1
第二章 刚体的平面运动
§ ２,1,刚体平面运动的简化
§ ２,2,用分析方法研究平面图形的运动
§ 2.2.1,运动方程
§ 2.2.２,平面图形的角位移、角速角加速度
§ 2.2.3,平面图形上点的运动分析
2
§ 2.3,用矢量方法研究平面图形的运动
§ 2.3.1 平面平动
§ 2.3.2 定轴转动
§ 2.3.3 平面图形上点的速度
§ 2.3.4,平面图形上两点的加速度关系
3
第二章、刚体的平面运动
§ 2.1 刚体平面运动的简化
4
一、刚体运动形式空间运动一般运动定点运动平面运动一般平面运动转动平面平动空间平动平动基本运动
5
二、平面运动定义平面运动,刚体上任意一确定点到某固定平面的距离始终保持不变的运动称为刚体的平面运动 。
6
简化以任意延伸制形状不受限可三,简化研究对象
S
A
A
1A
2A
S
7
§ 2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程一、确定图形位置自由的平面图形 S,其位置的确定可由其上任一线段 AB 的位置来确定 。
8
AB 位置由下述方法确定：
建立与参考空间固连直角坐标 Oxy
AA yxA,点坐标：
y
x
A
B
9
的位置可确定夹角）与固定线（方位角
AB
OxAB?
3?k刚体自由度动不受其他约束的平面运
10
二、刚体平面运动的运动方程
)(
)(
)(
tf
tfY
tfX
A
A
3
2
1
此式描述了平面运动体的整体运动性质,完全确定了平面运动刚体的运动规律 。
11
2
)(
2
)(
1
k
tf
A
Y
tf
A
X
，自由度运动方程
，转动、
c o n s ttf
A
Y
c o n s ttf
A
X
)(
2
)(
1
)2(
1)(3 ktf,单自由度运动方程?
平动）、（
特殊情形：
,)(1 3 c on s ttf
12
（ 3）,一般平面运动直线平动一般平面运动定轴转动曲线平动
13
2.2.2.平面图形的角位移、角速角加速度的角位移AB
)t(f)tt(f'
33
AB、任一有向线段)1(
1、平面图形的角位移
14
x?
A
B
D
C?
)(t
（ 2)、任意二条线段的方位角为因此图形的角位移
，也称为的角位移图形上任意有向线段
图形的角位移：
)()( tt
15
2,图形的角速度、角加速度
t0t
1 lim）定义：角速度（
t0tlim
角加速度表示为
A
B
16
（ 2）、注意：
的转向不一致时，有与
，
的转向一致才有与只有 定义、根据
17
方位角的随意性：
转向不一致情形。如：
的正向与不唯一，因而经常出现角的选取的真实变化情况，方位的转向反映刚体方位实际中常由
18
A
B
Av
19
c o s
,c o s
l
vlv A
Ax
,,
c o s
s in
AAAx
A
A
vxv
lx
lx
所以：
以?为广义坐标，则
A
B
Av?
20
s inl
v A
有若
s inl
v A
AB
s inl
v A大小为 矛盾转向与图反?
s inl
v A
AB
正确结果为广义坐标，则：如果以?
s inlx A;c o s lx A
21
也可用矢量表示）、（,3;k ;k
dt
d?
22
2.2.3、平面图形上点的运动分析
,,AA YX
此部分实质属于点的运动学部分内容，用描述平面运动图形运动的广义坐标 表示出所研究点的运动方程，求解速度、
加速度。
23
§ 2.3,矢量法研究平面图形的运动
BAAB rrr
、平面平动1.3.2
BAAB vvv
求导
)0(?BAr
ABAB aavv
,故：
B
Br
BAr
O
A
Ar
24
O
z
M? M
V
Mr?
M
MM
M
M
MM
rdrd
dt
rd
v
trr
)(
、定轴转动2.3.2
25
)( MMM
MM
rra
rv
大小不变，仅方向变如图（平面运动）方位角
:
M
r
26
M
t
M ra
式中;称为切向加速度
)( MnM ra式中;称为法向加速度
27
C
2.3.3.平面图形上点的速度
)()()( trtrtr BAAB
dt
rdvv BA
AB
求导
B
Br?
BAr?
BAv
1,两点速度关系
A
O
Ar?
28
BAAB rvv
刚?
dtdd 刚
BABA rdrd
BAAB vvv
系：平面图形上两点速度关
BABA rv
刚?
29
一致，与方向：
大小,刚
AB
r
v
BA
BA
BCBCBCcB
BA
rvvvv
B
Av
刚所具有的速度转动时绕：相当于或看成是刚体
,
ABAABB vv
B
A
C
BAv?
BCv?
2、速度投影定理
30
槽内滑动。
可在圆弧所示，滑块例：曲柄连杆机构如图 B
杆的角速度。的速度和试求：该瞬时滑块
。点的法线夹角与槽在，且
，，角加速度为时，曲柄角速度为示位置
。在图圆弧半径已知：
ABB
BABABOA
rRrlABrOA
30
60
2,32,
1O
R
B
O?
31
解：用速度合成法（基点法）求解。
取 A 为基点,B 点的速度为
BAAB vvv
相垂直。方向与式中,OArv A
Bv?
A
Av?
AB?
B
点的切线，大小未知。方位沿圆弧在 BBv?
32
相垂直，大小未知。方位与连杆 ABv BA?
BAv?
Bv?
AB?
A
B
Av?
Av?
作速度平行四边形，如图，得：
方向如图）(230s ins in rrvv AB
rrvv ABA 330t a nt a n
33
232
3
r
r
l
v
AB
BA
AB
杆的角速度所以，
转向逆时针
BAv?
Bv?
AB?
A
B
Av?
Av?
34
3．速度瞬心法
0?Pv即：
存在性、证明,。1
定理：平面运动图形的角速度?如果在某一瞬时不等于零，则该图形（或其沿拓部分）上一定惟一地存在一点，它的速度在此刻等于零。
，可能有两种情况，即任取一点 A
35
得出由即为所找点
PAAPA
A
vvvv
v
0
0
反证法：至少有两点唯一性。2
0
0
0
矛盾：
M
P
v
v
36
速度称为速度瞬心。任一点:P
转向一致，与方向：
大小,刚
PM
PM
速度瞬心法与两点速度关系是各自独立的方法,速度瞬心法也可由欧拉 —
沙尔定理得到 。
PMv M
37
A
Av?
Bv?
B
使用速度瞬心法的前提是知道速度瞬心
求速度瞬心 P点的所在位置瞬时转动绕 P,0
Av
Bv
0,P
瞬时平动绕 P,0
P
38
Av?
Bv?
Av?
Bv?
Av?
Bv?
P
P
瞬时平动,0
瞬时转动绕 P,0
39
由此得出：
体为其一平面刚任
，刚体作瞬时平动瞬时转动刚体绕,
0
,0 tP
P
纯滚
ov
P
O
40
一般平面运动的实质：
绕不同的瞬轴转动,瞬轴可能在有限距离处,也可能在无穷远处；
p
41
o
1?
B
Bv
v?
找速度瞬心
P
AB?
1P
Av?
42
BCp
BC?
030
AC?
oc?
ACp
c
cv
O A B Bv
Av
。60。60
43
o
A?
B
AB?
ABp
44
BDp
BD?
A
O
B
Bv?
Dv?
D
45
2.3.4.平面图形上两点的加速度关系
ABvv AB 刚
求一阶导数对 t
）刚 AB
dt
d
dt
vd
dt
vd AB (
)ABr
dt
ABdAB
dt
daa
BAAB
,（
刚刚
46
ra tBA 刚记作
BABA rrdt
d
刚刚
)BAnBA ra 刚刚记作 （
)BAr
dt
ABd
刚刚刚 （
47
刚体）两点加速度关系（同一?
n
BA
t
BA aaB
A
且点所具有的加速度时转动，点以图形相当于图绕
,
n
BA
t
BAAB aaaa
n
BA
t
BABA aaa
48
n
B
n
BA
t
B
t
BA
aABa
aABa
2
,切向加速度
A
B
nBAa?
nBAa?
49
C
D
E
B
A
。
已知：
cmAC
cmCDcmAB
40
,60,20
平面机构如图所示。：例 2
顺时针）逆时针）角加速度杆的角速度平行。与在图示位置时，
(
s
r a d4(
s
r a d6
a
ABCD
AB
点的加速度。试求：该瞬时 E
杆定轴转动解,AB
方向如图sm2.162.0 ABBv
方向如图2sm2.7262.02 ABnBa
方向如图2sm8.042.02 ABtBa
E
D
B
Bv?
nBa?
tBa?
50
E
D
B
a
Bv
nBa?
tBa?
1.速度分析在图示位置,D 点速度方位水平，可知 BDE
板瞬时平动
smvv BD 2.1
Dv?
0板的角速度B D E
51
加速度分析.2 在 CD杆作定轴转动可知,D点的加速度应有切向和法向两个分量。
对 BDE板分析，取 B点为基点，则 D点的加速度为
tDBnDBtBnBtDnD aaaaaa )(a
2
22
4.26.0 )2.1( smCDva DnD式中：
点；，指向方向沿 CDC
E
D
B
a
Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
52
左，如图，大小未知方位水平，指向假设向tDa?
02BDa nDB?
tDBa?
E
D
B
a
Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
。向假设如图，大小未知
，指方位垂直于 BDa tDB?
tDa?
c o stDBnBnD aaa
由此可得
228.445c o s
4.22.7
c o s s
maaa
n
D
n
Bt
DB?
得：
53
所以,BDE板的角加速度为逆时针sr a d
BD
a tDB 12
24.0
28.4
再取 B为基点，则 E点的加速度为
02BEa nEB?式中：
方向向左
28.4124.0 s
mBEa t
EB
)( baaaaa tEBnEBtBnBE
tEBa?
E
B
DtBa?
nBa?
nBa?
tBa?
54
轴上投影，如图三得和在将矢量式（ EyExb )
2sm48.48.0
tEBatBaExa
2sm2.7
nBaEya
所以
jiEa 2.74
y
E
B
D
tBa?t
EBa
nBa
nBa?
tBa?
图三）(
第二章 刚体的平面运动
§ ２,1,刚体平面运动的简化
§ ２,2,用分析方法研究平面图形的运动
§ 2.2.1,运动方程
§ 2.2.２,平面图形的角位移、角速角加速度
§ 2.2.3,平面图形上点的运动分析
2
§ 2.3,用矢量方法研究平面图形的运动
§ 2.3.1 平面平动
§ 2.3.2 定轴转动
§ 2.3.3 平面图形上点的速度
§ 2.3.4,平面图形上两点的加速度关系
3
第二章、刚体的平面运动
§ 2.1 刚体平面运动的简化
4
一、刚体运动形式空间运动一般运动定点运动平面运动一般平面运动转动平面平动空间平动平动基本运动
5
二、平面运动定义平面运动,刚体上任意一确定点到某固定平面的距离始终保持不变的运动称为刚体的平面运动 。
6
简化以任意延伸制形状不受限可三,简化研究对象
S
A
A
1A
2A
S
7
§ 2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程一、确定图形位置自由的平面图形 S,其位置的确定可由其上任一线段 AB 的位置来确定 。
8
AB 位置由下述方法确定：
建立与参考空间固连直角坐标 Oxy
AA yxA,点坐标：
y
x
A
B
9
的位置可确定夹角）与固定线（方位角
AB
OxAB?
3?k刚体自由度动不受其他约束的平面运
10
二、刚体平面运动的运动方程
)(
)(
)(
tf
tfY
tfX
A
A
3
2
1
此式描述了平面运动体的整体运动性质,完全确定了平面运动刚体的运动规律 。
11
2
)(
2
)(
1
k
tf
A
Y
tf
A
X
，自由度运动方程
，转动、
c o n s ttf
A
Y
c o n s ttf
A
X
)(
2
)(
1
)2(
1)(3 ktf,单自由度运动方程?
平动）、（
特殊情形：
,)(1 3 c on s ttf
12
（ 3）,一般平面运动直线平动一般平面运动定轴转动曲线平动
13
2.2.2.平面图形的角位移、角速角加速度的角位移AB
)t(f)tt(f'
33
AB、任一有向线段)1(
1、平面图形的角位移
14
x?
A
B
D
C?
)(t
（ 2)、任意二条线段的方位角为因此图形的角位移
，也称为的角位移图形上任意有向线段
图形的角位移：
)()( tt
15
2,图形的角速度、角加速度
t0t
1 lim）定义：角速度（
t0tlim
角加速度表示为
A
B
16
（ 2）、注意：
的转向不一致时，有与
，
的转向一致才有与只有 定义、根据
17
方位角的随意性：
转向不一致情形。如：
的正向与不唯一，因而经常出现角的选取的真实变化情况，方位的转向反映刚体方位实际中常由
18
A
B
Av
19
c o s
,c o s
l
vlv A
Ax
,,
c o s
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AAAx
A
A
vxv
lx
lx
所以：
以?为广义坐标，则
A
B
Av?
20
s inl
v A
有若
s inl
v A
AB
s inl
v A大小为 矛盾转向与图反?
s inl
v A
AB
正确结果为广义坐标，则：如果以?
s inlx A;c o s lx A
21
也可用矢量表示）、（,3;k ;k
dt
d?
22
2.2.3、平面图形上点的运动分析
,,AA YX
此部分实质属于点的运动学部分内容，用描述平面运动图形运动的广义坐标 表示出所研究点的运动方程，求解速度、
加速度。
23
§ 2.3,矢量法研究平面图形的运动
BAAB rrr
、平面平动1.3.2
BAAB vvv
求导
)0(?BAr
ABAB aavv
,故：
B
Br
BAr
O
A
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24
O
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M? M
V
Mr?
M
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M
M
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dt
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)(
、定轴转动2.3.2
25
)( MMM
MM
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rv
大小不变，仅方向变如图（平面运动）方位角
:
M
r
26
M
t
M ra
式中;称为切向加速度
)( MnM ra式中;称为法向加速度
27
C
2.3.3.平面图形上点的速度
)()()( trtrtr BAAB
dt
rdvv BA
AB
求导
B
Br?
BAr?
BAv
1,两点速度关系
A
O
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28
BAAB rvv
刚?
dtdd 刚
BABA rdrd
BAAB vvv
系：平面图形上两点速度关
BABA rv
刚?
29
一致，与方向：
大小,刚
AB
r
v
BA
BA
BCBCBCcB
BA
rvvvv
B
Av
刚所具有的速度转动时绕：相当于或看成是刚体
,
ABAABB vv
B
A
C
BAv?
BCv?
2、速度投影定理
30
槽内滑动。
可在圆弧所示，滑块例：曲柄连杆机构如图 B
杆的角速度。的速度和试求：该瞬时滑块
。点的法线夹角与槽在，且
，，角加速度为时，曲柄角速度为示位置
。在图圆弧半径已知：
ABB
BABABOA
rRrlABrOA
30
60
2,32,
1O
R
B
O?
31
解：用速度合成法（基点法）求解。
取 A 为基点,B 点的速度为
BAAB vvv
相垂直。方向与式中,OArv A
Bv?
A
Av?
AB?
B
点的切线，大小未知。方位沿圆弧在 BBv?
32
相垂直，大小未知。方位与连杆 ABv BA?
BAv?
Bv?
AB?
A
B
Av?
Av?
作速度平行四边形，如图，得：
方向如图）(230s ins in rrvv AB
rrvv ABA 330t a nt a n
33
232
3
r
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v
AB
BA
AB
杆的角速度所以，
转向逆时针
BAv?
Bv?
AB?
A
B
Av?
Av?
34
3．速度瞬心法
0?Pv即：
存在性、证明,。1
定理：平面运动图形的角速度?如果在某一瞬时不等于零，则该图形（或其沿拓部分）上一定惟一地存在一点，它的速度在此刻等于零。
，可能有两种情况，即任取一点 A
35
得出由即为所找点
PAAPA
A
vvvv
v
0
0
反证法：至少有两点唯一性。2
0
0
0
矛盾：
M
P
v
v
36
速度称为速度瞬心。任一点:P
转向一致，与方向：
大小,刚
PM
PM
速度瞬心法与两点速度关系是各自独立的方法,速度瞬心法也可由欧拉 —
沙尔定理得到 。
PMv M
37
A
Av?
Bv?
B
使用速度瞬心法的前提是知道速度瞬心
求速度瞬心 P点的所在位置瞬时转动绕 P,0
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Bv
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瞬时平动绕 P,0
P
38
Av?
Bv?
Av?
Bv?
Av?
Bv?
P
P
瞬时平动,0
瞬时转动绕 P,0
39
由此得出：
体为其一平面刚任
，刚体作瞬时平动瞬时转动刚体绕,
0
,0 tP
P
纯滚
ov
P
O
40
一般平面运动的实质：
绕不同的瞬轴转动,瞬轴可能在有限距离处,也可能在无穷远处；
p
41
o
1?
B
Bv
v?
找速度瞬心
P
AB?
1P
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42
BCp
BC?
030
AC?
oc?
ACp
c
cv
O A B Bv
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。60。60
43
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A?
B
AB?
ABp
44
BDp
BD?
A
O
B
Bv?
Dv?
D
45
2.3.4.平面图形上两点的加速度关系
ABvv AB 刚
求一阶导数对 t
）刚 AB
dt
d
dt
vd
dt
vd AB (
)ABr
dt
ABdAB
dt
daa
BAAB
,（
刚刚
46
ra tBA 刚记作
BABA rrdt
d
刚刚
)BAnBA ra 刚刚记作 （
)BAr
dt
ABd
刚刚刚 （
47
刚体）两点加速度关系（同一?
n
BA
t
BA aaB
A
且点所具有的加速度时转动，点以图形相当于图绕
,
n
BA
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BAAB aaaa
n
BA
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BABA aaa
48
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B
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BA
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B
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BA
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aABa
2
,切向加速度
A
B
nBAa?
nBAa?
49
C
D
E
B
A
。
已知：
cmAC
cmCDcmAB
40
,60,20
平面机构如图所示。：例 2
顺时针）逆时针）角加速度杆的角速度平行。与在图示位置时，
(
s
r a d4(
s
r a d6
a
ABCD
AB
点的加速度。试求：该瞬时 E
杆定轴转动解,AB
方向如图sm2.162.0 ABBv
方向如图2sm2.7262.02 ABnBa
方向如图2sm8.042.02 ABtBa
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nBa?
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50
E
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Bv
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tBa?
1.速度分析在图示位置,D 点速度方位水平，可知 BDE
板瞬时平动
smvv BD 2.1
Dv?
0板的角速度B D E
51
加速度分析.2 在 CD杆作定轴转动可知,D点的加速度应有切向和法向两个分量。
对 BDE板分析，取 B点为基点，则 D点的加速度为
tDBnDBtBnBtDnD aaaaaa )(a
2
22
4.26.0 )2.1( smCDva DnD式中：
点；，指向方向沿 CDC
E
D
B
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Bv?
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Dv?
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52
左，如图，大小未知方位水平，指向假设向tDa?
02BDa nDB?
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E
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B
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Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
。向假设如图，大小未知
，指方位垂直于 BDa tDB?
tDa?
c o stDBnBnD aaa
由此可得
228.445c o s
4.22.7
c o s s
maaa
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D
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得：
53
所以,BDE板的角加速度为逆时针sr a d
BD
a tDB 12
24.0
28.4
再取 B为基点，则 E点的加速度为
02BEa nEB?式中：
方向向左
28.4124.0 s
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)( baaaaa tEBnEBtBnBE
tEBa?
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轴上投影，如图三得和在将矢量式（ EyExb )
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所以
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B
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图三）(
