第十二章 轴向拉压
§ 12.1 拉压杆的应力和变形
§ 12.2 材料的力学性能
§ 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算
§ 12.4 应力集中的概念
§ 12.5 桁架的位移
§ 12.6 连接杆件的工程实用计算
*静不定问题 *
在拉压杆的表面上刻划纵线和与之垂直的横线形成均匀的小方格
§ 12.1 拉压杆的应力和变形一,拉压杆横截面上的应力
P
N
PP
拉 伸 内 力 与 应 力拉压杆横截面上只有正应力,且均匀分布 （ 各处变形相同 ） 各单元体处于单向应力状态 （ 根据边侧单元 ）
设杆的横截面为 A
则 或NA
AN
对于横截面直杆
xA xNx (当杆的截面变化不是很剧烈时 )
q
P
x
二、拉压杆斜截面上的应力对于斜截面上的应力
2c o s2c o s22
c o ss in2s in2
c o s
c o sc o s22 AN
A
Nq
n
PP
m
m
n
当 （ 横截面 ）0
m a x
0
当?45
245
2m a x45
P
q
P
q
三、圣维南原理现考虑端面外力不同作用方式的影响问题
,如图
P P
P P
“不同分布的加载方式,只要静力等效,则在载荷作用区域略远处,作用效果相同,称为圣维南原理 。
例：内有一小孔的板,板小孔内作用有均匀压力
四、拉压杆的变形
1、纵向变形
Ex
A
N
的伸长量为x? x
x
拉压杆总的伸长量 （ 纵向 ）l?
x
y
l
PP
b
2、横向变形
ldxl x
l
x0 l
l
x
或因此
EA
Nll EA ——抗拉压刚度
Ey
y? 的,伸长量
” 为
yy
拉压杆横向的,伸长量,
bb
E
dyb y
b
b y?
2
2
或
b
b
y
例 KNP 4?
mmll 1 0 021
mmd 10?
G P aE 2 1 0?
ACl?
求解：轴力图
AB,PN?
1
mm
EA
Pl
EA
lN
l 0 0 2 4.0
10
4
10210
10104)(
23
23
111
1?
伸长
d
N
P
P
A B C
P P
P2
1l 2l
BC,PN
2
)(2222 实际缩短EAPlEA lNl
021 lll AC
因此
ii
ii
AE
lNl
例：求 B点的位移
B?
解,
xlWqxxN
WN?m a x
A
W?
max?
l
EAA
B
l
Wq?
x
dx
xN
qdxxN?
N W
微段 的伸长dx
EA
dxxNdx
EA
Wldx
lE A
Wx
EA
dxxNdxl lll
2000
lB?
由轴向拉压试件测得：
由
A
P
A
N
l
l
曲线
§ 12.2 材料的力学性能
l
P P
P
l?
低 碳 钢 拉 伸 实 验理 想 塑 性 曲 线
oa段比例极限 P?
ab段弹性极限 e?
一,低碳钢拉伸时的力学性能
（ 一 ） 四个阶段
1,弹性阶段 ab
O
p?
e?
s?
a
b
c
c?
d
e
f
gd? f?
1?
b?
cc’应力不断增加变形不断增加称为屈服
,该段的最低应力称为屈服应力,在材料屈服后若卸载出现不能恢复的变形称为塑性变形 。
s?
材料恢复抵抗变形的能力称为强化强度极限 b?
2,屈服阶段 cc’
3,强化阶段 ce’
s? 应力达到 材料出现显著变形s?
b?应力达到 材料出现断裂b?
4,局部变形阶段 ef
(二 )主要力学性能指标
1,强度指标,
变形集中于某一局部范围颈缩断裂伸长率 %100%100
1
1
l
l
%5 为塑性材料如低碳钢,铝,
铜
%5 为脆性材料如铸铁,高碳钢,岩石,玻璃
P EtgE?2、
lll 11
1ll?
3,塑性指标,拉断 塑性变形为截面收缩率 %1 0 01
A
AA
当 后卸载P Pe
P?
——塑性应变
tgE 卸载后再加载 PP
(三 )卸载现象及冷作硬化原点移至 d’点
11
塑性指标下降称为冷作硬化 。
2.0s
称为名义屈服应力二,其他塑性材料拉伸时的力学性能
%2.0
2.6?
其 他 拉 伸 曲 线铸 铁 拉 伸实 验由于 曲线曲率很小,工程上以割线代替曲线
tgE E?
三,铸铁拉伸时的力学性能
b?
低 碳 钢 压 缩 实 验四,材料压缩时的力学性能
1,低碳钢 (塑性材料类似 )
可用拉伸曲线代替压缩曲线压拉
P
铸 铁 压 缩 实 验远大于 （ 约 3-4倍 ）bc? bT?
断口与轴线成 45度试件沿 面错动剪断 max
2,铸铁 (脆性材料类似 )
bc?
bT?
45
P
2,线性强化材料五,简化的应力 ——应变曲线
1、理想弹塑性材料
s?
s?
s?
s?
E?
E
3、刚塑性材料
4、强化材料，加载 nc
s?
s?
失效时对应的应力称为极限应力
u?
塑性材料
su
脆性材料
bu
§ 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算当构件已不能正常使用时,如断裂或变形过大称为失效极限应力与安全系数的比称为许用应力
u
u
塑性材料
s
s n
脆性材料
b
b n
强度条件工作应力不超过材料的许用应力
A
N
例：已知 21 1 0 0 mmA?
22 50 mmA M P aT 100
M P ac 200
求：许可载荷P
解,⑴ 内力
0xF 045cos12NN
A
P
1
2
B
C
45
0yF 045s in
1 PN?
)(21 拉PN? )(
2 压PN
⑵ 求P
AB杆,
TA
N
1
1
NAP T 31
1 1007.72
1 0 01 0 0
2
CB杆,
cA
N
2
2
NAP 3222 101020050
KNPPP 07.7,m in 21
由于截面尺寸明显变化,而引起的应力局部增大的现象称为应力集中 。
max?K 称为应力集中系数
§ 12.4 应力集中的概念当圆孔很小时,3?K
P
P
P
P
max?
P
例,ml 1
1? 21 1 0 0 mmA?
22 4 0 0 0 mmA?
G P aE 2001?
G P aE 102?
KNP 10?
求,B点的位移b?
解,⑴ 内力,)(21 拉PN?
)(2 压PN
§ 12.5 桁架的位移
P
1
2
B
C
45
⑵ 变形,)(7 0 7.0
11
11
1 伸长mmAE
lNl
2
12 ll? )(1 7 7.0
22
22
2 缩短mmAE
lNl
⑶ 位移,
作位移图：
以切线代圆弧
B?
2B
3B
4B
B
B
铅垂位移
3443 BBBBBBf B
212 ll mm18.1?
mmf BBB 2.122
15.02.1177.0
B
B
ftg?
4.8
水平位移 mml
B 1 7 7.02
如：剪床剪切钢板
§ 12.6 连接杆件的工程实用计算一,剪切冲 压 剪 切轮轴间用键连接安全销剪切受力特点：作用线相距很近的横向力作用变形：位于横向力间的截面发生相对错动称为剪切,该错动面称为剪切面,面积
SA
剪切面上的内力,
剪力 Q
PQ?
面上的平均剪应力
SA
—剪切许用应力）—强度条件(
SA
Q
Q
P
例：连接吊钩用的销钉剪切面 m-m或
n-n上的剪力
2
PQ?
P
P
P
Q
Q
P
2P
2P
m-m
n-n
例：两拉压杆的连接销钉二,挤压
jyA
构件间相互作用的面称为挤压面
jy?
挤压面上的压强称为挤压应力
P
P
PP
maxjr?
销钉的上半部分
P
右板挤压应力的平均值
jy
jy A
P
对圆柱体其侧面的挤压面面积可取
tdA jy
d
l
则挤压强度条件
jy
jy
jy A
P
例：键的强度问题 已知键的尺寸：
mmb h l 1 0 01220
mmd 70?
KNmm 2?
M P a60键 M Pajy 1 0 0
试校核键的强度
b
m
O
h
d
m
O
Q
解,1,剪切
blAQ S
00m由
mdbldQ 22?
)(6.282 安全 M P a
b ld
m
Q
b
P
l
2h
2,挤压
QP?
jyjyAP
所以
jyl
hbl
2
jyjy M P ahb 3.952
安全
§ 12.1 拉压杆的应力和变形
§ 12.2 材料的力学性能
§ 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算
§ 12.4 应力集中的概念
§ 12.5 桁架的位移
§ 12.6 连接杆件的工程实用计算
*静不定问题 *
在拉压杆的表面上刻划纵线和与之垂直的横线形成均匀的小方格
§ 12.1 拉压杆的应力和变形一,拉压杆横截面上的应力
P
N
PP
拉 伸 内 力 与 应 力拉压杆横截面上只有正应力,且均匀分布 （ 各处变形相同 ） 各单元体处于单向应力状态 （ 根据边侧单元 ）
设杆的横截面为 A
则 或NA
AN
对于横截面直杆
xA xNx (当杆的截面变化不是很剧烈时 )
q
P
x
二、拉压杆斜截面上的应力对于斜截面上的应力
2c o s2c o s22
c o ss in2s in2
c o s
c o sc o s22 AN
A
Nq
n
PP
m
m
n
当 （ 横截面 ）0
m a x
0
当?45
245
2m a x45
P
q
P
q
三、圣维南原理现考虑端面外力不同作用方式的影响问题
,如图
P P
P P
“不同分布的加载方式,只要静力等效,则在载荷作用区域略远处,作用效果相同,称为圣维南原理 。
例：内有一小孔的板,板小孔内作用有均匀压力
四、拉压杆的变形
1、纵向变形
Ex
A
N
的伸长量为x? x
x
拉压杆总的伸长量 （ 纵向 ）l?
x
y
l
PP
b
2、横向变形
ldxl x
l
x0 l
l
x
或因此
EA
Nll EA ——抗拉压刚度
Ey
y? 的,伸长量
” 为
yy
拉压杆横向的,伸长量,
bb
E
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b
b y?
2
2
或
b
b
y
例 KNP 4?
mmll 1 0 021
mmd 10?
G P aE 2 1 0?
ACl?
求解：轴力图
AB,PN?
1
mm
EA
Pl
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lN
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10
4
10210
10104)(
23
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1?
伸长
d
N
P
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P P
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1l 2l
BC,PN
2
)(2222 实际缩短EAPlEA lNl
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因此
ii
ii
AE
lNl
例：求 B点的位移
B?
解,
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A
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N W
微段 的伸长dx
EA
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EA
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2000
lB?
由轴向拉压试件测得：
由
A
P
A
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l
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曲线
§ 12.2 材料的力学性能
l
P P
P
l?
低 碳 钢 拉 伸 实 验理 想 塑 性 曲 线
oa段比例极限 P?
ab段弹性极限 e?
一,低碳钢拉伸时的力学性能
（ 一 ） 四个阶段
1,弹性阶段 ab
O
p?
e?
s?
a
b
c
c?
d
e
f
gd? f?
1?
b?
cc’应力不断增加变形不断增加称为屈服
,该段的最低应力称为屈服应力,在材料屈服后若卸载出现不能恢复的变形称为塑性变形 。
s?
材料恢复抵抗变形的能力称为强化强度极限 b?
2,屈服阶段 cc’
3,强化阶段 ce’
s? 应力达到 材料出现显著变形s?
b?应力达到 材料出现断裂b?
4,局部变形阶段 ef
(二 )主要力学性能指标
1,强度指标,
变形集中于某一局部范围颈缩断裂伸长率 %100%100
1
1
l
l
%5 为塑性材料如低碳钢,铝,
铜
%5 为脆性材料如铸铁,高碳钢,岩石,玻璃
P EtgE?2、
lll 11
1ll?
3,塑性指标,拉断 塑性变形为截面收缩率 %1 0 01
A
AA
当 后卸载P Pe
P?
——塑性应变
tgE 卸载后再加载 PP
(三 )卸载现象及冷作硬化原点移至 d’点
11
塑性指标下降称为冷作硬化 。
2.0s
称为名义屈服应力二,其他塑性材料拉伸时的力学性能
%2.0
2.6?
其 他 拉 伸 曲 线铸 铁 拉 伸实 验由于 曲线曲率很小,工程上以割线代替曲线
tgE E?
三,铸铁拉伸时的力学性能
b?
低 碳 钢 压 缩 实 验四,材料压缩时的力学性能
1,低碳钢 (塑性材料类似 )
可用拉伸曲线代替压缩曲线压拉
P
铸 铁 压 缩 实 验远大于 （ 约 3-4倍 ）bc? bT?
断口与轴线成 45度试件沿 面错动剪断 max
2,铸铁 (脆性材料类似 )
bc?
bT?
45
P
2,线性强化材料五,简化的应力 ——应变曲线
1、理想弹塑性材料
s?
s?
s?
s?
E?
E
3、刚塑性材料
4、强化材料，加载 nc
s?
s?
失效时对应的应力称为极限应力
u?
塑性材料
su
脆性材料
bu
§ 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算当构件已不能正常使用时,如断裂或变形过大称为失效极限应力与安全系数的比称为许用应力
u
u
塑性材料
s
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脆性材料
b
b n
强度条件工作应力不超过材料的许用应力
A
N
例：已知 21 1 0 0 mmA?
22 50 mmA M P aT 100
M P ac 200
求：许可载荷P
解,⑴ 内力
0xF 045cos12NN
A
P
1
2
B
C
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1 PN?
)(21 拉PN? )(
2 压PN
⑵ 求P
AB杆,
TA
N
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1
NAP T 31
1 1007.72
1 0 01 0 0
2
CB杆,
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2
2
NAP 3222 101020050
KNPPP 07.7,m in 21
由于截面尺寸明显变化,而引起的应力局部增大的现象称为应力集中 。
max?K 称为应力集中系数
§ 12.4 应力集中的概念当圆孔很小时,3?K
P
P
P
P
max?
P
例,ml 1
1? 21 1 0 0 mmA?
22 4 0 0 0 mmA?
G P aE 2001?
G P aE 102?
KNP 10?
求,B点的位移b?
解,⑴ 内力,)(21 拉PN?
)(2 压PN
§ 12.5 桁架的位移
P
1
2
B
C
45
⑵ 变形,)(7 0 7.0
11
11
1 伸长mmAE
lNl
2
12 ll? )(1 7 7.0
22
22
2 缩短mmAE
lNl
⑶ 位移,
作位移图：
以切线代圆弧
B?
2B
3B
4B
B
B
铅垂位移
3443 BBBBBBf B
212 ll mm18.1?
mmf BBB 2.122
15.02.1177.0
B
B
ftg?
4.8
水平位移 mml
B 1 7 7.02
如：剪床剪切钢板
§ 12.6 连接杆件的工程实用计算一,剪切冲 压 剪 切轮轴间用键连接安全销剪切受力特点：作用线相距很近的横向力作用变形：位于横向力间的截面发生相对错动称为剪切,该错动面称为剪切面,面积
SA
剪切面上的内力,
剪力 Q
PQ?
面上的平均剪应力
SA
—剪切许用应力）—强度条件(
SA
Q
Q
P
例：连接吊钩用的销钉剪切面 m-m或
n-n上的剪力
2
PQ?
P
P
P
Q
Q
P
2P
2P
m-m
n-n
例：两拉压杆的连接销钉二,挤压
jyA
构件间相互作用的面称为挤压面
jy?
挤压面上的压强称为挤压应力
P
P
PP
maxjr?
销钉的上半部分
P
右板挤压应力的平均值
jy
jy A
P
对圆柱体其侧面的挤压面面积可取
tdA jy
d
l
则挤压强度条件
jy
jy
jy A
P
例：键的强度问题 已知键的尺寸：
mmb h l 1 0 01220
mmd 70?
KNmm 2?
M P a60键 M Pajy 1 0 0
试校核键的强度
b
m
O
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d
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O
Q
解,1,剪切
blAQ S
00m由
mdbldQ 22?
)(6.282 安全 M P a
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m
Q
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P
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所以
jyl
hbl
2
jyjy M P ahb 3.952
安全
