第八章 弯曲应力
§ 8-1 概 述
CL8TU1
P P
Q
M
a a
l
Q M= 0 = c o n s t，
纯弯曲,
Q M≠,≠0 0
横力弯曲,
P P
C D
A B
P
P
Pa
在横截面上，只有法向内力元素 dN=σdA才能合成弯矩 M，只有切向内力元素 dQ=τdA才能合成剪力 Q
dA
d A M?
dA
dA
d A Q?
M Q
CL8TU2
d A Q?
d A M?
§ 8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：
一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,
变形几何关系物理关系静力学关系
CL8TU3
a a
b b
m n
m n
m m
m m
观察到以下变形现象,
(1)aa,bb弯成弧线,aa缩短,bb伸长
(2)mm,nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的 aa,bb垂直
(3)矩形截面的宽度变形后上宽下窄梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，
并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层 。
中性层与横截面的交线称为 中性轴中性层中性轴中性层
CL8TU3-1
( )y d d
d
CL8TU3-2y
z
dx
y
d?
y
y
二、物理关系
E
E
y
三,静力学关系
dA
N Ax
A
d
M z Ay
A
d
M y Az
A
d
0
0
M
N Ax
A
d 0 E
y
A
A?
d 0 y A
A
d 0
Sz? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
d 0 z E
y
A
A?
d 0
I yz 0
M y A Mz
A
d y E
y
A M
A?
d
1
M
EI z
1
M
EI z
M y
I z
中性轴过截面形心中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
t c m a x
M
W Z
m a x m a x?
M y
I Z
Wz 称为抗弯截面模量
W
I
y
z
z
m a x
CL8TU5
I
b h
Z?
3
12
I
d
Z?
4
64
I
D d D
Z?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z?
2
6
,W
d
Z?
3
32
W
D
Z
3
4
32
1( )
§ 8-3 横力弯曲时的正应力正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度 5倍 (即 l>5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，
仍可以应用于横力弯曲的梁中。
二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
ma x ma x [ ]
M
W Z
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图 (a),(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
CL8TU7
l
解：
m a x
m a x
1
1
1
1
2
6
M
W
P l
bhz
m a x
m a x
2
2
2
2
2
6
M
W
P l
hbz
由 得max max [ ],1 2
P
P
h
b
1
2
例,矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，
宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解,由公式
m a x
m a x m a x
M
W
M
bhz
2
6
可以看出,该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例：主 梁 AB，跨度为 l，采用加副梁 CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
CL8TU8
a
2
a
2
l
2
l
2
P
A B
C D
解：
主梁 AB的最大弯矩
P l a P a
4 4
( )
副梁 CD的最大弯矩
M
P a
CDm ax? 4
由
M MAB CDm ax m ax?
即得
a l?
2
M P l aABm ax ( )
4
例：图示梁的截面为 T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［ σt］和［ σc］，则 y1
和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
CL8TU9
P
C
y1
y2
z
解：
( )
( )
[ ]
[ ]
1
2
1
2
得：
y
y
t
c
t
z
t
M y
I
m ax [ ]1
c
z
c
M y
I
m a x [ ]2
( )1
( )2
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［ σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
CL8TU10
10 kN / m
2m 4m
100
200
解：由弯矩图可见
M m a x20 kN m
10 kN / m
2m 4m
100
200
45 kN
15kN
Q( )kN
20
25
15
M ( )kN m?
20
1125.
t
z
M
W
m a x?
20 10
0 1 0 2
6
3
2.,
30 M Pa < [ ]?
该梁满足强度条件，安全例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍ max、
σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
CL8TU11
A1 A2 A32b
b
a
a d
解：由题意可知
W W Wz z z1 2 3
A1 A2 A32b
b
a
a d
即 b b a d( )2
6 6 32
2 3 3
A A A1 2 3:,? 2
4
2 2
2
b a d:,?
b a
d a
0 6300
1 193
.
.
0 794 1 1 12.,,,
例：图示铸铁梁，许用拉应力 [σt ]=30MPa，
许用压应力 [σc ]=60MPa,Ｉ z=7.63× 10-6m4，试校核此梁的强度。
CL8TU12
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
A B
C D
t
zI
2 5 88.
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
M ( kN m)?
2 5,kN 10 5,kN
25.
4
A B
C D
c
zI
2 5 52.
t
zI
4 52
c
zI
4 88
C截面,
B截面,
28 8,MP a
17 0,MP a
27 3,MP a
46 1,MP a
例：简支梁 AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变 ε= 6× 10-4，材料的弹性模量
E=200GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU13
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
解：
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
C点的应力C E200 10 6 103 4
120 M P a
C截面的弯矩 M W
C C z
M RC A? 0 5.由得 P? 3 2,kN
0 5 0 4.,P? 0 2,P640 N m
640 N m
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
CL8TU14
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
解：
C截面下边缘 的应力
C C
z
M
W
C截面的弯矩
M q lC
2
8
45 kN m
C
E
应变值
15 M P a
15 10
200 10
6
9
7 5 10 5.
例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10
mm,E=10GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU15
P
2m
A B
C 200
300
2m
P
2m
A B
C 200
300
2m
解：
AC
l
x x ( ) d
0
/ 2
x dx
( )x
E
x
l
d
0
/ 2
M x
W E
x
z
l ( )
d
0
/ 2
P x
W E
x
z
l
2
d
0
/ 2
P l
W Ez
2
16
P W E
l
z AC? 16
2
16
4
0 2 0 3
6
10 5 102
2
10 3.,
150 kN
例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：
从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
解,b h d2 2 2
CL8TU15
b
hd
W bhz?
2
6
b d b( )
2 2
6
W
b
d bz2 2
6 2
0
由此得
b d?
3
h d b d2 2 2
3
h
d? 2
作业（ P131-134）
2,3,4,5,13,14,20,21
§ 8-1 概 述
CL8TU1
P P
Q
M
a a
l
Q M= 0 = c o n s t，
纯弯曲,
Q M≠,≠0 0
横力弯曲,
P P
C D
A B
P
P
Pa
在横截面上，只有法向内力元素 dN=σdA才能合成弯矩 M，只有切向内力元素 dQ=τdA才能合成剪力 Q
dA
d A M?
dA
dA
d A Q?
M Q
CL8TU2
d A Q?
d A M?
§ 8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：
一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,
变形几何关系物理关系静力学关系
CL8TU3
a a
b b
m n
m n
m m
m m
观察到以下变形现象,
(1)aa,bb弯成弧线,aa缩短,bb伸长
(2)mm,nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的 aa,bb垂直
(3)矩形截面的宽度变形后上宽下窄梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，
并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层 。
中性层与横截面的交线称为 中性轴中性层中性轴中性层
CL8TU3-1
( )y d d
d
CL8TU3-2y
z
dx
y
d?
y
y
二、物理关系
E
E
y
三,静力学关系
dA
N Ax
A
d
M z Ay
A
d
M y Az
A
d
0
0
M
N Ax
A
d 0 E
y
A
A?
d 0 y A
A
d 0
Sz? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
d 0 z E
y
A
A?
d 0
I yz 0
M y A Mz
A
d y E
y
A M
A?
d
1
M
EI z
1
M
EI z
M y
I z
中性轴过截面形心中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
t c m a x
M
W Z
m a x m a x?
M y
I Z
Wz 称为抗弯截面模量
W
I
y
z
z
m a x
CL8TU5
I
b h
Z?
3
12
I
d
Z?
4
64
I
D d D
Z?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z?
2
6
,W
d
Z?
3
32
W
D
Z
3
4
32
1( )
§ 8-3 横力弯曲时的正应力正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度 5倍 (即 l>5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，
仍可以应用于横力弯曲的梁中。
二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
ma x ma x [ ]
M
W Z
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图 (a),(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
CL8TU7
l
解：
m a x
m a x
1
1
1
1
2
6
M
W
P l
bhz
m a x
m a x
2
2
2
2
2
6
M
W
P l
hbz
由 得max max [ ],1 2
P
P
h
b
1
2
例,矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，
宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解,由公式
m a x
m a x m a x
M
W
M
bhz
2
6
可以看出,该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例：主 梁 AB，跨度为 l，采用加副梁 CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
CL8TU8
a
2
a
2
l
2
l
2
P
A B
C D
解：
主梁 AB的最大弯矩
P l a P a
4 4
( )
副梁 CD的最大弯矩
M
P a
CDm ax? 4
由
M MAB CDm ax m ax?
即得
a l?
2
M P l aABm ax ( )
4
例：图示梁的截面为 T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［ σt］和［ σc］，则 y1
和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
CL8TU9
P
C
y1
y2
z
解：
( )
( )
[ ]
[ ]
1
2
1
2
得：
y
y
t
c
t
z
t
M y
I
m ax [ ]1
c
z
c
M y
I
m a x [ ]2
( )1
( )2
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［ σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
CL8TU10
10 kN / m
2m 4m
100
200
解：由弯矩图可见
M m a x20 kN m
10 kN / m
2m 4m
100
200
45 kN
15kN
Q( )kN
20
25
15
M ( )kN m?
20
1125.
t
z
M
W
m a x?
20 10
0 1 0 2
6
3
2.,
30 M Pa < [ ]?
该梁满足强度条件，安全例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍ max、
σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
CL8TU11
A1 A2 A32b
b
a
a d
解：由题意可知
W W Wz z z1 2 3
A1 A2 A32b
b
a
a d
即 b b a d( )2
6 6 32
2 3 3
A A A1 2 3:,? 2
4
2 2
2
b a d:,?
b a
d a
0 6300
1 193
.
.
0 794 1 1 12.,,,
例：图示铸铁梁，许用拉应力 [σt ]=30MPa，
许用压应力 [σc ]=60MPa,Ｉ z=7.63× 10-6m4，试校核此梁的强度。
CL8TU12
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
A B
C D
t
zI
2 5 88.
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
M ( kN m)?
2 5,kN 10 5,kN
25.
4
A B
C D
c
zI
2 5 52.
t
zI
4 52
c
zI
4 88
C截面,
B截面,
28 8,MP a
17 0,MP a
27 3,MP a
46 1,MP a
例：简支梁 AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变 ε= 6× 10-4，材料的弹性模量
E=200GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU13
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
解：
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
C点的应力C E200 10 6 103 4
120 M P a
C截面的弯矩 M W
C C z
M RC A? 0 5.由得 P? 3 2,kN
0 5 0 4.,P? 0 2,P640 N m
640 N m
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
CL8TU14
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
解：
C截面下边缘 的应力
C C
z
M
W
C截面的弯矩
M q lC
2
8
45 kN m
C
E
应变值
15 M P a
15 10
200 10
6
9
7 5 10 5.
例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10
mm,E=10GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU15
P
2m
A B
C 200
300
2m
P
2m
A B
C 200
300
2m
解：
AC
l
x x ( ) d
0
/ 2
x dx
( )x
E
x
l
d
0
/ 2
M x
W E
x
z
l ( )
d
0
/ 2
P x
W E
x
z
l
2
d
0
/ 2
P l
W Ez
2
16
P W E
l
z AC? 16
2
16
4
0 2 0 3
6
10 5 102
2
10 3.,
150 kN
例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：
从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
解,b h d2 2 2
CL8TU15
b
hd
W bhz?
2
6
b d b( )
2 2
6
W
b
d bz2 2
6 2
0
由此得
b d?
3
h d b d2 2 2
3
h
d? 2
作业（ P131-134）
2,3,4,5,13,14,20,21
