a59arg(z?a)a204a205 2pia59argwa206 a128 a204a205pia59 a122 a143w a58a207a165 a199a189 a30 a200a85a201 2.2b a202a66C2 a59 a122a123 a59aa170 a84 a80 a58a69a70 w = √z ?a a202a208 a121a209a210 a66 a103a211a85 ?a131z a212aa170a213a53a214a187a188a189a190 a179 a59a124a129a66 a69a70a58a165 a199a189a215 ?a143 a131z a165 a212aa170a213a53a214a187a188a189a190 a179 a59 a69a70a58 a199a189 a30 aa170a216 a98 a80 a58a69a70 w = √z ?a a66a217a170 a30 z = ∞a198 a61 a80 a58a69a70 w = √z ?a a66a217a170 a30 a218a219a104a136 a59 a98a99a220a221a141 a52a80 a58a69a70w = √z ?a a66 a69a70a58a127 a55 a56a57z a58a128a222 a66a124a129a223a224a59 a225a226 a191a147 a112a113a126a193a227a228a30 a229a230a231a232 a48a233a234a235a236a49a237a238z?aa48a239a240a241a242a243a244 a30 a131 a142 a57z?a a66a138a139a245a246 a84 a169a54a186a247a195 a179 a59 w = √z ?aa66a138a139a198 a67a248 a53 a103a141 a52 a99 a59 a122 a143wa58a198 a67a248 a53 a103a141 a52 a30a200a249 a59 a167 a520 ≤ arg(z?a) < 2pi a712pi ≤ arg(z ?a) < 4pia59 a64a64a30 §2.4 a250 a251 a158 a159 a16012 a161 a200a85a252w = √z ?1 a59 a167 a52 0 ≤ arg(z ?1) < 2pia59a253w(2), w(i), w(0), w(?i)a30 a254 argw = 1 2 arg(z?1) a30a122a980 ≤ arg(z?1) < 2pi a59 a255 a147 arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=2 = 0, w(2) = 1, arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=i = 34pi, w(i) = 4√2e3pii/8, arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=0 = pi, w(0) = epii/2 = i, arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=?i = 54pi, w(?i) = 4√2e5pii/8. ?a84a138a139 a167 a52 0 ≤ arg(z ?a) < 2pia111a59w a66a138a139a53a52a245a246 a84 0 ≤ argw < pi a59a78a0a245a246 a84 a132a1 a74a133 a30 a84a218a219 a66a245a246a111a59 w = √z ?aa58a127a55 a56a57z a58a128a222a2a84 a53a53a124a129a66a223a224 a30 a2032.3a a2032.3b ?a249a194a167a52 2pi ≤ arg(z ?a) < 4pia59 a120pi ≤ argw < 2pi a59w a3a245a246 a84 a111a1a74a133 a30 w a58a127a55 a56a57z a58a4a121a5 a66a53a53a124a129a223a224 a30 ?a844pi ≤ arg(z?a) < 6pi, 6pi ≤ arg(z?a) < 8pi,···a71a72?2pi≤ arg(z?a) < 0, ?4pi≤ arg(z?a) < ?2pi, ···a66 a167 a52 a128 a111a59a199a6a7a8 a105a83a218a9a134a194a30 a122a123 a59 ?a10a11a12 a131 a167 a52a142 a57 a66a138a139 a56a178a13a14 a59 a67 a191a147a3a80 a58a69a70 a181 a58a178a30 ?a138a139 a56a178 a66a15a54a186a247a59a51 a105 a80 a58a69a70 a66a15a54a181 a58a109 a217 a30 ?a16a54a181 a58a109 a217a17 a61 a181 a58a69a70 a59a18a54a80 a58a69a70a67a61a76 a66a15a54a181 a58a109 a217a66a19a20 a30 a84 a132a133a66a21 a135 a202a59a80 a58a69a70 w = √z ?aa121a126 a54a181 a58a109 a217a59 a109a22a61 w a66a132a1a74a133a20a111a1a74a133 a85 0 ≤ arg(z ?a) < 2pia51 a105 a181 a58a109 a217a23 a850 ≤ argw < pi, 2pi ≤ arg(z ?a) < 4pia51 a105 a181 a58a109 a217a24 a85pi ≤ argw < 2pi. a3a80 a58a69a70a25a109a98a26a27 a54(a28a29a30a31a54)a181 a58a109 a217a59a32a33 a106a67a61 a245a246 z a66 a56a178 a75 a65a30a200a249a84 a132 a133a66 a200a34 a202a59 a67a61 a245a246 z a165a35a212z = aa170a71∞a170a213a214 a30a218a193a167 a52a191a147 a113a36a37 a75 a228a38a39a178a103a82a83a105 a153a154a155 a156a157a158a159 a16013 a161 a136 ( a146 a201 2.3)a30a84z a74a133a132a74a40a125a33a41a42z = aa170a43a44a45a53a46a175a59a53a47a48a177a188 ∞a170 a30a249a194a167 a52 a84 a46a175a132a49 arg(z ?a) = 0a59 a67 a51 a105 a181 a58a109 a217a23a215 a249a194a167 a52 a84 a46a175a132a49 arg(z ?a) = 2pia59 a67 a51 a105 a181 a58 a109 a217a24 a30a218a126 a54a181 a58a109 a217a183a145 a136 a59 a67a35 a188a53a54 a220 a18a66 w a74a133a59a78a18a54a80 a58a69a70 w a30 a46a175a66a45 a113 a59 a67a61 a245a246 z a66 a56a178 a75 a65a30a50 a125a46a175a176 a134a99 a80 a58a69a70 a66 a126 a54a217a170a59z = aa20∞a59 a122a123 a59za165a51a192a52 a212a53a54 a109 a217a170a213a53a214 a99 (a218a179 a59a53 a179a14 a212 a126 a54 a109 a217a170a213a53a214a199 a61a54a55 a66) a30 a181 a58a109 a217a66 a25a109 a59a71a72a73a59a142 a57 a138a139 a56a178a13a14 a66 a167 a52 a165a61a248 a53a66 a30a200a249 a59a198a191a147 a167 a52 ?pi ≤ arg(z ?a) < pi a20 pi ≤ arg(z ?a) < 3pi, a71 ?3pi/2 ≤ arg(z ?a) < pi/2 a20 pi/2 ≤ arg(z ?a) < 5pi/2. a46a175a66a45 a228 a80 a193 a80 a219 a59a28a29 a165a56a61 a47a175 a30 a10a11a46a175a176 a134a99 a80 a58a69a70 a66 a109 a217a170a59a53 a179 a12 a131 a167 a52a46a175a53 a57(a200a249 a132a49a71a111a49) a66a142 a57 a138a139 a58 ( a71a72 a64a58a103 a59 a167 a52 a84 a169a53a170a66a142 a57 a138a139 a58 a71 a69a70a58) a78a191 a30 a3a80 a58a69a70a25a109a98 a181 a58a109 a217a59a32a59a170 a61 a59a16a54a181 a58a109 a217a17 a61 a181 a58a69a70 a59 a122 a143a191a147a60a61a62a66a181 a58a69a70a63a219 a21 a135a76a226 a66a64 a110a81a30 a181 a58a69a70 a66 a109 a217a170 a61a65 a170a59 a76a165 a124a129a125a66a53a54a181 a58a109 a217 a30a84 a217a170 a67a68 a59a198 a165a2a84 a53a54a10a124a129a125a53a54a181 a58a109 a217a66a69a70 a30a218a193a25a109 a66a71a170 a61a121 a53a52a66a72a245 a81a30a122a98a76 a245a246 a99 a142 a57 a66a138a139 a56a178a13a14 a59 a67a165 a192 a113a136 a21 a135 a53 a9a73a74 a8a75a66a76a77 a30 a98a99a78a79a218 a54a71a170a59 a80 a53 a193a220a221a141 a52 a69a70a58a127 a55 a56a57a58 a124a129a223a224a66 a227a228a61a85 a236a49a46a47wa81a82 a83a84 z0 a48a85a59a86a87a88a89a87 z a48a90a91a241a242a92a93 a30 a131 z a173 a218 a174a175a176a177 a56a178a179 a59 a69a70 w a198a206 a128 a176a177 a56 a178a30 a94 a147 a69a70w = √z ?1a98a200a30a167 a52w(2) = 1a59a21 a135z a173C1 a71C2 a176a177 a56a178 a188a189a170 a179 a59 a69a70wa128 a58a30 C 1 a20C2 a61 a147z = 1a98a95a96a97 1a98a1a98a66a132a1 a95 a186a20a111a1 a95 a186 a30 a99a100 a59 a131z a173C1 a101a102 a188z = 0a179a59?arg(z ?1) = pia59 a255 a147 ?argw = 12?arg(z ?1) = pi2, w(0) =eipi/2 = i. a131z a173C2 a101a102 a188z = 0a179a59?arg(z ?1) = ?pia59 a255 a147 ?argw = 12?arg(z ?1) = ?pi2, w(0) =e?ipi/2 = ?i. a112a113a218a193a227a228 a59za66 a56a178a103 a175 a165a104 a245a246a59 a122 a143 a67 a191a147a42a53a54a181 a58a109 a217a105 a102 a188 a80 a53a54a181 a58a109 a217 a30 a84a36a37a201a38 a132a59 a218 a130a131 a125a3 a126 a54a46a106a66za74a133a107a108a145 a136 a59 a109 a53a54a133a66a46a175a111a49(arg(z?1) = 2pi)a20 a109a110 a54a133a66a46a175a132a49 (arg(z ?1) = 2pi)a130a176a59 a109 a53a54a133a66a46a175a132a49 (arg(z ? 1) = 0)a20 a109a110 a54a133a66 a46a175a111a49(arg(z?1) = 4pi)a130a176 a30a218a67a111a152a99a110a112Riemann a133(a146 a2012.4)a30 a124a125 a69a70w = √z ?1 a71√ z ?aa136a73a59 a110a112 Riemann a133a132a66z a170a20w a74a133a132a66a170 a61 a53a53a124a129a66 a30 §2.4 a250 a251 a158 a159 a16014 a161 a2032.4 a113a114a115a116w = √z ?aa117Riemanna118 a132a133a21 a135a99 a80 a58a69a70w = √z ?a a59a124a125 a100 a8a75a53 a9 a66 a68a65a69a70 a59 a200a249w = 3√z ?a a71 3 radicalbig(z ?a)(z ?b) a59 a64a64 a59a198a191a147a119a120 a103 a21 a135a30 a10 a61a121 a11a122a123a124 a105 a80 a58a69a70 a66 a221a125 a217a170a59 a207a126a127a141a103a141 a52a46a175a66a45 a228a30 a84 a53a128a129a130a111a59a46a175a191a192 a165a131 a53a132a59a198 a165 a53a52 a121 a11 a113 a53a132a46a175 a149a221a125 a217a170a17a176a108a145 a136a30 2. a133a47a46a47 lnz a124 a70a69a70 w = lnz a66a52a134 a61 ew = z a59a198 a67a61 a73a59a51a52a55 a56a57 z a66a53a54 a70a58 a59 a60a61a62a63 ew = z a66 a255a121w a58a135 a216 a98 a124 a70a69a70 w = lnz a66 a69a70a58a30a76a61a136a70a69a70 w = ez a66a79 a69a70a30a137w = u + iv a59 z = reiθ a59 a67a35 a188 eu ·eiv = reiθ a30a255a147 u = lnr = ln|z|, v = θ + 2npi (n = 0,±1,±2,···). a147a148 a225a226a67a149 a124 a70a69a70 w = lnz a150 a141a82a151a98 w = lnz = ln|z|+ i(θ + 2npi) = ln|z|+ iargz. a2032.5 a113a114a115a116w = lnz w = lnza138a139a140a141a142za114a143a144a145a146a113a142wa114 a122a123 a59a124 a70a69a70 w = lnz a198 a61 a80 a58 a66a59a32a80 a58a81 a66 a136a137a61 a142 a57 z a138a139a66a80 a58a81 a59a80 a58a81 a66 a82 a83a120a61a69a70a58w a66a147 a125a30 a124a129a16a53a54z a58a59 a121 a30a31a80a54w a58a59 a76a226 a66a33 a125 a130 a53a59a147 a125 a130a148 2pi a66 a153a154a155 a156a157a158a159 a16015 a161 a18 a70a149a30a201 2.5 a51 a105a99 a124 a70a69a70 w = lnz a66 a151 a123 a201a30 w = lnz a66a217a170 a61 z = 0 a20∞a30a45a46a175a176a108 0 a127∞a59 a207a167 a52a46a175a53 a57 a66 argz a58a59a78a191a35a188 w = lnz a66a181 a58a109 a217 a30 w = lnz a121a30a31a80a54a181 a58a109 a217 a30 a16a54a181 a58a109 a217a195a59a17 a121 d dz (lnz) = 1 z. a130 a129 a103 a59w = lnz a66Riemanna133 a61 a30a31a80 a112 a66a59a146 a201 2.6a30 a2032.6 a113a114a115a116w = lnza117Riemanna118 3. a150a151a152a85a46a47 a79a153a139 a69a70 a20a53a128a66 a77a69a70 arcsinz = 1i ln parenleftBig iz+ radicalbig 1?z2 parenrightBig , arccosz = 1i ln parenleftBig z+ radicalbig z2?1 parenrightBig , arctanz = 12i ln 1 + iz1?iz, zα = eαlnz (αa98a154a123a8 a70), a76a226 a198a17 a61 a80 a58a69a70a30 a143 a126 a59 a165a155a61 a124 a70a69a70 a71a124 a70a69a70a127a68a65a69a70 a66a156a183a59 a122a123a76a226 a66a80 a58a81 a191a147 a68a157a218a126a193a158a159 a66a80 a58a69a70a136 a21 a135a30