§ 15-3波的能量（ Energy of Wave Motion）
引言：波的传播是能量的传播。
一、波动媒质中一体积元 中的能量 V?
以一个平面简谐纵波为例来说明
x?x
x
yx ???
yy ??
x
S
Y.?V?
y
)(c o s
u
xtAy ?? ?
u
)(c o s
u
xtAy ?? ?1）体积元的振动动能,
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u
xtA
t
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2
1
2
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u
xtVAvmE
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S
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u
V?im?
2）体积元的形变势能,
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2
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一根长为 的棒，伸长 时具有的势能。 l?l
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x
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2）体积元的形变势能,
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一根长为 的棒，伸
长 时具有的势能。 l?
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由胡克定律,
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u
VAYE P ???? ??
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Y
u ?? ?2uY ? 代入上式,
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V?im?
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代入上式,
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1 2
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xt
u
VAuE P ???? ???
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2
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u
xtVAE
P ???? ???
)(s in
2
1 222
u
xtVAE
P ???? ???
3）体积元的总能量
)(s in
2
1 222
u
xtVAE
k ???? ???
PK EEE ?????
)(s in 222
u
xtVA ??? ???
指出两点,
?体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统）
波动过程是一个能量传播的过程。
?波动过程中，体元中的动能与势能“同相”：同
时达到最大，同时达到最小。
定量分析,
)(c o s
u
xtAy ?? ?
)(s in
u
xtA
t
yv ???
?
?? ??
速度最大时,
2
)12()( ?? ??? K
u
xt 0?y
质点过平衡位置时动能最大。
此时的相对形变（应变）
u
A
u
xt
u
A
x
y ??? ???
?
? )(s in也最大！
同理可证：质元动能最小时，势能也最小。
t
y
质元的相对位移小 （周围的质元位移都大）
（左侧质元位移向上，右侧质元位移向下。）
质元的相对位移大
二、能流和能流密度（波强）
以平面简谐波为例,
1、能量密度：单位体积中的能量
)(c o s
u
xtAy ?? ?
)(s in 222
u
xtA
V
Ew ??
?
?? ???
PK EEE ?????
)(s in 222
u
xtVA ??? ???
S
2、平均能量密度,
22222
0 2
1)(s in1 ????? Adt
u
xtA
T
w
T
??? ?
3、能流,
一周期内能量密度的平均值
单位时间内通过介质中某面积的能量
u Su S
uS这个体积 中的能量值就是能流，显然这个能流
是随时间变化的，常取一周期的平均值。
输
出
功
率
uT S uTS
平均能流,
uSw
T
u T SwP ??
单位时间内通过某面积的平均能量
4、平均能流密度（波强）
通过垂直于波传播的方向的 单位面积 的平均
能流；
即 单位时间 内通过垂直于波动传播的方向的
单位面积 中的平均能量。
uAuw
S
uSwI 22
2
1 ?????
22
2
1 ?? AuS? 22
2
1 ?? Aw ?
4、平均能流密度（波强 ）
通过垂直于波传播的方向的 单位面积 的平均
能流；
即 单位时间 内通过垂直于波动传播的方向的
单位面积 中的平均能量。
uw
S
uSwI ??
单位,? ? ? ?
? ?
2
2 /
/ mW
m
sJ
S
PI ???
定义：烏莫夫 --玻印廷矢量（ 1874由 H.A ymof 和
Poynting提出 ) uwS ?? ?
含义,描述波的能量强弱,
uA 22
2
1 ???
讨论, 1)平面波
S1 S2
uwII SS ?? 21
uA 22
2
1 ???
A不变 !
2)球面波
S1
r1 S2 r2
2
14
1 r
E
I S
?
单?
2
2
2 4 r
E
I S
?
单?
2
1
2
2
2
1
r
r
I
I
S
S ?
r
rAA
r
11?
1
2
2
1
r
r
A
A
??
若离波源 r1处
的波振幅为 A1 则离波源 r处的振动方程为,
1
1
r
r
A
A r
r
?? ])(c o s [
11 ?? ????
u
rt
r
rAy
A1.r1 Ar.r u?So
球面波的波动方程
2
2
2
1
A
A
?
S1 r1 S
2 r2
2)球面波
2
1
2
2
2
1
r
r
I
I
S
S ?
2
14
1 r
E
I S
?
单?
2
2
2 4 r
E
I S
?
单?
三、声强、声强级
1、声强：声波的波强 222
2
1 ??? ?? uAI
引起痛觉的声音
炮 声
铆 钉 机
交通繁忙的亍道
通 常 谈 话
耳 语
引起听觉的最低声音
树 叶 沙 沙声
声 源 声强（ W m-2） 响 度
1
1
10-2
10-5
10-6
10-10
10-11
10-12
震耳
响
正常
轻
极轻
人耳的平均听觉范围（每根红线为等响度线）
A）人耳听觉的范围为 20~2000HZ，且有一听阈
注意,20 1000 500 100 5000 10000
0
20
40
60
80
100
120
10-2
10-4
10-6
100
10-8
10-10
10-12
L/db I/W/m2
HZ
痛阈
闻阈
语言区域
B）声波的声强不大，大小相差十几个数量级。
C）听觉感觉的主观响度遵守 韦伯菲克娜定律,
韦伯菲克娜定律：人对声音感觉强度的变化与
引起这些感觉的剌激能量的对数成正比。
2、声强级（ L）
定义：某声波的声强为 I，则声强级,
0
lg
I
IL ? )/10( 212
0 mWI ??
I0为人耳听得到的最小声强（标准声强）
（ bel）
单位：贝尔（ bel）
)(lg10
0
db
I
IL ?或“分贝”
引起痛觉的声音
炮 声
铆 钉 机
交通繁忙的街道
通 常 谈 话
耳 语
引起听觉的最低声音
树 叶 沙 沙声
声 源 声强（ W m-2）
1
1
10-2
10-5
10-6
10-10
10-11
10-12
声强级 db
震耳
响
正常
轻
极轻
120
100
70
60
20
10
0
120
有的地方规定户外噪声不得超过 100分贝,