第八章 静电场和稳恒电场 习题精选及参考答案 1 在真空中有，两平行板，相对距离为，板面积为，其带电量分别为+和-．则这两板之间有相互作用力，有人说=,又有人说，因为=,，所以=．试问这两种说法对吗?为什么? 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为，另一板受它的作用力，这是两板间相互作用的电场力． 2 长=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距=5.0cm处点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距=5.0cm 处点的场强．  图2 解： 如题2图所示 (1)在带电直线上取线元，其上电量在点产生场强为     用，, 代入得  方向水平向右 (2)同理  方向如题8-6图所示 由于对称性，即只有分量， ∵    以, ,代入得 ，方向沿轴正向 3 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强． 解: 如3图在圆上取  题3图 ，它在点产生场强大小为 方向沿半径向外 则   积分  ∴ ，方向沿轴正向． 4 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×C·m-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理, 当时，, 时，  ∴ ， 方向沿半径向外． cm时, ∴   沿半径向外. 5 半径为和( ＞)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)＜；(2) ＜＜；(3) ＞处各点的场强． 解: 高斯定理 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 则  对(1)   (2)   ∴  沿径向向外 (3)   ∴  6 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强．  图6 解: 如题6图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为与， 两面间，  面外，  面外，  ：垂直于两平面由面指为面． 7 半径为的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为＜的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心与点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题7图(a)． (1) 球在点产生电场，  球在点产生电场 ∴ 点电场； (2) 在产生电场 球在产生电场 ∴  点电场   题7图(a) 题7图(b) (3)设空腔任一点相对的位矢为，相对点位矢为 (如题8-13(b)图) 则 ， , ∴  ∴腔内场强是均匀的．  题8图 8 如题8图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8图示   ∴  9 如题9图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于．试求环中心点处的场强和电势． 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取 则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向  题9图  ［］  (2) 电荷在点产生电势，以  同理产生  半圆环产生  ∴  10 根据场强与电势的关系，求下列电场的场强：(1)点电荷的电场；(2)总电量为，半径为的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子的处(见题10图)． 解: (1)点电荷   题 10 图 ∴  为方向单位矢量． (2)总电量，半径为的均匀带电圆环轴上一点电势  ∴  (3)偶极子在处的一点电势  ∴   11 三个平行金属板，和的面积都是200cm2，和相距4.0mm，与相距2.0 mm．，都接地，如题8-22图所示．如果使板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问板和板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则板的电势是多少? 解: 如题11图示，令板左侧面电荷面密度为，右侧面电荷面密度为  题11图 (1)∵ ，即 ∴  ∴  且 + 得   而   (2)  12 半径为的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为处有一点电荷+，试求：金属球上的感应电荷的电量． 解: 如题12图所示，设金属球感应电荷为，则球接地时电势  12图 由电势叠加原理有：  得  13 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为，金属球带电．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理 (1)介质内场强 ; 介质外场强  (2)介质外电势  介质内电势   (3)金属球的电势    14 如题14图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 解: 如题14图所示，充满电介质部分场强为，真空部分场强为，自由电荷面密度分别为与 由得 ， 而 ,  ∴   题14图 题15图 15 两个同轴的圆柱面，长度均为，半径分别为和(＞)，且>>-，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷和-时，求： (1)在半径处(＜＜＝，厚度为dr，长为的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为的同轴圆柱面 则  当时， ∴  (1)电场能量密度  薄壳中  (2)电介质中总电场能量  (3)电容：∵  ∴  16 半径为=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷=3.0×10-8C时，求： (1)整个电场储存的能量； (2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值． 解: 如图，内球带电，外球壳内表面带电，外表面带电  题16图 (1)在和区域  在时  时  ∴在区域   在区域  ∴ 总能量   (2)导体壳接地时，只有时, ∴   (3)电容器电容