§ 14-4 谐振动的合成
（ Superposition of Harmonic Oscillation)
引,
-
一、同（振动）方向、同频率的两个谐振动
的合成
设一质点同时参加如下两振动,
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
设一质点同时参加如下两振动,
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx 求合振动 1、三角函数法
21 xxx ??
)c o s ()c o s ( 2211 ???? ???? tAtA
)c o s ( ?? ?? tA
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s ins in
??
??
?
AA
AA
a r c t g
?
?
?
t
x
1x 2x
x
结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后
仍为同频率的谐振动
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
2、矢量法
设有,
1A
?
2A
?
A?
1?
?
2?
Y
x
?
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
2、矢量法
1A
?
2A
?
A?
1?
Y
X
? 矢量代表的谐振动的圆频率与振动
相同；
A? 21.xx
证明,所代表的谐
振动就是合振动 A
?
x
1A
?
2A
?
1? 2? ? 不变。
? 所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动
的振幅与初相。
A?
?c o s2 212221 AAAAA ???
?
)c o s ( ?? ?? tAx
2?
?c o s2 212221 AAAAA ???
)](c o s [2 12212221 ??? ????? AAAA
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAA
与合振动的振幅相同。
?
1A
?
2A
?
A?
1?2?
y
x
? 所代表的谐振动
的振幅与初相就
是合振动的振幅
与初相。
A?
?
2211
2211
c o sc o s
s ins in
??
??
?
AA
AA
a r c t g
?
?
?
1A
?
2A
?
A?
1?
?
2?
y
x
? 所代表的谐振动
的振幅与初相就
是合振动的振幅
与初相。
A?
?
与合振动的初相相同。
结论,所代表的谐振动就是合振动 。 A? x
利用矢量求合振动只要利用平行四边形法则
求出各谐振动的合振动矢量即可。
例 1：如图所示为一 RC交流电路，电阻上电压
tu R ?c o s3?,电容器上的电压为
)2/c o s (4 ?? ?? tu C 求端电压 abu
cRab uuu ??Ru
+ - + - Cua b
解,
作其振幅矢量图,
RU
?
CU
?
abU
?
参考
方向 ?
由矢量图可知,
m a x 5abU ? 伏
3
4ar c t g???
?1.53??
0,9 2 7 r a d??
伏)927.0c o s (5 ??? tu ab ?
3、复数法
先以例 1）为例,
tu R ?c o s3? )2/c o s (4 ?? ?? tu
C
)2/(43 ??? ?? ?? titi
ab eeu
Ru+ - + - Cua b
对应的复数表达式
tiR eu ?3?? )2/(4 ?? ?
? ? ti
C eu
]43[ )2/( ?? ??? iti ee
)]}
2
s in (4)
2
c o s (4[3{
???
????? ie ti
)1.53(5]43[ ????? ititi eeie ??
)1.53(5 ??? tie ?
)2/(43 ??? ?? ?? titi
ab eeu
Ru+ - + - Cua b
]43[ )2/( ?? iti ee ??
)]}
2
s in ()
2
c o s (4[3{
???
????? ie ti
)1.53(5]43[ ????? ititi eeie ??
)1.53(5 ??? tie ?
取其实部,
)1.53c o s (5]5[ )1.53( ?? ??? teR tie ??
（伏）
与用矢量法求出的结果一样！
归结：用复数求合振动的办法,
A）将谐振动用复数表示；
X
归结：用复数求合振动的办法,
A）将谐振动用复数表示；
B）将这些复数相加；
C）取这些复数相加的结果的实部
即得合振动。
例 2,N个同方向、同频率的谐振动，振幅相等
相位依次相差 ?，求合振动的振幅与相位。
设,tax ?c o s1 ?
)c o s (2 ?? ?? tax
)2c o s (3 ?? ?? tax
)3c o s (4 ?? ?? tax
)4c o s (5 ?? ?? tax
（设 N=5）
1a
?
?
5a
?
?
4a
?
?
3a
?
?
2a
?
X 1a?
?
5a
?
?
4a
?
?
3a
?
?
2a
?
X
1a
?
4?
5a
?
3? 4a
?
2?
3a
?
?
2a
?
A?
用矢量求和 C
O P
Q
M
? 联 CO,CP,CQ,…,CM
PC QO C P ???
??? ?
?NO C M ??
令 CO=CP=CQ
= =R ….,
R
?NO C M ??
O
X
1a?
4? 5a?
3? 4a?
2?
3a
?
?
2a?
A?
P
Q
M
R
C
N?
)1(
2
s in2 ??NRA ?
在 C O P? 中
)2(
2
s in2 ??Ra ?
)3(
2/s in2
?
?
aR ?
式 (3)代入 (1)式
)4(
2
s in
2
s in
?
?
?
N
aA ?
2
?
)4(
2
s in
2
s in
?
?
?
N
aA ?
C O MC O P ????? ? 22
???? N????
?)1(
2
1 ?? N
]
2
)1(
[
2
s in
2
s in
?
?
?
?
?
??
N
tC O S
N
ax
O X 1a?
4? 5a?
3
?
4a?
2?
3a?
?
2a?
A?
P
Q
M
R
C
N?
2
???
]
2
)1(
[
2
s in
2
s in
?
?
?
?
?
??
N
tC O S
N
ax
0??
Na
N
a
N
aA ???
? 2/
2/
2
s in
2
s in
lim
0 ?
?
?
?
?
讨论, 1)当 ?=0时,
1a
?
2a
? 3a?
4a
? 5a?
aNA ?? ?
0??NaA ?
2)当 ?=2K?时,
1a
?
2a
? 3a?
4a
? 5a?
aNA ?? ?
)210( ?????k
3)当 N?=2m?时 )( k
N
m ?
N
m ?? 2?或 时,
0?A
以 N=4为例,
???
24
2 mm ??
当 m=1时
,
2
1 ?? ? 0?A
1a
?
2a
?
3a
?
4a
?
以 N=4为例,
???
24
2 mm ??
当 m=1时,
2
1 ?? ? 0?A
当 m=2时,?? ? 0?A
2a
? 3a?
4a
?
1a
?
1a
?
2a
?
3a
?
4a
?
当 m=3时,
2
3 ?? ?
0?A 1a
?
3a
? 2
a?4a?
3)当 N?=2m?时 )( k
N
m ?
N
m ?? 2?或 时,
0?A
??? 2
2
?? m
当 m=1时,
2
1 ?? ? 0?A
当 m=2时,?? ? 0?A
2a
? 3a?
4a
?
1a
?
1a
?
2a
?3a
?
4a
?
当 m=3时
,
2
3 ?? ? 0?A 1a?
3a
? 2
a?4a?
当 m=4时
2a
?
1a
? 3a? 4a?
A?
)1( ?
N
m
aA 4?
??? 4
2
?? m
当 m=5时,
2
5 ?? ? 0?A
当 m=6时,3?? ? 0?A
2a
? 3a?
4a
?
1a
?
1a
?
2a
?3a
?
4a
?
当 m=7时
,
2
7 ?? ? 0?A 1a?
3a
? 2
a?4a?
当 m=8时
2a
?
1a
? 3a? 4a?
A?
)2( ?
N
m
aA 4?
归纳,
)( k
N
m ? 0?A
N
m ?? 2? 时, 当
12,2,1 ??? NNN ?
14,23,13 ??? NNN ?……………………………..,
0?A
?NNNm 3,2,,0?
1.,.,3.2.1 ?? Nm1)
在两个最大之间有 N-1个最小值 A=0 2)
相当于 ?3,2,1?k
请大家记住这一结论 !
二、同方向的两个不同频率，但周期相差不多的
的两个谐和振动的叠加
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出
较复杂性的情况
t
x
1x
2x
21 xxx ??
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大
的两个谐振动的叠加
)c o s ( 1111 ?? ?? tAx
)c o s ( 2222 ?? ?? tAx
若有,
21 ?? ?
设
21 ?? ?
但,
为简单,AAA ??
21令 ??? ?? 21
先用函数曲线叠加,
声音时大时小 ---“拍现象”
1x t
2x t
x
t
t x
定量分析,)c o s (
11 ?? ?? tAx
)c o s ( 22 ?? ?? tAx
21 xxx ??
)c o s ()c o s ( 21 ???? ???? tAtA
用和差化积公式,
)
2
c o s ()
2
c o s (2 2121 ????? ???? ttAx
随时间变化很慢
可看作合振动的
振幅
随时间变化很快
可看作作谐振动
的部分。
t x
)
2
c o s ()
2
c o s (2 2121 ????? ???? ttAx
振动的圆频率
21
121
2
2
2
??
???
? ???
?
?
振幅变化的频率
tA
2
c os (2 21
?? ?即,变化的频率
振幅变化的频率
tA
2
c os (2 21 ?? ?即,变化的频率
若振幅变化的周期为 T拍
????? ????? ]
2
)(
2
[ 2121 tTt 拍
21
2
??
?
?
?拍T
21
21
2
/1 ??
?
??
? ??
?
?? 拍T
拍现象的频率等于两个分振动频率之差。
拍现象的应用,
1）较正乐器
2）测量超声波
频率
3）接收等幅电报
t u
OSC
t 1u
2u t
本地振荡
最后要指出一点,拍现象是两个频率较高但相差
不多的两个谐振动的叠加。若相差甚远,
叠 加后已完全不是一个谐和振动。
t
x
1x
2x
21 xxx ??
t
x
2x
1x
21 xxx ??
付里叶定理：任何一个周期振动都可以看成是由
各种频率不同的谐振动的合成。
????? tataatf ?? 2c o sc o s)( 210
???? tbtb ?? 2s ins in 21
即周期 T=2?/?的周期振动，是由一系列简谐
振动的叠加，即,
三、在垂直方向上的两个谐振动的合成
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAy1、解析法
以上两式实为质点运动的运动方程，消去 t
即可得质点运动的轨迹方程。
对 21 ?? ? 的情况,
)(s in)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
? 0
12 ?? ??
02
21
2
2
2
2
1
2
???
AA
xy
A
y
A
x
0)( 2
21
?
A
y
A
x
)(s in)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
? 0
12 ?? ??
0)( 2
21
??
A
y
A
x
0
21
??
A
y
A
x
斜率,
1
2
A
A
x
y
?
Y
X
S
22 yxS ??
)c o s (2221 ?? ??? tAA
??? ?? 12
A1
A2
)c o s ( 11 ?? ?? tAx
)c o s ( 22 ?? ?? tAy
)(s in)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
0)( 2
21
??
A
y
A
x
0
21
??
A
y
A
x
斜率,
1
2
A
A
x
y
??
Y
X
??? ?? 12?
Y
X
Y
X
)(s in)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
Y
X
Y
X
1
2
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x
2/12 ??? ???
Y
X
? 2/
12 ??? ???
1
2
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x
2、作图法
依次描出坐标值
2、作图法
设有两同频率但相位差 ?/2的两个垂直振动
)2(c o s1 ?tAx ??
)3()
2
c o s (2 ??? ?? tAy
求合振动的轨迹。
解 1）解析法 （ 1）、（ 2）式变为,
)3(c o s
1
?t
A
x
?? )4(s in
2
?t
A
y ???
（ 3），（ 4）平方后求和。
1
2
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x 轨迹是一椭圆
Y
X o
2、作图法
X
Y
X
Y
1A
?
2A
?
tAx ?c o s1?
)
2
c o s (2 ?? ?? tAy
?
?
作业,
祝大家国庆节日愉快！
1949---2004