§ 12-5能量按自由度均分
的原则、理想气体的内能
引出,前面研究气体动能时把分子看作弹性小球的集合，
我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时，理
论与实际吻合得很好，但当用这一模型去研究多原子分
子时，理论值与实验值相差甚远。 1857年克劳修斯提出：
要修改模型。而不能将所有分子都看成质点，对结构复
杂的分子，不但要考察分子的平动、而且还要考虑分子
的转动、振动等。
下面我们来研究包括平动、转动、振动在
内的理想气体的能量。
一、自由度
1、何谓自由度？
(Law of equipartition
of energy.Internal
energy of ideal gases)
自由度,决定物体在空间位置的独立坐
标数目
举例,?质点在三维空间运动 。
?刚体 （既有平动又有转动）
决定质心 --X,Y,Z
1c o sc o sc o s 222 ??? ???
决定转轴 ???,,但,
?确定角位置
确定一个刚体位置要三个平动自由度,
三个转动自由度共计六个自由度 )6( ?i
)(i
)3( ?i
X
Y
Z
?
?
?
A
B ?
C
X
Y
Z o 三个独立坐标。
注意：独立坐标应是物体能沿此自由运动，当物
体运动受到一定限制或约束时，自由度减少。
例,质点限制在某一平面内运动 （如图）
X
Y
Z
)2( ?i
（多了一个方程）
cy ?
质点沿已知曲线 C运动
X
Y
)1( ?i （用一个自然坐标）
有固定轴的门 --因转轴
固定，质心相对门的位
置固定，所以
)1( ?i
?
结论,一个自由度对应着一个独立的坐标,
表明一种独立的运动 。
2、气体分子的自由度
?理想气体的刚性分子
A：单原子分子,3个平动自由度
B：双原子分子,
决定质心,3个平动自由度；
确定转轴方位,2个转动自由度
),,( 中的两个???
C：三原子以上的分子,X
Y
Z
6个自由度（ 视为刚体）
?实际气体：不能看成刚性分子，因原子之间
还有振动。
5?i
X
Y
Z
C
c
例如,氢气（ H2）在高温下两氢原子之间就有
振动，氯气（ Cl2）在常温下便有振动。
这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子
对双原子分子,6个自由度（多了
确定两原子之间相对位置的自由度）
对多原子系统（ N?3）
3个平动自由度（ t）
3个转动自由度（ r）
（ 3N-6）个振动自由度（ s）
3N个自由度 ?
（不证明了）
下面介绍分子热运动的能量的统计规律。
二、能量按自由度均分原理
先来分析单原子分子的平均平动动能,
kTvm
2
3
2
1 _ _ _2 ? _ _ _
2
__
2
_ _ _
2
_ _ _
2
3
1
vvvv zyx ????
m
2
1两边同乘
)
2
1
(
3
1
2
1
2
1
2
1
___
2
__
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___
2
___
2 mvvmvmvm
zyx ???
kTkT
2
1)
2
3(
3
1 ??
上式表示沿各坐标运动的平均平动动能都相等,
都等于
kT21
kTvmvmvm zyx
2
1
2
1
2
1
2
1 __ 2___ 2___ 2
???
这说明：分子的平均平动动能
kT
2
3 是均匀地分
配在每一个自由度上的。即对应每
一个自由度，就有对应的一份能量
kT
2
1
麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动
即对应于转动和振动的每个自由度的运动也都
有一份能量
kT
2
1
这就是能量均分原理。
能量均分原理：在热平衡状态下，对应气体,
液体、固体分子中的任何一种运动形式的自由
度上都具有相同的平均动能，其值为 kT/2,
即在平衡态下，一个自由度，代表一种独立的
运动和一份能量
kT
2
1
如某种分子有 个平动自由度,个转动自由
度 个振动自由度，则分子具有,s
t r
平均平动动能
kTt
2
平均转动动能
kTr
2
平均振动动能
kTs
2
为什么均分到各自由度所对应的运动能量都是
KT/2呢？主要是分子不断碰撞以达到平衡态的结果。
平均平动动能
kTt
2
平均转动动能
kTr
2
平均振动动能
kTs
2
注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份
振动的动能外，还有
一份平均势能。
结论：分子的平均总能量
s k TkTsrtw
2
1
)(
2
1___
????总
kTrtw )(
2
1_ _ _
??总
对刚性分子,
ik T
2
1
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2
1
???
srti 2???
（大纲要求）
三、理想气体的内能
1,内能是状态量 一般言之，分子除有动能外，
分子之间还有势能。动能与温度有关，势能
与分子之间的距离有关，即与体积有关，即内能
与温度、体积有关。
),( VTfE ? 一句话，内能是状态量。
2,理想气体的内能
理想气体之间的相互作用可以忽略，故理想
气体的内能应为各分子总能量之和。
k TN
i
NwE
2
_ _ _
?? 总
RTsrtRT
i
k TN
i
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2
1
22 00
?????
1mol理想气体的内能,
M千克理想气体的内能,
0
( 2 )
22
( 2 ) ( )
2
M M i
E E t r s R T P V
M
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??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
末初
结论：理想气体的内能是温度的单值函数,
（如果是刚性分子,S=0）
例,贮存有氮气的容器以速度 100米 /秒运动。若
该容器突然停止，问容器中温度将升多少？
已知,smv /100?
m o lkg /1028 3????
5?i
求,???T
解：依能量守恒，氮气的宏观动能将转化为
其内能的增量。
12
2
222
1
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M
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M
Mv
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)(74.6
31.85
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1、有一瓶质量为 M的氢气（视作刚性分子的理想气体），
温度为 T。则氢分子的平均平动动能、平均动能各为多
少？该瓶氢气的内能为多少？
2,1mol氮气，由状态 A（ p1,V) 变到状态 B（ p2,V），
气体内能的增量是多少？
3、在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气（视作
刚性分子的理想气体）与氦气的内能之比为多少？各为
单位质量的氢气与氦气的内能之比为多少？
4、容器内混有二氧化碳和氧气两种气体，混合气体的温
度是 290k，内能是 964000J,总质量是 5.4kg,
试求二氧化碳和氧气的质量,
( )
22
3 1 3 14 4 1 0,3 2 1 0
c o ok g m o l k g m o l??
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祝大家国庆节日愉快！
全国人民欢心鼓舞！
的原则、理想气体的内能
引出,前面研究气体动能时把分子看作弹性小球的集合，
我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时，理
论与实际吻合得很好，但当用这一模型去研究多原子分
子时，理论值与实验值相差甚远。 1857年克劳修斯提出：
要修改模型。而不能将所有分子都看成质点，对结构复
杂的分子，不但要考察分子的平动、而且还要考虑分子
的转动、振动等。
下面我们来研究包括平动、转动、振动在
内的理想气体的能量。
一、自由度
1、何谓自由度？
(Law of equipartition
of energy.Internal
energy of ideal gases)
自由度,决定物体在空间位置的独立坐
标数目
举例,?质点在三维空间运动 。
?刚体 （既有平动又有转动）
决定质心 --X,Y,Z
1c o sc o sc o s 222 ??? ???
决定转轴 ???,,但,
?确定角位置
确定一个刚体位置要三个平动自由度,
三个转动自由度共计六个自由度 )6( ?i
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注意：独立坐标应是物体能沿此自由运动，当物
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固定，质心相对门的位
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结论,一个自由度对应着一个独立的坐标,
表明一种独立的运动 。
2、气体分子的自由度
?理想气体的刚性分子
A：单原子分子,3个平动自由度
B：双原子分子,
决定质心,3个平动自由度；
确定转轴方位,2个转动自由度
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C：三原子以上的分子,X
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6个自由度（ 视为刚体）
?实际气体：不能看成刚性分子，因原子之间
还有振动。
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例如,氢气（ H2）在高温下两氢原子之间就有
振动，氯气（ Cl2）在常温下便有振动。
这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子
对双原子分子,6个自由度（多了
确定两原子之间相对位置的自由度）
对多原子系统（ N?3）
3个平动自由度（ t）
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（ 3N-6）个振动自由度（ s）
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（不证明了）
下面介绍分子热运动的能量的统计规律。
二、能量按自由度均分原理
先来分析单原子分子的平均平动动能,
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即对应于转动和振动的每个自由度的运动也都
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这就是能量均分原理。
能量均分原理：在热平衡状态下，对应气体,
液体、固体分子中的任何一种运动形式的自由
度上都具有相同的平均动能，其值为 kT/2,
即在平衡态下，一个自由度，代表一种独立的
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三、理想气体的内能
1,内能是状态量 一般言之，分子除有动能外，
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与分子之间的距离有关，即与体积有关，即内能
与温度、体积有关。
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1、有一瓶质量为 M的氢气（视作刚性分子的理想气体），
温度为 T。则氢分子的平均平动动能、平均动能各为多
少？该瓶氢气的内能为多少？
2,1mol氮气，由状态 A（ p1,V) 变到状态 B（ p2,V），
气体内能的增量是多少？
3、在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气（视作
刚性分子的理想气体）与氦气的内能之比为多少？各为
单位质量的氢气与氦气的内能之比为多少？
4、容器内混有二氧化碳和氧气两种气体，混合气体的温
度是 290k，内能是 964000J,总质量是 5.4kg,
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