§ 15-6 驻波（ Standing Wave）
一、何谓驻波？
两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反
方向传播彼此相遇叠加而形成的波。
u
u 节
点
二,驻波分析
1、波形曲线分析
电动音叉
+ -
腹
点
X
Y
腹
点 节点
由此可见，驻波特点是,
2） 相邻 两节点间的质点具有相同的位相，节点
两侧具有相反的位相。
1）驻波波形固定，有波腹点和波节点，且 相邻
的腹点与腹点，节点与节点间距离为 2/?
4/?相邻 的节点与腹点间的距离为
X
Y 2/?
2/? 4?
2、数学分析,
X
Y 1 c o s 2 ( )
xy A t??
?
?? )(2c o s2 ???
xtAy ??
)(2c o s)(2c o s
?
??
?
?? xtAxtA ????
21 yyy ??
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
2
c o s
2
c o s2c o sc o s ?????? ????
由,
得,
驻波方程
X
Y
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
驻波方程
分析,
1）驻波波形
?
???
x
tAy tt 2c o s)2c o s2( 1
1
??
?
???
x
tAy tt 2c o s)2c o s2( 2
2
??
t1时刻波形,
t2时刻波形,
t1
t2
AA 20 ?? 腹
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
驻波方程
分析,
2）质点振动方程
t
x
Ay xx ??
?
? 2c o s)2c o s2( 1
1
??
X1处质点 B振动方程,
X2处质点 C振动 方程,
AA 20 ?? 质点
t
x
Ay xx ??
?
? 2c o s)2c o s2( 2
2
??
各处质点振幅不同,
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
分析,
3）腹点与节点
位置,
?腹点
?
?
? k
x
??2
...)3.2.1.0( ?k
2
?
kx ??腹
...)3.2.1.0( ?k
?
?
x
A 2c os2
取极大值处
X
Y
相邻两腹点间距离为,
2
?
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
分析,
X
Y
② 节点
2
)12(2
?
?
? ??? k
x
...)3.2.1.0( ?k
4
)12(
?
??? kx 节
...)3.2.1.0( ?k
?
?
x
A 2c os2
取极小值处
相邻两节点间距离为,λ/2
X
Y
?相邻的节点与腹点间的距离
...)3.2.1.0( ?k
4
)12(
?
??? kx 节
2
?
kx ??腹?
424
)12(
???
????? kkxx 腹节
?质点的相位关系
X
Y ?质点的
相位关
系
2/? 4
?
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
分析,
先看 a,b两节
点间的质点
44
?? ??? x
2
2
2
?
?
?? ??? x
02c o s2 ?
?
? xA a,b两节点间质点同相。
开始计时,
o b c d a
X
Y ?质点的
相位关
系
2/? 4
?
开始计时,
o b c d a
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?再看节点 b的两侧质点,
44
?? ??? x
2
32
2
?
?
?? ?? x
02c o s2 ?
?
? xA
节点两侧质点反相。
4
3
4
?? ?? x
02c o s2 ?
?
? xA
而,
X
总之：相邻两节点间的质点同相，节点两侧质
点反相。
纵驻波,
节点 节点
3、驻波的能量
X
Y
驻波中的能流密度为零，实际上是系统的一
种稳定的振动状态。
X
y 当波节点间质点振幅最大时,
A B
X
y
A B
势能曲线
动能曲线
当质点到达平衡位置 时,
能量在节点附近的质点与腹点附近的质点间
交换与转移
)(xv?
C
三、半波反射和全波反射
实验 1：反射点为固定端
C
C C’
b
a a F?
'F? 质点 b要带动 a向上运动 b却受一反作用力
'F?
'F?
C’给 C一作用力,C’不
动，而给 C一反作用力
,使 C’点产生一
向下的反向位移。 'F
?
F?
C
C
u
好有一比！
结论；
作为反射波的波
源 C’点的位移总
是与入射波在 C’
点的位移反向。
--半波反射 。
解释,
C
u
u
半波损失 半波反射
e’
在反射点 C’：入射波在 C’点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy C 入
)c o s ( ??? ??? tAy C 反
反射波在 P点
的振动方程
C’
注意：线上质点的实际振动为入射波与反射波
引起的振动叠加，对于反射点叠加的结
果是反射点 C’为, 节点,
其实质是：入射波在 C’引起的振动与反射波在 C’
引起的振动反相（相位差 ?）
实验 2：反射点自由端（ 全波反射 ）
u u
a F?
'F?
质点 b要带动 a向上运
动 b却受一反作用力 'F?
解释,
C b a
u
u
C’
C’给 C一作用
力,C’象其它质
点一样向上产
生一位移，此
位移便是反射
波的波源振动
C
u u 全波反射
C C’
注意：线上质点的实际振动为入射波与反射波
引起的振动叠加，对于反射点叠加的结
果是反射点 C’为, 波腹点,
其实质是：入射波在 C’引起的振动与反射波在 C’
引起的振动同相（无相位差 ）
在反射点 C’：入射波在 C’点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy C 入
)c o s ( ?? ?? tAy C 反
反射波在 P点
的振动方程
11.u? 22,u?
反射波 透射波
入射波 一般言之,当波在两种媒
质介面上反射
时,
2121,,,uu?? 分别为两种媒质的密度和波在两种媒 （
质中传播的速度。）
若
2211 uu ?? ?
反射波中产生“半波损失”，介面出现节点
称为半波反射
2211 uu ?? ?
若
反射波中无“半波损失”，介面出现腹点
称为全波反射
（从波疏介质进入波密介质）
（从波密介质进入波疏介质）
2
nnL ??
四、波源物体的驻波及其不连续谱
1）弦上的驻波
L
A B 弦
n
L
n
2
??
L
u
n
u
n
n 2?? ??
?.3.2.1?n
L
u
21
??
L
u
?2?
L
u
2
3
3 ??
（基频）
n=1
n=2
n=3
n=4
2）笛中的驻波
4
)12( nnL
?
??
12
2
?
?
n
L
n?
L
u
n
u
n
n 4)12( ??? ?? ?.3.2.1?n
L
u
41
??
L
u
4
3
2 ?? L
u
4
5
3 ??
第一谐频 第二谐频
n=1
n=2
n=3
n=4
基频,
各种频率成分的振幅也不尽相同，各种乐器的
振幅与频率存在一定关系 --频谱
长号
0 1000 2000 3000 0
0.5
1.0
HZ
单簧管
0
0.5
1.0
HZ
钢琴
0
0.5
1.0
0 1000 2000 3000 HZ
相
对
强
度
小提琴
0
0.5
1.0
HZ
一、何谓驻波？
两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反
方向传播彼此相遇叠加而形成的波。
u
u 节
点
二,驻波分析
1、波形曲线分析
电动音叉
+ -
腹
点
X
Y
腹
点 节点
由此可见，驻波特点是,
2） 相邻 两节点间的质点具有相同的位相，节点
两侧具有相反的位相。
1）驻波波形固定，有波腹点和波节点，且 相邻
的腹点与腹点，节点与节点间距离为 2/?
4/?相邻 的节点与腹点间的距离为
X
Y 2/?
2/? 4?
2、数学分析,
X
Y 1 c o s 2 ( )
xy A t??
?
?? )(2c o s2 ???
xtAy ??
)(2c o s)(2c o s
?
??
?
?? xtAxtA ????
21 yyy ??
txAy ??
?
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2
c o s
2
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由,
得,
驻波方程
X
Y
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
驻波方程
分析,
1）驻波波形
?
???
x
tAy tt 2c o s)2c o s2( 1
1
??
?
???
x
tAy tt 2c o s)2c o s2( 2
2
??
t1时刻波形,
t2时刻波形,
t1
t2
AA 20 ?? 腹
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
驻波方程
分析,
2）质点振动方程
t
x
Ay xx ??
?
? 2c o s)2c o s2( 1
1
??
X1处质点 B振动方程,
X2处质点 C振动 方程,
AA 20 ?? 质点
t
x
Ay xx ??
?
? 2c o s)2c o s2( 2
2
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各处质点振幅不同,
txAy ??
?
? 2c o s)2c o s2(?
分析,
3）腹点与节点
位置,
?腹点
?
?
? k
x
??2
...)3.2.1.0( ?k
2
?
kx ??腹
...)3.2.1.0( ?k
?
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x
A 2c os2
取极大值处
X
Y
相邻两腹点间距离为,
2
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?
? 2c o s)2c o s2(?
分析,
X
Y
② 节点
2
)12(2
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x
...)3.2.1.0( ?k
4
)12(
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??? kx 节
...)3.2.1.0( ?k
?
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x
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取极小值处
相邻两节点间距离为,λ/2
X
Y
?相邻的节点与腹点间的距离
...)3.2.1.0( ?k
4
)12(
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??? kx 节
2
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kx ??腹?
424
)12(
???
????? kkxx 腹节
?质点的相位关系
X
Y ?质点的
相位关
系
2/? 4
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? 2c o s)2c o s2(?
分析,
先看 a,b两节
点间的质点
44
?? ??? x
2
2
2
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?? ??? x
02c o s2 ?
?
? xA a,b两节点间质点同相。
开始计时,
o b c d a
X
Y ?质点的
相位关
系
2/? 4
?
开始计时,
o b c d a
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? 2c o s)2c o s2(?再看节点 b的两侧质点,
44
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2
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节点两侧质点反相。
4
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02c o s2 ?
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而,
X
总之：相邻两节点间的质点同相，节点两侧质
点反相。
纵驻波,
节点 节点
3、驻波的能量
X
Y
驻波中的能流密度为零，实际上是系统的一
种稳定的振动状态。
X
y 当波节点间质点振幅最大时,
A B
X
y
A B
势能曲线
动能曲线
当质点到达平衡位置 时,
能量在节点附近的质点与腹点附近的质点间
交换与转移
)(xv?
C
三、半波反射和全波反射
实验 1：反射点为固定端
C
C C’
b
a a F?
'F? 质点 b要带动 a向上运动 b却受一反作用力
'F?
'F?
C’给 C一作用力,C’不
动，而给 C一反作用力
,使 C’点产生一
向下的反向位移。 'F
?
F?
C
C
u
好有一比！
结论；
作为反射波的波
源 C’点的位移总
是与入射波在 C’
点的位移反向。
--半波反射 。
解释,
C
u
u
半波损失 半波反射
e’
在反射点 C’：入射波在 C’点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy C 入
)c o s ( ??? ??? tAy C 反
反射波在 P点
的振动方程
C’
注意：线上质点的实际振动为入射波与反射波
引起的振动叠加，对于反射点叠加的结
果是反射点 C’为, 节点,
其实质是：入射波在 C’引起的振动与反射波在 C’
引起的振动反相（相位差 ?）
实验 2：反射点自由端（ 全波反射 ）
u u
a F?
'F?
质点 b要带动 a向上运
动 b却受一反作用力 'F?
解释,
C b a
u
u
C’
C’给 C一作用
力,C’象其它质
点一样向上产
生一位移，此
位移便是反射
波的波源振动
C
u u 全波反射
C C’
注意：线上质点的实际振动为入射波与反射波
引起的振动叠加，对于反射点叠加的结
果是反射点 C’为, 波腹点,
其实质是：入射波在 C’引起的振动与反射波在 C’
引起的振动同相（无相位差 ）
在反射点 C’：入射波在 C’点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy C 入
)c o s ( ?? ?? tAy C 反
反射波在 P点
的振动方程
11.u? 22,u?
反射波 透射波
入射波 一般言之,当波在两种媒
质介面上反射
时,
2121,,,uu?? 分别为两种媒质的密度和波在两种媒 （
质中传播的速度。）
若
2211 uu ?? ?
反射波中产生“半波损失”，介面出现节点
称为半波反射
2211 uu ?? ?
若
反射波中无“半波损失”，介面出现腹点
称为全波反射
（从波疏介质进入波密介质）
（从波密介质进入波疏介质）
2
nnL ??
四、波源物体的驻波及其不连续谱
1）弦上的驻波
L
A B 弦
n
L
n
2
??
L
u
n
u
n
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?.3.2.1?n
L
u
21
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L
u
?2?
L
u
2
3
3 ??
（基频）
n=1
n=2
n=3
n=4
2）笛中的驻波
4
)12( nnL
?
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12
2
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n
L
n?
L
u
n
u
n
n 4)12( ??? ?? ?.3.2.1?n
L
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L
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4
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u
4
5
3 ??
第一谐频 第二谐频
n=1
n=2
n=3
n=4
基频,
各种频率成分的振幅也不尽相同，各种乐器的
振幅与频率存在一定关系 --频谱
长号
0 1000 2000 3000 0
0.5
1.0
HZ
单簧管
0
0.5
1.0
HZ
钢琴
0
0.5
1.0
0 1000 2000 3000 HZ
相
对
强
度
小提琴
0
0.5
1.0
HZ
