振动与波（ Oscillation and Wave）
第十四章 振动 (Oscillation)
前言,振动和波是物理中的重要领域,
1、大量存在 。（一般讲，小物体作急速振动；
大物体振动较慢。）
2、是宇宙两大运动之一
无“序”运动 ；分子热运动、银河星系的运动；
有序运动 ；有规序的运动。其中一类就是周期
运动，振动就是一种周期运动。
+ +
- -
t
u i q
t
P
周期运动的特点就是有周期,运动系统经过一周
期时间以后又回到原来的状态；或者描述它们状
态的物理量围绕着某一定值作周期性变化 。
弹簧振子 振荡电路
心房室压强
振动,某一系统状态的物理量在一定范围内作
周期性变化，则这系统的运动称为振动。
X
振动分类,1）简谐振动；
2）阻尼振动；
3）强迫振动。
一、何谓简谐振动？
X
o
F?
x
)1(?kxF ??
以弹簧平衡位置为原点
建立坐标 OX。则,
（恢复力）
定量分析,
kx
dt
xdmmaF ????
2
2
)2(02
2
??? kx
dt
xdm
§ 14-1-2-3 简谐振动（ Simple harmonic motion）
X
o
F?
x
)2(02
2
??? kx
dt
xdm
)3(02
2
??? x
m
k
dt
xd
2??
m
k令,
)4(022
2
??? x
dt
xd ?
解此微分方程,
)5()c o s ( ??? ?? tAx
（ 5）式为谐振动的运动方程
A：振幅；
?,初相位。
（由初始条件决定
的待定常数。）
X
o
F?
x
022
2
?? x
dt
xd ?
)5()c o s ( ??? ?? tAx
)6()s in ( ???? ???? tA
dt
dxv
)c o s (2 ??? ???? tA
dt
dva
)7(2 ?x???
t
x av
X
o
F?
x
)5()c o s ( ??? ?? tAx
动能与势能,
)6()s in ( ???? ???? tA
dt
dxv
)7()(s in
2
1
2
1 2222 ???? ??? tmAmvE
k
)8()(c o s
2
1
2
1 222 ??? ??? tkAkxE
k
系统机械能,
22
2
1
2
1 kxmvEEE
pk ????
)(c o s
2
1)(s in
2
1 22222 ????? ???? tkAtmA
X
o
F?
x
系统机械能,
22
2
1
2
1 kxmvEEE
pk ????
)(c o s
2
1)(s in
2
1 22222 ????? ???? tkAtmA
2??
m
k? 2?mk ??
)](c o s)([ s in
2
1 2222 ????? ???? ttmAE
2222
2
1
2
1 AkAmA ??? ?
弹簧谐振子振动的特点,
（ 1）在受一个与位移成正比的弹性恢复力
kxF ?? 作用下产生的正弦或余弦的周 期运动。
（ 2）振动系统包括一个携带能量的惯性部分和一
个能贮存能量的弹性部分组成，且振动中能
量守恒。
)c o s ( ?? ?? tAx
222
2
1
2
1 Ac o n s tkxmv ???
一般言之,
1）谐振动定义：描述某系统的物理量 q，若是时
间 t的正弦或余弦的周期函数，则该系统作谐
振动。
)c o s (0 ?? ?? tqq
2）谐振动的判据,
*022
2
??? q
dt
qd ?
**
2
1
2
1 2
2
?c o n s tcq
dt
dq
B ???
?
?
?
?
?
一般言之,
1）谐振动定义：描述某系统的物理量 q，若是时
间 t的正弦或余弦的周期函数，则该系统作谐
振动。
)c o s (0 ?? ?? tqq
2）谐振动的判据,
B
c?2?
物理量 q满足
或,
注意,**式对 t求导可得 *式
B,c为常数
例 1：证明小角度的复摆作谐振动，并求其周期。
c ? l
? 很小 已知,l轴至质心的距离
证明,1）
建立轴的正方向 Z+
mg
摆的质量 m及转动惯量 J
对 Z轴,?JM ?
2
2
s in
dt
d
Jm g l
?
? ??
?
?
s in2
2
J
m g l
dt
d
??
?????
!5!3
s in
52 ??
??
?
?
J
m g l
dt
d
??
2
2
0
2
2
?? ?
?
J
m g l
dt
d
? Z
+
0
2
2
?? ?
?
J
m g l
dt
d
令
J
m gl?2? 02
2
2
?? ??
?
dt
d
所以小角度复摆作谐振动
m gl
J
T ?
?
?
2
2
??
证明 2）以摆和地球为研究系统，系统动能,
2
2
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
dt
d
JJ
?
?
c ? l
mg
? Z
+
c ? l
? Z+
mg
证明 2）以摆和地球为研究系统，系统动能,
2
2
2
1
2
1
?
?
?
?
?
???
dt
dJJE
k
??
以质心最低处为重力势能零点，则
系统势能,
ymgE P ??
y?
因阻力不计，外力及非保守内力作为零
22
2
1
2
s in2)c o s1( ??? llly ??????
c o n s tEE Pk ??
c o n s tm g l
dt
d
J ???
?
?
?
?
?
? 2
2
2
1
2
1
?
?
**
2
1
2
1 2
2
?c o n s tcq
dt
dq
B ???
?
?
?
?
?
与判据 **式比较 即系统作谐振动。
J
m gl
B
c ??2?
m gl
J
T ?
?
?
2
2
??
例 2：如图所示，一长为 L的立方体木块浮于静水
中，浸入水中部分的高度为 b。今用手将木块
压下去，放手让其开始运动。若忽略水对要
块的黏性阻力，并且水面开阔，不因木块运
动而使水面高度变化，证明木块作谐振动。
b
X
mg
解,
浮F
? 以水面为原点建立坐标 OX
受力分析,
列方程
maFmg ?? 浮
gblmg 2水??
glxbF 2)( ?? 水浮 ?
x
maFmg ?? 浮
gblmg 2水??
glxbF 2)( ?? 水浮 ?
ma
gxblgbl
?
?? )(22 水水 ??
2
2
2
dt
xd
mgxl ?? 水?
0
2
2
2
?? x
m
gl
dt
xd 水?
02
2
?? x
b
g
dt
xd
b
g
??
?
x
X
mg
浮F
?
022
2
?? x
dt
xd
?
02
2
?? x
b
g
dt
xd
b
g
??
x
X
mg
解,
浮F
?
满足第一个判据，故木块作谐振动（证毕）
二、谐振动振幅、周期（频率）和位相或相位
)c o s ( ?? ?? tAx以机械振动为例,
1,振幅 A,振动中物理量出现的最大值（质点离
平衡位置的最大值）
相位,)( ?? ?t
?t
决定谐振动状态及进程的物理量。
?
t=0时的相位称为
初相 。反映 t=0时
的位置与状态。
、对一个谐振动而言，计时起点不同,
初相不同。
x av
0??
A X o
X
o
?t x
X
o -A
X
o
A X o
2/?? ?
?? ?
2/3?? ?
?t x?? 2?
?t x
?t x
?t x
)2/( ??
)0(
X
o A -A
0 2/?? ? 2/3? ?2
o A -A
X
2、振幅和初相的值是由初始条件决定的；
初始条件,t=0时的初位移 X0、初速度
0v
)c o s ( ?? ?? tAx
)s in ( ??? ??? tAv
由,
)4()(
0
0 ?
x
v
a r c t g
?
? ??
)2(s in0 ???Av ??
{
{ 以 t=0代入,
解之,
)3(2
2
02
0 ??
v
xA ??
)1(c o s0 ??Ax ?
2/?? 0??
例：一谐振动 X0=0.707cm,sscmov /10,/7.7
0 ?? ?求初相
?
)(
0
0
x
va r c t g
?
? ??
)1( ?? a r c t g?
解,
如何确定呢？
1）对照状态图
X
o A -A
0 2/??
2）看是否同时满足,
)2(s in0 ???Av ??
{ )1(c o s0 ??Ax ?
? 2/3? ?2
o A -A
X
)3 1 5(45 ????? ?
)707.010 07.7( ??? a r c t g
4 5 5?? 或3 1
2/?? 0??
3,周期与频率
A） 周期,完成一次全振动所经历的时间。
经历一周期 T，相位改变 2?
????? 2][])([ ????? tTt?
?? 2?? T ?? /2?T
对弹簧谐振子
mk /??? k
m
T ??? 2/2 ???
固有周期 单位,[T]=S B） 频率,系统单位时间完成振动的次数
?
??
2
1 ??
T
单位,[?]=1/S=HZ
C） 圆频率（ ?）
?
??
2
1 ??
T
?
单位,[?]=1/S，（弧度 /秒） T
122 ???? ???
⑵ 一谐振动状态决定其振幅 A、频率 ?（或
T或 ?）初相 ?。这三者称为振动 三要素 。
注意,
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
⑶ 在比较同频率的谐振动时，往往用到
相位差（周相差） ?的概念。
2121 )()( ??????? ??????? tt
⑴ 周期、圆频率都是决定系统
故称 固有周期, 固有频率 。
本身的物理量,
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
⑶ 在比较同频率的谐振动时，往往用到
相位差（周相差） ?的概念。
2121 )()( ??????? ??????? tt
21 ?? ?
21 ?? ?
21 ?? ?
2/21 ??? ???
??? ??? 21
振动,1”超前,2”
振动,1”落后,2”
振动,1”和振动,2”同相；
振动,1”和振动,2”正交；
振动,1”和振动,2”反相。
规定,
三、谐振动的表示法
重要的是将三要素表示出来。
1、三角函数及其振动曲线
)c o s ( ?? ?? tAx
?t
x
0??
?t
x
0??
2、参考圆和辅助点 A
A
)c o s ( ?? ?? tAx
设有一谐振动
作一半径为 A的参考圆和绕圆
心以 ? 运动的参考点 M
)( ?? ?t
优点：形象化，尤其是使
相位和圆频率具体化
的值由点 M在 X轴上的
投影 表示。
x
?
M
X
Y
X
? t
优点：除形象化外，还便于
振动的合成。
)c o s ( ?? ?? tAx
设有一谐振动
作大小为 A的以 ? 旋转的
旋转矢量 A?
的值由 在 X轴上的
投影 表示。
x A?
能把三要素一目了然地表
示出来。
3、用矢量表示
?
X
? t
X
Y
? )( ?? ?t
A?
X
4、用复数表示
尤拉公式
)c o s ( ?? ?? tAx
??? c o ss in ?? ie i
对一谐振动
为一复数 )( ?? ?? tiAeA ~ 的实部
][ )( ?? ?? tie AeRx ~
x )( ?? ?? tiAe把谐振动用复数代表,
客观上实际代表一旋
转矢量。 A ~
?
?
优点：三要素一目了然
还便于谐振动的计算。
例 3：如图所示为一 L,C自由振荡电路，求其自
由振荡频率。
L C
E
uc
K
C
qu
dt
diL
C ???
i
解：设电流方向如图。
依基尔霍夫定律,
0??
C
q
dt
diL
01 ?? q
LCdt
di
令,
LC
12 ??
012
2
?? q
LCdt
qd
022
2
?? q
dt
qd
?
022
2
?? i
dt
id
?
对 t求导,证毕！
LC
1
2
1
2 ??
?? ??
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
例题 4,如图所示，一电感线圈 L、两平行金属导轨
及一个可在导轨上作无摩擦滑动的导体杆 m组成一
闭合回路，置于水平桌面上。回路所在的区域内有
竖直方向的磁场 。当 t=0时给予导体杆向右方向
的的初速度 。试求此后导体杆的运动方程
（不计回路电阻）
B?
0v
? )(tx
)( ?tx求,
解：建立坐标 OX
o X
0v
?
B?0v?己知,L
v?
v B l?动?
l
l
dt
di
LL ???
动?
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v? v B l?动?
l
dt
di
LL ???
动?
由基尔霍夫定律,
)1(0 ???
dt
diLv B l
由牛顿定律
iB lF ??
导体杆受力,
)2(?
dt
dv
miB l ??
)3(
2
2
?
dt
vd
m
dt
di
Bl ??
（ 2）式对 t求导,
F?
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v?
l
动?
由基尔霍夫定律,
)1(0 ???
dt
diLv B l
)2(?
dt
dvmiB l ??
)3(
2
2
?
dt
vd
m
dt
di
Bl ??
（ 2）式对 t求导,
F?
代入（ 3）式,
由（ 1）式
)4(?
L
v B l
dt
di ?
)4(0
22
2
2
??? v
mL
lB
dt
vd
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v?
l
动?
F?
)4(0
22
2
2
??? v
mL
lB
dt
vd
mL
lB 222
??
)5(02
2
2
??? v
dt
vd
?
令,)c o s (0 ?? ?? tvv
tvv ?c o s0?
t
mL
lB
v
22
0 c o s?
由判据得,
由初始条件,0??
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v?
l
动?
F?
tvv ?c o s0?
t
mL
lB
v
22
0 c o s?
??
t
v d ttx
0
)( ?? t t d tv
0 0
c o s ?
t
v
?
?
s in0?
?
?
?
?
?
?
?
?
? t
mL
lB
Bl
mLv
22
0 s in
)c o s (0 ?? ?? tvv
例 5：求等离子振荡频率。
等离子态 ---游离的正离子和负电子组成的呈中性
的 物质状态 ---物质的第四态。
如地球周围的电离层、星际间的大块气体、太
阳周围的大气层 ---日冕都是等离子态。
地球
大气
电离层 在日全蚀时观 察日冕最方便
下面我们研究一薄层等离子体。
X
E
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
若等离子体受到干扰,
使电子整体发生一位移
0?
?
?E
nqx??
产生一偶电层，形成一
电场
x
nqSxQ ?
x
x
即偶电层中的电子在位移 x时受力,
x
nq
qEF
0
2
?
??? x
nq
dt
xd
m
0
2
2
2
?
??
q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
x
x
nq
qEF
0
2
?
???
x
nq
dt
xd
m
0
2
2
2
?
??
+
+
+
+
+
+
+
+
+ X
E
x
q
0
0
2
2
2
?? x
m
nq
dt
xd
?令,
0
2
2
?
?
m
nq
?
022
2
?? x
dt
xd
?
电子作谐振动
0
2
2
1
2 ???
?
?
m
nq
??
振动频率
测出其频率就能了解太阳
周围的粒子变化情况
第十四章 振动 (Oscillation)
前言,振动和波是物理中的重要领域,
1、大量存在 。（一般讲，小物体作急速振动；
大物体振动较慢。）
2、是宇宙两大运动之一
无“序”运动 ；分子热运动、银河星系的运动；
有序运动 ；有规序的运动。其中一类就是周期
运动，振动就是一种周期运动。
+ +
- -
t
u i q
t
P
周期运动的特点就是有周期,运动系统经过一周
期时间以后又回到原来的状态；或者描述它们状
态的物理量围绕着某一定值作周期性变化 。
弹簧振子 振荡电路
心房室压强
振动,某一系统状态的物理量在一定范围内作
周期性变化，则这系统的运动称为振动。
X
振动分类,1）简谐振动；
2）阻尼振动；
3）强迫振动。
一、何谓简谐振动？
X
o
F?
x
)1(?kxF ??
以弹簧平衡位置为原点
建立坐标 OX。则,
（恢复力）
定量分析,
kx
dt
xdmmaF ????
2
2
)2(02
2
??? kx
dt
xdm
§ 14-1-2-3 简谐振动（ Simple harmonic motion）
X
o
F?
x
)2(02
2
??? kx
dt
xdm
)3(02
2
??? x
m
k
dt
xd
2??
m
k令,
)4(022
2
??? x
dt
xd ?
解此微分方程,
)5()c o s ( ??? ?? tAx
（ 5）式为谐振动的运动方程
A：振幅；
?,初相位。
（由初始条件决定
的待定常数。）
X
o
F?
x
022
2
?? x
dt
xd ?
)5()c o s ( ??? ?? tAx
)6()s in ( ???? ???? tA
dt
dxv
)c o s (2 ??? ???? tA
dt
dva
)7(2 ?x???
t
x av
X
o
F?
x
)5()c o s ( ??? ?? tAx
动能与势能,
)6()s in ( ???? ???? tA
dt
dxv
)7()(s in
2
1
2
1 2222 ???? ??? tmAmvE
k
)8()(c o s
2
1
2
1 222 ??? ??? tkAkxE
k
系统机械能,
22
2
1
2
1 kxmvEEE
pk ????
)(c o s
2
1)(s in
2
1 22222 ????? ???? tkAtmA
X
o
F?
x
系统机械能,
22
2
1
2
1 kxmvEEE
pk ????
)(c o s
2
1)(s in
2
1 22222 ????? ???? tkAtmA
2??
m
k? 2?mk ??
)](c o s)([ s in
2
1 2222 ????? ???? ttmAE
2222
2
1
2
1 AkAmA ??? ?
弹簧谐振子振动的特点,
（ 1）在受一个与位移成正比的弹性恢复力
kxF ?? 作用下产生的正弦或余弦的周 期运动。
（ 2）振动系统包括一个携带能量的惯性部分和一
个能贮存能量的弹性部分组成，且振动中能
量守恒。
)c o s ( ?? ?? tAx
222
2
1
2
1 Ac o n s tkxmv ???
一般言之,
1）谐振动定义：描述某系统的物理量 q，若是时
间 t的正弦或余弦的周期函数，则该系统作谐
振动。
)c o s (0 ?? ?? tqq
2）谐振动的判据,
*022
2
??? q
dt
qd ?
**
2
1
2
1 2
2
?c o n s tcq
dt
dq
B ???
?
?
?
?
?
一般言之,
1）谐振动定义：描述某系统的物理量 q，若是时
间 t的正弦或余弦的周期函数，则该系统作谐
振动。
)c o s (0 ?? ?? tqq
2）谐振动的判据,
B
c?2?
物理量 q满足
或,
注意,**式对 t求导可得 *式
B,c为常数
例 1：证明小角度的复摆作谐振动，并求其周期。
c ? l
? 很小 已知,l轴至质心的距离
证明,1）
建立轴的正方向 Z+
mg
摆的质量 m及转动惯量 J
对 Z轴,?JM ?
2
2
s in
dt
d
Jm g l
?
? ??
?
?
s in2
2
J
m g l
dt
d
??
?????
!5!3
s in
52 ??
??
?
?
J
m g l
dt
d
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2
2
0
2
2
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?
J
m g l
dt
d
? Z
+
0
2
2
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?
J
m g l
dt
d
令
J
m gl?2? 02
2
2
?? ??
?
dt
d
所以小角度复摆作谐振动
m gl
J
T ?
?
?
2
2
??
证明 2）以摆和地球为研究系统，系统动能,
2
2
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
dt
d
JJ
?
?
c ? l
mg
? Z
+
c ? l
? Z+
mg
证明 2）以摆和地球为研究系统，系统动能,
2
2
2
1
2
1
?
?
?
?
?
???
dt
dJJE
k
??
以质心最低处为重力势能零点，则
系统势能,
ymgE P ??
y?
因阻力不计，外力及非保守内力作为零
22
2
1
2
s in2)c o s1( ??? llly ??????
c o n s tEE Pk ??
c o n s tm g l
dt
d
J ???
?
?
?
?
?
? 2
2
2
1
2
1
?
?
**
2
1
2
1 2
2
?c o n s tcq
dt
dq
B ???
?
?
?
?
?
与判据 **式比较 即系统作谐振动。
J
m gl
B
c ??2?
m gl
J
T ?
?
?
2
2
??
例 2：如图所示，一长为 L的立方体木块浮于静水
中，浸入水中部分的高度为 b。今用手将木块
压下去，放手让其开始运动。若忽略水对要
块的黏性阻力，并且水面开阔，不因木块运
动而使水面高度变化，证明木块作谐振动。
b
X
mg
解,
浮F
? 以水面为原点建立坐标 OX
受力分析,
列方程
maFmg ?? 浮
gblmg 2水??
glxbF 2)( ?? 水浮 ?
x
maFmg ?? 浮
gblmg 2水??
glxbF 2)( ?? 水浮 ?
ma
gxblgbl
?
?? )(22 水水 ??
2
2
2
dt
xd
mgxl ?? 水?
0
2
2
2
?? x
m
gl
dt
xd 水?
02
2
?? x
b
g
dt
xd
b
g
??
?
x
X
mg
浮F
?
022
2
?? x
dt
xd
?
02
2
?? x
b
g
dt
xd
b
g
??
x
X
mg
解,
浮F
?
满足第一个判据，故木块作谐振动（证毕）
二、谐振动振幅、周期（频率）和位相或相位
)c o s ( ?? ?? tAx以机械振动为例,
1,振幅 A,振动中物理量出现的最大值（质点离
平衡位置的最大值）
相位,)( ?? ?t
?t
决定谐振动状态及进程的物理量。
?
t=0时的相位称为
初相 。反映 t=0时
的位置与状态。
、对一个谐振动而言，计时起点不同,
初相不同。
x av
0??
A X o
X
o
?t x
X
o -A
X
o
A X o
2/?? ?
?? ?
2/3?? ?
?t x?? 2?
?t x
?t x
?t x
)2/( ??
)0(
X
o A -A
0 2/?? ? 2/3? ?2
o A -A
X
2、振幅和初相的值是由初始条件决定的；
初始条件,t=0时的初位移 X0、初速度
0v
)c o s ( ?? ?? tAx
)s in ( ??? ??? tAv
由,
)4()(
0
0 ?
x
v
a r c t g
?
? ??
)2(s in0 ???Av ??
{
{ 以 t=0代入,
解之,
)3(2
2
02
0 ??
v
xA ??
)1(c o s0 ??Ax ?
2/?? 0??
例：一谐振动 X0=0.707cm,sscmov /10,/7.7
0 ?? ?求初相
?
)(
0
0
x
va r c t g
?
? ??
)1( ?? a r c t g?
解,
如何确定呢？
1）对照状态图
X
o A -A
0 2/??
2）看是否同时满足,
)2(s in0 ???Av ??
{ )1(c o s0 ??Ax ?
? 2/3? ?2
o A -A
X
)3 1 5(45 ????? ?
)707.010 07.7( ??? a r c t g
4 5 5?? 或3 1
2/?? 0??
3,周期与频率
A） 周期,完成一次全振动所经历的时间。
经历一周期 T，相位改变 2?
????? 2][])([ ????? tTt?
?? 2?? T ?? /2?T
对弹簧谐振子
mk /??? k
m
T ??? 2/2 ???
固有周期 单位,[T]=S B） 频率,系统单位时间完成振动的次数
?
??
2
1 ??
T
单位,[?]=1/S=HZ
C） 圆频率（ ?）
?
??
2
1 ??
T
?
单位,[?]=1/S，（弧度 /秒） T
122 ???? ???
⑵ 一谐振动状态决定其振幅 A、频率 ?（或
T或 ?）初相 ?。这三者称为振动 三要素 。
注意,
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
⑶ 在比较同频率的谐振动时，往往用到
相位差（周相差） ?的概念。
2121 )()( ??????? ??????? tt
⑴ 周期、圆频率都是决定系统
故称 固有周期, 固有频率 。
本身的物理量,
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
⑶ 在比较同频率的谐振动时，往往用到
相位差（周相差） ?的概念。
2121 )()( ??????? ??????? tt
21 ?? ?
21 ?? ?
21 ?? ?
2/21 ??? ???
??? ??? 21
振动,1”超前,2”
振动,1”落后,2”
振动,1”和振动,2”同相；
振动,1”和振动,2”正交；
振动,1”和振动,2”反相。
规定,
三、谐振动的表示法
重要的是将三要素表示出来。
1、三角函数及其振动曲线
)c o s ( ?? ?? tAx
?t
x
0??
?t
x
0??
2、参考圆和辅助点 A
A
)c o s ( ?? ?? tAx
设有一谐振动
作一半径为 A的参考圆和绕圆
心以 ? 运动的参考点 M
)( ?? ?t
优点：形象化，尤其是使
相位和圆频率具体化
的值由点 M在 X轴上的
投影 表示。
x
?
M
X
Y
X
? t
优点：除形象化外，还便于
振动的合成。
)c o s ( ?? ?? tAx
设有一谐振动
作大小为 A的以 ? 旋转的
旋转矢量 A?
的值由 在 X轴上的
投影 表示。
x A?
能把三要素一目了然地表
示出来。
3、用矢量表示
?
X
? t
X
Y
? )( ?? ?t
A?
X
4、用复数表示
尤拉公式
)c o s ( ?? ?? tAx
??? c o ss in ?? ie i
对一谐振动
为一复数 )( ?? ?? tiAeA ~ 的实部
][ )( ?? ?? tie AeRx ~
x )( ?? ?? tiAe把谐振动用复数代表,
客观上实际代表一旋
转矢量。 A ~
?
?
优点：三要素一目了然
还便于谐振动的计算。
例 3：如图所示为一 L,C自由振荡电路，求其自
由振荡频率。
L C
E
uc
K
C
qu
dt
diL
C ???
i
解：设电流方向如图。
依基尔霍夫定律,
0??
C
q
dt
diL
01 ?? q
LCdt
di
令,
LC
12 ??
012
2
?? q
LCdt
qd
022
2
?? q
dt
qd
?
022
2
?? i
dt
id
?
对 t求导,证毕！
LC
1
2
1
2 ??
?? ??
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
例题 4,如图所示，一电感线圈 L、两平行金属导轨
及一个可在导轨上作无摩擦滑动的导体杆 m组成一
闭合回路，置于水平桌面上。回路所在的区域内有
竖直方向的磁场 。当 t=0时给予导体杆向右方向
的的初速度 。试求此后导体杆的运动方程
（不计回路电阻）
B?
0v
? )(tx
)( ?tx求,
解：建立坐标 OX
o X
0v
?
B?0v?己知,L
v?
v B l?动?
l
l
dt
di
LL ???
动?
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v? v B l?动?
l
dt
di
LL ???
动?
由基尔霍夫定律,
)1(0 ???
dt
diLv B l
由牛顿定律
iB lF ??
导体杆受力,
)2(?
dt
dv
miB l ??
)3(
2
2
?
dt
vd
m
dt
di
Bl ??
（ 2）式对 t求导,
F?
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v?
l
动?
由基尔霍夫定律,
)1(0 ???
dt
diLv B l
)2(?
dt
dvmiB l ??
)3(
2
2
?
dt
vd
m
dt
di
Bl ??
（ 2）式对 t求导,
F?
代入（ 3）式,
由（ 1）式
)4(?
L
v B l
dt
di ?
)4(0
22
2
2
??? v
mL
lB
dt
vd
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v?
l
动?
F?
)4(0
22
2
2
??? v
mL
lB
dt
vd
mL
lB 222
??
)5(02
2
2
??? v
dt
vd
?
令,)c o s (0 ?? ?? tvv
tvv ?c o s0?
t
mL
lB
v
22
0 c o s?
由判据得,
由初始条件,0??
L
L?
?i
m ? ?
?
?
? ? B?
o X
0v
? v?
l
动?
F?
tvv ?c o s0?
t
mL
lB
v
22
0 c o s?
??
t
v d ttx
0
)( ?? t t d tv
0 0
c o s ?
t
v
?
?
s in0?
?
?
?
?
?
?
?
?
? t
mL
lB
Bl
mLv
22
0 s in
)c o s (0 ?? ?? tvv
例 5：求等离子振荡频率。
等离子态 ---游离的正离子和负电子组成的呈中性
的 物质状态 ---物质的第四态。
如地球周围的电离层、星际间的大块气体、太
阳周围的大气层 ---日冕都是等离子态。
地球
大气
电离层 在日全蚀时观 察日冕最方便
下面我们研究一薄层等离子体。
X
E
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
若等离子体受到干扰,
使电子整体发生一位移
0?
?
?E
nqx??
产生一偶电层，形成一
电场
x
nqSxQ ?
x
x
即偶电层中的电子在位移 x时受力,
x
nq
qEF
0
2
?
??? x
nq
dt
xd
m
0
2
2
2
?
??
q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
x
x
nq
qEF
0
2
?
???
x
nq
dt
xd
m
0
2
2
2
?
??
+
+
+
+
+
+
+
+
+ X
E
x
q
0
0
2
2
2
?? x
m
nq
dt
xd
?令,
0
2
2
?
?
m
nq
?
022
2
?? x
dt
xd
?
电子作谐振动
0
2
2
1
2 ???
?
?
m
nq
??
振动频率
测出其频率就能了解太阳
周围的粒子变化情况
