第二章 运动定律和力学中的守恒定律 习题精选及参考答案 1 质量为16 kg 的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为＝6 N，＝-7 N，当＝0时，0，＝-2 m·s-1，＝0．求 当＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度． 解：   (1)  于是质点在时的速度  (2)  2 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度m·s-1的物体,回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则 ,沿轴正向，  若物体原来具有初速，则 于是 , 同理， , 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即  亦即  解得，(舍去) 3 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 ,得 (2)子弹所受的冲量  将代入，得  (3)由动量定理可求得子弹的质量  4 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作的功．(2)如果质点到处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化． 解: (1)由题知，为恒力， ∴   (2)  (3)由动能定理， 5 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端 一重物，的质量为，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比． 解: 弹簧及重物受力如题5图所示平衡时，有  题5图  又   所以静止时两弹簧伸长量之比为  弹性势能之比为  6 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在点的势能为多少? 解: (1)设在距月球中心为处，由万有引力定律，有  经整理，得  =  则点处至月球表面的距离为  (2)质量为的物体在点的引力势能为    7 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m 时的速率是＝5.46×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝9.08×102m·s-1这时它离太阳的距离多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有  ∴  8 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连，和则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设＝0.20m, ＝0.10m，＝4 kg，＝10 kg，＝＝2 kg，且开始时，离地均为＝2m．求： (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力． 解: 设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．  题8(a)图 题8(b)图 ,和柱体的运动方程如下：  ①  ②  ③ 式中  而  由上式求得  (2)由①式  由②式  9 计算题9图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设＝50kg，＝200 kg,M＝15 kg, ＝0.1 m 解: 分别以,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对,运用牛顿定律，有  ①  ② 对滑轮运用转动定律，有  ③ 又，  ④ 联立以上4个方程，得   题9(a)图 题9(b)图  题10图 10 如题10图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有  ∴  (2)由机械能守恒定律，有  ∴   题11图 11 如题11图所示，质量为，长为的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量? 解: (1)设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：  ①  ② 上两式中，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度，按机械能守恒定律可列式：  ③ 由③式得  由①式  ④ 由②式  ⑤ 所以  求得  (2)相碰时小球受到的冲量为  由①式求得   负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反． 12 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N·m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长． 解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有  又  故有    题12图