第二十五章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
25.1 动力学普遍方程 例题 1
25.2 第二类拉格朗日方程例题 2 例题 3 例题 4 例题 5
第二十五章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程根据 达朗伯原理 和 虚位移原理,可以导出非自由质点的 动力学普遍方程 。
利用它解决问题时，可以避免约束反力在动力学方程中的出现，比较方便 !
第一类拉格朗日方程,用直角坐标描述的非自由质点系的拉格朗日方程
------模拟和求解复杂系统的动力学问题第二类拉格朗日方程,将完整约束系统的动力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以推得。
----可以直接写出个数与系统自由度相同的独立运动方程 。
25.1 动力学普遍方程设一个质点系由 n个质点组成，
air在任意瞬时,加速度为第 i个质点的质量为 mi
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
am iiiqF rr
作用于此质点上的主动力的合力约束反力的合力达朗伯惯性力
0 FNF
iqii
rrr ).,.........2,1( ni?
(25.1)
则点积虚位移 r
i?
对这 n个式子求和若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
).,.........2,1( ni?
(25.2)
0)( rFNF iiqii?
0)(
1
rFNF iiqii
n
i
(25.3)
0
1
rN i
n
i
i?
在具有理想约束的质点系中，在运动的任一瞬时，作用在其上的主动力系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何一组虚位移上的虚功之和等于零 。
动力学普遍方程或者达朗伯 — 拉格朗日原理说明
0)0)(
11
ramFrFF iii
n
i
iiiqi
n
i
（或者(25.4)
上式变为：
例 25.1 如图所示，有两个半径皆为
r的轮子 A,B，轮心通过光滑圆柱铰链与直杆 AB相连，在倾角为 的固定不动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 P，
重心都在轮上，对轮心的转动惯量为 J，
连杆重 Q。求连杆运动的加速度。
解,
(1)以两轮和连杆组成的系统为研究对象系统所受约束为理想约束
a
A
B
Fq1
Fq2
Fq3
P PQ
Mq2
Mq1
若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,
则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角
s?
r
s
(3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为通过轮心的达朗伯惯性力达朗伯惯性力偶矩 其中
agPFF qq 21
JMM qq 21 ra
连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其质心的一个达朗伯惯性力 agQF
q?3
(2)系统所受的主动力为重力 P,P和 Q
（ 5） 根据动力学普遍方程
0)()(s in)2( 21321 MMFFF qqqqq ssQP
JgQP
gQPa
r
r
2)2(
s in)2(
2
2
得,
方向平行于斜面向下,
25.2 第二类拉格朗日方程直接用质点系的广义坐标的变分来表示各质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推得与系统自由度相同的一组独立的运动微分方程设完整约束的质点系由 n个质点组成,系统的自由度为 k,广义坐标为 qqq k......,,21
各点的虚位移可表示为代入 0)0)(
11
ramr iii
n
i iiiqi
n
i FFF
rrr rrr （或者各质点相对于定点 O的矢径可表示为
),,......,,( 21 tqqqrr kii?,..,.,.,)2,1(?i (25.5)
（ 25.6)q
q
rr
j
n
i
j
i
i
1
)..,2,1( ni?
得
0)(
11
qqramF jk
j i
i
ii
n
i i
rrr （ 25.7）
交换上式 求和顺序得
0])([
11 1
qqramqrF j
j
i
i
n
j
i
j
i
k
j
n
i i
rrrr
广义主动力,qrFQ
j
i
n
i ij?
rr
1
广义达朗伯惯性力：
q
ramG
j
i
i
n
i
ij?
rr
)(
1
先引入两个经典的拉格朗日关系式：
（ 1） 第一个经典拉格朗日方程由 对时间求导 ),,......,,( 21 tqqqrr kii?
再对 求偏导数q
j
q
r
q
r
q
r
q
v
j
i
j
i
j
i
j
i
或得到 )...2,1( kj?
（ 2） 第二个经典拉格朗日方程在上式对 s个广义坐标 求偏导数得)...,2,1( ksq
s?
)()(
1
2
1
2
q
r
qq
r
q
q
r
qqq
r
q
v
s
i
j
s
i
k
j
j
s
i
k
j j
sj
i
s
i
t
t
r
&
r
&
rr
即
)( qrqv
s
i
s
i
dt
d
rr
也可以写为
)( qrqv
j
i
j
i
dt
d
rr )(
q
r
q
r
j
i
j
i
dt
d
rr或 )...2,1( kj?
对于不变质点系 qrvmG
j
i
i
n
i ij dt
d
)][
1
(
由 )()()]([])[(
qrvmqrvmqrvm jiiijiiijiii dt
d
dt
d
dt
d
qvvmqvvmG jii
n
i ij
i
ii
n
ij dt
d
)(])[(
11?
得引入系统动能 vvmvm
iii
n
ii
i
n
i
T
11 2
12
2
1
对 求偏导数qq jj,?
q
v
vm
q
q
v
vm
j
i
i
n
i
i
j
j
i
i
n
i
i
j
T
q
T
r
r
&
r
r
&
1
1
将以上公式代入
q
vvm
q
vvmG
j
i
i
n
i
i
j
i
ii
n
i
j dt
d
)(])[(
11?得
qqG jjj
TT
dt
d
)(
由以上将 0])([
11 1
qqramqrF j
j
i
i
n
j ij
ik
j
n
i i
改写为
0])([
1
qqq j
jj
n
i
TT
dt
dQ?
因为 的相互独立性qqq n.......,21
得 第二类拉格朗日方程 Q
qq jjj
TT
dt
d?
若质点系所受的全部的主动力为有势力
qQ jj
V
系统的势能只是系统广义坐标的函数 0?
q j
V
0(])([ qq
jj
VTVT
dt
d ）
可得引进 L=T-V,成为 拉格朗日函数,则上式为
0?
qq jj
LL
dt
d
应用动力学普遍方程解题时的注意事项：
（ 1）系统中各质点的加速度与各刚体的角速度都必须是绝对加速度于绝对角速度。
（ 2）计算主动力与惯性力的虚功时所涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。
拉格朗日方程得解题步骤
（ 1）以整个系统为研究对象，分析系统的约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选取同样数目的广义坐标
（ 2）写出广义坐标，广义速度表示的系统的动能
（ 3）计算广义力。比较方便而且常用得式由公式 计算。当主动力均为有势力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，
并写出拉氏函数。
qQ j
j
j
W
][?
（ 4）计算各相应的导数
（ 5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系的运动微分方程。
例 25,2 一质量为 m的小球与弹簧的一端相连，
弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹性系数为 k，在平衡位置式的长度为 L。是求小球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。
o
k
m
r
(1) 取小球和弹簧组成的系统为研究对象，系统由两个自由度，选取小球的极坐标 为广义坐标
),(?r
])([21 22?rrmT
(2)系统的动能为
（ 3）设衡位置时系统的势能为零,则系统的势能为
2
0
2
0 )-2
1(
2
1)c os( ll lrkrlmgV （）
其中 kmgll0
（ 4）系统的拉格朗日函数
2
0
2
0
222 )(
2
1)(
2
1)c o s()(
2
1 llrr lkrkrlmgmVTL
（ 5）分别计算导数
s in
2
)(c o s
2
2
0
2
m g r
L
mrmr
L
dt
d
m
L
rkmgmr
r
L
rm
r
L
dt
d
rm
r
L
r
r
l
（ 6）由保守系统的第二类拉格朗日方程
0?
r
L
r
L
dt
d
0 LLdtd?
0s in2
0)1()c o s1(2
grr
rkmgmrrm
得例 25.3 图是一质量为 M的均质圆盘，半径为
R,其中心 A与弹性系数为 k，弹簧原长为,
且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧的另一端固定。质量为 m，长为 的均质杆
AB通过以光滑铰链 A与圆盘中心相连。若圆盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的拉式方程。
l
l0
k
x
B
P
C
vA
vCA
vC
(2) 圆盘和杆的动能分别为解 （ 1） 系统的自由度为 2，以图中的
x,为系统的广义坐标。
设杆的质心为 C，圆盘的速度瞬心为 P
2222
11 4
3))
2
3(
2
1
2
1 xM
r
xM rJT
P?
c o s
2
1
6
1
2
1
24
1
]c o s)
2
(2)
2
([
2
1
)
12
1
(
2
1
)]c o s (2[
2
1
2
1
2
1
222
2222
2222
2
2
2
2
xmlmxm
m
l
x
l
xm
mm
m
l
l
lvvvv
JvT
CAACAA
CC
故系统的动能为 TTT
21
（ 3）设过 A的水平面为重力势能的零势能面，
弹簧原长为弹性势能的零势能点则系统的势能为
c os2)(21 20 lmgxkV l
（ 4）系统的拉格朗日函数为
L=T-V
(5) 计算导数
)(
s in
2
1
c o s
2
1
)
2
3
(
c o s
2
1
)
2
3
(
0
2
lxk
x
L
mlmlxmM
x
L
dt
d
mlxmM
x
L
s in
2
s in
2
1
s in
2
1
c o s
2
1
3
1
c o s
2
1
3
1
22
2
l
mgxml
L
xmlxmlml
L
dt
d
xmlml
L
（ 6） 由拉氏方程
0
0
LL
dt
d
x
L
x
L
dt
d
可得到
0)(2s inc o s)23( 02 lxkmlmlxmM
0s in3c o s32 gxl
例 25.4 质量为 M的均质圆柱再三角块斜边上作纯滚动，如图所示。三角块的质量也为 M，
置于光滑水平面上，其上有刚度系数为 k的弹簧平行于斜面系在圆柱体轴心 O上。设角试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。
030
解,取整个系统为研究对象三角块作平动，
圆柱作平面运动，
系统具有两个自由度。
o
k
选三角块的水平位移 和圆柱中心 O沿三角块斜面的位移 为广义坐标，其中 由静止时三角块任一点位置计起,由弹簧原长处计起如图 。因为作用在系统上的主动力 mg 和弹性力均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解
x1
x2 x1
x2
0)(
11
xx LLdtd?
0)(
22
xx LLdtd? v
e
mgmg
x2
o
k
l0
取圆柱中心 O为动点，动系与三角块固连，
定系与水平面固连，则 O点的绝对速度
vvv reO rrr
其中 xv
e?1? xvr?2?
所以，系统的动能
c o s
4
3
))(
2
1
(
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
2
2
1
22
21
2
2
2
1
2
1
222
1
xxxx
x
r
xxxxxIvx
mmm
r
m
mmmmT
OO
&&&&
&
&&&&&r&
0
1
xL?co s23 12
1
xxx mmL
co s23)( 12
1
xxx mmLdtd
s in2
2
mgkL xx
将以上表达式代入
0)(
11
xx LLdtd? 0)(
22
xx LLdtd?
整理得到系统的微分方程
0232 21 xx
0212323 222 mgkmm xxx
例 25.5 如图所示系统中，均质圆柱 B的质量
，半径 R=10cm,通过绳和弹簧与质量 的物块 M相连，弹簧的刚度系数
,斜面的倾角 。假设圆柱 B滚动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，
不计定滑轮 A，绳子和弹簧的质量，以及轴承
A处摩擦，试求系统的运动微分方程
kgm 21?
kgm 12?
cmNk 2? 030
解：取整个系统为研究对象。圆柱 B作平面运动物块 M作作平动，定滑轮
A作定轴转动
M?
A
B
系统有两个自由度，选圆柱 B的质心沿斜面向上坐标 及物块 M铅垂向下的的坐标 为广义坐标，其原点均在静平衡位置。如图
x1 x2
A
M?
B
gm1 gm
2
x1
x2
因为作用在系统上的主动力重力和弹性力均为有势力
gm1 gm2
所以可用拉格朗日方程式求解 0)( 11 xx LLdtd?
0)(
22
xx LLdtd?
若选弹簧原长处为势能零点，则系统的势能
s in2 222 xx mgkV
故系统的拉氏函数
s in2c os43 222212221 xxxxxx mgkmmmVTL
求各偏导数：
co s2 21
1
xxx mmL
co s2)( 21
1
xxx mmLdtd
系统的动能
xmx
xmxRxxmIx
m
R
mmmT
BB
2
22
2
1
2
22
212
1
2
1
2
22
22
1
2
1
4
3
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形的势能与重力势能相互抵消，
于是系统的势能
2
12 )(2 xx
kV
故系统的拉氏函数
2
12
2
22
2
11 )(22
1
4
3 xxxmxm kVTL
求各偏导数
xmxL 11
1 2
3?
xmxLdtd 11
1 2
3)(?
)( 12
1
xxkxL
xmxL 22
2
xmxLdtd 22
2
)(
)( 12
2
xxkxL
将以上的表达式代入 0)( 11 xx LLdtd?
0)(
22
xx LLdtd?
整理得到系统的微分方程
0)(23 1211 xxxm k
0)( 1222 xxxm k
代入已知值
02002003 211 xxx
0200200 212 xxx
25.1 动力学普遍方程 例题 1
25.2 第二类拉格朗日方程例题 2 例题 3 例题 4 例题 5
第二十五章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程根据 达朗伯原理 和 虚位移原理,可以导出非自由质点的 动力学普遍方程 。
利用它解决问题时，可以避免约束反力在动力学方程中的出现，比较方便 !
第一类拉格朗日方程,用直角坐标描述的非自由质点系的拉格朗日方程
------模拟和求解复杂系统的动力学问题第二类拉格朗日方程,将完整约束系统的动力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以推得。
----可以直接写出个数与系统自由度相同的独立运动方程 。
25.1 动力学普遍方程设一个质点系由 n个质点组成，
air在任意瞬时,加速度为第 i个质点的质量为 mi
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
am iiiqF rr
作用于此质点上的主动力的合力约束反力的合力达朗伯惯性力
0 FNF
iqii
rrr ).,.........2,1( ni?
(25.1)
则点积虚位移 r
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对这 n个式子求和若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
).,.........2,1( ni?
(25.2)
0)( rFNF iiqii?
0)(
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i
(25.3)
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在具有理想约束的质点系中，在运动的任一瞬时，作用在其上的主动力系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何一组虚位移上的虚功之和等于零 。
动力学普遍方程或者达朗伯 — 拉格朗日原理说明
0)0)(
11
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（或者(25.4)
上式变为：
例 25.1 如图所示，有两个半径皆为
r的轮子 A,B，轮心通过光滑圆柱铰链与直杆 AB相连，在倾角为 的固定不动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 P，
重心都在轮上，对轮心的转动惯量为 J，
连杆重 Q。求连杆运动的加速度。
解,
(1)以两轮和连杆组成的系统为研究对象系统所受约束为理想约束
a
A
B
Fq1
Fq2
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Mq2
Mq1
若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,
则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角
s?
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(3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为通过轮心的达朗伯惯性力达朗伯惯性力偶矩 其中
agPFF qq 21
JMM qq 21 ra
连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其质心的一个达朗伯惯性力 agQF
q?3
(2)系统所受的主动力为重力 P,P和 Q
（ 5） 根据动力学普遍方程
0)()(s in)2( 21321 MMFFF qqqqq ssQP
JgQP
gQPa
r
r
2)2(
s in)2(
2
2
得,
方向平行于斜面向下,
25.2 第二类拉格朗日方程直接用质点系的广义坐标的变分来表示各质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推得与系统自由度相同的一组独立的运动微分方程设完整约束的质点系由 n个质点组成,系统的自由度为 k,广义坐标为 qqq k......,,21
各点的虚位移可表示为代入 0)0)(
11
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rrr rrr （或者各质点相对于定点 O的矢径可表示为
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（ 25.6)q
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（ 1） 第一个经典拉格朗日方程由 对时间求导 ),,......,,( 21 tqqqrr kii?
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（ 2） 第二个经典拉格朗日方程在上式对 s个广义坐标 求偏导数得)...,2,1( ksq
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得 第二类拉格朗日方程 Q
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若质点系所受的全部的主动力为有势力
qQ jj
V
系统的势能只是系统广义坐标的函数 0?
q j
V
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可得引进 L=T-V,成为 拉格朗日函数,则上式为
0?
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应用动力学普遍方程解题时的注意事项：
（ 1）系统中各质点的加速度与各刚体的角速度都必须是绝对加速度于绝对角速度。
（ 2）计算主动力与惯性力的虚功时所涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。
拉格朗日方程得解题步骤
（ 1）以整个系统为研究对象，分析系统的约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选取同样数目的广义坐标
（ 2）写出广义坐标，广义速度表示的系统的动能
（ 3）计算广义力。比较方便而且常用得式由公式 计算。当主动力均为有势力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，
并写出拉氏函数。
qQ j
j
j
W
][?
（ 4）计算各相应的导数
（ 5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系的运动微分方程。
例 25,2 一质量为 m的小球与弹簧的一端相连，
弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹性系数为 k，在平衡位置式的长度为 L。是求小球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。
o
k
m
r
(1) 取小球和弹簧组成的系统为研究对象，系统由两个自由度，选取小球的极坐标 为广义坐标
),(?r
])([21 22?rrmT
(2)系统的动能为
（ 3）设衡位置时系统的势能为零,则系统的势能为
2
0
2
0 )-2
1(
2
1)c os( ll lrkrlmgV （）
其中 kmgll0
（ 4）系统的拉格朗日函数
2
0
2
0
222 )(
2
1)(
2
1)c o s()(
2
1 llrr lkrkrlmgmVTL
（ 5）分别计算导数
s in
2
)(c o s
2
2
0
2
m g r
L
mrmr
L
dt
d
m
L
rkmgmr
r
L
rm
r
L
dt
d
rm
r
L
r
r
l
（ 6）由保守系统的第二类拉格朗日方程
0?
r
L
r
L
dt
d
0 LLdtd?
0s in2
0)1()c o s1(2
grr
rkmgmrrm
得例 25.3 图是一质量为 M的均质圆盘，半径为
R,其中心 A与弹性系数为 k，弹簧原长为,
且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧的另一端固定。质量为 m，长为 的均质杆
AB通过以光滑铰链 A与圆盘中心相连。若圆盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的拉式方程。
l
l0
k
x
B
P
C
vA
vCA
vC
(2) 圆盘和杆的动能分别为解 （ 1） 系统的自由度为 2，以图中的
x,为系统的广义坐标。
设杆的质心为 C，圆盘的速度瞬心为 P
2222
11 4
3))
2
3(
2
1
2
1 xM
r
xM rJT
P?
c o s
2
1
6
1
2
1
24
1
]c o s)
2
(2)
2
([
2
1
)
12
1
(
2
1
)]c o s (2[
2
1
2
1
2
1
222
2222
2222
2
2
2
2
xmlmxm
m
l
x
l
xm
mm
m
l
l
lvvvv
JvT
CAACAA
CC
故系统的动能为 TTT
21
（ 3）设过 A的水平面为重力势能的零势能面，
弹簧原长为弹性势能的零势能点则系统的势能为
c os2)(21 20 lmgxkV l
（ 4）系统的拉格朗日函数为
L=T-V
(5) 计算导数
)(
s in
2
1
c o s
2
1
)
2
3
(
c o s
2
1
)
2
3
(
0
2
lxk
x
L
mlmlxmM
x
L
dt
d
mlxmM
x
L
s in
2
s in
2
1
s in
2
1
c o s
2
1
3
1
c o s
2
1
3
1
22
2
l
mgxml
L
xmlxmlml
L
dt
d
xmlml
L
（ 6） 由拉氏方程
0
0
LL
dt
d
x
L
x
L
dt
d
可得到
0)(2s inc o s)23( 02 lxkmlmlxmM
0s in3c o s32 gxl
例 25.4 质量为 M的均质圆柱再三角块斜边上作纯滚动，如图所示。三角块的质量也为 M，
置于光滑水平面上，其上有刚度系数为 k的弹簧平行于斜面系在圆柱体轴心 O上。设角试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。
030
解,取整个系统为研究对象三角块作平动，
圆柱作平面运动，
系统具有两个自由度。
o
k
选三角块的水平位移 和圆柱中心 O沿三角块斜面的位移 为广义坐标，其中 由静止时三角块任一点位置计起,由弹簧原长处计起如图 。因为作用在系统上的主动力 mg 和弹性力均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解
x1
x2 x1
x2
0)(
11
xx LLdtd?
0)(
22
xx LLdtd? v
e
mgmg
x2
o
k
l0
取圆柱中心 O为动点，动系与三角块固连，
定系与水平面固连，则 O点的绝对速度
vvv reO rrr
其中 xv
e?1? xvr?2?
所以，系统的动能
c o s
4
3
))(
2
1
(
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
2
2
1
22
21
2
2
2
1
2
1
222
1
xxxx
x
r
xxxxxIvx
mmm
r
m
mmmmT
OO
&&&&
&
&&&&&r&
0
1
xL?co s23 12
1
xxx mmL
co s23)( 12
1
xxx mmLdtd
s in2
2
mgkL xx
将以上表达式代入
0)(
11
xx LLdtd? 0)(
22
xx LLdtd?
整理得到系统的微分方程
0232 21 xx
0212323 222 mgkmm xxx
例 25.5 如图所示系统中，均质圆柱 B的质量
，半径 R=10cm,通过绳和弹簧与质量 的物块 M相连，弹簧的刚度系数
,斜面的倾角 。假设圆柱 B滚动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，
不计定滑轮 A，绳子和弹簧的质量，以及轴承
A处摩擦，试求系统的运动微分方程
kgm 21?
kgm 12?
cmNk 2? 030
解：取整个系统为研究对象。圆柱 B作平面运动物块 M作作平动，定滑轮
A作定轴转动
M?
A
B
系统有两个自由度，选圆柱 B的质心沿斜面向上坐标 及物块 M铅垂向下的的坐标 为广义坐标，其原点均在静平衡位置。如图
x1 x2
A
M?
B
gm1 gm
2
x1
x2
因为作用在系统上的主动力重力和弹性力均为有势力
gm1 gm2
所以可用拉格朗日方程式求解 0)( 11 xx LLdtd?
0)(
22
xx LLdtd?
若选弹簧原长处为势能零点，则系统的势能
s in2 222 xx mgkV
故系统的拉氏函数
s in2c os43 222212221 xxxxxx mgkmmmVTL
求各偏导数：
co s2 21
1
xxx mmL
co s2)( 21
1
xxx mmLdtd
系统的动能
xmx
xmxRxxmIx
m
R
mmmT
BB
2
22
2
1
2
22
212
1
2
1
2
22
22
1
2
1
4
3
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形的势能与重力势能相互抵消，
于是系统的势能
2
12 )(2 xx
kV
故系统的拉氏函数
2
12
2
22
2
11 )(22
1
4
3 xxxmxm kVTL
求各偏导数
xmxL 11
1 2
3?
xmxLdtd 11
1 2
3)(?
)( 12
1
xxkxL
xmxL 22
2
xmxLdtd 22
2
)(
)( 12
2
xxkxL
将以上的表达式代入 0)( 11 xx LLdtd?
0)(
22
xx LLdtd?
整理得到系统的微分方程
0)(23 1211 xxxm k
0)( 1222 xxxm k
代入已知值
02002003 211 xxx
0200200 212 xxx
