第二十三章 达朗伯原理
达朗伯原理,在引入达朗伯惯性力的基础上,利用静力学平衡方程的数学形式列写系统的动力学方程
即,将一个事实上的动力学问题转化为形式上的静力学问题,通常将这种处理问题的方法称为 动静法 。
第二十三章 达朗伯原理
※ 23.1 惯性力的概念
※ 23.2 达朗伯原理
※ 23.3 质点系达朗伯力系的简化
※ 23.4 动静法的应用举例
※ 23.5 定轴转动刚体的轴承附加动反力
23.1 惯性力的概念第一类惯性力第二类惯性力
第一类惯性力 ---------在研究质点相对运动动力学中引入的,
取惯性参考系为定系,非惯性参考系为动系,质点为动点,则复合运动的知识知,质点运动的绝对加速度为
cer aaaa
牵连惯性力 科氏惯性力
eqF
上式表明：除质量为 m的质点上作用的真实合力外，若设想再增加两个力：
一个等于,称为 牵连惯性力,用 表示 ;
一个等于,称为 科氏惯性力,用 表示。
Feq?
Fcq?
eam
cam
rce amamamF
)()(移项后得到
amF
代入牛顿第二定律
Fcq?
0)( amNF
移项后得到第二类惯性力 ------在达朗伯原理中引入的,
设质量为 m的非自由质点，在主动力的合力和约束力的合力 的作用下，在惯性参考系中以加速度 运动，则由牛顿第二定律知
F?
N?
a?
amNF
F?am?
N?
表明这样质点在运动的任一瞬时，
主动力、约束力和达朗伯惯性力组成了一个形式上的平衡汇交力系 。
)( am
用 表示 。F
q
除质点上作用的真实力的合力 F和 N外，
设想再加上一个等于 的力，
称为 达朗伯惯性力该式称为 质点的达朗伯原理的数学表达式
0 qFNF
23.2.2质点的达朗伯定理设某质点系由 n个质点组成，作用于第 i个质点上的主动力和约束反力的合力分别为和,质点 的质量和加速度分别为 和Fi
Ni? Di mi ai?
23.2达朗伯原理
0)( amNF可写为
23.2.1质点的达朗伯原理引入达朗伯惯性力后，
质点系在运动的任意瞬时，其达朗伯惯性力系和外力系组成了一平衡力系，称为 质点系的达朗伯原理 。
说明若质点系各质点所受外力的合力用表示，根据平衡力系的主矢和对任一点 A
的主矩都为零可写出以下平衡方程
)...2,1()( niF ei
0 iqii FNF
写为
0 qFNF
0
11
)(
n
i
iq
n
i
e
i FF
rr
0)()(
1
)(
1
iq
n
i
A
e
i
n
i
A FmFm
rr
为了便于问题的处理，常将质点系的达朗伯惯性力系用一个简单的与之等效的力系来代替，称为 质点系达朗伯惯性力系的简化 。
23.3.1 质点系的达朗伯惯性力系的主矢和主矩质点系的达朗伯惯性力系的主矢为各质点达朗伯惯性力的矢量和
23.3 质点系达朗伯惯性力系的简化
n
i
ii
n
i
iqRq amFF
11
)(
两边对时间求二阶导数
n
i
iiC amaM
1
代入
n
i
ii
n
i
iqRq amFF
11
)( cRq aMF
M
rm
r
n
i
ii
C
1
设质点系的质点 相对于空间某一固定点 o的矢径为 质点系的总质量为 M,
则将质点系质心的矢径公式
Dir
i?
)....2,1( n
表明说明质点系的达朗伯惯性力系的主矢等于质点系的总质量与质心加速度的乘积并冠以负号质点系达朗伯惯性力系对空间固定点 O的主矩为各质点的达朗伯惯性力对 O的力矩的矢量和
)()(
11
ii
n
i
iiq
n
i
OOq amrFmM
根据定义并将 代入,得 0
11
)(
n
i iq
n
i
ei FF
ni iqRqni eieR FFFF 11 )()(,
CRq aMF
ceR aMF)(
本质上为 质心运动定理的数学表达式
0
11
)(
n
i iq
n
i
e
i FF
表明代入 )()(
11 amrFMM ii
n
i iiq
n
i OOq
利用 并交换求和,求导顺序0vv ii
dt
LdM O
Oq
式中 为质点系对 O的动量矩)(
1 vmrL ii
n
i iO
质点系的达朗伯惯性力系对 O点的主矩等于质点系对 O点的动量矩对时间的一阶导数并冠以负号
amrvmvvmr iiiiiiiiidtd )(
对于质量不变的质点系,将
0)()(
1
)(
1
FF iq
n
i A
e
i
n
i A
mm对于当其中的 A取为固定点时,其本质为对空间固定点的 O的动量矩的数学表达式当其中的 A取为质点系质心 C时,其本质是质点系对质心的动量矩定理的数学表达式
MdtLd eOO?
)(?
MdtLd eCC?
)(?
质点系达朗伯原理的平衡方程质心运动定理对空间动量矩定理对质心的动量矩定理
c
e
R aMF
)(
MdtL
d e
O
O?
)(?
MdtL
d e
C
C?
)(?
23.3.2 平面运动的达朗伯惯性力系的简化刚体作平面运动,其达朗伯惯性力系向 C简化得到一个达朗伯惯性力,一个达朗伯惯性力偶一个达朗伯惯性力,作用线过质心,大小和方向与达朗伯惯性力 的主矢相同F
Rq
一个达朗伯惯性力偶,力偶矩为达朗伯惯性力系对 C的主矩 M
Cq?
cCq aMF
dt
Ld C
CqM
当平面运动的刚体有质量对称面,且质量对称面沿自身所在平面运动,此时 的方向垂直于其质量对称面且
LC?
JL CC?
于是
( 为刚体对过其质心并垂直于其质量对称面的轴的转动惯量 ;
为其运动的角速度 )
LC?
JM CCq
为运动的角加速度?
在这种情况下,平面运动刚体的达朗伯惯性力系向其质心简化的一个达朗伯惯性力和达朗伯惯性力偶矩 如图所示
FCq?
MCq?
特殊情况
1.平面平动 刚体
2.定轴转动 刚体
C ca
1.平面平动刚体其力矢为如图示即达朗伯惯性力系向质心简化只有一个达朗伯惯性力因为,所以0?L
C? 0?MCq
cCq aMF
C
FCq
aC
n
CqF
r?
qCF
r
2.定轴转动刚体其质心加速度可由质心的向心加速度和切向加速度表示达朗伯惯性力系简化为若定轴转动刚体有对称面,
且定轴垂直质量对称面
JM CCq
dt
Ld
M
aMF
aMF
C
Cq
CCq
n
C
n
cq
达朗伯惯性力达朗伯惯性力偶
ncar
car
o
c
r
r
qCM
r
23.5 定轴转动的轴承附加动反力如图,
Di
质量为 m 的刚体在上受主动力或主动合力 F
i
)....2,1( ni?
的作用下,
以角速度角加速度 绕 AB
作定轴转动
A
B
rC
Dn
Fn
D1
D2
Di
FBx
FBy
FAx
FAy
FAz
y
x
z
r
r
以止推轴承 A为原点,建立 一与刚体固连的动直角坐标系 Axyz 并使 z 轴与 AB轴重合,则刚体质心 C相对于固定点 A的矢径可以表示为
kji zyxr CCCC
中的坐标常值式中 zyx CCC,,为质心在动坐标系 Axyz
质心速度为
zyx
rv
CCC
CC
kji
00
质心加速度为
vvva CCCC dt
d
dt
d rrrr r
由定义
jidtvd xy C
C
c rr
r
~
0
00
xy
v
CC
C
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代入质心加速度公式
ji yxxya CCCCC )()( 22
A的动量矩为
kJjJiJL zyzxzA
求一阶导数
LdtLddtLd AAA
~
kJjJJiJJdtLd zxzyzyzxzA
)()( 22
得刚体的达朗伯力系向 A点简化达朗伯惯性力
jmimF yxxy CCCCAq )()( 22
达朗伯惯性力偶
kJjJJiJJM zxzyzyzxzAq )()( 22
刚体所受约束反力为 FFFFF ByBxAzAyAx,,,,
根据达朗伯定理
0)(:0 2
1
xy CCBxAxn
i ixx
mFFFF
0)(:0 2
1
yx CCByAyn
i iyy
mFFFF
0:0
1
FFF Az
n
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0)()(:0 2
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1
JJlFFMM xzyzBxin
i
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1
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i
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解方程
)(1)](1[ 2
1
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i
yBx
)(1)](1[ 2
1
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i
xBy
)()(1)](1[ 22
11
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i
y
n
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Ax mJJlFMlFF
)()(1)](1[ 22
11
rrrrrrr yx CCyzxzin
i
x
n
i iyAy
mJJlFMlFF
][
1
n
i iZAZ FF
动反力,刚体在运动条件下所受的约束反力静反力附加动反力
[ ….,]
注意与主动力的作用直接相关,与刚体的运动无关静反力,
附加动反力,
与刚体的达朗伯惯性力有关在实际工程中,当转子 (作定轴转动的刚体 )进入正常工作状态后 (即 ),由上式知附加动反力在动直角坐标轴上投影是固定不变的常数,0
注意消除附加动反力的根本办法,
使达朗伯惯性力系自成平衡力系
0
0
JJ yzxz
CC yx
无论刚体转动的角速度和角加速度为何值刚体都不会受到附加反力
1)刚体的转轴必须过其质心
2)刚体的转轴必须为惯量主轴刚体坐定轴转动时,轴承的附加动反力为零的 条件是 转轴必须为中心惯量主轴
达朗伯原理,在引入达朗伯惯性力的基础上,利用静力学平衡方程的数学形式列写系统的动力学方程
即,将一个事实上的动力学问题转化为形式上的静力学问题,通常将这种处理问题的方法称为 动静法 。
第二十三章 达朗伯原理
※ 23.1 惯性力的概念
※ 23.2 达朗伯原理
※ 23.3 质点系达朗伯力系的简化
※ 23.4 动静法的应用举例
※ 23.5 定轴转动刚体的轴承附加动反力
23.1 惯性力的概念第一类惯性力第二类惯性力
第一类惯性力 ---------在研究质点相对运动动力学中引入的,
取惯性参考系为定系,非惯性参考系为动系,质点为动点,则复合运动的知识知,质点运动的绝对加速度为
cer aaaa
牵连惯性力 科氏惯性力
eqF
上式表明：除质量为 m的质点上作用的真实合力外，若设想再增加两个力：
一个等于,称为 牵连惯性力,用 表示 ;
一个等于,称为 科氏惯性力,用 表示。
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代入牛顿第二定律
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移项后得到第二类惯性力 ------在达朗伯原理中引入的,
设质量为 m的非自由质点，在主动力的合力和约束力的合力 的作用下，在惯性参考系中以加速度 运动，则由牛顿第二定律知
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表明这样质点在运动的任一瞬时，
主动力、约束力和达朗伯惯性力组成了一个形式上的平衡汇交力系 。
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除质点上作用的真实力的合力 F和 N外，
设想再加上一个等于 的力，
称为 达朗伯惯性力该式称为 质点的达朗伯原理的数学表达式
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23.2.2质点的达朗伯定理设某质点系由 n个质点组成，作用于第 i个质点上的主动力和约束反力的合力分别为和,质点 的质量和加速度分别为 和Fi
Ni? Di mi ai?
23.2达朗伯原理
0)( amNF可写为
23.2.1质点的达朗伯原理引入达朗伯惯性力后，
质点系在运动的任意瞬时，其达朗伯惯性力系和外力系组成了一平衡力系，称为 质点系的达朗伯原理 。
说明若质点系各质点所受外力的合力用表示，根据平衡力系的主矢和对任一点 A
的主矩都为零可写出以下平衡方程
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为了便于问题的处理，常将质点系的达朗伯惯性力系用一个简单的与之等效的力系来代替，称为 质点系达朗伯惯性力系的简化 。
23.3.1 质点系的达朗伯惯性力系的主矢和主矩质点系的达朗伯惯性力系的主矢为各质点达朗伯惯性力的矢量和
23.3 质点系达朗伯惯性力系的简化
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则将质点系质心的矢径公式
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表明说明质点系的达朗伯惯性力系的主矢等于质点系的总质量与质心加速度的乘积并冠以负号质点系达朗伯惯性力系对空间固定点 O的主矩为各质点的达朗伯惯性力对 O的力矩的矢量和
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质点系的达朗伯惯性力系对 O点的主矩等于质点系对 O点的动量矩对时间的一阶导数并冠以负号
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质点系达朗伯原理的平衡方程质心运动定理对空间动量矩定理对质心的动量矩定理
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23.3.2 平面运动的达朗伯惯性力系的简化刚体作平面运动,其达朗伯惯性力系向 C简化得到一个达朗伯惯性力,一个达朗伯惯性力偶一个达朗伯惯性力,作用线过质心,大小和方向与达朗伯惯性力 的主矢相同F
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一个达朗伯惯性力偶,力偶矩为达朗伯惯性力系对 C的主矩 M
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当平面运动的刚体有质量对称面,且质量对称面沿自身所在平面运动,此时 的方向垂直于其质量对称面且
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于是
( 为刚体对过其质心并垂直于其质量对称面的轴的转动惯量 ;
为其运动的角速度 )
LC?
JM CCq
为运动的角加速度?
在这种情况下,平面运动刚体的达朗伯惯性力系向其质心简化的一个达朗伯惯性力和达朗伯惯性力偶矩 如图所示
FCq?
MCq?
特殊情况
1.平面平动 刚体
2.定轴转动 刚体
C ca
1.平面平动刚体其力矢为如图示即达朗伯惯性力系向质心简化只有一个达朗伯惯性力因为,所以0?L
C? 0?MCq
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C
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2.定轴转动刚体其质心加速度可由质心的向心加速度和切向加速度表示达朗伯惯性力系简化为若定轴转动刚体有对称面,
且定轴垂直质量对称面
JM CCq
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23.5 定轴转动的轴承附加动反力如图,
Di
质量为 m 的刚体在上受主动力或主动合力 F
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的作用下,
以角速度角加速度 绕 AB
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以止推轴承 A为原点,建立 一与刚体固连的动直角坐标系 Axyz 并使 z 轴与 AB轴重合,则刚体质心 C相对于固定点 A的矢径可以表示为
kji zyxr CCCC
中的坐标常值式中 zyx CCC,,为质心在动坐标系 Axyz
质心速度为
zyx
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质心加速度为
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由定义
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代入质心加速度公式
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A的动量矩为
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求一阶导数
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得刚体的达朗伯力系向 A点简化达朗伯惯性力
jmimF yxxy CCCCAq )()( 22
达朗伯惯性力偶
kJjJJiJJM zxzyzyzxzAq )()( 22
刚体所受约束反力为 FFFFF ByBxAzAyAx,,,,
根据达朗伯定理
0)(:0 2
1
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动反力,刚体在运动条件下所受的约束反力静反力附加动反力
[ ….,]
注意与主动力的作用直接相关,与刚体的运动无关静反力,
附加动反力,
与刚体的达朗伯惯性力有关在实际工程中,当转子 (作定轴转动的刚体 )进入正常工作状态后 (即 ),由上式知附加动反力在动直角坐标轴上投影是固定不变的常数,0
注意消除附加动反力的根本办法,
使达朗伯惯性力系自成平衡力系
0
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无论刚体转动的角速度和角加速度为何值刚体都不会受到附加反力
1)刚体的转轴必须过其质心
2)刚体的转轴必须为惯量主轴刚体坐定轴转动时,轴承的附加动反力为零的 条件是 转轴必须为中心惯量主轴
