§ 16-10光栅衍射（ Diffraction by Grating）
一、,历史”的回顾,
X
例,N个同方向、同频率的谐振动，振幅相等
相位依次相差 ?，求合振动的振幅与相位。
tax ?c o s1 ?
)c o s (2 ?? ?? tax
)2c o s (3 ?? ?? tax
)3c o s (4 ?? ?? tax
1a
?
?
5a
?
?
4a
?
?
3a
?
?
2a
?
………,
O
X
1a?
4? 5a?
2?
3a?
?
2a?
A?
P
Q
M
R
C
N? 4a? 3?
]
2
)1(
[
2
s in
2
s in
?
?
?
?
?
??
N
tC O S
N
ax
0??讨论, 1)当 ?=0时,
1a
?
2a
? 3a?
4a
? 5a?
aNA ?? ?
0??NaA ?
2)当 ?=2K?时,
1a
?
2a
? 3a?
4a
? 5a?
aNA ?? ?
)210( ?????k
NaA ?
3)当 N?=2m?时 )( k
N
m ?
N
m ?? 2?或 时,
0?A
以 N=4为例,
当 m=1时,
2
1 ?? ? 0?A
当 m=2时,?? ? 0?A
2a
? 3a?
4a
?
1a
?
1a
?
2a
?4a?
当 m=3时,
2
3 ?? ?
0?A 1a
?
3a
? 2
a?4a?
4a
?
??? 2
2
?? m当 m=4时
2a
?
1a
? 3a? 4a?
A? )1( ?
N
m
aA 4?
当 m=5时,
2
5 ?? ? 0?A
当 m=6时,3?? ? 0?A
2a
? 3a?
4a
?
1a
?
1a
?
2a
?3a
?
4a
?
当 m=7时
,
2
7 ?? ? 0?A 1a?
3a
? 2
a?4a?
4当 8时
归纳, )( k
N
m ? 0?A
N
m ?? 2? 时, (一）当
12,2,1 ??? NNN ?
14,23,13 ??? NNN ?……………………………..,
0?A
?NNNm 3,2,,0?
1.,,,3.2.1 ?? Nm1)
在两个最大之间有 N-1个最小值 A=0 2)
相当于 ?3,2,1?k
请大家记住这一结论 !
NaA ?
(二 )当 ?=2K?时, )210( ?????k
a
b
二,平面衍射光栅及其衍射图样
1、何谓平面透射光栅?
在透明平面玻璃上刻成若干等间距的刻痕,或
在镀铬板上用光刻的办法刻出若干条刻痕做
成的器件。
a:表示透明
部分宽度 ;
b:表示不透
明部分宽度,
定义：光栅常数
d=a+b
数量级,10-5--10-6m
（即一厘米内刻有 1000
---10000条刻痕，亦称为光栅规格）
S
2、装置和现象
L1
E
A：光栅
E：屏幕
L1,L2 透镜
d
中央
明纹
A f
条纹特点：亮、细、疏
L2
D
Y
I
截面图,
光
栅
透
镜 屏
幕
3、衍射条纹的形成
?各单缝分别 同时 产生单缝衍射,
各单缝衍射的平行光产生多光
束干涉。
?
显然干涉条纹要受到衍
射光的影响。
注意：每一个单缝衍射的图样
和位置都是一样的。
I
各单缝衍射的平行光产生什么样的
多光束干涉？
I
?? s ins in)( dbaBC ???
?
?
a
b d B C
?
?
a
b d B C
?
?
a
b d B C
?
?
a
b d
从相邻单缝射出的平行光依次相差
相同的光程 BC或相同的相位差 ??
?
?? BC2??
即光栅衍射是 N个相位依次相差 ??的光振动的叠加
I
I
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
综合,
如果只有衍射,
如果只有干涉,
干涉、衍射均有之,
缺
级
缺
级
-1 -2 1 2
-2 2
4,定量分析,
?明纹公式：光栅方程 Y
I
光
栅
透
镜
屏
幕
?
?
?
?
?? s in22 baBC ????
...3.2.10 ????k
?.2.1.0 ???k
?
?
a
b d B C
光栅方程
?k2?
?? kba ?? s in)(
中央
明纹
1级明纹
2级明纹
3级明纹
-1级明纹
-2级明纹
-3级明纹
（主最大）
?暗纹公式：光栅方程 Y
光
栅
透
镜
屏
幕
?
?
a
b d B C 暗纹公式 ??
N
mba ?? s in)(
I 中央
明纹
1级明纹
2级明纹
3级明纹
-1级明纹
-2级明纹
-3级明纹
（主最大）
....23.13;12....2.1;1...2.1
???
?????
NN
NNNNm
?
?
?
?
?? s in22 baBC ????
暗纹
N
m ?2?
k
N
m ?
在两主最大之间有 N-1个暗纹。 N很大时,
实际上是一片暗区。
?衍射的影响、缺级
A）明纹的光强受到衍射光强的调制。（参与
干涉的光是衍射的光,）
I
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
如果只有干涉,
干涉、衍射均有之,
缺
级
缺
级 -2 2
如果只有衍射,
-1 -2 1 2
I
B）出现缺级现象
在某些特定的衍射方向，满足光栅方程中的明纹
条件，但又满足衍射的暗纹条件时，这一特定方
向的明纹将不出现的现象，称为“缺级”。
)1(s in)( ??? kba ?? ?.2.1.0 ???k
)2('s in ??? ka ? ?.2.1' ???k
k 称为干涉级
'k 称为衍射级
由明纹公式（光栅方程）,
由单缝衍射的暗纹公式,
式（ 1） ?（ 2）得,
'k
k
a
ba ??
在同一衍射方向同时满足,
)3('' ?
a
dk
a
bakk ???
...3.2.1' ????k
缺级公式,
)3('' ?
a
dk
a
bakk ???
缺级公式,
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
I
缺
级
缺
级 -2 2
例：一光栅,b=2a。则缺级的明纹,
'32'' k
a
aak
a
bakk ????? ?.2.1' ???k
故 ?.9.6.3'3 ????? kk
?.2.1' ???k
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
缺
级
缺
级
N=3
2 4 5 -1 -4 -5
I
1 -2
缺
级
缺
级 N=4
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
缺
级
缺
级
N=5
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
缺
级
缺
级
N=2
3?
a
d
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
缺
级
缺
级
N=2
3?
a
d
双缝衍射
缺
级
缺
级
I
1 2 5 -1 -2 -5 3 3 6 -6 0 4?ad
I
1 2 4 -1 -2 -4 3 3 6 -6 0
缺
级
缺
级
5?
a
d
光栅 （ N=5； d/a=3）
双缝 （ a=8?； d=50?）
（ a=?； d=50?）
I
1 2 -1 -2 -4 -5
缺
级
缺
级
4 5
?
?
I
?
I
缺
级
缺
级
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
1）光栅衍射条纹具有亮、细、疏的特点。
亮：每一单缝出射的光强虽小，但 N条单缝
的光强叠加起来，光强会增强。
细：光栅的单缝数量很大，在两级明纹之间
在 N-1个暗纹，占着很大的角宽度。
疏 --光栅常数可作得很小，使之不致于光强
很小才能使衍射角较大。 ?? kba ?? s in)(综述,
疏：光栅常数可作得很小，使之不致于光强
很小才能使衍射角较大。
综述,
??
N
mba ?? s in)( k
N
m ?
?.2.1.0 ???k ?? kba ?? s in)(
暗纹公式
缺级公式,
a
dk
a
bakk '' ??? ?.2.1' ???k
缺
级
缺
级
I
1 2 4 5 -1 -2 -4 -5
2）主要公式
光栅方程
明纹公式,
3）几点注意,
A） ?一定时，光栅常数越小，条纹越稀疏，反
之则越密。
ba
kk
bakk ?
???
?
??? ????? ])1[(1s ins in 1
bakk ?
??? ??? 1
相邻两明纹间的角宽度,?
B） d=a+b一定时，波长 ?越大，衍射角 ?越大。
C）当白色光入射光栅时，将产生彩色的衍射
光谱。从中央到两侧将出现由紫到红的光
谱。
?? kba ?? s in)(
C）当白色光入射光栅时，将产生彩色的衍射
光谱。从中央到两侧将出现由紫到红的光
谱。
非连续光谱
三、光栅光谱仪
1级光谱 2级光谱 -1级光谱 -2级光谱 中央明纹
1级光谱 2级光谱 -1级光谱 -2级光谱 中央明纹
三、光栅光谱仪 光栅
望远镜
光源 准直 构造,
1）准直部分 --产生平行光
2）分光器件 --光栅
3）观察部分 --可改变角度观察不同衍射角出
射光的望远镜
原理,
?? kba ?? s in)(
定义：光栅分辩率
入射波长相近的两光波 ?1 ?2，平均波长 ?
12 ??? ???
定义,光栅分辩率
设光栅能分辩最相近的两光波波长为 ?1 ?2,
其平均波长 ?,
12 ??? ???
可以证明光栅对 k
级光谱的分辩率为
?
?
?
?R
?
?? 越小，分辩率越高。
R=k N （ N为光栅缝数）
例每厘米 120条刻痕，宽为 5cm，对 ?=6000A的第
一级光谱的分辩率。
6 0 051 2 01 ????? kNR
分辩波长范围,?? AA
R
10
600
6000
????
?
?