第八章 弯曲应力材料力学：
§ 8-1 概 述
CL8TU1
P P
Q
M
a al
Q M= 0 = c o n s t，
纯弯曲,
Q M≠,≠0 0
横力弯曲,
P P
A B
C D
P
P
Pa
P P
在横截面上，只有法向内力元素 dN=σdA才能合成弯矩 M，只有切向内力元素 dQ=τdA才能合成剪力 Q
dA
d A M?
dA
dA
d A Q?
M Q
CL8TU2
d A Q?
d A M?
§ 8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：
一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,
变形几何关系物理关系静力学关系
CL8TU3
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
( )y d d
d
CL8TU3-2y
z
dx
y
d?
y
y
二、物理关系
E
E
y
y
z
dx
y y
再作 单向受力假设,假设各纵向纤维之间互不挤压。
三,静力学关系
dA
N Ax
A
d
M z Ay
A
d
M y Az
A
d
0
0
M
y
z
y
z
M
N Ax
A
d 0 E
y
A
A?
d 0 y A
A
d 0
Sz? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
d 0 z E
y
A
A?
d 0
I yz 0
M y A Mz
A
d y E
y
A M
A?
d
1
M
EI z
E
y A M
A?
2 d?
E
y M y
I z
E
y
1
M
E I z
M y
I z
中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
中性轴过截面形心横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
t c m a x
M
W Z
m ax m ax?
M y
I Z
C z
y
y1
y2
W
I
y
z
z?
m ax
抗弯截面模量
CL8TU5
z
M? 0 M? 0
横截面上的应力分布图：
z
I
b h
Z?
3
12
I
d
Z?
4
64
I
D d D
Z?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z?
2
6
,W
d
Z?
3
32
W
D
Z
3
4
32
1( )
§ 8-3 横力弯曲时的正应力正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
l h? 5
二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
ma x ma x [ ]
M
W Z
§ 8-1 概 述
CL8TU1
P P
Q
M
a al
Q M= 0 = c o n s t，
纯弯曲,
Q M≠,≠0 0
横力弯曲,
P P
A B
C D
P
P
Pa
P P
在横截面上，只有法向内力元素 dN=σdA才能合成弯矩 M，只有切向内力元素 dQ=τdA才能合成剪力 Q
dA
d A M?
dA
dA
d A Q?
M Q
CL8TU2
d A Q?
d A M?
§ 8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：
一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,
变形几何关系物理关系静力学关系
CL8TU3
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
( )y d d
d
CL8TU3-2y
z
dx
y
d?
y
y
二、物理关系
E
E
y
y
z
dx
y y
再作 单向受力假设,假设各纵向纤维之间互不挤压。
三,静力学关系
dA
N Ax
A
d
M z Ay
A
d
M y Az
A
d
0
0
M
y
z
y
z
M
N Ax
A
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y
A
A?
d 0 y A
A
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Sz? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
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y
A
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I yz 0
M y A Mz
A
d y E
y
A M
A?
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1
M
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I z
E
y
1
M
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M y
I z
中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
中性轴过截面形心横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
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M
W Z
m ax m ax?
M y
I Z
C z
y
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W
I
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抗弯截面模量
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横截面上的应力分布图：
z
I
b h
Z?
3
12
I
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Z?
4
64
I
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( )
( )
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1
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,W
b h
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2
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3
32
W
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Z
3
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§ 8-3 横力弯曲时的正应力正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
l h? 5
二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
ma x ma x [ ]
M
W Z
