§ 15-2 波的描述（ Description of Wave Motion）
一、波的几何描述 (波面、波前、波线）
同相面 （ 波面 ）：在波传播的介质中，相位相
同
的点所连成的面。
波前 （ 波阵面 ）：波动到达的各点所连成的波阵
面中最前端的波面。
波前为平面的称为 平面波
波前为球面的称为 球面波
波前
波线,波传播的方向线
波线
注意：在均匀介质中，波线与波面正交。
二、波的时空描述
1、波的时间周期和时间频率
波的时间周期,波线上周期性地每传出一个完整
的波所需要的时间（ T）。
波的时间频率,单位时间内，沿波线传出的完整
波的个数（ ?） 。
[质点振动的
周期和频率 ]
波的时间周期,波线上周期性的每传出一个完整
的波所需要的时间（ T）。
波的时间频率,单位时间内，沿波线传出的完整
波的个数（ ?） 。
[质点振动的
圆频率 ] 波的时间圆频率,（ ?） T
1??
??? 2?
2、波的空间周期和频率 波的空间周期,在同
一波线上，相邻的两
个具有相同振动状态
（速度和位移）的质
点间的空间距离 （ ?）
? ? ? ?
（相位相差 2?）
???? /22 ?? 空k
波的空间周期,在同
一波线上，相邻的两
个具有相同振动状态
（速度和位移）的质
点间的空间距离（ ?）
? ?
波的空间频率,在波线上，单位空间长度内完
整波的个数（ ）
空?
?
? 1?空
波的空间圆频率（ ）,k
时间周期性 空间周期性
?? /2?k
?/1
?
?
??? 2?
T
3、空间周期与时间周期的关系,
时???uTu
??
注意：同一时间频率的波在不同介质中传播时
空间频率不同。（ ?不同）
三、平面简谐行波的数学描述及物理意义
( 振动的描述 ;波动的描述 )
方程式描述介质中任意质点任意时刻的振动状态,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
X
可见：每个质点依次作谐振动，各质点振动的
先后有不同：不同时刻、不同位置的质点振动
状态不同。 ).( trfy ??
r设波源的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy
质点 a的振动比 S晚 urt /??
质点 a的振动的方程为 ])(c o s [ ?? ???? ttAy
S
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r
S a
设波源的振动方程,)c o s ( ?? ?? tAy
质点 a的振动比 S晚 urt /??
质点 a的振动的方程为 ])(c o s [ ?? ???? ttAy
c o s[ ( ) ]ry A t
u
??? ? ? （标准式）
此式实际上给出了任一时刻、任一位置质点振动
的位移，称为 波动方程 。
是否一定要知道波源的振动方程呢？
)c o s ( ?? ?? tAy b
])(c o s [ ?? ???? ttAy
])(c o s [ ?? ????
u
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已知 b点振动方程,
任一点 a比 b点晚振动 udxt /)( ???
x
u
O
a X y b
d
其波动方程,
即,
u
若是左行波,a点只不过比 b点早振动一段时间,
其波动方程,
])(c o s [ ?? ????
u
dxtAy
a u
O
X y u
常用的简单形式：设一平面波沿 X轴正向传播
x已知质点在坐标 原点的振动方程
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则该右行波波动方程,)(c o s
u
xtAy ?? ?
若该波为左行波,
则该左行波波动方程,)(c o s
u
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?
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T
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u
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设有一右行波
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T
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讨论,
1） x 为定值；
)(2c os 1
?
? x
T
tAy ??
)(2c o s 2
?
? x
T
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1xx ?
2xx ?
t
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两定值点振动的相位差,
)]2()2[( 21
?
?
?
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?
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x 为定值时，波动方
程表达的是定值点
的振动方程。
2） t 为定值；
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u
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)(c o s 2
u
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X
2tt ?
1tt ? 2tt ?
当 t为定值时，波动方程表达的是整个介质中
各质点在该时刻振动的全貌（波形方程）
3） tx,都变化
波形曲线
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
X
)(c o s
u
xtAy ?? ?
)(c o s
u
xtttA ?????? ?
tt ?
tt ? ttt ???
3） tx,都变化
])()[(c o s
u
tuxttA ?????? ?
tu? tu?tu?
这说明,
在 ttt ??? tux ??时刻,位置处的质点振动
位移与 t x时刻,位置处质点振动位移相同
即波经过 t? 时间波传播了 tu? 距离
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
X
y tt ? 4/Ttt ??
u
2/Ttt ??
4
Tu
4
Tu
2
Tu
2
Tu
4
?
注意,
若振源不是简谐振动，而是 y=f（ t），则波
动方程为,
)(
u
xtfy ??
2
?波动方程表示波传播过程中,
任一时刻，任意位置的质点
位移和波动的全貌。
总之,
)(c o s
u
xtAy ?? ?
附,平面简谐波的微分方程
)(c o s
u
xtAy ?? ?或 设有,
y对 t
求导,)(s i n
u
xtA
t
y ???
?
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y
u
x
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2
2
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一维波动的微分方程
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2
22
2 1
t
y
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2
2
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2
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一维波动的微分方程
理论解,
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u
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u
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三维波动的微分方程,
2
2
2
00
2
2
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四、应用类型及举例分析
1、已知波动方程，求：振幅、周期、波速等。
方法：将波动方程化为标准形式对比求解。
2、已知某质点振动情况和波的传播方向或已知
波形图和波的传播方向，求：波动方程或某质点
振动方程。
方法,（ 1）求已知点的振动方程；
（２）据 波的传播方向，判定待求点和已
知点的时间关系或位相关系；
（ 3）写出波动方程，再求某质点振动方
程或其它物理量。
例 1：一平面简谐波的波动方程为,
y（ x,t） =0.25cos(125t-0.37x) (SI)
求：简谐波的波长、波速、圆频率。
例 2：一简谐波，振动周期 T=1/2 s,波长
λ=10m,振幅 A=0.1m 。当 t=0时刻，波源振动
的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和
波源重合，且波沿 OX轴正方向传播，求,
（ 1）此波的表达式；
（ 2） t1=T/4时刻,x1=λ/4处质点的位移；
（ 3） t2=T/2时刻,x2=λ/4处质点的振动速度。
例 3：平面简谐波沿 x轴正方向传播，振幅为
2cm，频率为 50Hz，波速为 200m/s。在 t =0时，
x =0处的质点正在平衡位置向 y轴正方向运动。
求 x =4m处媒质质点振动的表达式及该点在 t =2s
时的振动速度。
一、波的几何描述 (波面、波前、波线）
同相面 （ 波面 ）：在波传播的介质中，相位相
同
的点所连成的面。
波前 （ 波阵面 ）：波动到达的各点所连成的波阵
面中最前端的波面。
波前为平面的称为 平面波
波前为球面的称为 球面波
波前
波线,波传播的方向线
波线
注意：在均匀介质中，波线与波面正交。
二、波的时空描述
1、波的时间周期和时间频率
波的时间周期,波线上周期性地每传出一个完整
的波所需要的时间（ T）。
波的时间频率,单位时间内，沿波线传出的完整
波的个数（ ?） 。
[质点振动的
周期和频率 ]
波的时间周期,波线上周期性的每传出一个完整
的波所需要的时间（ T）。
波的时间频率,单位时间内，沿波线传出的完整
波的个数（ ?） 。
[质点振动的
圆频率 ] 波的时间圆频率,（ ?） T
1??
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2、波的空间周期和频率 波的空间周期,在同
一波线上，相邻的两
个具有相同振动状态
（速度和位移）的质
点间的空间距离 （ ?）
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（相位相差 2?）
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波的空间周期,在同
一波线上，相邻的两
个具有相同振动状态
（速度和位移）的质
点间的空间距离（ ?）
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波的空间频率,在波线上，单位空间长度内完
整波的个数（ ）
空?
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波的空间圆频率（ ）,k
时间周期性 空间周期性
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3、空间周期与时间周期的关系,
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注意：同一时间频率的波在不同介质中传播时
空间频率不同。（ ?不同）
三、平面简谐行波的数学描述及物理意义
( 振动的描述 ;波动的描述 )
方程式描述介质中任意质点任意时刻的振动状态,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
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可见：每个质点依次作谐振动，各质点振动的
先后有不同：不同时刻、不同位置的质点振动
状态不同。 ).( trfy ??
r设波源的振动方程,
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??? ? ? （标准式）
此式实际上给出了任一时刻、任一位置质点振动
的位移，称为 波动方程 。
是否一定要知道波源的振动方程呢？
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已知 b点振动方程,
任一点 a比 b点晚振动 udxt /)( ???
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其波动方程,
即,
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若是左行波,a点只不过比 b点早振动一段时间,
其波动方程,
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常用的简单形式：设一平面波沿 X轴正向传播
x已知质点在坐标 原点的振动方程
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讨论,
1） x 为定值；
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两定值点振动的相位差,
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x 为定值时，波动方
程表达的是定值点
的振动方程。
2） t 为定值；
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当 t为定值时，波动方程表达的是整个介质中
各质点在该时刻振动的全貌（波形方程）
3） tx,都变化
波形曲线
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
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这说明,
在 ttt ??? tux ??时刻,位置处的质点振动
位移与 t x时刻,位置处质点振动位移相同
即波经过 t? 时间波传播了 tu? 距离
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
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若振源不是简谐振动，而是 y=f（ t），则波
动方程为,
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?波动方程表示波传播过程中,
任一时刻，任意位置的质点
位移和波动的全貌。
总之,
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附,平面简谐波的微分方程
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理论解,
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四、应用类型及举例分析
1、已知波动方程，求：振幅、周期、波速等。
方法：将波动方程化为标准形式对比求解。
2、已知某质点振动情况和波的传播方向或已知
波形图和波的传播方向，求：波动方程或某质点
振动方程。
方法,（ 1）求已知点的振动方程；
（２）据 波的传播方向，判定待求点和已
知点的时间关系或位相关系；
（ 3）写出波动方程，再求某质点振动方
程或其它物理量。
例 1：一平面简谐波的波动方程为,
y（ x,t） =0.25cos(125t-0.37x) (SI)
求：简谐波的波长、波速、圆频率。
例 2：一简谐波，振动周期 T=1/2 s,波长
λ=10m,振幅 A=0.1m 。当 t=0时刻，波源振动
的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和
波源重合，且波沿 OX轴正方向传播，求,
（ 1）此波的表达式；
（ 2） t1=T/4时刻,x1=λ/4处质点的位移；
（ 3） t2=T/2时刻,x2=λ/4处质点的振动速度。
例 3：平面简谐波沿 x轴正方向传播，振幅为
2cm，频率为 50Hz，波速为 200m/s。在 t =0时，
x =0处的质点正在平衡位置向 y轴正方向运动。
求 x =4m处媒质质点振动的表达式及该点在 t =2s
时的振动速度。
