x
y
声波的叠加
一般而言，波的叠加比较复杂。
§ 15-5 波的叠加（ Superposition of waves)
引,
一、波的叠加原
理
(含波的独立性
传播原理 )
绳波
水波 光波
∩ 两列波在相遇后，仍然各自保持
自身的波动特性，这就是波传播
的独立性
波的叠加原理,在波相遇的空间各点，任一时刻
质点的位移是各列波单独存在时在该点产生的位
移的矢量和。
nyyy
????
21,
nyyyy
????? ????
21
设 n列波分别在空间 P点产生的位移分别为,
则该点的总位移,
可见：研究波的叠加其方法通常是,
1）通过波动方程式分别求得各波动在空间
产生的位移。
2）将这些位移用矢量叠加
3）分析结果，得出结论。
注意：应用线性叠加原理的条件,
注意：线性叠加原理成立的条件,
被叠加的波的波动微分方程是数学上简单的
线性方程。即只含 而无它们的乘
积或幂。
??? rrr ???,,
电
源
激光枪
二、波的干涉
相干波源,两个频率相同、振动方向相同、周
相相同或周相差恒定、振幅相差小的波源。
相干波,由相干波源产生的能产生干涉现
象的两列波。
干涉现象,
实验中看到的光的干涉
（牛顿环）
S1
S2
水波干涉
干涉现象,满足相干条件的两波源发出的相干波,
在相遇的空间，有的地方振动始终加强,
有的地方振动始终减弱或相消的现象。
（这是波动的特征之一）。
相干条件：同频率、同振动方向、周相相同或
周相差恒定、振幅相差小的波源产生的波。
定量分析,
P
1r
2r
设有两相
干波源
S1 S2 ? ?
)c o s ( 11010 ?? ?? tAy
)c o s ( 22020 ?? ?? tAy
设两波在 P点引起的振动
分别为,A1,A2
若两波为平面波,A1=A10 A2=A20
若两波为球面波,
r
AA
r
AA 2
2
1
1
',' ??
21 ',' AA 为离波源单位距离处的振幅
两波在 P点引起的振动,
)c o s ( 11010 ?? ?? tAy
)c o s ( 22020 ?? ?? tAy
两波在 P点引起的振动,
])(c o s [ 2222 ?? ???
u
rtAy
])(c o s [ 1111 ?? ???
u
rtAy
?
??? r
u
r
Tu
r
212 ???
)2c o s ( 1111
?
??? rtAy ???
)2c o s ( 2222
?
??? rtAy ???
P
1r
2r
S1 S2 ? ?
P的合振动,
)2c o s ( 1111
?
??? rtAy ???
)2c o s ( 2222 ???? rtAy ???
12 c o s ( )y y y A t??? ? ? ?
)2c o s (2 1212212221
?
??? rrAAAAA ??????
)
2
c o s ()
2
c o s (
)
2
s in ()
2
s in (
2
22
1
11
2
22
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
A
r
A
r
A
r
A
a r c t g
???
???
?
P
1r
2r
S1 S
2 ?
?
)2c o s (2 1212212221
?
??? rrAAAAA ??????
)
2
c o s ()
2
c o s (
)
2
s in ()
2
s in (
2
22
1
11
2
22
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
A
r
A
r
A
r
A
a r c t g
???
???
?
结论,1）两相干波相遇的空间
各质点的振幅都有其定值，定值的
大小随空间各点的位置不同而不同,
有的地方振动始终加强，有的地方
始终减弱 -- 干涉现象。
振幅最强与最弱的条件,
P
1r
2r
S1 S
2 ?
?
)2c o s (2 1212212221
?
??? rrAAAAA ??????
振幅最强与最弱的条件,
...)3.2.1.0( ?k21 AAA ??
...)3.2.1.0( ?k21 AAA ??
振动最强；
振动最弱；
?
?
???? krr 22 1212 ??????? ?
?
?
???? )12(2 1212 ???????? krr?
0,?A21 AA ?当
21 AA ?
当
21 22,AAA ??
21( ) ( )tt? ? ?? ? ?
)2c o s (2 1212212221
?
??? rrAAAAA ??????
21 AAA ??
...)3.2.1.0( ?k21 AAA ??
振动最强；
振动最弱；
?
?? 212 rr ???
?
?
?
??
?
????
,2/)12(
,
21 ?
?
k
k
rrr
21 ?? ?当
振动加强、减弱条件可变成,
不满足以上条件时,
为什么会出现这种情况呢？
?
?
21 rrr ??? 21 rrr ???
综上所述,
1）只有满足相干条件的相干波源产生的相干波
才能产生干涉现象。
?k?? 2/)12( ???? k
? ?
2）干涉条件
?
???? 1212 2 rr ?????
?
?
?
?
?
?
,2 ?k?
,)1(2 ??? k
21 AAA ??
21 AAA ??
非以上值,
2121 AAAAA ????
21 rrr ???
3）当 21 ?? ?
?
?
?
?
?
?
?k?
,2/)12( ??? k
21 AAA ??
21 AAA ??
非以上值,
2121 AAAAA ????
...)3.2.1.0( ?k
例：如图 A,B两点是处于同一介质中相距为
20m的两个波源，它们作同方向、同频率的振动
（ ?=100HZ）设它们激起的是相向前进的两平面
波，振幅均为 5cm。波速为 200 m/s，且 A为波峰
时,B为波谷。求 A,B线上因干涉而静止的各质
点位置。
SB SA
已知,AB=20m ?=100HZ A=5cm u=200m/s
求：振幅为零的位置。
??? ?? 21
解,1）建立坐标 AXY,选取 A点位移最大时为计
时起点，则,
SB SA
A B X
Y
tAy A ?c o s?
)c o s ( ?? ?? tAy B
2）波动方程,
)(c o s
u
xtAy
A ?? ?
])20(c o s [ ?? ????
u
xtAy
B
3）分析周相差,
)(])20([
u
xt
u
xt ??????? ????
u
x
u
x ??? ???? 20
u
x
u
x ????? 2202 ????
2）波动方程,)(c o s
u
xtAy
A ?? ?
])20(c o s [ ?? ????
u
xtAy
B
X Y
SB SA
A B
3）分析周相差
)(])20([
u
xt
u
xt ??????? ????
u
x
u
x ????? 2202 ?????
X Y
SB SA
A B
u
x
u
????? 4202 ????
200
1004
200
201002 x?????? ???
x??? 220 ????
X Y
SB SA
A B
.,, )3.2.1.0( ????k
x???? 220 ?????当,
振幅为零。
即,
)9.2.1.0( ???? ?k
时,?)12( ?? k
)(10 mkx ?? 时,
mx 192.1 ?? 处振幅为
零。
振幅为零。
∩