第九章 弯曲变形 静不定梁
§ 9-1 概 述一、工程实践中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，
就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
CL9TU1
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
CL9TU2
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
2
P
2
P
CL9TU2
1.挠曲线二、弯曲变形的基本概念
CL9TU3
挠曲线
2.挠度和转角 规定：向上的挠度为正逆时针的转角为正
CL9TU3
x
y
x
v
挠曲线方程,v f x? ( )
转角方程：
f x
f
x
( )
d
d
ta n
§ 9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式
K
y
y
( )
/
1
2 3 2
y f x? ( )
曲线 的曲率为
1
M
EI z
1
1
2 3/ 2?
v
v( )
M
EI
v EI v M
z
或
v
EI v M
M? 0
CL9TU4
x
y
v 0
M M M M
M? 0
v 0
x
y
梁的挠曲线近似微分方程,
EI v M x
EI
v
x
M x
( )
:
( )
或
d
d
2
2
二、用积分法求梁的变形式中积分常数 C,D由边界条件和连续条件确定
EI v M x ( )
EI v M x x C ( ) d
E I v M x x x Cx D ( ) d d
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷 q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax。
CL9TU5
x
y
l
q
解：
M x ql x q x( )2 2 2
EI v ql x q x2 2 2
EI v ql x q x C4 62 3
E I v ql x q x Cx D12 243 4
由边界条件：
x v
x l v
0 0
0
时，
时，
得：
C ql D
3
24 0,
x
q
l
x
y
A
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
qEI lx x l24 6 42 3 3( )
v qx EI lx x l24 2 2 3 3( )
最大转角和最大挠度分别为：
maxA B ql EI
3
24
v v ql
EIx lm a x
2
45
384
x
q
l
x
y
A
B
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示悬臂梁在集中力 P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax。
CL9TU6
x
y
l
P
A B
解,M x P l x( ) ( )
EI v P x P l
EI v P x P l x C2 2
E I v P x P l x Cx D6 23 2
由边界条件,x v v0 0 0时，,
得,C D 0
x
y
l
P
A
B
x
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P xEI x l2 2( )
v P xEI x l
2
6 3( )
最大转角和最大挠度分别为：
m a xB PlEI
2
2
v v PlEIBmax
3
3
x
y
l
P
A
B
x
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在集中力 P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax。
CL9TU7
x
y
l
2
P
A B
C
l
2
解：
AC M x P x段,( )? 2
EI v P x 2
EI v P x C4 2
E I v P x Cx D12 3
由边界条件,x v0 0时,得,D?0
由对称条件：
x l v2 0时，
得：
C Pl
2
16
x
y
l
2
P
A B
C
l
2
x
AC段 梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
PEI x l16 4 2 2( )
v P xEI x l48 4 32 2( )
最大转角和最大挠度分别为：
m a xA B Pl EI
2
16
v v Pl
EIx lm a x
2
3
48
x
y
l
2
P
A B
C
l
2
x
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax
。
CL9TU5
y
a
q
A B
C x
a a a
D E
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
M x qax x a1 1 1 10( ) ( )
EIv qax
EIv qax
q
x a
1 1
2 2 2
2
2
( )
y
a
q
A B
C x
a a a
D E
qa qa
x1
x2
M x qax q x a a x a2 2 2 2 2 22 2( ) ( ) ( )
由连续条件,x x a v v v v
1 2 1 2 1 2时,,
E I v qa x C1 1 2 12
由边界条件：
由对称条件：
得
C C
D D
1 2
1 2
x v1 10 0时,得 D 1 0?
x a v2 22 0时,得 C qa2 311
6
E Iv qax1 1
E I v qax q x a2 2 2 22( )
E I v qa x C x D1 1 3 1 1 16
E I v qa x q x a C2 2 2 2 3 22 6( )
E I v qa x q x a C x D2 2 3 2 4 2 2 26 24( )
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
1
2
1
2
1
2 2
2
2
3 3
2
1
2
1 1
3
1
2 2
3
2
4 3
2 2
6
11 3 0
6
3 11 2
6
11 0
24
4 44 2
qa
EI
a x x a
q
EI
ax x a a a x a
v
qa
EI
a x x x a
v
q
EI
ax x a a x a x a
( )
[ ( )
( )
[ ( ) ]
最大转角和最大挠度分别为：
maxA x qaEI1 0
3
1
11
6
v v qaEIx amax2 2
4
2
19
8
作 业
1,2,4（ a,e)
§ 9-1 概 述一、工程实践中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，
就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
CL9TU1
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
CL9TU2
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
2
P
2
P
CL9TU2
1.挠曲线二、弯曲变形的基本概念
CL9TU3
挠曲线
2.挠度和转角 规定：向上的挠度为正逆时针的转角为正
CL9TU3
x
y
x
v
挠曲线方程,v f x? ( )
转角方程：
f x
f
x
( )
d
d
ta n
§ 9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式
K
y
y
( )
/
1
2 3 2
y f x? ( )
曲线 的曲率为
1
M
EI z
1
1
2 3/ 2?
v
v( )
M
EI
v EI v M
z
或
v
EI v M
M? 0
CL9TU4
x
y
v 0
M M M M
M? 0
v 0
x
y
梁的挠曲线近似微分方程,
EI v M x
EI
v
x
M x
( )
:
( )
或
d
d
2
2
二、用积分法求梁的变形式中积分常数 C,D由边界条件和连续条件确定
EI v M x ( )
EI v M x x C ( ) d
E I v M x x x Cx D ( ) d d
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷 q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax。
CL9TU5
x
y
l
q
解：
M x ql x q x( )2 2 2
EI v ql x q x2 2 2
EI v ql x q x C4 62 3
E I v ql x q x Cx D12 243 4
由边界条件：
x v
x l v
0 0
0
时，
时，
得：
C ql D
3
24 0,
x
q
l
x
y
A
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
qEI lx x l24 6 42 3 3( )
v qx EI lx x l24 2 2 3 3( )
最大转角和最大挠度分别为：
maxA B ql EI
3
24
v v ql
EIx lm a x
2
45
384
x
q
l
x
y
A
B
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示悬臂梁在集中力 P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax。
CL9TU6
x
y
l
P
A B
解,M x P l x( ) ( )
EI v P x P l
EI v P x P l x C2 2
E I v P x P l x Cx D6 23 2
由边界条件,x v v0 0 0时，,
得,C D 0
x
y
l
P
A
B
x
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P xEI x l2 2( )
v P xEI x l
2
6 3( )
最大转角和最大挠度分别为：
m a xB PlEI
2
2
v v PlEIBmax
3
3
x
y
l
P
A
B
x
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在集中力 P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax。
CL9TU7
x
y
l
2
P
A B
C
l
2
解：
AC M x P x段,( )? 2
EI v P x 2
EI v P x C4 2
E I v P x Cx D12 3
由边界条件,x v0 0时,得,D?0
由对称条件：
x l v2 0时，
得：
C Pl
2
16
x
y
l
2
P
A B
C
l
2
x
AC段 梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
PEI x l16 4 2 2( )
v P xEI x l48 4 32 2( )
最大转角和最大挠度分别为：
m a xA B Pl EI
2
16
v v Pl
EIx lm a x
2
3
48
x
y
l
2
P
A B
C
l
2
x
例：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和 vmax
。
CL9TU5
y
a
q
A B
C x
a a a
D E
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
M x qax x a1 1 1 10( ) ( )
EIv qax
EIv qax
q
x a
1 1
2 2 2
2
2
( )
y
a
q
A B
C x
a a a
D E
qa qa
x1
x2
M x qax q x a a x a2 2 2 2 2 22 2( ) ( ) ( )
由连续条件,x x a v v v v
1 2 1 2 1 2时,,
E I v qa x C1 1 2 12
由边界条件：
由对称条件：
得
C C
D D
1 2
1 2
x v1 10 0时,得 D 1 0?
x a v2 22 0时,得 C qa2 311
6
E Iv qax1 1
E I v qax q x a2 2 2 22( )
E I v qa x C x D1 1 3 1 1 16
E I v qa x q x a C2 2 2 2 3 22 6( )
E I v qa x q x a C x D2 2 3 2 4 2 2 26 24( )
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
1
2
1
2
1
2 2
2
2
3 3
2
1
2
1 1
3
1
2 2
3
2
4 3
2 2
6
11 3 0
6
3 11 2
6
11 0
24
4 44 2
qa
EI
a x x a
q
EI
ax x a a a x a
v
qa
EI
a x x x a
v
q
EI
ax x a a x a x a
( )
[ ( )
( )
[ ( ) ]
最大转角和最大挠度分别为：
maxA x qaEI1 0
3
1
11
6
v v qaEIx amax2 2
4
2
19
8
作 业
1,2,4（ a,e)
