§ 8-4 弯曲剪应力和强度校核一、矩形截面梁的剪应力
CL8TU16
q x( ) P
b
h
x dx
q x( )
M x( ) M x M x( ) ( )? d
M y
I z
z
y
假设,的方向都与 平行1 )? Q
y;
)2? 沿宽度均布。
NI NII
N A
A
I d
*
N A M M yI A M MI y A M MI S
A zA z A z
zII d
d d d d d
* * *
( ) *
M y
I
A
zA
d
*
M
I
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*
M
I
S
z
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*
NI NII
M M
I
S
M
I
S b x
z
z
z
z
d
d* *?
S
I b
M
x
z
z
* d
d
Q S
I b
z
z
*
N N b xII I d
NI NII
式中 I
b h
Z?
3
12
,S
b h
yZ*
2 4
2
2
6
43
2
2Q
bh
h
y
max3
2
3
2
Q
bh
Q
A
max
z
b
h
二,工字形截面梁的剪应力腹板
CL8TU17
翼缘在腹板上：
b
B
h H
y
在翼缘上，有平行于 Q的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，
可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于 Q方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。
m a x
m a x
*
m a x
*
Q S
I b
Q
b
I
S
Z
Z
Z
Z
对于标准工字钢梁：
三、圆截面梁的剪应力
CL8TU18
m a x?
4
3
Q
A
下面求最大剪应力：Q
z
y
弯曲剪应力强度条件
m a x
m a x m a x
*
[ ]
Q S
I b
Z
Z
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［ σ］ =160MPa，［ τ］ =100MPa，试求最小直径 dmin。
CL8TU19
q? 20 kN / m
4m
A B d
q? 20 kN / m
4m
A B d
解：
Q m a x? 40 k N,
m a x m a x [ ]M
W z
M qlm a x
2
8
40 kN m
由正应力强度条件：
即
40 10
32
160 10
3
3
6
d
得 d? 137 mm
m a x m a x [ ]43 Q A 即 4
3
40 10
4
100 10
3
2
6
d
得 d? 26 1,mm
由剪应力强度条件：
所以 d m i n? 137 mm
§ 8-5 提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以
m a x m a x [ ]
M
W Z
作为梁设计的主要依据。因此应使 Mmax尽可能地小，使 WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面
合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。
CL8TU20
h
b
h
b
P
z z
CL8TU21
y
y
t
c
1
2
[ ]
[ ]
CL8TU9
y1
P
z
y2
C
二、合理安排梁的受力情况
CL8TU22
q q
M Mql2
8 0 0214 2,ql
x l? 0 207.
xx
l
l
CL8TU23
P
M Pl / 4 a
l?
2
l
2
P
Pl / 8
M
l
2
l
2
l
2
a
2
a
2
三、采用变截面梁
梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力 ［ σ］ 时，称为 等强度梁 。
P
l
2
l
2
§ 8-6 非对称截面梁平面弯曲的条件开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴 y,z，形心主惯性轴 y,z与轴线 x组成两个形心主惯性平面 xOy,xOz
形心主惯性平面
y,z轴为形心主惯性轴 CL8TU24
对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析可以得到它发生平面弯曲的条件是,
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二、开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内 (非对称平面 )，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。
只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的 弯曲中心,用 A表示。
A
CL8TU25
以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。
CL8TU26
剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置
薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则,
(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。
(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。
(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。
试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。
CL8TU27,28
作业（ P131-134）
2,3,4,5,13,14,20,21
CL8TU16
q x( ) P
b
h
x dx
q x( )
M x( ) M x M x( ) ( )? d
M y
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y
假设,的方向都与 平行1 )? Q
y;
)2? 沿宽度均布。
NI NII
N A
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*
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NI NII
式中 I
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3
12
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2 4
2
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2
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y
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2
3
2
Q
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Q
A
max
z
b
h
二,工字形截面梁的剪应力腹板
CL8TU17
翼缘在腹板上：
b
B
h H
y
在翼缘上，有平行于 Q的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，
可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于 Q方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。
m a x
m a x
*
m a x
*
Q S
I b
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I
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Z
对于标准工字钢梁：
三、圆截面梁的剪应力
CL8TU18
m a x?
4
3
Q
A
下面求最大剪应力：Q
z
y
弯曲剪应力强度条件
m a x
m a x m a x
*
[ ]
Q S
I b
Z
Z
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［ σ］ =160MPa，［ τ］ =100MPa，试求最小直径 dmin。
CL8TU19
q? 20 kN / m
4m
A B d
q? 20 kN / m
4m
A B d
解：
Q m a x? 40 k N,
m a x m a x [ ]M
W z
M qlm a x
2
8
40 kN m
由正应力强度条件：
即
40 10
32
160 10
3
3
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d
得 d? 137 mm
m a x m a x [ ]43 Q A 即 4
3
40 10
4
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d
得 d? 26 1,mm
由剪应力强度条件：
所以 d m i n? 137 mm
§ 8-5 提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以
m a x m a x [ ]
M
W Z
作为梁设计的主要依据。因此应使 Mmax尽可能地小，使 WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面
合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。
CL8TU20
h
b
h
b
P
z z
CL8TU21
y
y
t
c
1
2
[ ]
[ ]
CL8TU9
y1
P
z
y2
C
二、合理安排梁的受力情况
CL8TU22
q q
M Mql2
8 0 0214 2,ql
x l? 0 207.
xx
l
l
CL8TU23
P
M Pl / 4 a
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2
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2
P
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l
2
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2
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2
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2
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2
三、采用变截面梁
梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力 ［ σ］ 时，称为 等强度梁 。
P
l
2
l
2
§ 8-6 非对称截面梁平面弯曲的条件开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴 y,z，形心主惯性轴 y,z与轴线 x组成两个形心主惯性平面 xOy,xOz
形心主惯性平面
y,z轴为形心主惯性轴 CL8TU24
对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析可以得到它发生平面弯曲的条件是,
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二、开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内 (非对称平面 )，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。
只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的 弯曲中心,用 A表示。
A
CL8TU25
以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。
CL8TU26
剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置
薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则,
(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。
(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。
(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。
试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。
CL8TU27,28
作业（ P131-134）
2,3,4,5,13,14,20,21
