§ 9-3 用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,
载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例：用叠加法求
CL9TU20
v C A B、,
解：
vC 5
384
4q l
EI
P l
EI
3
48
m l
EI
2
16
A q l
EI
3
24
P l
EI
2
16
m l
EI3
B? q l
EI
3
24
P l
EI
2
16
m l
EI3
例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲线在 处出现一拐点，则比值为多少？
CL9TU21
l
m2
x
m1
x l? / 3
EI
m m1 2/
解：由梁的挠曲线近似微分方程
EI v M x ( )
知，在梁挠曲线的拐点处有：
从弯矩图可以看出：
m
m
1
2
1
2
l
m2
x
m1
M? 0
M
m2
m1
例,两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁 Ⅰ,Ⅱ 如图示,Ⅱ 梁的最大挠度是 Ⅰ 梁的多少倍？
CL9TU22
2l
l
P
2P
P l
EI
3
3
例,简支梁在整个梁上受均布载荷 q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
CL9TU5
l
q
v
q l
E I
m a x
5
384
4
例,欲使 AD梁 C点挠度为零，求 P与 q的关系。
CL9TU23
解：
v
q a
EIC
5 2
384
4( )
Pa a
EI
( )2
16
2?0
P qa? 5
6
例：若图示梁 B端的转角 θB=0，则力偶矩ｍ
等于多少？
CL9TU24
解：
B
Pa
EI
2
2
m a
EI
2 0
m Pa?
4
例：求图示梁 C,D两点的挠度 vC,vD。
CL9TU25
解：
v v
q a
EI
qa
EIC D
0
5 2
384
5
24
4 4
,
( )
例：求图示梁 B,D两处的挠度 vB,vD 。
CL9TU26
解：
v q a
EI
qa a
EI
qa
EIB
( ) ( )2
8
2
3
14
3
4 3 4
v v qa a
EI
qa
EID
B
2
2 2
48
8
3
3 4( )
例：求图示梁 C点的挠度 vC。
CL9TU27
解：
例,用叠加法求图示变截面梁 B,C截面的挠度 vB,vC 。
CL9TU28
解：
v Pa
EI
Pa a
EIB
3 2
3 2 2 2( ) ( )
v v a Pa
EIC B B
3
3
512
3Pa
EI
B Pa
EI
Pa a
EI
2
2 2 2( )
34
2Pa
EI
顺时针
32
3Pa
EI
例,用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
CL9TU29
解：
C B qa EI qa EI
3 3
6 4
顺时针
B
qa
a
EI
qa a
EI
2
2
2
2
3
2
16
( )
qa EI
3
12
顺时针
v a qa EI qa EIC B
4 4
8
5
24
例,用叠加法求图示梁跨中的挠度 vC和 B点的转角 θB（ｋ为弹簧系数）。
CL9TU30
解：弹簧缩短量
B
q
k
q
l
EI
q l
EI
8
2
24
2 2
24
3
3
qk qa EI8 7384
3
顺时针
v ql k ql EIC16 5768
4
ql
k8
例,梁 AB，横截面为边长为 a的正方形，
弹性模量为 E1；杆 BC，横截面为直径为 d的圆形，弹性模量为 E2。试求 BC杆的伸长及 AB梁中点的挠度。
CL9TU31
例,图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
。求 C端挠度 vC。
k
EI
a
2 3
CL9TU32
解,(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的 C点挠度为
v qak qaEIC 1
43
2
3
v q aEI a qa EIC 2
3 42
24 3
( )
(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的 C点挠度为
(3)C点总挠度为
v v v qaEIC C C1 2
48
3
例：用叠加法求图示梁 B端的挠度和转角。
CL9TU33
解：
二、梁的刚度计算刚度条件,v v
m a x
m a x
[ ]
[ ]
[v],[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。
例：图示工字钢梁,l =8m,Iz=2370cm4,
Wz=237cm3,[ v ]= l／ 500,E=200GPa，
[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
CL9TU40
解：由刚度条件
v Pl
EI
v lmax [ ]
3
48 500
得 P EI
l
48
500 2
所以 [ ],P? 7 11 kN
m a x m a x? M
W z
所以满足强度条件。
Pl
W z4
60 M P a [ ]?
7 11,kN
§ 9-4 提高弯曲刚度的措施影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度 EI
二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置
§ 9-5 用变形比较法解静不定梁一、静不定梁的基本概念
CL9TU50
用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。
二、用变形比较法解静不定梁例：求图示静不定梁的支反力。
解：将支座 B看成多余约束，变形协调条件为：
v B? 0
即 R l
EI
ql
EI
B
3 4
3 8
0
R qlB? 3
8
另解：将支座 A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：
A? 0
即 M l
EI
ql
EI
A
3 24
0
3
M qlA? 1
8
2
例：为了提高悬臂梁 AB的强度和刚度，
用短梁 CD加固。设二梁 EI相同，试求
(1) 二梁接触处的压力；
(2) 加固前后 AB梁最大弯矩的比值；
(3) 加固前后 B点挠度的比值。
CL9TU51
解,(1)变形协调条件为,v v
AB D CD D?
即 5
6 3 3
3 3 3Pa
EI
R a
EI
R a
EI
D D
R PD? 5
4
(2)
例：梁 ABC由 AB,BC两段组成，两段梁的 EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。
CL9TU52
解：变形协调条件为,v v
AB B BC B?
即 qa
EI
R a
EI
R a
EI
B B
4 3 3
8 3 3
R qaB? 3
16
作业（ P154-158）
1,2,4（ c,e）,5
6（ a,b,d,e,f）
7,11,12
15（ b,d,e,f）
16
载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例：用叠加法求
CL9TU20
v C A B、,
解：
vC 5
384
4q l
EI
P l
EI
3
48
m l
EI
2
16
A q l
EI
3
24
P l
EI
2
16
m l
EI3
B? q l
EI
3
24
P l
EI
2
16
m l
EI3
例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲线在 处出现一拐点，则比值为多少？
CL9TU21
l
m2
x
m1
x l? / 3
EI
m m1 2/
解：由梁的挠曲线近似微分方程
EI v M x ( )
知，在梁挠曲线的拐点处有：
从弯矩图可以看出：
m
m
1
2
1
2
l
m2
x
m1
M? 0
M
m2
m1
例,两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁 Ⅰ,Ⅱ 如图示,Ⅱ 梁的最大挠度是 Ⅰ 梁的多少倍？
CL9TU22
2l
l
P
2P
P l
EI
3
3
例,简支梁在整个梁上受均布载荷 q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
CL9TU5
l
q
v
q l
E I
m a x
5
384
4
例,欲使 AD梁 C点挠度为零，求 P与 q的关系。
CL9TU23
解：
v
q a
EIC
5 2
384
4( )
Pa a
EI
( )2
16
2?0
P qa? 5
6
例：若图示梁 B端的转角 θB=0，则力偶矩ｍ
等于多少？
CL9TU24
解：
B
Pa
EI
2
2
m a
EI
2 0
m Pa?
4
例：求图示梁 C,D两点的挠度 vC,vD。
CL9TU25
解：
v v
q a
EI
qa
EIC D
0
5 2
384
5
24
4 4
,
( )
例：求图示梁 B,D两处的挠度 vB,vD 。
CL9TU26
解：
v q a
EI
qa a
EI
qa
EIB
( ) ( )2
8
2
3
14
3
4 3 4
v v qa a
EI
qa
EID
B
2
2 2
48
8
3
3 4( )
例：求图示梁 C点的挠度 vC。
CL9TU27
解：
例,用叠加法求图示变截面梁 B,C截面的挠度 vB,vC 。
CL9TU28
解：
v Pa
EI
Pa a
EIB
3 2
3 2 2 2( ) ( )
v v a Pa
EIC B B
3
3
512
3Pa
EI
B Pa
EI
Pa a
EI
2
2 2 2( )
34
2Pa
EI
顺时针
32
3Pa
EI
例,用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
CL9TU29
解：
C B qa EI qa EI
3 3
6 4
顺时针
B
qa
a
EI
qa a
EI
2
2
2
2
3
2
16
( )
qa EI
3
12
顺时针
v a qa EI qa EIC B
4 4
8
5
24
例,用叠加法求图示梁跨中的挠度 vC和 B点的转角 θB（ｋ为弹簧系数）。
CL9TU30
解：弹簧缩短量
B
q
k
q
l
EI
q l
EI
8
2
24
2 2
24
3
3
qk qa EI8 7384
3
顺时针
v ql k ql EIC16 5768
4
ql
k8
例,梁 AB，横截面为边长为 a的正方形，
弹性模量为 E1；杆 BC，横截面为直径为 d的圆形，弹性模量为 E2。试求 BC杆的伸长及 AB梁中点的挠度。
CL9TU31
例,图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
。求 C端挠度 vC。
k
EI
a
2 3
CL9TU32
解,(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的 C点挠度为
v qak qaEIC 1
43
2
3
v q aEI a qa EIC 2
3 42
24 3
( )
(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的 C点挠度为
(3)C点总挠度为
v v v qaEIC C C1 2
48
3
例：用叠加法求图示梁 B端的挠度和转角。
CL9TU33
解：
二、梁的刚度计算刚度条件,v v
m a x
m a x
[ ]
[ ]
[v],[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。
例：图示工字钢梁,l =8m,Iz=2370cm4,
Wz=237cm3,[ v ]= l／ 500,E=200GPa，
[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
CL9TU40
解：由刚度条件
v Pl
EI
v lmax [ ]
3
48 500
得 P EI
l
48
500 2
所以 [ ],P? 7 11 kN
m a x m a x? M
W z
所以满足强度条件。
Pl
W z4
60 M P a [ ]?
7 11,kN
§ 9-4 提高弯曲刚度的措施影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度 EI
二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置
§ 9-5 用变形比较法解静不定梁一、静不定梁的基本概念
CL9TU50
用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。
二、用变形比较法解静不定梁例：求图示静不定梁的支反力。
解：将支座 B看成多余约束，变形协调条件为：
v B? 0
即 R l
EI
ql
EI
B
3 4
3 8
0
R qlB? 3
8
另解：将支座 A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：
A? 0
即 M l
EI
ql
EI
A
3 24
0
3
M qlA? 1
8
2
例：为了提高悬臂梁 AB的强度和刚度，
用短梁 CD加固。设二梁 EI相同，试求
(1) 二梁接触处的压力；
(2) 加固前后 AB梁最大弯矩的比值；
(3) 加固前后 B点挠度的比值。
CL9TU51
解,(1)变形协调条件为,v v
AB D CD D?
即 5
6 3 3
3 3 3Pa
EI
R a
EI
R a
EI
D D
R PD? 5
4
(2)
例：梁 ABC由 AB,BC两段组成，两段梁的 EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。
CL9TU52
解：变形协调条件为,v v
AB B BC B?
即 qa
EI
R a
EI
R a
EI
B B
4 3 3
8 3 3
R qaB? 3
16
作业（ P154-158）
1,2,4（ c,e）,5
6（ a,b,d,e,f）
7,11,12
15（ b,d,e,f）
16
