第六章 平面图形的几何性质
CL6TU1
dA
y
y
z
z
O
dA
y
y
z
z
O
S y Az
A
d,S z Ay A d
定义为图形对 轴和 轴的静矩z y
y Ad
I y Az
A
2 d
dA
y
y
z
z
O
y A2 d
,I z Ay
A
2 d
定义为图形对 轴和 轴的惯性矩z y
I y z A
y z
yz
A
d
定义为图形对,轴的惯性积
dA
y
y
z
z
O
y z Ad
I A
O
p
A

2
d
定义为图形对 点的极惯性矩
dA
y
y
z
z
O
2 d A
§ 6-1 静矩和形心
dA
y
y
z
z
O
S y Az
A
d,S z Ay
A
d
形心坐标：
y
y A
A
z
z A
A
C
A
C
A
d d
,CL6TU3
C
y
yC
zC
z
O
静矩和形心坐标之间的关系：
y
S
A
z
S
A
C
z
C
y
C
y
yC
zC
z
O
S y A S z Az C y C,
例：计算由抛物线,y轴和 z轴所围成的平面图形对 y轴和 z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z h
y
b

1
2
2
CL6TU4y
z
O
z h
y
b

1
2
2
y dy
b
h
S z Ay
A

2
d
解：
S y Az
A
d


1
2
1
0
2
2
2
2b
h
y
b
yd

y h
y
b
y
b
0
2
21 d
y
z
O
4
15
2bh
b h
2
4
A A
A
d
形心坐标为,
y
S
A
bh
bh
b
C
z

2
4
2
3
3
8
z
S
A
bh
bh
h
C
y

4
15
2
3
2
5
2


0
2
2
1
b
h
y
b
yd? 2
3
bh
例：确定图示图形形心 C的位置。
CL6TU5
解：
y SAC z?
z
S
AC
y
10 120 60 70 10 5
1200 700
39 7,mm
10 120 5 70 10 451200 700 19 7,mm
例：求图示阴影部分的面积对 y轴的静矩。
CL6TU6
S b
h
a a
h a
y




2 4 2
解：

b h
a
2 4
2
2
§ 6-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积一、惯性矩
I y A I z Az
A y A
2 2d d,
dA
y
y
z
z
O
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对 y轴和 z轴的惯性半径
i iy z、
I A iy y? 2 或 i I
A
y
y
I A i i
I
A
z z z
z2 或
I Ap
A
2 d
2 2 2y z
I I Ip y z
二、极惯性矩
dA
y
y
z
z
O
例：求图示矩形对对称轴 y,z的惯性矩。
CL6TU7
解：
I z Ay
A
2 d
z
dz
z b z
h
h
2
2
2
/
/
d?
bh 3
12
例：求图示圆平面对 y,z轴的惯性矩。
CL6TU8
I
d
p?
4
32
I Iy z?
I I Iy z p
三、惯性积
I y z Ayz
A
d
dA
y
z
z
O y
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。
CL6TU9
I yz? 0
z
y
dAdA
几个主要定义,
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴 y0,z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0,z0
称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。
可以证明,任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
§ 6-3 平行移轴公式
CL6TU10
C
y
z
O
zc
yc
b
a
y
z
dA
yc
zc
y y a
z z b
c
c


I y A I z A I y z Az A y A y z A2 2d d d,,
I y A I z A I y z Az cA y cA y z c cAc c c c2 2d d d,,
y y a z z bc c,
I y Az A 2 d
( )y a AcA 2 d
y A a y A a AcA cA A2 22d d d
I a Az c 2
C
y
z
O
zc
yc
b
a
I I a Az z
C
2
I I b A
I I a A
I I abA
y y
z z
yz y z
C
C
C C



2
2
平行移轴公式：
例：求图示平面图形对 y轴的惯性矩 Iy
CL6TU11
y
z
a
a
d
解：
CL6TU11
y
z
a
a
d
I d ay? ( )2
12
3
2
128
4? d



d d2 2
8
2
3


d d
a
2 2
8
2
3
§ 6-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
CL6TU12
y y z
z y z
1
1


c o s s i n
s i n c o s


I z Ay
A1 1
2 d
( s i n c o s )y z A
A
2 d
I I Iz y yzs i n c o s s i n2 2 2
I I I I
Iy z y z yz
2 2
2 2c o s s in
I
I I I I
I
I
I I I I
I
I
I I
I
y
y z y z
yz
z
y z y z
yz
y z
y z
yz
1
1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
c os s in
c os s in
s in c os



转轴公式：
设正交坐标轴,是主惯性轴，其方位角为,则
y z0 0
0?
I
I I
Iy z y z yz
0 0 2
2 2 00 0?
s in c o s
t a n 2
2
0
I
I I
yz
y z
主惯性轴方位：
或简写成：
I
I I I I
I
I
I I I I
I
y
y z y z
yz
z
y z y z
yz
0
0
2 2
2 2
2
2
2
2




主惯性矩公式：
I
I
I I I I
I
y
z
y z y z
yz
0
0
2 2
2
2

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤：
1）找出形心位置；
2）通过形心 C建立参考坐标 yoz，求出
Iy,Iz,Iyz
3）求 α 0,Iy0,Iz0
例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。 P86,7（ b）
CL6TU13
解：
将原平面图形分成上中 下三个矩形。过形心建立参考 坐标系 y C z
I I Iy y y2 1 2
I I Iz z z



2 2
5 40
12
40 5 22 5
60 5
12
256458 25 65
1 2
3
2
3
4
.
.mm cm
4
I Iyz yz

2 2 40 5 27 5 22 5
247500 24 75
1
4
.,
.mm cm 4


2 40 5
12
40 5 27 5 5 60
12
3
2
3
.
393333 39 334 4mm cm.
由 t a n,
.,
.2
2 2 24 75
39 33 25 65
3 6180


I
I I
yz
y z
得形心主惯性轴的方位 角 或? 0 37 3 52 7.,
形心主惯性矩的大小为,
I
I
I I I I
I
y
z
y z y z
yz
0
0
2 2
58 2
6 81
2
2 4


.
.
cm
作业 （ P84-86）
1（ C）
2
3
5（ b）
9