§ 12-6 气体分子速率的统计分布规律
（ Maxwell Speed Distribution Law of Gases）
引：温度和压强都涉及到分子的平均动能,
即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律
在 1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上
推导出来，后被实验证实。
一、兰媚尔实验
（装置置于
真空之中）
淀积屏
P
速率筛
S’ W’ ?W
狭缝屏
分子源
实验装置
? ?
一、兰媚尔实验
原理,速率筛每旋转一周，
分子通过 W’,到达屏上，但
不是所有速率的分子都能通
过分子筛的。只有满足关系,
?
??
v
l
的分子
才能通过,
lv
?
?
?
即只有速率为,
的分子才能通过。
??,改变 等可让不 同速率的分子通过,
P
分子源
（装置置于真空之中）
S’ W’
?
W
? ?
W’
?
?
狭缝屏 淀积屏 速率筛
l
lv
?
?
?
即只有速率为,的分子才能通过。
l..??但 W,W’ 总有一定的宽度，因此当 一 定时，能到达屏上的分子的速率有一速率区间,
)( vvv ???,实验时改变分子筛的角速度
?, 就可以从淀积屏上淀积的分子多少测出
不同速率间隔内的分子数占总分子数的百分数。
P
分子源
S’ W’
?
W
? ?
W’
?
?
狭缝屏 淀积屏 分子筛
l
下面列出了 Hg分子在某温度时不同速率的分子
数占总分子的百分比。
)/( smv 00/ NN?
90以下 6.2
90-----140
140----190
190----240
240----290
290----340
340----390
390以上
10.32
18.93
22.7
18.3
12.8
6.2
4.0
注意,以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次
重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，
分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确
定的规律。
二,Maxwell速率分布律 （ 1858年从理论上推导）
1、实验数据的图示化
6.2%
12
.8%
6.2
%
4.0%
)(vf
0 90 140 190 240 290 340 390
v
单位面积
1、实验数据的图示化
)(vf
v
)(vf
v
从图中可以看出,
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数
占总分子数的百分比 ?N/N
2)所有小面积的和恒等于一。
3）当速率区间 0??v,小矩形面积的端点
连成一函数曲线 ----分子速率分布函数。
)(vf
vvv ???
2、分布函数 的意义 )(vf
在 v v v? ? ? 区间
作一小矩形，小矩
形的面积,
N
Ns ???
按函数的定义 vvfs ??? )(
故
vvf
N
N ??? )(
vN
Nvf
?
??)(或,
0??v当
N dv
dNvf ?)(
)(vf
v
)(vf
vvv ???
由归一化条件,
1)(
0
??
?
dvvf
3、麦克斯韦速率分布函数 （ Maxwell distribution）
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1859年推导出
分布函数表示, 在速率 的附
近，单位速率间隔内的分子数占
总分子数的百分比；即单位速率
间隔内分子的分布几率,
---几率（概率）密度 。
v
N dv
dNvf ?)(
)(vf
v
)(vf
vvv ???
3,麦克斯韦速率分布函数 Maxwell distribution
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
式中,T为热力学温度
m 为分子的质量
k
为波尔兹曼常数
注意,分子速率分布是‘两头小，中间大’ ?
?曲线 下面积恒为 1，故温度增加时曲线
变得‘扒下’。
2T
1T
?以上分布函数还可写成,
)(vf
v
12 TT ?
dvve
kT
m
kT
mv
22
2/3 2
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?以上分布函数还可写成,
内的分子数
占总分子数的百分比 dvvv ??
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dvvf
N
dN
)(?
N dv
dNvf ?)(
2T
1T
)(vf
v
12 TT ?
dvve
kT
m
dvvf
N
dN
kT
mv
22
2/3 2
2
4)( ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?还可写成：在 附近 速率间隔内的分数,v dv
dvvNfdN )(?
dvve
kT
m
NdN kT
mv
22
2/3 2
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N dv
dNvf ?)(
dvvv ??
)(vf
v
1T
三、利用分布函数求速率的几种平均数
1,平均速率,所有分子的速率的算术平均值
计算
?? v dwv
__
?
dw 为在 附近 区间内 分子出现的几率 v dv
dvvf
N
dN
dw )(??
由分布函数,
?
?
??
0
__
)( dvvvfv
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
0
32
2/3
__
2
2
4 dvve
kT
m
v kT
mv
?
?
N dv
dNvf ?)(
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
0
32
2/3
__
2
2
4 dvve
kT
m
v kT
mv
?
?
???
RT
m
kT 88
??
0/ NRk ?
0mN??
2、均方根速率,
速率平方的
平均值的根值。
N
v
v
N
i?
?
0
2
___
2
___
2v
同乘 N0
?
RT
60.1?
0/ NRk ?
0mN??
2、均方根速率,
速率平方的
平均值的根值。
? ?
?
??
0
22
___
2 )( dvvfvdwvv
___
2v
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
0
42
2/3 2
2
4 dvve
kT
m
kT
mv
?
?
?
RT
m
kT 33
??
?
?
RT
RT
v
73.1
3
___
2
?
?
同乘 N0
3、最概然速率：在 T为定值的气体中，气体
分子最可能具有的速率值 ( ),
)(vf
v
1T
pv
0
)(
?
dv
vdf
令
0
2
4 22
2/3 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
ve
kT
m
dv
d
kT
mv
?
pv
__
v
___
2v
??
RTRT
m
kT
v p 41.1
22
????
4、求任意区间的分子数占总分子数的百分比
A）求任意区间的分子数
? 区间的分子数 dv dvvNfdN )(?
12 vvv ???
? 区间的分子数 N?
vve
kT
m
NN kT
mv
??
?
?
?
?
??? ? 22
2/3 2
2
4 ?
v? 很小：用 代替 dN
v? 较大,??? 2
1
)(12
v
v
dvvNfN
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
22
2/3
2
4
v
v
kT
mv
dvve
kT
m
N?
……..(1)
…….(2)
N dv
dNvf ?)(
dvve
kT
m
NdN kT
mv
22
2/3 2
2
4
?
?
?
?
?
?
?
? ?
注意：常将上式化为简要形式
x
m
kT
xvv p
2
??? 22 2 xkTv ?
pvvx /?
令
dx
m
kT
dv
2
?
代入 dN
dxxNedN x 2
24 ?
?
?
dxxNedN x 2
24 ?
?
?
pvvx /?
则 (1)、（ 2）式变为
xxNeN x ??? ? 2
24
?
的附近很小在 vv?
pvvx /? pvvx /???
……….(1’)
间较大在 21 vvv ??,/11 pvvx ? pvvx /22 ?
dxxNedNN x
x
x
v
v
222
1
2
1
4 ?
?? ??? ?
B)求 ?N与总分子数 N的比
dxxNedNN x
x
x
v
v
222
1
2
1
4 ?
?? ??? ?
dxxeNN x
x
x
222
1
4
/ ????
?
)()(
)(
2
12
21
2
2
2
1
xe r fxe r f
exex
xx
??
??
??
?
式中, ? ?? x x dxexe r f
0
22
)(
?
称为误差函数
? ??
x x
dxexe r f
0
22
)(
?
)
)2(
531
)2(
31
2
1
1(1 32222
2
??
??
?
?
????
?
xxxx
e x
?
xx )( xerf )( xerf
0
0.2
0.4
0.6
1.0
0.8
1.2
2.0
1.8
1.6
1.4
2.4
2.2
2.6
0
0.2227
0.4284
0.6039
0.7421
0.8427
0.9103
0.9523
0.9763
0.9891
0.9953
0.9981
0.9993
0.9999
称为误差函数
例,计算气体分子运动速率在
)01.0()01.0( pppp vvvv ???
之间的分子数占总分子数的
百分比,
)(vf
v
1T
pv解, ppp vvvv 99,001.0 ???
pvv 02.0??
02.0/ ???? pvvx 99.0/ ??? pvvx
0166.002.099.0
4
4
/
299.0
2
2
2
???
???
?
?
e
xxeNN
x
?
?
即时 1.66%
康书,6-10 6--11
6-13 6--15,
§ 12-7 玻尔兹曼分布
一、重力场中气体密度按高度分布规律
假设,1）大气看成理想气体
2）大气处于平衡态,T不变且满足
n k TP ?先分析一下分子将如何分布
显然由于重力作用，只有那些速率
大的分子才能克服重力跑到高空。
故空气分子数将随高度而减少。
今取一垂直于地面的气体圆
柱体。设地面处分子数密度
为
0n
n
高度为 h处的分子数密
为度
(Boltzmann Distribution)
今取一垂直于地面的气体圆
柱体。设地面处分子数密度
为
n
高度为 h处的分子数密
为度 分子质量 m 0n
)1(?gdhpp dhhh ??? ?
dhh ?h
高度 和 处的压强
满足,
gh? 为 处单位面积支撑着的分子重量。 h
? 为 处质量密度且 h mn??
则,
)2(?g d hppdp hdhh ????? ?
0n
n
h
dh
hp
dhhp ?
)1(?gdhpp dhhh ??? ?
k T d ndpn k Tp ????
)3(?m n g d hdp ??
? 为 处质量密度且 h mn??
则,
)2(?g d hppdp hdhh ????? ?
)4(?m n g d hk T d n ???
dh
kT
mg
n
dn
??
两边积分,
dh
kT
mg
n
dn hn
n
?? ??
00
kT
m g h
enn
?
? 0
0n
n
h
dh
hp
dhhp ?
d x d y d zenndVdN kT
m g h
?
?? 0
h高度的一体元中的粒子数
结论, 1）大气分子数密度随重力势能的增加而
按指数减小；
2）分子质量越大，减小愈快。如氢气,
氧气随高度的变化。
0/nn
)(kmh
H2
O2
3）以上规律是分子运动与重力
的共同作用，也是一统计规律。
4）因实际上大气并不是恒
温，故大气并不严格遵
守上式,
kT
m g h
enn
?
? 0
二、玻尔兹曼分布律
右边的规律中
?m g h
EP
为分子的势能，则,
kT
E p
enn
?
? 0
玻尔兹曼将此规律推广
到一般的势场中,
式中,
pE
为粒子的势能,
0n 为势能为零处粒
子的势能。
d x d y d zenn d VdN kT
E p
?
?? 0
dzzzdyyydxxx ??????,,在 体元中
的分子数,
以上关系称为
玻尔兹曼分布律
kT
m g h
enn
?
? 0
祝大家国庆节愉快！
全国人民欢心鼓舞！
（ Maxwell Speed Distribution Law of Gases）
引：温度和压强都涉及到分子的平均动能,
即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律
在 1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上
推导出来，后被实验证实。
一、兰媚尔实验
（装置置于
真空之中）
淀积屏
P
速率筛
S’ W’ ?W
狭缝屏
分子源
实验装置
? ?
一、兰媚尔实验
原理,速率筛每旋转一周，
分子通过 W’,到达屏上，但
不是所有速率的分子都能通
过分子筛的。只有满足关系,
?
??
v
l
的分子
才能通过,
lv
?
?
?
即只有速率为,
的分子才能通过。
??,改变 等可让不 同速率的分子通过,
P
分子源
（装置置于真空之中）
S’ W’
?
W
? ?
W’
?
?
狭缝屏 淀积屏 速率筛
l
lv
?
?
?
即只有速率为,的分子才能通过。
l..??但 W,W’ 总有一定的宽度，因此当 一 定时，能到达屏上的分子的速率有一速率区间,
)( vvv ???,实验时改变分子筛的角速度
?, 就可以从淀积屏上淀积的分子多少测出
不同速率间隔内的分子数占总分子数的百分数。
P
分子源
S’ W’
?
W
? ?
W’
?
?
狭缝屏 淀积屏 分子筛
l
下面列出了 Hg分子在某温度时不同速率的分子
数占总分子的百分比。
)/( smv 00/ NN?
90以下 6.2
90-----140
140----190
190----240
240----290
290----340
340----390
390以上
10.32
18.93
22.7
18.3
12.8
6.2
4.0
注意,以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次
重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，
分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确
定的规律。
二,Maxwell速率分布律 （ 1858年从理论上推导）
1、实验数据的图示化
6.2%
12
.8%
6.2
%
4.0%
)(vf
0 90 140 190 240 290 340 390
v
单位面积
1、实验数据的图示化
)(vf
v
)(vf
v
从图中可以看出,
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数
占总分子数的百分比 ?N/N
2)所有小面积的和恒等于一。
3）当速率区间 0??v,小矩形面积的端点
连成一函数曲线 ----分子速率分布函数。
)(vf
vvv ???
2、分布函数 的意义 )(vf
在 v v v? ? ? 区间
作一小矩形，小矩
形的面积,
N
Ns ???
按函数的定义 vvfs ??? )(
故
vvf
N
N ??? )(
vN
Nvf
?
??)(或,
0??v当
N dv
dNvf ?)(
)(vf
v
)(vf
vvv ???
由归一化条件,
1)(
0
??
?
dvvf
3、麦克斯韦速率分布函数 （ Maxwell distribution）
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1859年推导出
分布函数表示, 在速率 的附
近，单位速率间隔内的分子数占
总分子数的百分比；即单位速率
间隔内分子的分布几率,
---几率（概率）密度 。
v
N dv
dNvf ?)(
)(vf
v
)(vf
vvv ???
3,麦克斯韦速率分布函数 Maxwell distribution
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
式中,T为热力学温度
m 为分子的质量
k
为波尔兹曼常数
注意,分子速率分布是‘两头小，中间大’ ?
?曲线 下面积恒为 1，故温度增加时曲线
变得‘扒下’。
2T
1T
?以上分布函数还可写成,
)(vf
v
12 TT ?
dvve
kT
m
kT
mv
22
2/3 2
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?以上分布函数还可写成,
内的分子数
占总分子数的百分比 dvvv ??
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dvvf
N
dN
)(?
N dv
dNvf ?)(
2T
1T
)(vf
v
12 TT ?
dvve
kT
m
dvvf
N
dN
kT
mv
22
2/3 2
2
4)( ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?还可写成：在 附近 速率间隔内的分数,v dv
dvvNfdN )(?
dvve
kT
m
NdN kT
mv
22
2/3 2
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N dv
dNvf ?)(
dvvv ??
)(vf
v
1T
三、利用分布函数求速率的几种平均数
1,平均速率,所有分子的速率的算术平均值
计算
?? v dwv
__
?
dw 为在 附近 区间内 分子出现的几率 v dv
dvvf
N
dN
dw )(??
由分布函数,
?
?
??
0
__
)( dvvvfv
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
0
32
2/3
__
2
2
4 dvve
kT
m
v kT
mv
?
?
N dv
dNvf ?)(
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
0
32
2/3
__
2
2
4 dvve
kT
m
v kT
mv
?
?
???
RT
m
kT 88
??
0/ NRk ?
0mN??
2、均方根速率,
速率平方的
平均值的根值。
N
v
v
N
i?
?
0
2
___
2
___
2v
同乘 N0
?
RT
60.1?
0/ NRk ?
0mN??
2、均方根速率,
速率平方的
平均值的根值。
? ?
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??
0
22
___
2 )( dvvfvdwvv
___
2v
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2/3 2
2
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m
kT 33
??
?
?
RT
RT
v
73.1
3
___
2
?
?
同乘 N0
3、最概然速率：在 T为定值的气体中，气体
分子最可能具有的速率值 ( ),
)(vf
v
1T
pv
0
)(
?
dv
vdf
令
0
2
4 22
2/3 2
?
?
?
?
?
?
?
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v
___
2v
??
RTRT
m
kT
v p 41.1
22
????
4、求任意区间的分子数占总分子数的百分比
A）求任意区间的分子数
? 区间的分子数 dv dvvNfdN )(?
12 vvv ???
? 区间的分子数 N?
vve
kT
m
NN kT
mv
??
?
?
?
?
??? ? 22
2/3 2
2
4 ?
v? 很小：用 代替 dN
v? 较大,??? 2
1
)(12
v
v
dvvNfN
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
22
2/3
2
4
v
v
kT
mv
dvve
kT
m
N?
……..(1)
…….(2)
N dv
dNvf ?)(
dvve
kT
m
NdN kT
mv
22
2/3 2
2
4
?
?
?
?
?
?
?
? ?
注意：常将上式化为简要形式
x
m
kT
xvv p
2
??? 22 2 xkTv ?
pvvx /?
令
dx
m
kT
dv
2
?
代入 dN
dxxNedN x 2
24 ?
?
?
dxxNedN x 2
24 ?
?
?
pvvx /?
则 (1)、（ 2）式变为
xxNeN x ??? ? 2
24
?
的附近很小在 vv?
pvvx /? pvvx /???
……….(1’)
间较大在 21 vvv ??,/11 pvvx ? pvvx /22 ?
dxxNedNN x
x
x
v
v
222
1
2
1
4 ?
?? ??? ?
B)求 ?N与总分子数 N的比
dxxNedNN x
x
x
v
v
222
1
2
1
4 ?
?? ??? ?
dxxeNN x
x
x
222
1
4
/ ????
?
)()(
)(
2
12
21
2
2
2
1
xe r fxe r f
exex
xx
??
??
??
?
式中, ? ?? x x dxexe r f
0
22
)(
?
称为误差函数
? ??
x x
dxexe r f
0
22
)(
?
)
)2(
531
)2(
31
2
1
1(1 32222
2
??
??
?
?
????
?
xxxx
e x
?
xx )( xerf )( xerf
0
0.2
0.4
0.6
1.0
0.8
1.2
2.0
1.8
1.6
1.4
2.4
2.2
2.6
0
0.2227
0.4284
0.6039
0.7421
0.8427
0.9103
0.9523
0.9763
0.9891
0.9953
0.9981
0.9993
0.9999
称为误差函数
例,计算气体分子运动速率在
)01.0()01.0( pppp vvvv ???
之间的分子数占总分子数的
百分比,
)(vf
v
1T
pv解, ppp vvvv 99,001.0 ???
pvv 02.0??
02.0/ ???? pvvx 99.0/ ??? pvvx
0166.002.099.0
4
4
/
299.0
2
2
2
???
???
?
?
e
xxeNN
x
?
?
即时 1.66%
康书,6-10 6--11
6-13 6--15,
§ 12-7 玻尔兹曼分布
一、重力场中气体密度按高度分布规律
假设,1）大气看成理想气体
2）大气处于平衡态,T不变且满足
n k TP ?先分析一下分子将如何分布
显然由于重力作用，只有那些速率
大的分子才能克服重力跑到高空。
故空气分子数将随高度而减少。
今取一垂直于地面的气体圆
柱体。设地面处分子数密度
为
0n
n
高度为 h处的分子数密
为度
(Boltzmann Distribution)
今取一垂直于地面的气体圆
柱体。设地面处分子数密度
为
n
高度为 h处的分子数密
为度 分子质量 m 0n
)1(?gdhpp dhhh ??? ?
dhh ?h
高度 和 处的压强
满足,
gh? 为 处单位面积支撑着的分子重量。 h
? 为 处质量密度且 h mn??
则,
)2(?g d hppdp hdhh ????? ?
0n
n
h
dh
hp
dhhp ?
)1(?gdhpp dhhh ??? ?
k T d ndpn k Tp ????
)3(?m n g d hdp ??
? 为 处质量密度且 h mn??
则,
)2(?g d hppdp hdhh ????? ?
)4(?m n g d hk T d n ???
dh
kT
mg
n
dn
??
两边积分,
dh
kT
mg
n
dn hn
n
?? ??
00
kT
m g h
enn
?
? 0
0n
n
h
dh
hp
dhhp ?
d x d y d zenndVdN kT
m g h
?
?? 0
h高度的一体元中的粒子数
结论, 1）大气分子数密度随重力势能的增加而
按指数减小；
2）分子质量越大，减小愈快。如氢气,
氧气随高度的变化。
0/nn
)(kmh
H2
O2
3）以上规律是分子运动与重力
的共同作用，也是一统计规律。
4）因实际上大气并不是恒
温，故大气并不严格遵
守上式,
kT
m g h
enn
?
? 0
二、玻尔兹曼分布律
右边的规律中
?m g h
EP
为分子的势能，则,
kT
E p
enn
?
? 0
玻尔兹曼将此规律推广
到一般的势场中,
式中,
pE
为粒子的势能,
0n 为势能为零处粒
子的势能。
d x d y d zenn d VdN kT
E p
?
?? 0
dzzzdyyydxxx ??????,,在 体元中
的分子数,
以上关系称为
玻尔兹曼分布律
kT
m g h
enn
?
? 0
祝大家国庆节愉快！
全国人民欢心鼓舞！
