例,图示杆,1段为直径 d1=20mm的圆杆，
2段为边长 a=25mm的方杆,3段为直径 d3=12mm
的圆杆。已知 2段杆内的应力 σ 2=-30MPa，
E=210GPa，求整个杆的伸长△ l
CL2TU10
解,
P A 2 2 230 25 18 75,kN
l N l
E A
N l
E A
N l
E A
1 1
1
2 2
2
3 3
3
18750
210 10
0 2
0 02
4
0 4
0 025
0 2
0 012
4
9 2 2 2
.
.
.
.
.
.
0 272,m m ( 缩短）
例：求图示结构结点 A的垂直位移。
②①
CL2TU11
解,
N N P1 2 2 c o s?
l l N lEA PlEA1 2 1 2 c o s?
②①
②①
例：求图示结构结点 A的垂直位移和水平位移。
CL2TU12
解,
N P N1 2 0,
l PlEA l1 2 0,
N1
N2
P
例：图示结构中三杆的刚度均为 EA,AB
为刚体,P,l,EA皆为已知。求 C点的垂直和水平位移。
CL2TU13
解,
N N P N1 3 22 0,
l l PlEA l1 3 22 0,
N1 N3
N2
§ 2-6 圆筒形薄壁容器的应力壁厚为 t，平均直径为 D,t,D
CL2TU14
N p
D
2
4
N p D p D1
N
D t
pD
t4
N
t
pD
t2 2
§ 2-7 拉伸与压缩的静不定问题一,静不定问题及其解法静定问题：根据静力平衡方程即可求出全部支反力和轴力静不定问题：未知力数目多于静力平衡方程数目 。
例：求图示杆的支反力。
CL2TU15
解：静力平衡条件：
R R PA B ( )1
变形协调条件：
l l lAC BC 0
R l
E A
R l
E A
A B1 2 0
R l R lA B1 2 2? ( )
引用胡克定律：
由此得：
联立求解 (1)和 (2),得：
R l
l
P R l
l
PA B2 1,
例：刚性梁 AD由 1,2,3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为 [σ]，材料的弹性模量为 E，杆长均为 l，横截面面积均为 A，试求结构的许可载荷 [P]
CL2TU16
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N N P1 2 32 3 3 1 ( )
l l l l2 1 3 12 3,
即：
N l
E A
N l
E A
N l
E A
N l
E A
2 1 3 12 3,
N N N N2 1 3 12 3 2,( )
联立求解 (1)和 (2),得：
N P N P N P1 2 33
14
6
14
9
14
,,
3 3
3
9
14
N
A
P
A
[ ]
3杆轴力为最大,其强度条件为,
P A14
9
[ ]?
[ ] [ ]P A? 14
9
例：求图示结构结点 A的垂直位移。
CL2TU17
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N
N N P
1 3
1 22
c o s?
N1
N2
N3
作业（下周二交）
P25-31
1（ a）（ c）
8,11,16,23,25
29,32,34,36
二,装配应力
CL2TU18
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N
N N
1 3
1 22
c os?
l l h2 1c o s?
N l
EA
N l
EA h
2 1c o s
c o s
引用胡克定律：
CL2TU19
三、温度应力线膨胀系数 α,单位长度的杆温度升高 1℃ 时杆的伸长量温度升高? T
解：
变形协调条件：
l lT N?
l T R l
EA
即：
R
A
E T? ( 压）
例,在温度为２ ℃ 时安装的铁轨，
每段长度为 12.5m，两相邻段铁轨间预留的空隙为 Δ=1.2mm，当夏天气温升为
40℃ 时，铁轨内的温度应力为多少？已知,E=200GPa，线膨胀系数
α＝ 12.5× 10-6 １／ ℃ 。
解,变形协调条件为
l l l l T N l
EAT N
1 2 10 3.
12 5 10 12 5 38 12 5
200 10
1 2 106 9 3.,,,
N
A
N
A
75 8,M P a ( 压）
例：如图所示，ＡＣ为刚杆,1,2,3
杆Ｅ、Ａ、ｌ均相同，求各杆内力值。
CL2TU20
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N N P
N N
1 2 3
1 22 0
l1?l
2?l3
l l l2 1 32
引用胡克定律，可得：
N N N2 1 32
例：求图示等直杆件的两端支反力。
杆件两端固定
CL2TU21
解：
变形协调条件：
l l l lAC CD DB 0
R a
EA
R P a
EA
R a
EA
( ) 0
例：如图所示，钢柱与铜管等长为ｌ，置于二刚性平板间,受轴向压力Ｐ,钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、
线膨胀系数分别为Ａ s、Ｅ s
,αs，及Ａ c、Ｅ c,αc。
试导出系统所受载荷Ｐ仅由铜管承受时，所需增加的温度 ΔＴ。（二者同时升温）
CL2TU22
解：变形协调条件为铜管伸长等于钢柱伸长，即
C
C C
Sl T
P l
E A
l T
例：一薄壁圆环，
平均直径为 D，截面面积为 A，弹性模量为 E，在内侧承受均布载荷 q作用，求圆环周长的增量。
CL2TU23
解：
N qD?
2
S
N S
E A
qD
D
E A
2
q D
E A
2
2
2段为边长 a=25mm的方杆,3段为直径 d3=12mm
的圆杆。已知 2段杆内的应力 σ 2=-30MPa，
E=210GPa，求整个杆的伸长△ l
CL2TU10
解,
P A 2 2 230 25 18 75,kN
l N l
E A
N l
E A
N l
E A
1 1
1
2 2
2
3 3
3
18750
210 10
0 2
0 02
4
0 4
0 025
0 2
0 012
4
9 2 2 2
.
.
.
.
.
.
0 272,m m ( 缩短）
例：求图示结构结点 A的垂直位移。
②①
CL2TU11
解,
N N P1 2 2 c o s?
l l N lEA PlEA1 2 1 2 c o s?
②①
②①
例：求图示结构结点 A的垂直位移和水平位移。
CL2TU12
解,
N P N1 2 0,
l PlEA l1 2 0,
N1
N2
P
例：图示结构中三杆的刚度均为 EA,AB
为刚体,P,l,EA皆为已知。求 C点的垂直和水平位移。
CL2TU13
解,
N N P N1 3 22 0,
l l PlEA l1 3 22 0,
N1 N3
N2
§ 2-6 圆筒形薄壁容器的应力壁厚为 t，平均直径为 D,t,D
CL2TU14
N p
D
2
4
N p D p D1
N
D t
pD
t4
N
t
pD
t2 2
§ 2-7 拉伸与压缩的静不定问题一,静不定问题及其解法静定问题：根据静力平衡方程即可求出全部支反力和轴力静不定问题：未知力数目多于静力平衡方程数目 。
例：求图示杆的支反力。
CL2TU15
解：静力平衡条件：
R R PA B ( )1
变形协调条件：
l l lAC BC 0
R l
E A
R l
E A
A B1 2 0
R l R lA B1 2 2? ( )
引用胡克定律：
由此得：
联立求解 (1)和 (2),得：
R l
l
P R l
l
PA B2 1,
例：刚性梁 AD由 1,2,3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为 [σ]，材料的弹性模量为 E，杆长均为 l，横截面面积均为 A，试求结构的许可载荷 [P]
CL2TU16
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N N P1 2 32 3 3 1 ( )
l l l l2 1 3 12 3,
即：
N l
E A
N l
E A
N l
E A
N l
E A
2 1 3 12 3,
N N N N2 1 3 12 3 2,( )
联立求解 (1)和 (2),得：
N P N P N P1 2 33
14
6
14
9
14
,,
3 3
3
9
14
N
A
P
A
[ ]
3杆轴力为最大,其强度条件为,
P A14
9
[ ]?
[ ] [ ]P A? 14
9
例：求图示结构结点 A的垂直位移。
CL2TU17
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N
N N P
1 3
1 22
c o s?
N1
N2
N3
作业（下周二交）
P25-31
1（ a）（ c）
8,11,16,23,25
29,32,34,36
二,装配应力
CL2TU18
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N
N N
1 3
1 22
c os?
l l h2 1c o s?
N l
EA
N l
EA h
2 1c o s
c o s
引用胡克定律：
CL2TU19
三、温度应力线膨胀系数 α,单位长度的杆温度升高 1℃ 时杆的伸长量温度升高? T
解：
变形协调条件：
l lT N?
l T R l
EA
即：
R
A
E T? ( 压）
例,在温度为２ ℃ 时安装的铁轨，
每段长度为 12.5m，两相邻段铁轨间预留的空隙为 Δ=1.2mm，当夏天气温升为
40℃ 时，铁轨内的温度应力为多少？已知,E=200GPa，线膨胀系数
α＝ 12.5× 10-6 １／ ℃ 。
解,变形协调条件为
l l l l T N l
EAT N
1 2 10 3.
12 5 10 12 5 38 12 5
200 10
1 2 106 9 3.,,,
N
A
N
A
75 8,M P a ( 压）
例：如图所示，ＡＣ为刚杆,1,2,3
杆Ｅ、Ａ、ｌ均相同，求各杆内力值。
CL2TU20
解：静力平衡条件：
变形协调条件：
N N N P
N N
1 2 3
1 22 0
l1?l
2?l3
l l l2 1 32
引用胡克定律，可得：
N N N2 1 32
例：求图示等直杆件的两端支反力。
杆件两端固定
CL2TU21
解：
变形协调条件：
l l l lAC CD DB 0
R a
EA
R P a
EA
R a
EA
( ) 0
例：如图所示，钢柱与铜管等长为ｌ，置于二刚性平板间,受轴向压力Ｐ,钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、
线膨胀系数分别为Ａ s、Ｅ s
,αs，及Ａ c、Ｅ c,αc。
试导出系统所受载荷Ｐ仅由铜管承受时，所需增加的温度 ΔＴ。（二者同时升温）
CL2TU22
解：变形协调条件为铜管伸长等于钢柱伸长，即
C
C C
Sl T
P l
E A
l T
例：一薄壁圆环，
平均直径为 D，截面面积为 A，弹性模量为 E，在内侧承受均布载荷 q作用，求圆环周长的增量。
CL2TU23
解：
N qD?
2
S
N S
E A
qD
D
E A
2
q D
E A
2
2
