第三篇 工程动力学
学习任务：分析运动与力之间的关系
学习内容,动能定理
动量定理
达朗伯原理
动力学普遍方程和拉格朗日方程
基本问题,已知运动求力 ----动力学第一类问题
已知力求运动 ----动力学第二类问题第二十一章 动能定理
21.1 质点系质量分布的特征量
21.2 动能
21.3 动能定理例题 1 例题 2 例题 3
例题 4 例题 5
例题 6 例题 7
例题 9 例题 10 例题 11
例题 8
例题 12 例题 13
第二十一章 动能定理
基本概念：
动能,物体由于作机械运动而具有的作功能力
1,质点系的质量中心 ---平动的动力学特性
2．质点系的转动惯量 ---转动的动力学特性
21.1 质点系质量分布的特征量质点系的动力学特性与质点系质量分布密切相关,质点系质量分布有两个特征量
21.1.1质点系的质量和质量中心
定义,设一质点系有 n个质点组成,
其中第个质点的质量为,相对于某确定定点的矢径为,将质点系的质量总和,定义为质点系的质量用 M表示,即
M
n
i
ii
C
rm
r
1
由下式确定的矢径 所对应的点称为质点系的质量中心，简称质心,rc
n
i
imM
1
注意
M
n
i
ii
C
xm
x
1
M
n
i
ii
C
ym
y
1
M
zm
z
i
n
i
i
C
1
(1)质点系的质心不一定与质点系中的某个质点重合,它有可能在质点系外 !
其中 为质点的直角坐标 。ziy ixi,,
在以 O点为基点建立的直角坐标系 中,质心的直角坐标公式为
oxyz
2)当质点系中的各质点位置发生变化时,其质心的位置一般也要发生变化 !
例如,圆环的质心不在其环上，而在圆环中心
O
21.1.2刚体的转动惯量
1.转动惯量定义,将刚体体内个质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量,
用 J表示,即
2
1
i
n
i
im?
式中 分别为第 个质点的质量和到该轴的距离
J=
iim,i
说明若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示,
式中 为质量为 的微元到该轴的距离
M 表示积分范围遍及刚体全部质量,
dmJ M 2?
dm
刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅与其质量分布有关的特征量若在某一个刚体上或其延拓部分的 O点建立一与刚体固接的直角坐标系 Oxyz,设质量为 的微元的坐标为 ( ),该刚体对轴的转动惯量为
dm zyx,,
M,刚体的总质量
,刚体对 z轴的回转半径或惯量半径?
Z
2ZZ MJ?
如刚体对 z轴的转动惯量表示为它可视为将刚体的全部质量都集中于距 z
轴距离为 的某一点对 z轴的转动惯量,?z
注意
dmMx zyJ )(
22
dmxzJ
My
)( 22
dmxyJ
Mz
)( 2
2?
在解决实际问题中一般规则几何性形状的匀质刚体的转动惯量可以直接算出另外的一些转动惯量可以通过查询工程手册得到例 21.1 一直均质的细长杆的质量为 M,
长为 L，求杆对通过其质心，且垂直与杆的 z轴的转动惯量和回转半径。
x
y
C
dx
x
(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微段,其坐标为（ x,0,0），其质量为解,
dm dx
L
M=
(2)上述质量微元离 z轴的距离为,
杆对 z 轴转动惯量为,x
Jz 2
2
222
1
2
1
2
3
1
l
lM xxx L
Mdx
L
Mdm
LM 2121?
(3) 杆对 z轴的回转半径为
L
M
J Z
Z 6
3
例 21,2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径为 R，质量为 M，求圆盘对过其中心，且垂直于圆盘平面的 z轴的转动惯量和回转半径
r d r
M
r d r
M
dm
RR
22
2
)2(
x
y
C
r
dr
解,
1．取半径为 r,宽度为的圆环，其质量是,
3．圆盘对 z轴的回转半径为
R
M
J Z
Z 2
2
Rr
R
r
R
M
r M
Mdrdm RR
MJ z
2
0
43
0 2
2
2
12
22
2．上述圆环的各质点到 z轴的距离都为 r,于是圆盘对 z轴的转动惯量为,
说明 dMJJ Zz
2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯量。有空心刚体 =无空心整体 -空心部分
(转动惯量）
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为
2.转动惯量的平行轴定理例 21.3均质细长直杆长为 L,质量为 m,杆的一段与以质量为 M的,外径为 2R的,内径为 2r
的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另一端 O且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量
c1 c2o
(1) 设,分别为杆,圆环的质心,c1 c2
解,
刚体可看成是由这三部分组成的,
)( 22
2
1 rRm
rM
)( 22
2
2 rRm
rMM
#2半径为 r,中心在 处的均质圆盘 1,质量为c2
#3半径为 R,中心也在 处的均质圆盘 2c
2
#1杆,质量为于是
JJJJ OOOO 21 圆盘圆盘杆
2222 )()(
2
1
3
1 RLMRMmL r
2
2
2
2
2
22
22
2
1
2
1
2
21
11
2222
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
3
1
)
2
(
12
1
)(
2
2
1
RLOC
C
RLOC
C
mL
L
mmLOCm
C
mRmmJJ
mrmmJJ
JJ
O
O
O
圆盘圆盘圆盘圆盘杆杆
3.刚体对任意轴的转动惯量公式
y
x
z
A
l0
L
dm
r1
如图所示,L为空间任一轴,以 A为原点建立任一与刚体固连的直角坐标系 则 L轴正向在 三个方向的余弦为
Axyz
Axyz
iiil 3210 c o sc o sc o s
矢量式中,,,分别 为 L,x,y,z轴正向的单位l0 i
1 i2 i3
设质量为 的微元相对于 A的矢径为 r,它在中的坐标为,该微元到 L轴的距离的平方为
dm
Axyz ),,( zyx
222 r
lr
式中 c o sc o sc o s0 zyxr lr
l
zyxr 2222
1c o sc o sc o s 222
得
co sco s2co sco s2co sco s2
co s)(co s)(co s)( 2222222222
xzyzxy
yxxzzy
引入
Mxy x y dmJ
Myz y zdmJ?
Mxz x zdmJ
称其为 惯性积表示刚体内各质量微元的质量与其两个直角坐标的乘积之和再将惯性积代入
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
写成矩阵形式
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
cos
cos
cos
[ c o s?J L?coscos
J?
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
转动惯量 惯性积对确定的刚体,各元素都为常数,
与刚体的运动无关注意特征惯量,J
x Jy Jz Jxy Jyz Jxz
惯量张量矩阵,矩阵 J
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
刚体对任意轴的转动惯量转轴公式,
4.主转动惯量如果与某一轴相关的两个惯性积都为零,
那么这轴为刚体对原点的一根惯量主轴或惯性主轴如在直角坐标系 中,与 z轴相关的两个惯性积 为零,则称 z轴为刚体对 A点的惯量主轴或惯性主轴 Jxz Jyz
Axyz
若在 A点再建立一个与刚体相固连的直角坐标系
,设 为三轴正向的单位矢量A eee 321,,
这两个坐标系的单位正交基之间是一个正交变换
i
i
i
QQQ
QQQ
QQQ
e
e
e
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
记为 Q
于是
Q
T
z
y
x
式中 为质量为 的同一微元在 中坐标,若记
),,(Adm
JJJ
JJJ
JJJ
J
则有 QJJ Q T 或
JQJ Q T
J?存在正交变换矩阵 Q,使 为对角矩阵此时,说明轴都为刚体 A的惯量主轴,这样的坐标系称为 惯量主轴坐标系
0 JJJ
说明主转动惯量,刚体对惯量主轴的转动惯量中心转动惯量,过质心的惯量主轴中心主转动惯量,过中心转动主轴所对应的转动惯量
J的三个特征值为主转动惯量三个特征值对应的特征向量方向为惯量主轴方向当刚体质量分布具有对称性时,
定理一,如果刚体有质量对称轴,则该轴是刚体对轴上任一点的一根惯量主轴,
同时也是刚体的一根中心惯量主轴
D(x,y,z)
),,( zyxD?
z
y
x
证明设 z轴为刚体的质量对称轴在 z轴上选一点 A,以 A为原点建立任意与刚体固连的直角坐标系 Axyz.
根据对称性,若在坐标为 (x,y,z)的 D处有一质量为 m的质点,则在坐标为 (-x,-y,z)的处也有一质量也为 m的另一质点,则整个刚体的D?
0m x zJ xz
0m y zJ yz
故 Az轴是刚体对 A点的一根惯性主轴,
又 A点是刚体质量对称轴上的任选的一点证明,刚体的质量对称轴必是刚体对称轴任一点的一根惯量主轴刚体的质心必在其质量对称轴上,故
Az轴必过刚体的质心也证明了刚体的质量对称轴必是刚体的一根中心惯量主轴如果刚体具有质量对称面,则垂直于该对称面的任一轴必为刚体对该轴与对称轴交点的一根惯量主轴定理二,
D(x,y,z)
),,( zyxD?x
y
z 证明设垂直与刚体质量对称面的任意轴为
z轴,它与对称面的交点为 A,以 A为原点建立以与刚体固连的直角坐标系 Axyz.
若在质量对称面的一边坐标为 (x,y,z)的 D处有一质量为 m的质点,在另一坐标为 (x,y-z)的处也有质量为 m的另一质点D?
则刚体的
0m x zJ xz
0m y zJ yz
证明了 Az轴必是刚体的一根中心惯量主轴
21.2 动能质点的动能,vmvmT v
2
1
2
1 2 或质点系的动能,vvmvm
iii
n
iii
n
i
T
1
2
1 2
1
2
1 或
（标量）
（质点系各质点动能之和）
若以速度作平动的刚体，则其动能为：
(其中 )
vMT 221?
ni imM 1
若以角速度绕轴作定轴转动的刚体，则动能为：
22
1 2
1)(
2
1 Jm
Zii
n
i
T
例 21.4 图示各均质物体重量为 Q，物体尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如图所示。
试计算各物体的动能 。
一般平面运动刚体动能：
22 2121 Jv CCMT
L
解,
如图,杆 OA绕 O轴作定轴转动，
根据刚体绕定周转动的动能公式
2
2
1?
zJT?
可得
2
2
2
2
2
0 632
1
2
1
g
Ql
g
QlJT
其中
g
QlJ
3
2
0?
R
2 圆盘绕 O轴作定轴转动，仿上可得
2
2
2
2
2
0 422
1
2
1
g
QR
g
QRJT
其中
g
QRJ
2
2
0?
C
3 圆盘绕 O轴作定轴转动，但转轴不通过质心，故利用转动惯量的平行移轴定理，有
g
QRR
g
Q
g
QRJ
2
3
2
2
2
2
0
于是可得
2
2
2
2
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1
g
QR
g
QRJT
vC
O
R
4 圆盘作平面运动，点 O为瞬心。
由于?Rv?
所以
R
v
圆盘对瞬心 O的转动惯量为
22
2
0 4
3
2 vg
QR
g
Q
g
QRJ
于是可得圆盘的动能
2
22
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1 v
g
Q
R
v
g
QRJT
例 21.5质量为 m的滑块 A可在水平轨道上滑动
，它与质量为 M，长为 L的匀质杆用铰链相连
。杆可在铅垂面内自由转动，求系统动能。
B
C?
vA
x
A
解,
(1) 以图示的为描述系统的广义坐标。
,x
(2) 滑块作平动，其动能为 2
2
1 2
1
2
1 xmm vT
A
(3) 杆作平面运动，先求其质心绝对速度
vvv CAAC
c o s
4
)
2
(c o s)
2
(2
2
2
2
2
2
2
222
xl
ll
xx
l
x
vvvvvvv CACAAACCC
可得根据两点速度关系故杆的动能
22
222
22
2
)
12
1
(
2
1
)co s
4
(
2
1
2
1
2
1
Mlxlx
l
xM
M JvT
CC
(4) 系统的动能
c o s6161)(21 22221 xMlMMmT lxTT
21.3 动能定理
动能定理描述的是质点或者质点系的动能的改变量与作用力的功之间的数量关系
F
dm
dvm?
两边点乘 得drv dt?
1．动能定理微分形式：
21.3.1 质点的动能定理根据牛顿第二定律
上式左端
dTmvdvmvddvmv )21()(21 2
显然右端为作用在质点上的合力 F的元功
于是
Wd?
WddT
drFdvmv
质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功，
这就是 质点动能定理的微分形式这表明这表明设在时间 至 的过程中,质点由位置 1沿路径 L运动至位置 2,同时它的速度就由 变成,作积分,将代入 得drFLW12
t1 t2
v1 v2
质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用在质点上的合力在同一运动过程中所作的功这就是 质点运动定理的积分形式 。
WTT 1212
2.质点动能定理积分形式例 21.6 重物 M重 P，放在于水平面成角的粗糙的倾斜面上，且与刚性系数为 C的弹簧的一端相联，弹簧的另一端是固定的。如果开始时弹簧没有伸长，重物无初速度的放下，重物与斜面间的摩擦系数为 且试求弹簧的最大变形 S。
tgf?f
解,
1,以重物 M为研究对象，且视为质点。
p
N
M
F
3．以重物的最初位置（弹簧的原长），为坐标原点 O，选直角坐标系 xoy，使 ox 轴沿斜面。
2,重物作直线运动，在开始运动时，初速度
,当它沿斜面运动到最底位置其速度
，此时弹簧的变形最大 。
00?v
0?v
4,当重物位于坐标,处，其上作用的外力有重力 P，弹性力 F，摩擦力及反力 N。
0?yxx?
5．由于已知力，速度及质量，要求弹簧的最大变形可用动能定理求解此题。
Amvmv 202
2
1
2
1
由于 0
0 vv
所以 0?A
而
1FAFANAPAA
SfPcx d xPSA S co s0s i n 0
c o s2s i n
2
P S fCSPS
所以，有
0c o s2s i n
2
P S fCSPS
由此可得
C
fPS c o ss i n2
这表明
n
i
iW
ddT
1
21.3.2质点系的动能定理
1 质点系动能定理的微分形式对于质点系中的每一个质点,都可以写出如式 的关系成立 。 将所有的这些方程左右分别相加,再交换求和与求微分的顺序,并将 代入得?
n
i
iTT
1
WddT
质点系动能的微分等于作用在质点系上的各力（外力和内力）的元功的代数和，
这就是 质点系动能定理的微分形式 。
这表明
WWWTT ie
12
)(
121212
2.质点系动能定理的积分形式,
设在时间 至 的过程中,质点系发生了某一运动,若在这一运动过程中,质点系的所有外力所作的功用 表示,质点系的所有内力所作的功用 表示,则积分得
t1 t2
We)(12
Wi)(12?
n
i
iWddT
1
质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于作用在质点系的所有外力和内力在同一运动过程所作的功的代数和,这就是质点系动能定理的积分形式。
例 21.7 如图所示，放置于倾角为 的固定斜面上的质量为,半径为 的匀质圆盘，其中心 A系有一跟一端固定，并且与斜面平行的弹簧，同时与一根绕在质量为,半径为的鼓轮 B上的张紧绳子相连。
rm
m r
A
B
k
M
C?
A
B
k
M
C?
今在鼓轮上作用一常力偶矩 M，使系统由静止开始运动，且斜面足够粗糙，圆盘沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮对轮心 B得回转半径为,弹簧的弹性系数为且初始时弹簧为原长。
若不计弹簧，绳子的质量及轴承 B处摩擦，求鼓轮转过 时，圆盘的角速度和角加速度的大小
k
2
2
r
解：
系统所受约束为理想约束，各约束力都不作功，作功的力有力偶矩 M，重力和弹簧力。该题先将圆盘的角速度表示为鼓轮转角的函数，
比较方便
1,初始时圆盘的动能为
00?T
2,当鼓轮转过角 时，设圆盘的角速度为,则由运动学知，鼓轮的角速度也为,
此时系统的动能是
222
2
1
2
1
2
1 wmwT JvJ
AAB
22
22222
222
8
7
)
2
1
(
2
1
)(
2
1
])
2
([
2
1
2
1
2
1
2
1
r
JvJ
m
wmrrmmw
r
m
wmwT
AAB
3,当鼓轮转过角 过程中，系统的所有外力和内力所作的功为?
)2121)s i n( 220 kkrmgMW
22
0
2
1
)s i n(
,0
krm g rMW
r
4,当动能定理的积分形式 WTT
0
即
m
krmgrM
r
w
mr
krmgrM
w
krmgrMwmr
7
s i n441
2
]
7
]
2
1
)s i n([8
[
2
1
)s i n(
8
7
22
2
1
2
22
2222
5,两边对时间求导
wkrwmg rMwwmr 22 )s i n(47
2
2
2
2
7
)s i n22(2
2
7
s i n(4
mr
krm g rM
mr
krmgM
于是若质点系在运动过程中只有势能做功,则根据第九章 （ 有势力的元功等于其势能的微分并冠以负号 ）,于是有
dVd
n
i
iW
1
0)( VTd
常数 VT
21.3.3机械能守恒定律即
n
i
iWddT
1
将它代入 移项后得这表明质点系在运动过程中，若只有有势力做功，则质点系的机械能保持不变。这一结论就是 机械能守恒定律动能定理的数学表达式是一个标量式，它只能提供一个独立的动力学方程。
注意
(1) 若系统所受的约束为理想约束,
且主动力已知时,利用动能定理的积分和微分形式一定可以解决单自由度系统的速度或角加速度问题 。
(2) 当系统具有两个或两个以上自由度,则一般需要联立其他定理或原理才能解决问题进行求解 。
例 21.8 图示均质圆盘 A质量为,半径为 R;均质定滑轮 B质量为,半径为 r,物块 C的质量为,相互连接如图，（ DE段绳子及弹簧与斜面平行 ),已知弹簧的弹性系数为 k,固定面的倾角为,圆盘 A能沿斜面作纯滚动,初瞬时系统静止,且弹簧为原长,若不计弹簧与绳子质量及轴承 B处摩擦,且绳子与滑轮,圆盘间无相对滑动,求重物 C下降了 h时,它的速度等于多少
m1
m2
m3
A
D
C
解,
系统只有重力和弹力,
它们皆为有势力,故系统的机械性能守恒,具体运算过程为,
A
D
C
(1) 由已知条件知 0?v
O
0?T O
设
(2) 运动学分析,设重物 C下降了 h时,其速度为,则vC
r
v
R
vv C
B
C
A
C
Av,2,2
(3) 重物 C下降了 h是系统的动能和势能为
s i n
2
)
2
(
2
1
)348(
16
1
)
2
)(
2
1
(
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
13
2
2
123
22
1
22
2
2
3
22
1
22
3
h
ggh
h
kV
Rr
T
mm
vmmm
v
Rm
v
rmvm
JvmJvm
C
CC
C
AAABBC
(4) 根据机械能守恒定律
00 VVT T
得
321
13
2
843
s i n8162
mmm
ghmghkh m
v C
例 21.9 链条长为 L，重为 G，展放在光滑的桌面上，初瞬时静止，并有长为 a的一段下垂，如图所示。求链条刚离开桌面是的速度和时间。
解,
取整个链条为研究对象链条在桌面上部分的重力和约束反力平衡，在链条运动过程中都不作功。
链条下垂的重力引起链条运动，其长度在不断改变。链条不可伸长，链条上各点的速度大小相同。
设链条小落到某一时刻时，下垂长度为 S，
其增量为,链条重力所作的元功为dS
SdSLGWd
链条下落到某时刻重力所作的功为
)(2 22 aSLGSdSLGW s
a
链条的初动能 下落到某时刻的动能0
1?T vT g
G 2
2 2
1?
应用积分形式的动能定理，有
WTT 12
将功、动能代入上式得
)(22 222 aSv LGgG
从而的某时刻链条的速度为
)( 22 aSLgdtdSv
当 S=L时，得链条刚离开桌面的速度
)( 22 aLLgdtdSv
将 积分，注意到 t=0时,S=a
t=T时,S=L,得
)( 22 aSLgdtdSv
T
L
g
a
L
dt
L
gdS
aL
aS
TL
a
)l n (
22
022
由上式得链条离开桌面所经历的时间为
)l n (
22
a
L
g
LT aL
讨论
（ 1）系统为理想约束。在重力作用下链条运动了一段路程后，求其速度，
选用动能定理比较简单
（ 2）链条下垂部分的重力在不断改变所作的功需用元功的积分来计算
（ 3）为了求得链条离开桌面所经历的时间，应如上述过程一样，先求出链条运动至任一瞬时的速度式，让后对其进行积分求解而得所求时间。
例 21.10质量为 M=100g的刚体构件 ABC是汽车气化器的控制部分，如图所示瞬间，
控制杆 BF的速度,加速度,
方向均向左。试求推动 BE杆的力 F的大小。
已知系统位于水平面内,L=24mm,二控制件
BE和 AH的质量及摩擦均忽略不计。杆 BE和
AH分别在 A,B处与构件 ABC铰接。
smma 210?smmv 20?
解 系统为理想约束
ABC作平面运动设其质心为 D，
AH杆和 BD杆作平动A BL
vDB
v D
vA
045 E
F
a
v
H C
取整个系统为研究对象，应用微分形式的动能定理求解。
由微分形式的动能定理，得 WddT
其中 22222
2
1)(
2
1
2
1
2
1 IvvIv
DDyDxDD mmT
系统在图示瞬时，构件 ABC的速度瞬心在 C
点，则其角速度
L v
以 B为基点，分析质心 D的速度，有
vvv DBBD
其中 vLvLBDv
DB 3
2
2
2
3
2
沿 x,y轴投影 式 vvv
DBBD
vv vv DBDx 3245c o s 0x：
vvv DBDy 3145s i n 0y：
为求构件 ABC的角加速度，又以 B为基点，
分析 A点加速度
aaaa nABABBA
C
x
y
A B
O
aa
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA D
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA
分别沿 x,y轴投影
aaaa nABABBA
aaa nABBAx
aa ABAy
其中 LLa aaa ABnABB,,2
又因 AH杆作平动，有 aa AyAx?
从而得到? 2La? 即 LvLa 22
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA 以 B点为基点，分析质心 D
的加速度，有
aaaa nDBDBBD
分别沿 x,y轴投影
aBDBDaa Dx 3245s i n45c os 020
)2(3145co s45co s
2
020
LaBDBD
va
Dy
计算构件 ABC对质心 D的极转动惯量取 坐标系如图
ID
yxO 11
A B
C
D
O
x1
y1
L
L
O为 AC边中点，有
LI mx 21 121?
LIII mxxO 221 61
LI my 21 121?
2ODmII OD
将已知的各式代入，整理可得
NLmmaF v 10 42 11.1332
例 21.11 在图中所示机构中，摆杆 OC为均质杆，
长 L=1m，质量,可绕水平轴 O转动。
套筒质量,可沿着 OC杆滑动，套筒的质心在 A点，套筒对过 A点与 O轴平行的转动惯量为 。 AB杆质量 可在铅垂槽中滑动。 AB杆与 O轴距离为 0.25m不计各处摩擦，摆杆 OC在 时无初速度释放。
求当 时 OC杆的角速度
kgm 101?
kgm 32?
mI kgA 21.0 kgm 1.23?
060
o
030
A
C
O
0.25m
B
A
C
O
0.25m
B
解 取整个系统为研究对象应用积分形式的动定理求解设 时 OC杆的角速度为
030
其中根据积分形式的动能定能定理有
WTT 12 01?T
vmIvmmT AAAL 232222212 212121)31(21
vvvv reaA由速度合成定理
030c o s
25.0OAv
e
其中应用点的复合运动理论 与 的关系。其 A为动点，动系固连于 OC杆上，定系固连于机座。
则动点 A的绝对运动沿着铅垂滑道的 直线运动 。
相对运动为沿着 OC杆的 直线运动牵连运动为随 OC杆的 定轴转动
vA?
vr
ve
va
得
3130co s 0 vv eA
所以? 2
2 )18
1.2
2
1.0
18
3
6
10(T
系统从 运动到 过程中，只有重力做功
0
0 60 030
36.32)3060(25.0)()30s i n60( s i n2 0012001 tgtgglgW mmm
代入以上各式 36.3202 2
从而求得 时 OC杆的角速度030
sr a d02.4 顺钟向
r
例 21.12 均质细杆质量为,长为,上端
B靠在光滑的铅直墙上，下端 A以光滑圆柱铰链与质量为,并径为 的均质圆盘的中心 A相连，圆盘能够沿粗糙水平面作纯滚动若当 时，圆盘中心 A的速度为,方向向左，求该瞬时 A点的加速度。
m1
m2
l
045 vo
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
AB
AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
解：动能定理的微分形式中的 是对系统动能求微分，这就需要写出系统动能的微分 时的值等于该瞬时作用于系统上所
dT
045
有力的元功的代数和。具体解体步骤为
1,设 为任意角时，圆盘中心 A点的速度为,杆 AB的角速度为 。圆盘 A和杆
AB都作平面运动，其速度瞬心分别为,
它们对各自速度瞬心的转动惯量分别为
vA?AB
P1
P2
rmrmrmPmJJ AP A 222222212 2321)(1
lmlmrmPmJJ CP C 21
2
1
2
1
2
21 3
1(
12
1)( )
22
系统的动能为
22
1
2
2
22
1
22
2
22
6
1
4
3
)
3
1
(
2
1
))(
2
3
(
2
1
2
1
2
1
21
ABA
AB
A
ABA
lmvm
lm
v
rm
JJ
r
PP
T
2，求系统动能的微分
ABABAA dddT lmvvm 212 3123
3，当 的瞬间，设 A点发生了位移 。
则作用于系统的各力只有杆 AB的重力有元功
045 ds
其元功值为
g d s
l
l
ds
gdgWd
m
mrm c
1
0
01
0
145
2
1
45co s)
245s i n
(45co s)(0
4，由动能定理的微分形式
00 4545 WddT
dt两边同时除以,并将代入得,,,
045 va
v
oAB
AB
A
A
dt
ds
dt
d
dt
d
vv A 045 0
vm
lmavm
o
ABABA
g
1
4545
2
14502
2
1
))((
3
1
)(
2
3
000
5，对系统进行运动学分析
ll
vv
AB
0
0
0
45
2
45s i n0
根据两点之间的加速度关系
aaaa nBABAAB
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
AB
AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
将上式沿 x方向投影得
02 2)(2 2)( 000 4524545 ABABA lla
于是
)3 2221(49 6 00
12
1
45 0 vmm
m
gl
g
AB
当其值为正，则表示方向水平向左；
当其值为负，则表示方向水平性右；
B
A
O x
y
vB vA
ve
vr
的速度的大小求时滑了下相对于当且初始时系统静止接触面光滑若所有斜面的倾角皆为与的斜面滑下块的大三角上质量为下沿着放置在水平地面在重力作用小三角块图示质量为例
B,
,,
.B.
13.21
s
BA
AB
A
m
m
B
A
(1)建立图示直角坐标系 Oxyz,A,B都做平动。
设它们的速度为 v
A vB
(2)因为 又系统初始静止，故0)(?F e
Rx
0 vmvmK BxBAxAx
(3)系统初始动能 设系统初始时势能则 B相对于 A运动了 S距离时系统的动能和势能分别为：
TO VO
s ingsV m A vmvm BBAAT 22 2121
由机械能守恒定律得
00 VTVT
即
0s i n2121 22ghsmvmvm ABBAA
(4)由运动学分析,以 A为研究对象,动系与 B固连,
设 A相对于 B的速度为,则vr
vvvvv BrerA
于是
(5) 求解未知量,将 (3),(4)代入 (1),(2),可得解
））（（
）（
2
2
s i n
2s i nc os
mmmm
mv
ABBA
A
B
gs
co s2
co s
222
vvvvv
vvv
rBrBA
BrAx
vvvvv BrerA
于是
学习任务：分析运动与力之间的关系
学习内容,动能定理
动量定理
达朗伯原理
动力学普遍方程和拉格朗日方程
基本问题,已知运动求力 ----动力学第一类问题
已知力求运动 ----动力学第二类问题第二十一章 动能定理
21.1 质点系质量分布的特征量
21.2 动能
21.3 动能定理例题 1 例题 2 例题 3
例题 4 例题 5
例题 6 例题 7
例题 9 例题 10 例题 11
例题 8
例题 12 例题 13
第二十一章 动能定理
基本概念：
动能,物体由于作机械运动而具有的作功能力
1,质点系的质量中心 ---平动的动力学特性
2．质点系的转动惯量 ---转动的动力学特性
21.1 质点系质量分布的特征量质点系的动力学特性与质点系质量分布密切相关,质点系质量分布有两个特征量
21.1.1质点系的质量和质量中心
定义,设一质点系有 n个质点组成,
其中第个质点的质量为,相对于某确定定点的矢径为,将质点系的质量总和,定义为质点系的质量用 M表示,即
M
n
i
ii
C
rm
r
1
由下式确定的矢径 所对应的点称为质点系的质量中心，简称质心,rc
n
i
imM
1
注意
M
n
i
ii
C
xm
x
1
M
n
i
ii
C
ym
y
1
M
zm
z
i
n
i
i
C
1
(1)质点系的质心不一定与质点系中的某个质点重合,它有可能在质点系外 !
其中 为质点的直角坐标 。ziy ixi,,
在以 O点为基点建立的直角坐标系 中,质心的直角坐标公式为
oxyz
2)当质点系中的各质点位置发生变化时,其质心的位置一般也要发生变化 !
例如,圆环的质心不在其环上，而在圆环中心
O
21.1.2刚体的转动惯量
1.转动惯量定义,将刚体体内个质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量,
用 J表示,即
2
1
i
n
i
im?
式中 分别为第 个质点的质量和到该轴的距离
J=
iim,i
说明若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示,
式中 为质量为 的微元到该轴的距离
M 表示积分范围遍及刚体全部质量,
dmJ M 2?
dm
刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅与其质量分布有关的特征量若在某一个刚体上或其延拓部分的 O点建立一与刚体固接的直角坐标系 Oxyz,设质量为 的微元的坐标为 ( ),该刚体对轴的转动惯量为
dm zyx,,
M,刚体的总质量
,刚体对 z轴的回转半径或惯量半径?
Z
2ZZ MJ?
如刚体对 z轴的转动惯量表示为它可视为将刚体的全部质量都集中于距 z
轴距离为 的某一点对 z轴的转动惯量,?z
注意
dmMx zyJ )(
22
dmxzJ
My
)( 22
dmxyJ
Mz
)( 2
2?
在解决实际问题中一般规则几何性形状的匀质刚体的转动惯量可以直接算出另外的一些转动惯量可以通过查询工程手册得到例 21.1 一直均质的细长杆的质量为 M,
长为 L，求杆对通过其质心，且垂直与杆的 z轴的转动惯量和回转半径。
x
y
C
dx
x
(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微段,其坐标为（ x,0,0），其质量为解,
dm dx
L
M=
(2)上述质量微元离 z轴的距离为,
杆对 z 轴转动惯量为,x
Jz 2
2
222
1
2
1
2
3
1
l
lM xxx L
Mdx
L
Mdm
LM 2121?
(3) 杆对 z轴的回转半径为
L
M
J Z
Z 6
3
例 21,2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径为 R，质量为 M，求圆盘对过其中心，且垂直于圆盘平面的 z轴的转动惯量和回转半径
r d r
M
r d r
M
dm
RR
22
2
)2(
x
y
C
r
dr
解,
1．取半径为 r,宽度为的圆环，其质量是,
3．圆盘对 z轴的回转半径为
R
M
J Z
Z 2
2
Rr
R
r
R
M
r M
Mdrdm RR
MJ z
2
0
43
0 2
2
2
12
22
2．上述圆环的各质点到 z轴的距离都为 r,于是圆盘对 z轴的转动惯量为,
说明 dMJJ Zz
2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯量。有空心刚体 =无空心整体 -空心部分
(转动惯量）
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为
2.转动惯量的平行轴定理例 21.3均质细长直杆长为 L,质量为 m,杆的一段与以质量为 M的,外径为 2R的,内径为 2r
的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另一端 O且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量
c1 c2o
(1) 设,分别为杆,圆环的质心,c1 c2
解,
刚体可看成是由这三部分组成的,
)( 22
2
1 rRm
rM
)( 22
2
2 rRm
rMM
#2半径为 r,中心在 处的均质圆盘 1,质量为c2
#3半径为 R,中心也在 处的均质圆盘 2c
2
#1杆,质量为于是
JJJJ OOOO 21 圆盘圆盘杆
2222 )()(
2
1
3
1 RLMRMmL r
2
2
2
2
2
22
22
2
1
2
1
2
21
11
2222
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
3
1
)
2
(
12
1
)(
2
2
1
RLOC
C
RLOC
C
mL
L
mmLOCm
C
mRmmJJ
mrmmJJ
JJ
O
O
O
圆盘圆盘圆盘圆盘杆杆
3.刚体对任意轴的转动惯量公式
y
x
z
A
l0
L
dm
r1
如图所示,L为空间任一轴,以 A为原点建立任一与刚体固连的直角坐标系 则 L轴正向在 三个方向的余弦为
Axyz
Axyz
iiil 3210 c o sc o sc o s
矢量式中,,,分别 为 L,x,y,z轴正向的单位l0 i
1 i2 i3
设质量为 的微元相对于 A的矢径为 r,它在中的坐标为,该微元到 L轴的距离的平方为
dm
Axyz ),,( zyx
222 r
lr
式中 c o sc o sc o s0 zyxr lr
l
zyxr 2222
1c o sc o sc o s 222
得
co sco s2co sco s2co sco s2
co s)(co s)(co s)( 2222222222
xzyzxy
yxxzzy
引入
Mxy x y dmJ
Myz y zdmJ?
Mxz x zdmJ
称其为 惯性积表示刚体内各质量微元的质量与其两个直角坐标的乘积之和再将惯性积代入
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
写成矩阵形式
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
cos
cos
cos
[ c o s?J L?coscos
J?
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
转动惯量 惯性积对确定的刚体,各元素都为常数,
与刚体的运动无关注意特征惯量,J
x Jy Jz Jxy Jyz Jxz
惯量张量矩阵,矩阵 J
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
刚体对任意轴的转动惯量转轴公式,
4.主转动惯量如果与某一轴相关的两个惯性积都为零,
那么这轴为刚体对原点的一根惯量主轴或惯性主轴如在直角坐标系 中,与 z轴相关的两个惯性积 为零,则称 z轴为刚体对 A点的惯量主轴或惯性主轴 Jxz Jyz
Axyz
若在 A点再建立一个与刚体相固连的直角坐标系
,设 为三轴正向的单位矢量A eee 321,,
这两个坐标系的单位正交基之间是一个正交变换
i
i
i
QQQ
QQQ
QQQ
e
e
e
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
记为 Q
于是
Q
T
z
y
x
式中 为质量为 的同一微元在 中坐标,若记
),,(Adm
JJJ
JJJ
JJJ
J
则有 QJJ Q T 或
JQJ Q T
J?存在正交变换矩阵 Q,使 为对角矩阵此时,说明轴都为刚体 A的惯量主轴,这样的坐标系称为 惯量主轴坐标系
0 JJJ
说明主转动惯量,刚体对惯量主轴的转动惯量中心转动惯量,过质心的惯量主轴中心主转动惯量,过中心转动主轴所对应的转动惯量
J的三个特征值为主转动惯量三个特征值对应的特征向量方向为惯量主轴方向当刚体质量分布具有对称性时,
定理一,如果刚体有质量对称轴,则该轴是刚体对轴上任一点的一根惯量主轴,
同时也是刚体的一根中心惯量主轴
D(x,y,z)
),,( zyxD?
z
y
x
证明设 z轴为刚体的质量对称轴在 z轴上选一点 A,以 A为原点建立任意与刚体固连的直角坐标系 Axyz.
根据对称性,若在坐标为 (x,y,z)的 D处有一质量为 m的质点,则在坐标为 (-x,-y,z)的处也有一质量也为 m的另一质点,则整个刚体的D?
0m x zJ xz
0m y zJ yz
故 Az轴是刚体对 A点的一根惯性主轴,
又 A点是刚体质量对称轴上的任选的一点证明,刚体的质量对称轴必是刚体对称轴任一点的一根惯量主轴刚体的质心必在其质量对称轴上,故
Az轴必过刚体的质心也证明了刚体的质量对称轴必是刚体的一根中心惯量主轴如果刚体具有质量对称面,则垂直于该对称面的任一轴必为刚体对该轴与对称轴交点的一根惯量主轴定理二,
D(x,y,z)
),,( zyxD?x
y
z 证明设垂直与刚体质量对称面的任意轴为
z轴,它与对称面的交点为 A,以 A为原点建立以与刚体固连的直角坐标系 Axyz.
若在质量对称面的一边坐标为 (x,y,z)的 D处有一质量为 m的质点,在另一坐标为 (x,y-z)的处也有质量为 m的另一质点D?
则刚体的
0m x zJ xz
0m y zJ yz
证明了 Az轴必是刚体的一根中心惯量主轴
21.2 动能质点的动能,vmvmT v
2
1
2
1 2 或质点系的动能,vvmvm
iii
n
iii
n
i
T
1
2
1 2
1
2
1 或
（标量）
（质点系各质点动能之和）
若以速度作平动的刚体，则其动能为：
(其中 )
vMT 221?
ni imM 1
若以角速度绕轴作定轴转动的刚体，则动能为：
22
1 2
1)(
2
1 Jm
Zii
n
i
T
例 21.4 图示各均质物体重量为 Q，物体尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如图所示。
试计算各物体的动能 。
一般平面运动刚体动能：
22 2121 Jv CCMT
L
解,
如图,杆 OA绕 O轴作定轴转动，
根据刚体绕定周转动的动能公式
2
2
1?
zJT?
可得
2
2
2
2
2
0 632
1
2
1
g
Ql
g
QlJT
其中
g
QlJ
3
2
0?
R
2 圆盘绕 O轴作定轴转动，仿上可得
2
2
2
2
2
0 422
1
2
1
g
QR
g
QRJT
其中
g
QRJ
2
2
0?
C
3 圆盘绕 O轴作定轴转动，但转轴不通过质心，故利用转动惯量的平行移轴定理，有
g
QRR
g
Q
g
QRJ
2
3
2
2
2
2
0
于是可得
2
2
2
2
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1
g
QR
g
QRJT
vC
O
R
4 圆盘作平面运动，点 O为瞬心。
由于?Rv?
所以
R
v
圆盘对瞬心 O的转动惯量为
22
2
0 4
3
2 vg
QR
g
Q
g
QRJ
于是可得圆盘的动能
2
22
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1 v
g
Q
R
v
g
QRJT
例 21.5质量为 m的滑块 A可在水平轨道上滑动
，它与质量为 M，长为 L的匀质杆用铰链相连
。杆可在铅垂面内自由转动，求系统动能。
B
C?
vA
x
A
解,
(1) 以图示的为描述系统的广义坐标。
,x
(2) 滑块作平动，其动能为 2
2
1 2
1
2
1 xmm vT
A
(3) 杆作平面运动，先求其质心绝对速度
vvv CAAC
c o s
4
)
2
(c o s)
2
(2
2
2
2
2
2
2
222
xl
ll
xx
l
x
vvvvvvv CACAAACCC
可得根据两点速度关系故杆的动能
22
222
22
2
)
12
1
(
2
1
)co s
4
(
2
1
2
1
2
1
Mlxlx
l
xM
M JvT
CC
(4) 系统的动能
c o s6161)(21 22221 xMlMMmT lxTT
21.3 动能定理
动能定理描述的是质点或者质点系的动能的改变量与作用力的功之间的数量关系
F
dm
dvm?
两边点乘 得drv dt?
1．动能定理微分形式：
21.3.1 质点的动能定理根据牛顿第二定律
上式左端
dTmvdvmvddvmv )21()(21 2
显然右端为作用在质点上的合力 F的元功
于是
Wd?
WddT
drFdvmv
质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功，
这就是 质点动能定理的微分形式这表明这表明设在时间 至 的过程中,质点由位置 1沿路径 L运动至位置 2,同时它的速度就由 变成,作积分,将代入 得drFLW12
t1 t2
v1 v2
质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用在质点上的合力在同一运动过程中所作的功这就是 质点运动定理的积分形式 。
WTT 1212
2.质点动能定理积分形式例 21.6 重物 M重 P，放在于水平面成角的粗糙的倾斜面上，且与刚性系数为 C的弹簧的一端相联，弹簧的另一端是固定的。如果开始时弹簧没有伸长，重物无初速度的放下，重物与斜面间的摩擦系数为 且试求弹簧的最大变形 S。
tgf?f
解,
1,以重物 M为研究对象，且视为质点。
p
N
M
F
3．以重物的最初位置（弹簧的原长），为坐标原点 O，选直角坐标系 xoy，使 ox 轴沿斜面。
2,重物作直线运动，在开始运动时，初速度
,当它沿斜面运动到最底位置其速度
，此时弹簧的变形最大 。
00?v
0?v
4,当重物位于坐标,处，其上作用的外力有重力 P，弹性力 F，摩擦力及反力 N。
0?yxx?
5．由于已知力，速度及质量，要求弹簧的最大变形可用动能定理求解此题。
Amvmv 202
2
1
2
1
由于 0
0 vv
所以 0?A
而
1FAFANAPAA
SfPcx d xPSA S co s0s i n 0
c o s2s i n
2
P S fCSPS
所以，有
0c o s2s i n
2
P S fCSPS
由此可得
C
fPS c o ss i n2
这表明
n
i
iW
ddT
1
21.3.2质点系的动能定理
1 质点系动能定理的微分形式对于质点系中的每一个质点,都可以写出如式 的关系成立 。 将所有的这些方程左右分别相加,再交换求和与求微分的顺序,并将 代入得?
n
i
iTT
1
WddT
质点系动能的微分等于作用在质点系上的各力（外力和内力）的元功的代数和，
这就是 质点系动能定理的微分形式 。
这表明
WWWTT ie
12
)(
121212
2.质点系动能定理的积分形式,
设在时间 至 的过程中,质点系发生了某一运动,若在这一运动过程中,质点系的所有外力所作的功用 表示,质点系的所有内力所作的功用 表示,则积分得
t1 t2
We)(12
Wi)(12?
n
i
iWddT
1
质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于作用在质点系的所有外力和内力在同一运动过程所作的功的代数和,这就是质点系动能定理的积分形式。
例 21.7 如图所示，放置于倾角为 的固定斜面上的质量为,半径为 的匀质圆盘，其中心 A系有一跟一端固定，并且与斜面平行的弹簧，同时与一根绕在质量为,半径为的鼓轮 B上的张紧绳子相连。
rm
m r
A
B
k
M
C?
A
B
k
M
C?
今在鼓轮上作用一常力偶矩 M，使系统由静止开始运动，且斜面足够粗糙，圆盘沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮对轮心 B得回转半径为,弹簧的弹性系数为且初始时弹簧为原长。
若不计弹簧，绳子的质量及轴承 B处摩擦，求鼓轮转过 时，圆盘的角速度和角加速度的大小
k
2
2
r
解：
系统所受约束为理想约束，各约束力都不作功，作功的力有力偶矩 M，重力和弹簧力。该题先将圆盘的角速度表示为鼓轮转角的函数，
比较方便
1,初始时圆盘的动能为
00?T
2,当鼓轮转过角 时，设圆盘的角速度为,则由运动学知，鼓轮的角速度也为,
此时系统的动能是
222
2
1
2
1
2
1 wmwT JvJ
AAB
22
22222
222
8
7
)
2
1
(
2
1
)(
2
1
])
2
([
2
1
2
1
2
1
2
1
r
JvJ
m
wmrrmmw
r
m
wmwT
AAB
3,当鼓轮转过角 过程中，系统的所有外力和内力所作的功为?
)2121)s i n( 220 kkrmgMW
22
0
2
1
)s i n(
,0
krm g rMW
r
4,当动能定理的积分形式 WTT
0
即
m
krmgrM
r
w
mr
krmgrM
w
krmgrMwmr
7
s i n441
2
]
7
]
2
1
)s i n([8
[
2
1
)s i n(
8
7
22
2
1
2
22
2222
5,两边对时间求导
wkrwmg rMwwmr 22 )s i n(47
2
2
2
2
7
)s i n22(2
2
7
s i n(4
mr
krm g rM
mr
krmgM
于是若质点系在运动过程中只有势能做功,则根据第九章 （ 有势力的元功等于其势能的微分并冠以负号 ）,于是有
dVd
n
i
iW
1
0)( VTd
常数 VT
21.3.3机械能守恒定律即
n
i
iWddT
1
将它代入 移项后得这表明质点系在运动过程中，若只有有势力做功，则质点系的机械能保持不变。这一结论就是 机械能守恒定律动能定理的数学表达式是一个标量式，它只能提供一个独立的动力学方程。
注意
(1) 若系统所受的约束为理想约束,
且主动力已知时,利用动能定理的积分和微分形式一定可以解决单自由度系统的速度或角加速度问题 。
(2) 当系统具有两个或两个以上自由度,则一般需要联立其他定理或原理才能解决问题进行求解 。
例 21.8 图示均质圆盘 A质量为,半径为 R;均质定滑轮 B质量为,半径为 r,物块 C的质量为,相互连接如图，（ DE段绳子及弹簧与斜面平行 ),已知弹簧的弹性系数为 k,固定面的倾角为,圆盘 A能沿斜面作纯滚动,初瞬时系统静止,且弹簧为原长,若不计弹簧与绳子质量及轴承 B处摩擦,且绳子与滑轮,圆盘间无相对滑动,求重物 C下降了 h时,它的速度等于多少
m1
m2
m3
A
D
C
解,
系统只有重力和弹力,
它们皆为有势力,故系统的机械性能守恒,具体运算过程为,
A
D
C
(1) 由已知条件知 0?v
O
0?T O
设
(2) 运动学分析,设重物 C下降了 h时,其速度为,则vC
r
v
R
vv C
B
C
A
C
Av,2,2
(3) 重物 C下降了 h是系统的动能和势能为
s i n
2
)
2
(
2
1
)348(
16
1
)
2
)(
2
1
(
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
13
2
2
123
22
1
22
2
2
3
22
1
22
3
h
ggh
h
kV
Rr
T
mm
vmmm
v
Rm
v
rmvm
JvmJvm
C
CC
C
AAABBC
(4) 根据机械能守恒定律
00 VVT T
得
321
13
2
843
s i n8162
mmm
ghmghkh m
v C
例 21.9 链条长为 L，重为 G，展放在光滑的桌面上，初瞬时静止，并有长为 a的一段下垂，如图所示。求链条刚离开桌面是的速度和时间。
解,
取整个链条为研究对象链条在桌面上部分的重力和约束反力平衡，在链条运动过程中都不作功。
链条下垂的重力引起链条运动，其长度在不断改变。链条不可伸长，链条上各点的速度大小相同。
设链条小落到某一时刻时，下垂长度为 S，
其增量为,链条重力所作的元功为dS
SdSLGWd
链条下落到某时刻重力所作的功为
)(2 22 aSLGSdSLGW s
a
链条的初动能 下落到某时刻的动能0
1?T vT g
G 2
2 2
1?
应用积分形式的动能定理，有
WTT 12
将功、动能代入上式得
)(22 222 aSv LGgG
从而的某时刻链条的速度为
)( 22 aSLgdtdSv
当 S=L时，得链条刚离开桌面的速度
)( 22 aLLgdtdSv
将 积分，注意到 t=0时,S=a
t=T时,S=L,得
)( 22 aSLgdtdSv
T
L
g
a
L
dt
L
gdS
aL
aS
TL
a
)l n (
22
022
由上式得链条离开桌面所经历的时间为
)l n (
22
a
L
g
LT aL
讨论
（ 1）系统为理想约束。在重力作用下链条运动了一段路程后，求其速度，
选用动能定理比较简单
（ 2）链条下垂部分的重力在不断改变所作的功需用元功的积分来计算
（ 3）为了求得链条离开桌面所经历的时间，应如上述过程一样，先求出链条运动至任一瞬时的速度式，让后对其进行积分求解而得所求时间。
例 21.10质量为 M=100g的刚体构件 ABC是汽车气化器的控制部分，如图所示瞬间，
控制杆 BF的速度,加速度,
方向均向左。试求推动 BE杆的力 F的大小。
已知系统位于水平面内,L=24mm,二控制件
BE和 AH的质量及摩擦均忽略不计。杆 BE和
AH分别在 A,B处与构件 ABC铰接。
smma 210?smmv 20?
解 系统为理想约束
ABC作平面运动设其质心为 D，
AH杆和 BD杆作平动A BL
vDB
v D
vA
045 E
F
a
v
H C
取整个系统为研究对象，应用微分形式的动能定理求解。
由微分形式的动能定理，得 WddT
其中 22222
2
1)(
2
1
2
1
2
1 IvvIv
DDyDxDD mmT
系统在图示瞬时，构件 ABC的速度瞬心在 C
点，则其角速度
L v
以 B为基点，分析质心 D的速度，有
vvv DBBD
其中 vLvLBDv
DB 3
2
2
2
3
2
沿 x,y轴投影 式 vvv
DBBD
vv vv DBDx 3245c o s 0x：
vvv DBDy 3145s i n 0y：
为求构件 ABC的角加速度，又以 B为基点，
分析 A点加速度
aaaa nABABBA
C
x
y
A B
O
aa
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA D
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA
分别沿 x,y轴投影
aaaa nABABBA
aaa nABBAx
aa ABAy
其中 LLa aaa ABnABB,,2
又因 AH杆作平动，有 aa AyAx?
从而得到? 2La? 即 LvLa 22
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA 以 B点为基点，分析质心 D
的加速度，有
aaaa nDBDBBD
分别沿 x,y轴投影
aBDBDaa Dx 3245s i n45c os 020
)2(3145co s45co s
2
020
LaBDBD
va
Dy
计算构件 ABC对质心 D的极转动惯量取 坐标系如图
ID
yxO 11
A B
C
D
O
x1
y1
L
L
O为 AC边中点，有
LI mx 21 121?
LIII mxxO 221 61
LI my 21 121?
2ODmII OD
将已知的各式代入，整理可得
NLmmaF v 10 42 11.1332
例 21.11 在图中所示机构中，摆杆 OC为均质杆，
长 L=1m，质量,可绕水平轴 O转动。
套筒质量,可沿着 OC杆滑动，套筒的质心在 A点，套筒对过 A点与 O轴平行的转动惯量为 。 AB杆质量 可在铅垂槽中滑动。 AB杆与 O轴距离为 0.25m不计各处摩擦，摆杆 OC在 时无初速度释放。
求当 时 OC杆的角速度
kgm 101?
kgm 32?
mI kgA 21.0 kgm 1.23?
060
o
030
A
C
O
0.25m
B
A
C
O
0.25m
B
解 取整个系统为研究对象应用积分形式的动定理求解设 时 OC杆的角速度为
030
其中根据积分形式的动能定能定理有
WTT 12 01?T
vmIvmmT AAAL 232222212 212121)31(21
vvvv reaA由速度合成定理
030c o s
25.0OAv
e
其中应用点的复合运动理论 与 的关系。其 A为动点，动系固连于 OC杆上，定系固连于机座。
则动点 A的绝对运动沿着铅垂滑道的 直线运动 。
相对运动为沿着 OC杆的 直线运动牵连运动为随 OC杆的 定轴转动
vA?
vr
ve
va
得
3130co s 0 vv eA
所以? 2
2 )18
1.2
2
1.0
18
3
6
10(T
系统从 运动到 过程中，只有重力做功
0
0 60 030
36.32)3060(25.0)()30s i n60( s i n2 0012001 tgtgglgW mmm
代入以上各式 36.3202 2
从而求得 时 OC杆的角速度030
sr a d02.4 顺钟向
r
例 21.12 均质细杆质量为,长为,上端
B靠在光滑的铅直墙上，下端 A以光滑圆柱铰链与质量为,并径为 的均质圆盘的中心 A相连，圆盘能够沿粗糙水平面作纯滚动若当 时，圆盘中心 A的速度为,方向向左，求该瞬时 A点的加速度。
m1
m2
l
045 vo
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
AB
AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
解：动能定理的微分形式中的 是对系统动能求微分，这就需要写出系统动能的微分 时的值等于该瞬时作用于系统上所
dT
045
有力的元功的代数和。具体解体步骤为
1,设 为任意角时，圆盘中心 A点的速度为,杆 AB的角速度为 。圆盘 A和杆
AB都作平面运动，其速度瞬心分别为,
它们对各自速度瞬心的转动惯量分别为
vA?AB
P1
P2
rmrmrmPmJJ AP A 222222212 2321)(1
lmlmrmPmJJ CP C 21
2
1
2
1
2
21 3
1(
12
1)( )
22
系统的动能为
22
1
2
2
22
1
22
2
22
6
1
4
3
)
3
1
(
2
1
))(
2
3
(
2
1
2
1
2
1
21
ABA
AB
A
ABA
lmvm
lm
v
rm
JJ
r
PP
T
2，求系统动能的微分
ABABAA dddT lmvvm 212 3123
3，当 的瞬间，设 A点发生了位移 。
则作用于系统的各力只有杆 AB的重力有元功
045 ds
其元功值为
g d s
l
l
ds
gdgWd
m
mrm c
1
0
01
0
145
2
1
45co s)
245s i n
(45co s)(0
4，由动能定理的微分形式
00 4545 WddT
dt两边同时除以,并将代入得,,,
045 va
v
oAB
AB
A
A
dt
ds
dt
d
dt
d
vv A 045 0
vm
lmavm
o
ABABA
g
1
4545
2
14502
2
1
))((
3
1
)(
2
3
000
5，对系统进行运动学分析
ll
vv
AB
0
0
0
45
2
45s i n0
根据两点之间的加速度关系
aaaa nBABAAB
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
AB
AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
将上式沿 x方向投影得
02 2)(2 2)( 000 4524545 ABABA lla
于是
)3 2221(49 6 00
12
1
45 0 vmm
m
gl
g
AB
当其值为正，则表示方向水平向左；
当其值为负，则表示方向水平性右；
B
A
O x
y
vB vA
ve
vr
的速度的大小求时滑了下相对于当且初始时系统静止接触面光滑若所有斜面的倾角皆为与的斜面滑下块的大三角上质量为下沿着放置在水平地面在重力作用小三角块图示质量为例
B,
,,
.B.
13.21
s
BA
AB
A
m
m
B
A
(1)建立图示直角坐标系 Oxyz,A,B都做平动。
设它们的速度为 v
A vB
(2)因为 又系统初始静止，故0)(?F e
Rx
0 vmvmK BxBAxAx
(3)系统初始动能 设系统初始时势能则 B相对于 A运动了 S距离时系统的动能和势能分别为：
TO VO
s ingsV m A vmvm BBAAT 22 2121
由机械能守恒定律得
00 VTVT
即
0s i n2121 22ghsmvmvm ABBAA
(4)由运动学分析,以 A为研究对象,动系与 B固连,
设 A相对于 B的速度为,则vr
vvvvv BrerA
于是
(5) 求解未知量,将 (3),(4)代入 (1),(2),可得解
））（（
）（
2
2
s i n
2s i nc os
mmmm
mv
ABBA
A
B
gs
co s2
co s
222
vvvvv
vvv
rBrBA
BrAx
vvvvv BrerA
于是
