第十一章 应力应变分析
本章研究一点处的应力状态应力和应变是变形体力学中非常重要的概念。
主要内容如下：
第十一章 应力应变分析
§ 11.1 一点处的应力状态
§ 11.2 应力张量的表示方法
§ 11.3 平面应力状态
§ 11.4 应力圆
§ 11.5 三向应力状态
§ 11.6 应变状态 (与平面应力状态对应的 )
§ 11.7 应力应变关系
§ 11,1 一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系
A?
A
R
载荷集度 称为上的平均应力
QN
R将 分解为与 法向和切向的力,
A?
M
A?
QR
N
n
内 力 与 应 力 的 概 念
A
N
则 称为正应力（法向应力）
A
Q
称为剪应力（切应力）
A
N
A?
0
lim?M点在截面上的正应力
A
Q
A?
0
lim?
M点在截面上的剪应力
应力的量纲
PamN 2? MPa
Pa10mmN 62?
GPa Pa10
mmKN
9
2?
ba
nA?
A
R
A?
0
lim
一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度 以及 的法向 相关,因此可用两个并在一起的矢量 表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，
这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量
§ 11.2 应力张量的表示方法
zz?
zy?zx?
yz?
yx?
yy?
xz?
xy?
xx? dx
dzdydx,,
取一包围该点的微元体（单元体）
其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用 3*3的矩阵表示
（ i,j=1,2,3） 应力分量,应力张量。
ij?
按上述约定假设应力的方向对正应力，
则是拉应力为正。
考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：
（不考虑体力偶）
02222 dxd y d zdyd x d z xyyx
yxxy
同理
zxxz zyyz
上述关系称为 剪应力互等定理
jiij
设 表示 轴与 轴的方向余弦 。ij i? j
y
y?
x?
z?
x
z
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
T
则可以证明TTT
应力张量 可用来描述一点的应力状态
ij?
坐标变换矩阵
§ 11.3 平面应力状态
若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。
例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体
例如外力作用在板平面内的薄板
设不为 0的应力分量都位于 xy平面内
y
x
z
x?
xy?
yx?
y?
x?
y?
y?
x?
xy?
xy?
yx?
yx?
xef
一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面 上的应力,其与 轴正向的夹角 以逆时针方向为正
a
d c
b
e
f
y?
x?
xy?
n
初始单元体：
显然：
由 0
nF
c o sc o sc o s dAdAdA xxy
0s ins inc o ss in dAdA yyx
将 代入
xyyx
a
e
f
y?
yx?
xy?
x?
n
T
由 同理可得0
TF
c o ss in2s inc o s 22 xyyx
2s in2c o s22 xyyxyx
(a)
2c o s2s in
2 xy
yx (b)
0
x xy
2
y xy
0 位的极值及其所在截面方
2c o s2s in
22 xy
yx
d
d
0
0
d
d设
02c o s2s in
2 00
xyyx则
)(
2
2 0 ctg
yx
xy
即
(c)式有两个解
01? 02?
20201
且将 (c)式代入 (b)式有 0
0
单元体上剪应力为 0的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值,
以主平面为单元体的各面称为主单元体
max? min?
01?
02?
x
max?
min?
0
22
0
2
22
0 2s in2c o s22
xyyxyx
00 2c o s2s in22
yxxy
0
22
0
2
2
2c o s2s in
2
0
xy
yx?
00 2c o s2s in22
yx
xy
)(
22
2
2
m i n
m a x d
xy
yxyx
同理可求出 的极值 及
0
0
400
且例已知初始单元体上的应力（ Mpa）
求主单元体上的应力并画出主单元体解,M P a80?x? 0?
y?
M P a30xy?
M P a10905040304040 22
m i n
m a x
30
80
0?方位 4
3
80
602
0tg
o45.1801 o55.7102
45.18
x
max?
min?
§ 11.4 应力圆
一点处平面应力状态的图解法，直观各方位的应力情况一目了然。
n
xy?
x?
y?
由
2s in2c o s
22 xy
yxyx?
(a)
2c o s2s in
2 xy
yx?
(b)
上两式两边平方后相加
2
2
2
2
22 xy
yxyx
222 ba
O
C
xyxxD,
yxyyD,
则上式在应力坐标中为一圆称为应力圆莫尔圆
0,
2
yx
圆心坐标,
2
2
2 xy
yx
半径,
因此，当 连续变化至 时，坐标 绕应力圆的圆心转一周
,
应力圆的画法：建应力坐标系,取比例尺,定 点或由圆心,半径 —— 画圆DyDx,
应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，
对应 截面上的应力
Dx?2
,
max
O
,D
xyxxD,
max?
C
2
yx
2
yx
022?
2
012?yA
xA
min?
yxyxyD,
应 力 圆 画 法证明,
22c o s 0 CDOCCHOHOH
2s in2s in2c o s2c o s 00 xx CDCDOC
2s in2c o s
22 xy
yxyx
同理可以证明：
HD
max? min?
及 的方位极值点的方位与主平面方位相差
4
对应的应力
'
m a x,2?
yx
任意两相互垂直截面上的正应力之和由
(a)式
yx
2
例 确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位,MPa
30
20
50
100
解：
2
2
m i n
m a x 20
2
10030
2
10030?
M Pa6.24 3.1 0 5
7
1 0 030
2022
0
tg
8.292 01
yD
xD
C
80
012?
022
20?
30 100
max?min?
9.1401 1.75900102
M Pa6.7840 M P a9.3740
主单元体：
1.75
9.14
7.24
3.105
例 2 已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位 MPa
解：初始单元体
C 40
20
yD
xD
x?
20
40
半径 28.28202
M P a28.48202122020m a x
M P a28.8201220220m i n
主单元体：
5.22
28.4828.8
§ 11.5 三向应力状态将三个主应力按代数量的大小顺序排列
321
因此根据每一点的应力状态可以找到 3个相互垂直的主应力
y?
x?
z?
xy?
max?
min?
z?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
三向应力圆空间任意方程截面上的应力,与三向应力圆所夹阴影面中某点 的应力坐标表示。
K
一点处最大的剪应力
2
31
m a x
3?
1?
2?
1?
3?
2
三向应力圆
单向、双向、三向应力状态例：求
1? 2? 3?
M P am a x?
解,M P a50
z?
在,平面内x y
M P a
10
90
504030
2
80
2
80 22
m i n
m a x
30
80
50
x
y
z
M P a901 M P a102
M P a503
M Pa702 21m a x
三向应力圆如图
C
yD
xD
50?
10? 90
注意：不是同一平面的应力不能用平面应力状态方法求解。
§ 11.6 应变状态 （与平面应力状态对应的）
一点的变形有线应变和剪应变,
单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形
在,坐标下x y x?
y? xy
xu x xv xy
x?
u?
x
y
x?
y?
在,坐标下,方向到 方向夹角x? y? x x
x yx
令,各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有
x yx
2
2s in22c o s22 xyyxyx
2c o s22s in22 xyyx
22
m i n
m a x
222?
xyyxyx
yx
xytg
02方位：
应变花：
321
可证明：在应力或变形不是很大的情况 下（线弹性范围）主应力与主应变 的方位是重合的。
45?
0?
90?
虎克定律 E?
比例系数 称为材料的弹性模量E
比例系数 称为泊松比?
2
10
§ 11.7 应力应变关系
1、单向应力状态
0? 0
2、纯剪应力状态在线弹性范围内 G?
剪切虎克定律 —— 剪切弹性模量G
可证明
12
EG
只有 作用时
x?
E
x
x
E
x
y
E
x
z
3、广义虎克定律
z?
y?
x?
xy?
广义虎克定律
G
E
E
E
xy
xy
yxzz
xzyy
zyxx
1
1
1
对主单元体
2111 1 E
例：已知一构件表面一点的应变 4
0 1012
490 106 445 105.1
G P aE 2 0 0? 3.0
求 该点的主应力和最大剪应力
1?
2?
3?
0?
45?90
解：设
0qx90?y?
则 90s in
290c o s2245
xyyxyx
445 1095.126122 yxxy
xyxyxy
EG?
12
M Pa2.691093.12 10200 4
3
y?
x?
xy?
yxx
E
1
xyy E
1
整理后
M Pa2.2 2 41 2 yxx EE
M P a7.521 2 xyy EE
M P a1.69 5.2408.1547.852.695.1387.85 22
m i n
m a x
M P a5.2401 02 M P a1.693
M Pa8.1542 31m a x
例 2已知,求设
45
,E
解：
3145 1 E E1
1
45E
45
取一单元体体积 受应力作用变形变形后的体积
abcV?
aa 1 bb 2 cc 3
ccbbaaV1
321 111 a b c
3211 a b c
4、体积变形
a
c
b
3?
2?
1?
单位体积的改变量
V
V
V
VV
321
1
—— 体积应变?
321
32121
E
令
3213
1
m 称为三个应力的平均应力设
213
EK 称为体积弹性模量则 或对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积
Km? Km
因
zyx
3
zyx
m
例：证明：
12
EG
证明：取一纯剪单元（正方形） A
B C
D
x?
x
22
45c o s
45c o s
45
xxBD
BDDB
EE 11 3145 G?
G245
12
EG则
3
1
45
本章研究一点处的应力状态应力和应变是变形体力学中非常重要的概念。
主要内容如下：
第十一章 应力应变分析
§ 11.1 一点处的应力状态
§ 11.2 应力张量的表示方法
§ 11.3 平面应力状态
§ 11.4 应力圆
§ 11.5 三向应力状态
§ 11.6 应变状态 (与平面应力状态对应的 )
§ 11.7 应力应变关系
§ 11,1 一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系
A?
A
R
载荷集度 称为上的平均应力
QN
R将 分解为与 法向和切向的力,
A?
M
A?
QR
N
n
内 力 与 应 力 的 概 念
A
N
则 称为正应力（法向应力）
A
Q
称为剪应力（切应力）
A
N
A?
0
lim?M点在截面上的正应力
A
Q
A?
0
lim?
M点在截面上的剪应力
应力的量纲
PamN 2? MPa
Pa10mmN 62?
GPa Pa10
mmKN
9
2?
ba
nA?
A
R
A?
0
lim
一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度 以及 的法向 相关,因此可用两个并在一起的矢量 表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，
这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量
§ 11.2 应力张量的表示方法
zz?
zy?zx?
yz?
yx?
yy?
xz?
xy?
xx? dx
dzdydx,,
取一包围该点的微元体（单元体）
其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用 3*3的矩阵表示
（ i,j=1,2,3） 应力分量,应力张量。
ij?
按上述约定假设应力的方向对正应力，
则是拉应力为正。
考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：
（不考虑体力偶）
02222 dxd y d zdyd x d z xyyx
yxxy
同理
zxxz zyyz
上述关系称为 剪应力互等定理
jiij
设 表示 轴与 轴的方向余弦 。ij i? j
y
y?
x?
z?
x
z
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
T
则可以证明TTT
应力张量 可用来描述一点的应力状态
ij?
坐标变换矩阵
§ 11.3 平面应力状态
若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。
例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体
例如外力作用在板平面内的薄板
设不为 0的应力分量都位于 xy平面内
y
x
z
x?
xy?
yx?
y?
x?
y?
y?
x?
xy?
xy?
yx?
yx?
xef
一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面 上的应力,其与 轴正向的夹角 以逆时针方向为正
a
d c
b
e
f
y?
x?
xy?
n
初始单元体：
显然：
由 0
nF
c o sc o sc o s dAdAdA xxy
0s ins inc o ss in dAdA yyx
将 代入
xyyx
a
e
f
y?
yx?
xy?
x?
n
T
由 同理可得0
TF
c o ss in2s inc o s 22 xyyx
2s in2c o s22 xyyxyx
(a)
2c o s2s in
2 xy
yx (b)
0
x xy
2
y xy
0 位的极值及其所在截面方
2c o s2s in
22 xy
yx
d
d
0
0
d
d设
02c o s2s in
2 00
xyyx则
)(
2
2 0 ctg
yx
xy
即
(c)式有两个解
01? 02?
20201
且将 (c)式代入 (b)式有 0
0
单元体上剪应力为 0的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值,
以主平面为单元体的各面称为主单元体
max? min?
01?
02?
x
max?
min?
0
22
0
2
22
0 2s in2c o s22
xyyxyx
00 2c o s2s in22
yxxy
0
22
0
2
2
2c o s2s in
2
0
xy
yx?
00 2c o s2s in22
yx
xy
)(
22
2
2
m i n
m a x d
xy
yxyx
同理可求出 的极值 及
0
0
400
且例已知初始单元体上的应力（ Mpa）
求主单元体上的应力并画出主单元体解,M P a80?x? 0?
y?
M P a30xy?
M P a10905040304040 22
m i n
m a x
30
80
0?方位 4
3
80
602
0tg
o45.1801 o55.7102
45.18
x
max?
min?
§ 11.4 应力圆
一点处平面应力状态的图解法，直观各方位的应力情况一目了然。
n
xy?
x?
y?
由
2s in2c o s
22 xy
yxyx?
(a)
2c o s2s in
2 xy
yx?
(b)
上两式两边平方后相加
2
2
2
2
22 xy
yxyx
222 ba
O
C
xyxxD,
yxyyD,
则上式在应力坐标中为一圆称为应力圆莫尔圆
0,
2
yx
圆心坐标,
2
2
2 xy
yx
半径,
因此，当 连续变化至 时，坐标 绕应力圆的圆心转一周
,
应力圆的画法：建应力坐标系,取比例尺,定 点或由圆心,半径 —— 画圆DyDx,
应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，
对应 截面上的应力
Dx?2
,
max
O
,D
xyxxD,
max?
C
2
yx
2
yx
022?
2
012?yA
xA
min?
yxyxyD,
应 力 圆 画 法证明,
22c o s 0 CDOCCHOHOH
2s in2s in2c o s2c o s 00 xx CDCDOC
2s in2c o s
22 xy
yxyx
同理可以证明：
HD
max? min?
及 的方位极值点的方位与主平面方位相差
4
对应的应力
'
m a x,2?
yx
任意两相互垂直截面上的正应力之和由
(a)式
yx
2
例 确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位,MPa
30
20
50
100
解：
2
2
m i n
m a x 20
2
10030
2
10030?
M Pa6.24 3.1 0 5
7
1 0 030
2022
0
tg
8.292 01
yD
xD
C
80
012?
022
20?
30 100
max?min?
9.1401 1.75900102
M Pa6.7840 M P a9.3740
主单元体：
1.75
9.14
7.24
3.105
例 2 已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位 MPa
解：初始单元体
C 40
20
yD
xD
x?
20
40
半径 28.28202
M P a28.48202122020m a x
M P a28.8201220220m i n
主单元体：
5.22
28.4828.8
§ 11.5 三向应力状态将三个主应力按代数量的大小顺序排列
321
因此根据每一点的应力状态可以找到 3个相互垂直的主应力
y?
x?
z?
xy?
max?
min?
z?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
三向应力圆空间任意方程截面上的应力,与三向应力圆所夹阴影面中某点 的应力坐标表示。
K
一点处最大的剪应力
2
31
m a x
3?
1?
2?
1?
3?
2
三向应力圆
单向、双向、三向应力状态例：求
1? 2? 3?
M P am a x?
解,M P a50
z?
在,平面内x y
M P a
10
90
504030
2
80
2
80 22
m i n
m a x
30
80
50
x
y
z
M P a901 M P a102
M P a503
M Pa702 21m a x
三向应力圆如图
C
yD
xD
50?
10? 90
注意：不是同一平面的应力不能用平面应力状态方法求解。
§ 11.6 应变状态 （与平面应力状态对应的）
一点的变形有线应变和剪应变,
单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形
在,坐标下x y x?
y? xy
xu x xv xy
x?
u?
x
y
x?
y?
在,坐标下,方向到 方向夹角x? y? x x
x yx
令,各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有
x yx
2
2s in22c o s22 xyyxyx
2c o s22s in22 xyyx
22
m i n
m a x
222?
xyyxyx
yx
xytg
02方位：
应变花：
321
可证明：在应力或变形不是很大的情况 下（线弹性范围）主应力与主应变 的方位是重合的。
45?
0?
90?
虎克定律 E?
比例系数 称为材料的弹性模量E
比例系数 称为泊松比?
2
10
§ 11.7 应力应变关系
1、单向应力状态
0? 0
2、纯剪应力状态在线弹性范围内 G?
剪切虎克定律 —— 剪切弹性模量G
可证明
12
EG
只有 作用时
x?
E
x
x
E
x
y
E
x
z
3、广义虎克定律
z?
y?
x?
xy?
广义虎克定律
G
E
E
E
xy
xy
yxzz
xzyy
zyxx
1
1
1
对主单元体
2111 1 E
例：已知一构件表面一点的应变 4
0 1012
490 106 445 105.1
G P aE 2 0 0? 3.0
求 该点的主应力和最大剪应力
1?
2?
3?
0?
45?90
解：设
0qx90?y?
则 90s in
290c o s2245
xyyxyx
445 1095.126122 yxxy
xyxyxy
EG?
12
M Pa2.691093.12 10200 4
3
y?
x?
xy?
yxx
E
1
xyy E
1
整理后
M Pa2.2 2 41 2 yxx EE
M P a7.521 2 xyy EE
M P a1.69 5.2408.1547.852.695.1387.85 22
m i n
m a x
M P a5.2401 02 M P a1.693
M Pa8.1542 31m a x
例 2已知,求设
45
,E
解：
3145 1 E E1
1
45E
45
取一单元体体积 受应力作用变形变形后的体积
abcV?
aa 1 bb 2 cc 3
ccbbaaV1
321 111 a b c
3211 a b c
4、体积变形
a
c
b
3?
2?
1?
单位体积的改变量
V
V
V
VV
321
1
—— 体积应变?
321
32121
E
令
3213
1
m 称为三个应力的平均应力设
213
EK 称为体积弹性模量则 或对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积
Km? Km
因
zyx
3
zyx
m
例：证明：
12
EG
证明：取一纯剪单元（正方形） A
B C
D
x?
x
22
45c o s
45c o s
45
xxBD
BDDB
EE 11 3145 G?
G245
12
EG则
3
1
45
