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数力系 严圣平材料力学课程名称：
第八章 弯曲应力
§ 8-1 概 述
CL8TU1
P P
Q
M
a a
l
Q M= 0 = c o n s t，
纯弯曲,
Q M≠,≠0 0
横力弯曲,
P P
C D
A B
P
P
Pa
§ 8-1 概 述
§ 8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：
一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,
变形几何关系物理关系静力学关系
CL8TU3
a a
b b
m n
m n
m m
m m
a a
b b
m n
m n
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
再作 单向受力假设,假设各纵向纤维之间互不挤压。
m m
a a
b b
m n
m n
中性层中性轴中性层
CL8TU3-1
z
( )y d d
d
CL8TU3-2y
z
dx
y
d?
y
y
二、物理关系
E
E
y
y
z
dx
y y
三,静力学关系
dA
N Ax
A
d
M z Ay
A
d
M y Az
A
d
0
0
M
y
z
y
z
N Ax
A
d 0 E
y
A
A?
d 0 y A
A
d 0
Sz? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
d 0 z E
y
A
A?
d 0
I yz 0
M y A Mz
A
d y E
y
A M
A?
d
1
M
EI z
E
y A M
A?
2 d?
E
y M y
I z
E
y
1
M
E I z
M y
I z
中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
中性轴过截面形心横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
t c m a x
M
W Z
m a x m a x?
M y
I Z
C z
y
y1
y2
W
I
y
z
z?
m a x
CL8TU5
z
M? 0?
I
b h
Z?
3
12
I
d
Z?
4
64
I
D d D
Z?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z?
2
6
,W
d
Z?
3
32
W
D
Z
3
4
32
1( )
§ 8-3 横力弯曲时的正应力正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
l h? 5
例：图示梁的截面为 T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为 和,则 和的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
CL8TU9
P
C
y1
y2
z
[ ]? t [ ]? c y1
y2
解：
( )
( )
[ ]
[ ]
1
2
1
2
得：
y
y
t
c
t
z
t
M y
I
m ax [ ]1
c
z
c
M y
I
m a x [ ]2
( )1
( )2
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［ σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
CL8TU10
10 kN / m
2m 4m
100
200
解：由弯矩图可见
M m a x20 kN m
10 kN / m
2m 4m
100
200
45 kN
15kN
Q( )kN
20
25
15
M ( )kN m?
20
1125.
m ax m ax? M
W z?
20 10
0 1 0 2
6
3
2.,
30 M Pa < [ ]?
该梁满足强度条件，安全例：图示铸铁梁，许用拉应力 [σt ]=30MPa，
许用压应力 [σc ]=60MPa,Ｉ z=7.63× 10-6m4，试校核此梁的强度。
CL8TU12
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
A B
C D
t
zI
2 5 88.
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
M ( kN m)?
2 5,kN 10 5,kN
25.
4
A B
C D
c
zI
2 5 52.
t
zI
4 52
c
zI
4 88
C截面,
B截面,
28 8,MP a
17 0,MP a
27 3,MP a
46 1,MP a
数力系 严圣平材料力学课程名称：
第八章 弯曲应力
§ 8-1 概 述
CL8TU1
P P
Q
M
a a
l
Q M= 0 = c o n s t，
纯弯曲,
Q M≠,≠0 0
横力弯曲,
P P
C D
A B
P
P
Pa
§ 8-1 概 述
§ 8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：
一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,
变形几何关系物理关系静力学关系
CL8TU3
a a
b b
m n
m n
m m
m m
a a
b b
m n
m n
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
再作 单向受力假设,假设各纵向纤维之间互不挤压。
m m
a a
b b
m n
m n
中性层中性轴中性层
CL8TU3-1
z
( )y d d
d
CL8TU3-2y
z
dx
y
d?
y
y
二、物理关系
E
E
y
y
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dx
y y
三,静力学关系
dA
N Ax
A
d
M z Ay
A
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M y Az
A
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M
y
z
y
z
N Ax
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A
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M z Ay
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M y A Mz
A
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y
A M
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M
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E
y A M
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E
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I z
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1
M
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M y
I z
中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
中性轴过截面形心横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
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M
W Z
m a x m a x?
M y
I Z
C z
y
y1
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CL8TU5
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I
b h
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3
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4
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4
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CL8TU6
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b h
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2
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3
32
W
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3
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1( )
§ 8-3 横力弯曲时的正应力正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
l h? 5
例：图示梁的截面为 T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为 和,则 和的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
CL8TU9
P
C
y1
y2
z
[ ]? t [ ]? c y1
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解：
( )
( )
[ ]
[ ]
1
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1
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得：
y
y
t
c
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t
M y
I
m ax [ ]1
c
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c
M y
I
m a x [ ]2
( )1
( )2
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［ σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
CL8TU10
10 kN / m
2m 4m
100
200
解：由弯矩图可见
M m a x20 kN m
10 kN / m
2m 4m
100
200
45 kN
15kN
Q( )kN
20
25
15
M ( )kN m?
20
1125.
m ax m ax? M
W z?
20 10
0 1 0 2
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2.,
30 M Pa < [ ]?
该梁满足强度条件，安全例：图示铸铁梁，许用拉应力 [σt ]=30MPa，
许用压应力 [σc ]=60MPa,Ｉ z=7.63× 10-6m4，试校核此梁的强度。
CL8TU12
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
A B
C D
t
zI
2 5 88.
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
M ( kN m)?
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A B
C D
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2 5 52.
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zI
4 88
C截面,
B截面,
28 8,MP a
17 0,MP a
27 3,MP a
46 1,MP a
