ikxF ????
§ 14-5阻尼振动（ Damped Oscillation）
一,何谓阻尼振动？
振幅（或能量）随时间逐渐减小的振动。
x
t
能量减小的原因,
1）磨擦阻力的存在
2）引起邻近质点振动,
以波的形式向周围传播能量。 L
C R E
+ +
- -
二、阻尼振动的定量分析
以机械振动为例,
设一质点 m，受力,
ikxF ????设一质点 m，受力,
阻力,
i
dt
dxvf ??? ???? ??
X o F?f? m
依牛二律,
dt
dx
kx
dt
xd
m ????2
2
02
2
??? x
m
k
dt
dx
mdt
xd ?
令,
m
k?2
0? m2
?? ?
02 202
2
??? x
dt
dx
dt
xd
??
称为阻尼系数 ?
(阻尼振动的 微分方程 )
……(1)
方程的解有三种情况
称为阻力系数 ?
02 202
2
??? x
dt
dx
dt
xd ??
1)当
0?? ?
时,(小阻尼 )
)c o s (0 ??? ?? ? teAx t
22
0 ??? ??
?,0A 由初始条件决定
若 t=0时,
0xx ? 0
0
v
dt
dx
v
t
??
?
?
?
?
??
?
….(1)
代入 (1)式,
)2(c o s00 ??Ax ?
)3(c o ss in 000 ????? AAv ???
)2(c o s00 ??Ax ?
)3(c o ss in 000 ????? AAv ???
两式联立,
)4(
)(
2
2
002
00 ??
? vx
xA
?
??
)5()(
0
00 ?
x
xv
a r c t g
?
?
?
?
??
x
t
Tz 0??
x
t
Tz 0??
讨论,A)当阻力不大时,质点在平衡位置振动,但振
幅 teAA ???
0
随时间变化。
B）阻尼振动周期
0
22
0
2
222
?
?
??
?
?
?
?
?
??T
C）阻尼振动 的对数减缩（ ） ?
x
t
Tz
teAA ??? 0
C）阻尼振动 的对数减缩（ ） ?
Z
K
K T
A
A
????
? 1
ln
Z
Z
T
Tt
t
K
K e
eA
eA
A
A ?
?
?
??
??
?
?
)(
0
0
1
KA 1?KA
定义,对数减缩 ---相隔一周期的相邻两振幅之
比的对数
Z
K
K T
A
A
????
? 1
ln
定义,
电振荡回路 0.02~0.005
音 叉 0.001~0.0001
晶 体 0.0001~0.00001
?
注意,
?1)可用 求出阻力系数
m2
?? ?
ZZ T
mm
T
m
?
?
?
?? 222 ??
对数减缩 ---相隔一周期的相邻两振幅之
比的对数
2)也常用振幅减至起始振幅时的
所经历的时间 ?或振动次数 N来说明振幅减小
的情况,
3/1/1 ?e
e
e
A
eA
A
A 1
0
0
0
??? ?
?
??
??
?
2)也常用振幅减至起始振幅时的
所经历的时间 ?或振动次数 N来说明振幅减小
的情况,
3/1/1 ?e
1?? ??
?? /1??
??? /ZT?
ZT????
减幅为 1/e所经历的振动次数
??? /1/ ZTN ?
0?? ?
2） （大阻尼）
其解,)( 11
21
ttt eCeCex ??? ?? ??
2
1
22
1 ??? ??
x
t 0?? ?3） （临介阻尼）
)( 21 tCCex t ?? ? ?
C1,C2为由初始条件决定的常数。
C1,C2为由初始条件决定的常数。
0?? ?
0?? ?
§ 14-5强迫振荡（ Forced Oscillation）
一、何谓强迫振荡？
系统在周期性外力（外源）作用下产生的振动。
X o f? m
强F
?
L
C i~
R
tFF ?? c o s0强?
ikxF ????
i
dt
dxf ????? tUu ?? c o s0强
强u
tF
dt
dx
kx
dt
xd
m ????? c o s02
2
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F?
X o f? m
强F
?
tFF ?? c o s0强?
tF
dt
dx
kx
dt
xd
m ????? c o s02
2
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t
m
F
x
dt
dx
dt
xd
???? c o s2 0202
2
??
令,
m
k?2
0? m2
?? ?
)c o s ()'c o s (0 ???? ????? ? tAteAx t
其解,
F?
2222
0
0
4)( ????
?
??m
F
A
22
0
2
??
?
??
?
?
? ar c t g
其解,
t
x
X o f? m
强F
?
tFF ?? c o s0强?
)c o s ()'c o s (0 ???? ????? ? tAteAx t
F?
t
x
结论,1）强迫振动是由阻尼振动及由强迫力产
生的振动的合成。
2）振动开始较复杂，尔后呈现稳定状态,
其稳定解为,
)c o s ()'c o s (0 ???? ????? ? tAteAx t
)c o s ( ???? tAx
强迫力提供的能量与克服阻力消耗的能量相等
二、共振
v?强F
? 人v
?
强F
?
v?
人v
?
二、共振
0]4)[( 222220 ????? ??
dt
d
浪
桥
共振：最强烈的强迫振动现象
1、位移共振：共振时振幅最大。
2222
0
0
4)( ????
?
??m
F
A?
A要最大,
解得,
22
0 2 ?? ????? r?
时振幅最大。
1、位移共振：共振时振幅最大。
2222
0
0
4)( ????
?
??m
F
A
22
0 2 ?? ????? r?
时振幅最大。 此时,
)2(4)]2([ 2202222020
0
?????? ????
?
m
F
A
22
0
0
2 ??? ?
?
m
F
?
??
?
?
?
22
0
22
0
22 ?
??
??
?
?? a r c t ga r c t g
r
r
?
?
)c o s ( ???? tAx
A
? 1?
2?
3?
321 ??? ??
2、速度共振：共振时速度最大
)s in ( ??????? tA
dt
dx
v
2222
0
0
4)( ????
?
??
??m
F
A?
速度最大时
0
)(
?
?
?
d
Ad
解之有,
0????? v
时速成度最大
3、能量共振：共振时能量最大
22
2
1
2
1
kxmvEEE pk ????
3、能量共振：共振时能量最大
22
2
1
2
1 kxmvEEE
pk ????
)(c o s
2
1)(s in
2
1 22222 ?? ??????? tkAtmA
注意,km ???? 2
0,?
]4)[(4
)(
)(
1
2222
0
222
0
0 ????
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dttE
T
E
T
2
0
22
002 ???? ?????? E
0)( ?
?d
tEd令,
能量最大
vEr ?????
A
?
r? 0?E?
v E
产生共振的原因,
2
2 220 ?
?
??
? ??
?
?? a r c t g
当阻尼系数很小时,
0??
)
2
c o s ()c o s ( ?? ?????? tAtAx
tA ?? s in
tA
dt
dxv ??? c o s?
与强迫力同向。 tFF ?? c o s
0强
?
4、共振现象的应用
?簧频计
?无线电中利用谐振电路选择信号
C
M
?
Cu
0?
?次声武器 呀！受不
了啦！ 3~17HZ