第十四章 梁的弯曲
平面弯曲的情况
Q=0 称为纯弯曲 Q,M均不为 0，横力弯曲
a a
P P
A BC D
CD:纯弯曲
AC,DB:横力弯曲第十四章 梁的弯曲
§ 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
§ 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 与剪应力
§ 14.3 梁的强度
§ 14.4,弯曲中心的概念
§ 14.5,提高弯曲强度的措施
§ 14.6 梁的挠曲线微分方程第十四章 梁的弯曲
§ 14.7 计算梁位移的积分法
§ 14.8 位移计算中的叠加原理
§ 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、几何变形关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
弯 曲 正 应 力平面假定：梁横截面变形后仍保持为平面,且垂直于变形后的梁轴线 。
将梁看成由很多纵向纤维所组成 。
假设：纤维间无挤压 (单向受力 )。
z
y
中性轴中性层其间必有一层纤维即不伸长也不缩短称为中性层中性层与横截面的交线称为中性轴微段 mm相对 nn转动 中性层曲率半径
bb的线应变 变形后长度变形前
dx
d?
dy?
dxd
y
d
ddy )(
d
O
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
p E?
Ey?
三、静力学关系横截面 A上的 为空间平行力系
轴向力,
A dAN 0? (1)
二、物理关系
A
dA
z
y
力矩,0
Ay dAzM?
(2)
0Az dAyM?
(3)
由 (1)
0 z
Aa
SEy d AEdAyEN
中性轴为形心轴由 (2)
0 yz
Ay
IEdAEzyM
要求 y z为主轴由 (3)
MIEdAEyyM z
Ay
zEI
M?
1有 (a)
1 ------梁的曲率由
Ey? 则
zI
My (b)
上部纤维 受压0?y
下部纤维 受拉0?y
梁横截面上,的最大正应力?
max?
zI
Mymax
令 抗弯截面模量
maxy
IW z?
max?
W
M
MM
M?
矩形
3
12
1 bhI
z?
2
6
1 bhW?
圆形
64
4D
I z 32
3D
W
zh
b
z D
对深梁 ( )随 减小误差增大
4?hl h
l
横力弯曲 )(),( xxMM
§ 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力与剪应力一、正应力 剪应力引起的变形对细长梁 ( >4 )影响很小
h
l
zEI
xM
x
)(
)(
1?
zI
yxM )(
W
M m a x
m a x
Q
二、弯曲剪应力
1、矩形截面梁两点假设,
横截面上,任一点方向平行于 (两侧,及中点方向 )
h
b
y
y
y?
Q z
)( y
0
1?bh
2,沿截面宽度均布 ( )(上,下边缘处 )
)(' y
微段 的平衡dx
bdxyd x bdT )(
设其合力为 dT
1 2
dx
x
1 2
m m
M
dMM?
y
1? 2?
dx
* 11 A dAN * *A
z
dAy
I
M *
z
z
S
I
M?
*
2 z
z
S
I
dMMN
0 xF由
12 NNdT
1N 2N
m m
1? 2?
*y
*A
y
z
mm
y
*)(
z
z
S
I
dMbdxy
bI
QS
bI
S
dx
dM
y
z
z
z
z *
*
)( (c)
)4(21))2(21)(2( 2
2
*** yhbyyhybbyAS
cz
矩形
)
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Qy
z
2
hy 处 0
y?
0?y
中性轴处
][
2
3
m a x bh
Q
当 相差很大且腹板承受的剪力占截面绝大部分
m i nm a x, 与bB
故 腹板上的剪应力
bh
Q
2、工型截面梁
y
max?
min?
hH
b
B
3、圆型截面梁截面边缘处的剪应力与圆周相切对称点 C剪应力铅垂向下假设,
1、水平弦各点剪应力方向通过一点,
z
y
D
A B
C
O
R
Q
与矩形截面的推导类似,有,
bI
QS
z
z
y
*
其中 b为距 z轴 y的水平弦宽度
222 yRb
1
2
1
2
11
* 2
* dyyRydAySS
k
yAz
2
3
22 )(
3
2 yR
y?2、水平弦各点剪应力的垂直分量 相等
R
1y
y
A B
*A?
z
y I
yRQ
3
)( 22
y?
( 求解 根据 的方向 求出对 A点为 AB上最大的剪应力 ）
RyR /c o s 22
z
y I
yRQR
3
c o s/
22?
中性轴处 0?y
m a xy
由
4
4 RI z
A
Q
R
Q
3
4
3
4
2m a x
横力弯曲 梁横截正应力最大处 单向剪应力最大处为中性轴 纯剪
][m a xm a x WM (a)
bI
SQ
z
z
*
m a xm a x
m a x
][ (b)
§ 14.3 梁的强度对细长梁,强度由 (a)式控制下述情况用 (b)式校核
1、深梁 或集中力作用靠近支座 因而 Q较大
2、薄腹梁 如 工 T形梁
3、梁截面是由几部分胶接 或焊接 铆钉处其他位置 强度条件? 待定
例,试选用工字钢型号 ml 2? ma 2.0?
mkNq /10? kNp 200?
材料 [ ]=160Mpa
[ ]=100Mpa
解,1.内力图
2,3m a x
2 8 1][ cmMW
8
210 208
8
208
210
)(KNQ
a a
l
P P
q
A B
选 I22a(W=309cm)
3,校核
cmSI
z
z 9.18
*?
][1481075.09.18 10210 2
3*
m a xm a x
m a x
M Pa
dI
SQ
z
z
4,改用 I25b cmSI
zz 3.21/ *? cmd 1?
胶板厚 cmd 75.0?
210
208
208
210
8
8
8.41
45
)( mKNM?
][6.98m a x M P a故选用 I25b
例,简支梁由两块木版组成 两板光滑接触
M Pa10][
mmbml 2 0 0,3
求 ][p
mmh 100?
b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
解,各板平面假设成立
plM 41m a x?
单板
22
24
1)
2(6
1 bhhbW
][32/ 2m a xm a x bh plWM
Nlbhp 2222109230003 100200103][][ 4
22
M
2M
2M
P
§ 14.4 弯曲中心的概念对薄壁截面杆,平面弯曲条件下截面上的剪应力以槽钢为例 剪应力的方向如图
tI
QS
z
z
z
z
CO
Q
该分布力的等效力系为 Q其作用点在
O与形心 C不重合,
O点称为弯曲中心,
对实心截面杆,通常弯曲中心与形心重合,或靠的很近若外力 p作用线通过形心,则可将外力的弯曲中心简化为一力 p和一力偶 pe=m,m对杆的作用效果是扭转
P
e
O C
槽 钢 演 示槽 钢 演 示
§ 14.5 提高弯曲强度的措施
][m a xm a x WM
一,合理安排梁的受力支座位置
M281ql
2401ql
2501ql
M
q
l
l2.0 l2.0l6.0
q
分散载荷
4Pl
M M
ql81
2l 2l
P 2P 2P
2l4l 4l
二,梁的合理截面放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状三,等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同 c o n s fx?)(
m a x?
汽车上使用的叠板簧
2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
弯曲变形：
EI
xM
x
1
§ 14.6 梁的挠曲线微分方程
O
x
y q
m P
横截面转动的角度称为转角x?
的正负逆时针为正?
tgdxddxd
小变形由微积分学
EI
xM
x
2
3
21
1
小变形 1
dx
d? 则
EI
xM
dx
d
2
2?
梁轴线的铅垂位移，称为挠度x?
正负号的确定在图示坐标系下取正号
)(
2
2
aEI xMdxd
x
v
0?M
0v
O
对 (a)求积分若 连续函数xM
Cdx
KI
xM
dx
dx
DCxd x d xEI xMx?
积分常数的确定，边界条件
§ 14.7 计算梁位移的积分法对静定梁约束条件
A B
0?A? 0?A?
A
B
0?A? 0?B?
K
A
B
R
0?A?
K
R
B
例：求
max? maxf
解：
PlbR A? Pl
aR
B?
AC：
111 PxlbxM?
ax 10
CB：
axPPxlbxM 2222
lxa 2
1x
2x
l
AR BR
Pa
b
x
A B
CEI
分段积分
AC：
1
2
11 2
1 CPx
l
bEI
11
3
11 6
1 DCPx
l
bEI
222222 2121 CaxPPxlbEI
22232322 6161 DxCaxPPxlbEI
CB：
光滑连续条件，在集中力或集中力偶作用处，内力或其导数不连续但在该处有：
cc
连续条件 axx
21 21
则
21 DD cc
光滑条件 axx
21 21
21 CC?
则边界条件,0?
A? 0?B?
由 0
1?x 01 01?D 02?D
lx?2 0222
21 6 bll
PbCC
212211
6
xbl
l
P b xEI
21221 36 xbllPbEI ax 10
22,
略，设 ba?
01?x
lE I
blP a b
A 601
)(?实际
lx?2 )(
62 allE I
P a bl
B
)(?实际
Bm a x
3
22
0
blx 0
1
lE I
blPbxf
39
2
3
22
01m a x
)(?实际
EI
blPblf
48
43
2
22
1
中
)(?实际当 时相差0?b %65.2
llx 5 7 7.030 m a xff?中由于内力 是载荷 的线性函数。 MQ,
mqP,,
因此
mqP MMMM
称为叠加原理梁的挠度和转角是弯矩的积分也是载荷的线性函数，同样，可采用叠加原理
§ 14.8 位移计算中的叠加原理一、叠加原理例：求
cf
cpcqc fff
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
ET
qlf
cq 384
5 4? EIPlfcP 48
3
q
cqf
P
cPf
例：求
cf
EI
lqxl
EI
xqdxf l
c 2404348
02
0
22
2l 2l
0q
x
qdx
EIA
C
B
x
qdxP?
例：求
cf
02?cf
EI
lq
ff cc
384
25
4
1
C
A B
2l 2l
q
EI
2q
1cf 2
q
2q
2cf
例：求
cf
解：
aEIqlaf Bcq 2 31?
二、分段刚化法
l a
Pq
EIA
B C
q B?
cqf
EI
Paf
c 3
3
1
AB段刚化 BC变形 P
P
1cf
A B
BC刚化 AB变形
EI lPaaEImlaf Bc 33 222?
EI lPaEIPaEI aqlffff cccqc 332 23321
2cf
2B?
P mPa?
例：已知直径 GEad,,,
求
cfc?
解,AB刚化 BC变形
EIPaf c 3 31 EIPac 2 21?
a
a
P
A
B C
P
B
C
1cf
1c?
4
64 dI
4
32 dI P
A
B
C
P
Pam?
2cf 02?c?
P
BC刚化 AB变形
EIPaf c 3 32
BA?
m
3c?
3cf
GEd
Paffff
cccc
1
3
432
4
3
321?
GEd
Pa
GI
Pa
EI
Pa
ccc
1132
22 4
222
31
P
cc GI
Paaf 3
33?
PP
BAc GI
Pa
GI
ma 2
3
三、挠曲线的大致形状
(1)约束条件
0M 0M(2)凹凸性
0?M(3) 处为挠曲线的拐点例
l a
A
C
B
q
M
281qa
qalql 2121 2?
拐点
平面弯曲的情况
Q=0 称为纯弯曲 Q,M均不为 0，横力弯曲
a a
P P
A BC D
CD:纯弯曲
AC,DB:横力弯曲第十四章 梁的弯曲
§ 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
§ 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 与剪应力
§ 14.3 梁的强度
§ 14.4,弯曲中心的概念
§ 14.5,提高弯曲强度的措施
§ 14.6 梁的挠曲线微分方程第十四章 梁的弯曲
§ 14.7 计算梁位移的积分法
§ 14.8 位移计算中的叠加原理
§ 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、几何变形关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
弯 曲 正 应 力平面假定：梁横截面变形后仍保持为平面,且垂直于变形后的梁轴线 。
将梁看成由很多纵向纤维所组成 。
假设：纤维间无挤压 (单向受力 )。
z
y
中性轴中性层其间必有一层纤维即不伸长也不缩短称为中性层中性层与横截面的交线称为中性轴微段 mm相对 nn转动 中性层曲率半径
bb的线应变 变形后长度变形前
dx
d?
dy?
dxd
y
d
ddy )(
d
O
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
p E?
Ey?
三、静力学关系横截面 A上的 为空间平行力系
轴向力,
A dAN 0? (1)
二、物理关系
A
dA
z
y
力矩,0
Ay dAzM?
(2)
0Az dAyM?
(3)
由 (1)
0 z
Aa
SEy d AEdAyEN
中性轴为形心轴由 (2)
0 yz
Ay
IEdAEzyM
要求 y z为主轴由 (3)
MIEdAEyyM z
Ay
zEI
M?
1有 (a)
1 ------梁的曲率由
Ey? 则
zI
My (b)
上部纤维 受压0?y
下部纤维 受拉0?y
梁横截面上,的最大正应力?
max?
zI
Mymax
令 抗弯截面模量
maxy
IW z?
max?
W
M
MM
M?
矩形
3
12
1 bhI
z?
2
6
1 bhW?
圆形
64
4D
I z 32
3D
W
zh
b
z D
对深梁 ( )随 减小误差增大
4?hl h
l
横力弯曲 )(),( xxMM
§ 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力与剪应力一、正应力 剪应力引起的变形对细长梁 ( >4 )影响很小
h
l
zEI
xM
x
)(
)(
1?
zI
yxM )(
W
M m a x
m a x
Q
二、弯曲剪应力
1、矩形截面梁两点假设,
横截面上,任一点方向平行于 (两侧,及中点方向 )
h
b
y
y
y?
Q z
)( y
0
1?bh
2,沿截面宽度均布 ( )(上,下边缘处 )
)(' y
微段 的平衡dx
bdxyd x bdT )(
设其合力为 dT
1 2
dx
x
1 2
m m
M
dMM?
y
1? 2?
dx
* 11 A dAN * *A
z
dAy
I
M *
z
z
S
I
M?
*
2 z
z
S
I
dMMN
0 xF由
12 NNdT
1N 2N
m m
1? 2?
*y
*A
y
z
mm
y
*)(
z
z
S
I
dMbdxy
bI
QS
bI
S
dx
dM
y
z
z
z
z *
*
)( (c)
)4(21))2(21)(2( 2
2
*** yhbyyhybbyAS
cz
矩形
)
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Qy
z
2
hy 处 0
y?
0?y
中性轴处
][
2
3
m a x bh
Q
当 相差很大且腹板承受的剪力占截面绝大部分
m i nm a x, 与bB
故 腹板上的剪应力
bh
Q
2、工型截面梁
y
max?
min?
hH
b
B
3、圆型截面梁截面边缘处的剪应力与圆周相切对称点 C剪应力铅垂向下假设,
1、水平弦各点剪应力方向通过一点,
z
y
D
A B
C
O
R
Q
与矩形截面的推导类似,有,
bI
QS
z
z
y
*
其中 b为距 z轴 y的水平弦宽度
222 yRb
1
2
1
2
11
* 2
* dyyRydAySS
k
yAz
2
3
22 )(
3
2 yR
y?2、水平弦各点剪应力的垂直分量 相等
R
1y
y
A B
*A?
z
y I
yRQ
3
)( 22
y?
( 求解 根据 的方向 求出对 A点为 AB上最大的剪应力 ）
RyR /c o s 22
z
y I
yRQR
3
c o s/
22?
中性轴处 0?y
m a xy
由
4
4 RI z
A
Q
R
Q
3
4
3
4
2m a x
横力弯曲 梁横截正应力最大处 单向剪应力最大处为中性轴 纯剪
][m a xm a x WM (a)
bI
SQ
z
z
*
m a xm a x
m a x
][ (b)
§ 14.3 梁的强度对细长梁,强度由 (a)式控制下述情况用 (b)式校核
1、深梁 或集中力作用靠近支座 因而 Q较大
2、薄腹梁 如 工 T形梁
3、梁截面是由几部分胶接 或焊接 铆钉处其他位置 强度条件? 待定
例,试选用工字钢型号 ml 2? ma 2.0?
mkNq /10? kNp 200?
材料 [ ]=160Mpa
[ ]=100Mpa
解,1.内力图
2,3m a x
2 8 1][ cmMW
8
210 208
8
208
210
)(KNQ
a a
l
P P
q
A B
选 I22a(W=309cm)
3,校核
cmSI
z
z 9.18
*?
][1481075.09.18 10210 2
3*
m a xm a x
m a x
M Pa
dI
SQ
z
z
4,改用 I25b cmSI
zz 3.21/ *? cmd 1?
胶板厚 cmd 75.0?
210
208
208
210
8
8
8.41
45
)( mKNM?
][6.98m a x M P a故选用 I25b
例,简支梁由两块木版组成 两板光滑接触
M Pa10][
mmbml 2 0 0,3
求 ][p
mmh 100?
b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
解,各板平面假设成立
plM 41m a x?
单板
22
24
1)
2(6
1 bhhbW
][32/ 2m a xm a x bh plWM
Nlbhp 2222109230003 100200103][][ 4
22
M
2M
2M
P
§ 14.4 弯曲中心的概念对薄壁截面杆,平面弯曲条件下截面上的剪应力以槽钢为例 剪应力的方向如图
tI
QS
z
z
z
z
CO
Q
该分布力的等效力系为 Q其作用点在
O与形心 C不重合,
O点称为弯曲中心,
对实心截面杆,通常弯曲中心与形心重合,或靠的很近若外力 p作用线通过形心,则可将外力的弯曲中心简化为一力 p和一力偶 pe=m,m对杆的作用效果是扭转
P
e
O C
槽 钢 演 示槽 钢 演 示
§ 14.5 提高弯曲强度的措施
][m a xm a x WM
一,合理安排梁的受力支座位置
M281ql
2401ql
2501ql
M
q
l
l2.0 l2.0l6.0
q
分散载荷
4Pl
M M
ql81
2l 2l
P 2P 2P
2l4l 4l
二,梁的合理截面放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状三,等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同 c o n s fx?)(
m a x?
汽车上使用的叠板簧
2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
弯曲变形：
EI
xM
x
1
§ 14.6 梁的挠曲线微分方程
O
x
y q
m P
横截面转动的角度称为转角x?
的正负逆时针为正?
tgdxddxd
小变形由微积分学
EI
xM
x
2
3
21
1
小变形 1
dx
d? 则
EI
xM
dx
d
2
2?
梁轴线的铅垂位移，称为挠度x?
正负号的确定在图示坐标系下取正号
)(
2
2
aEI xMdxd
x
v
0?M
0v
O
对 (a)求积分若 连续函数xM
Cdx
KI
xM
dx
dx
DCxd x d xEI xMx?
积分常数的确定，边界条件
§ 14.7 计算梁位移的积分法对静定梁约束条件
A B
0?A? 0?A?
A
B
0?A? 0?B?
K
A
B
R
0?A?
K
R
B
例：求
max? maxf
解：
PlbR A? Pl
aR
B?
AC：
111 PxlbxM?
ax 10
CB：
axPPxlbxM 2222
lxa 2
1x
2x
l
AR BR
Pa
b
x
A B
CEI
分段积分
AC：
1
2
11 2
1 CPx
l
bEI
11
3
11 6
1 DCPx
l
bEI
222222 2121 CaxPPxlbEI
22232322 6161 DxCaxPPxlbEI
CB：
光滑连续条件，在集中力或集中力偶作用处，内力或其导数不连续但在该处有：
cc
连续条件 axx
21 21
则
21 DD cc
光滑条件 axx
21 21
21 CC?
则边界条件,0?
A? 0?B?
由 0
1?x 01 01?D 02?D
lx?2 0222
21 6 bll
PbCC
212211
6
xbl
l
P b xEI
21221 36 xbllPbEI ax 10
22,
略，设 ba?
01?x
lE I
blP a b
A 601
)(?实际
lx?2 )(
62 allE I
P a bl
B
)(?实际
Bm a x
3
22
0
blx 0
1
lE I
blPbxf
39
2
3
22
01m a x
)(?实际
EI
blPblf
48
43
2
22
1
中
)(?实际当 时相差0?b %65.2
llx 5 7 7.030 m a xff?中由于内力 是载荷 的线性函数。 MQ,
mqP,,
因此
mqP MMMM
称为叠加原理梁的挠度和转角是弯矩的积分也是载荷的线性函数，同样，可采用叠加原理
§ 14.8 位移计算中的叠加原理一、叠加原理例：求
cf
cpcqc fff
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
ET
qlf
cq 384
5 4? EIPlfcP 48
3
q
cqf
P
cPf
例：求
cf
EI
lqxl
EI
xqdxf l
c 2404348
02
0
22
2l 2l
0q
x
qdx
EIA
C
B
x
qdxP?
例：求
cf
02?cf
EI
lq
ff cc
384
25
4
1
C
A B
2l 2l
q
EI
2q
1cf 2
q
2q
2cf
例：求
cf
解：
aEIqlaf Bcq 2 31?
二、分段刚化法
l a
Pq
EIA
B C
q B?
cqf
EI
Paf
c 3
3
1
AB段刚化 BC变形 P
P
1cf
A B
BC刚化 AB变形
EI lPaaEImlaf Bc 33 222?
EI lPaEIPaEI aqlffff cccqc 332 23321
2cf
2B?
P mPa?
例：已知直径 GEad,,,
求
cfc?
解,AB刚化 BC变形
EIPaf c 3 31 EIPac 2 21?
a
a
P
A
B C
P
B
C
1cf
1c?
4
64 dI
4
32 dI P
A
B
C
P
Pam?
2cf 02?c?
P
BC刚化 AB变形
EIPaf c 3 32
BA?
m
3c?
3cf
GEd
Paffff
cccc
1
3
432
4
3
321?
GEd
Pa
GI
Pa
EI
Pa
ccc
1132
22 4
222
31
P
cc GI
Paaf 3
33?
PP
BAc GI
Pa
GI
ma 2
3
三、挠曲线的大致形状
(1)约束条件
0M 0M(2)凹凸性
0?M(3) 处为挠曲线的拐点例
l a
A
C
B
q
M
281qa
qalql 2121 2?
拐点
