第七章 弯曲内力
§ 7-1 平面弯曲的概念当作用在杆件上的 载荷和支反力都垂直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，这种变形称为 弯曲变形 。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为纵向对称面,梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面
CL7TU1
平面弯曲,当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。
§ 7-2 梁的计算简图一、杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁折杆或曲杆用中心线代替二、载荷的分类
1,集中载荷
2,分布载荷
3,集中力偶三、支座的分类根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，
一般可以简化为三种基本形式：
1,固定铰支座 2,可动铰支座 3,固定端支座
CL7TU2
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
CL7TU3
§ 7-3 剪力和弯矩
CL7TU4
a b
l
x
P
A B
RA
R l P bA
RB
R
P b
lA
R
P a
lB
Q R
P b
lA

M R x
P b x
l
A
a b
l
x
P
RA
RB
x
Q?Q
M
M P
A B
剪力 Q的符号规定：
弯矩 M的符号规定：
CL7TU5
左上右下为正上压下拉 (上凹下凸 ) 为正
CL7TU6
例：求图示梁 1-1,2-2,3-3,4-4截面上的剪力和弯矩。
解：由 得M B 0R qaA? 5
4
由 得M A 0 R qa
B?
7
4
Q R qaA1 5 4
M R a qaA1
25
4

Q R qa qaA2 4
M2?
Q3?
M R a qa a qaA3
2
2 3
2

Q qa R qaB4 3 4,M qa4
25
4
Q
Q
CL7TU7M l l
M l l



CL7TU6
例：求图示梁 1-1,2-2,3-3,4-4截面上的剪力和弯矩。
R qaA? 5
4
R qaB? 7
4
§ 7-4 剪力方程和弯矩方程
R R q lA B
2
Q x R qx q l qxA( )
2
M x q l x qx x( )2 2
RA R
B
CL7TU8
A B
l
x
q
( )0x l



q
x l
q l
2 2 8
2 2
( )0x l
Q
M
ql
2
ql
2
ql2
8
R P b
l
R P a
lA B
,
AC 段,Q x R P b
lA( )
( )0x a
M x R x P bl xA( ) ( )0x a
CB 段,Q x R P a
lB( )
( )a x l
M x R l x P al l xB( ) ( ) ( )
( )a x l
RA RB
CL7TU8
P
a b
l
x
x
A
C
B
AC Q x
P b
l
x a
M x
P b
l
x x a
CB Q x
P a
l
a x l
M x
P a
l
l x a x l
段：
段：
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )




0
0
P
a b
x
x
A
C
B
l
Q Pb l/
Pa l/
Pab l/M
§ 7-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系
q x( )
q x( )
Q x( ) Q x Q x( ) ( )? d
M x( ) M x M x( ) ( )? d
CL7TU31
dx
x
q x( )
Q x( ) Q x Q x( ) ( )? d
M x( ) M x M x( ) ( )? d
d ( )
d
( )Q x
x
q x
M x M x M x Q x x q x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d 1
2
02
Q x Q x Q x q x x( ) ( ) ( ) ( )d d
d ( )
d
( )M x
x
Q x?
载荷集度、剪力和弯矩的微分关系,
d ( )
d
( )
Q x
x
q x?
d ( )
d
( )
M x
x
Q x?
d ( )
d
d ( )
d
( )
2
2
M x
x
Q x
x
q x
P
P
CL7TU9
Q
M
Pl
l
ql
q
Q
M
ql2
2
l
CL7TU10
ql / 2
q
Q
M
ql 2 8/
l l
2RA RB
A
C
B
ql / 8
R
ql
R
ql
A
B
8
5
8
二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系
d ( )
d
( )Q x
x
q x?
d ( ) ( ) dQ x q x x?
d ( ) ( ) dQ x q x x
A
B
x
x

1
2
Q Q q x xB A
x
x
( ) d
1
2
q x( )
CL7TU32
x
x2
x1
A B
d ( )
d
( )M x
x
Q x?
d ( ) ( ) dM x Q x x?
d ( ) ( ) dM x Q x x
A
B
x
x

1
2
M M Q x xB A
x
x
( ) d
1
2
CL7TU10
l
2
l
2
q
Q
M ql
2
16
3
8
ql
ql
8
3
8
ql
ql
8
9
128
2ql
CL7TU11
a
q
Q
M
q P qa?
aa
qa 2qa
qa 2 2/
qa 2 2/
qa
qa
qa
作剪力图，从左往右，看着上就上，看着下就下
CL7TU11
Q
M
a b
m
lm l/ m l/
m l/
am
l
bm l/
CL7TU12
Q
M
a
m P a?
a a
P
P
P
Pa
CL7TU12
Q
M
a
m P a?
a
P
P
P
Pa
qa
3qa
2qa
2 2qa
2 2qa
CL7TU13
2 2qa q 2qa
a 2a a
Q
M
qa 5qa
A
C
B
D
CL7TU13
qa 2 2/ q
a a
Q
M
q
qa / 2 qa / 2
qa
qa / 2
qa / 2qa 2 2/
qa 2 8/
CL7TU14
qa 2 2/
q
a a
Q
M
a
qa
qa qa
qa
qa
qa 2 2/
qa 2 2/
CL7TU14
q
a a
Q
M
2qa
7
4
qa
5
4
qa
7
4
qa 3
4
qa
5 4qa /
5 42qa /