工程力学
第十六章 能量法
第十七章 静不定结构
第十八章 压杆稳定
第二十四章 变形固体的几个动力失效问题
附 录 平面图形的几何性质和弯曲强度第十六章 能量法
§ 16.1 弹性变形势能的计算
§ 16.2 虚位移原理用于变形固体
§ 16.3 单位载荷法
§ 16.4 计算莫尔积分的图乘法
§ 16.5 互等定理
§ 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
§ 16.1 弹性变形势能的计算
V duU
⒈ 弹性变形能：简称变形能、应变能。用 U表示。
量纲,[力 ][长度 ] 单位：焦耳,1J=1N?m
⒉ 比能：ｕ，单位体积的变形能。
⒊ 功能原理：静载 （动能及其它能量变化均略去）
U=W（外力所做的功）
16.1.1 外力功的计算
0?pdW
是曲线与横轴所包面积若材料服从胡克定律，曲线 斜直线。
其中力和位移都是广义的
PW 21
静载：外力由 0缓慢增加到最终值 P，外力作用点的位置也由 0增加到最终值 Δ。
P
P
p
d
P
P 力 —— 线位移力偶 —— 角位移
1P
16,1,2～ 3 应变能及比能的计算
⒈ 基本变形件的应变能和比能。
EA
lNlPU
22
1 2
l dxEAxNU 2 )(2
Eu 22
1 2
EAlEA
lN
2
1
2
22?
轴向拉（压）
比能 u 杆件变形能 U 基本变形圆轴扭转
m P
GI
lTmU
22
1 2
l
P
dxGI xTU 2 )(
2 G
u 221
2?
m m
EI
lMmU
22
1 2
dxEI xMU l 2 )(
2
Eu 22
1 2
弯曲 纯弯曲注,1）纯弯曲时,的证明：
EI
Ml
法⒉ 而,BA
EI
Ml
EI
Ml
BA 26
1
3
1
dx
GA
xKQU
l?
2
)(2
2）剪切弯曲时，应分别计算弯曲和剪切变形相对应的应变能。剪切应变能为
EI
M
ds
d
1
EI
Ml法⒈,
K 是无量纲系数，与截面形状，尺寸有关,,,
但在细长梁情况下，对应的剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，长略去不计。
5
6
9
10
3）应变能的计算，不能用叠加原理。
习题 16.1 试判断应变能的下列叠加形式是否正确。
1P
2P)(a
1P
2P
)(b
P
P
)(d
P
M
)(e
);()(),()( 2121 PUPUPPUa
);()(),()( 2121 PUPUPPUb
);()(),()( 2121 MUMUMMUc
);(2)2()( PUPUd?
)()(),()( MUPUMPUe
1M
2M
)(c
16.2 杆件受力如图,EA为常量，下面两种对变形能的计算是否正确？
EA
lP
EA
lP
EA
lP
EA
lPP
U
EA
lP
EA
lP
EA
llP
EA
lP
U
2
2
22
)(
)2(
2
2
)(
2
)1(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
P
P
1l
2l
⒉ 复杂应力状态下应变比能由主应力，主应变表现出。
33221121u
133221232221 22 1 E
形变比能体变比能
d
V
u
u
u
⒊ 体变比能和形变比能
（ 1）体变比能
2?
1?
3?
=
m?
m?
m?
+
m2
m1
m3
图 (b)单元体由于 3个主应力相等，只能发生体积改变，其应变比能就是（ a）的体变比能
m32131图中
（ 2） 图（ c）单元体的应变比能 =（ a） 的形变比能
22)( 3232 1 mmbV Euu
232 21 mE
23216 21 E
2
13
2
32
2
21
133221
2
3
2
2
2
1)(
6
1
2
2
1
E
E
uu
mmmmmm
mmmcd
（ 3）体变比能与形变比能关系：比较可知
dV uuu,,
dV uuu
EI
Pl
vWU
vPW
l
EI
P
dxPx
EI
dx
EI
xM
U
B
B
l
l
3
2
1
322
1
2
)(
3
322
0
2
由
A B
P
l
x
Bv例 16,１求注：直接用功能原理,只能解决结构受单个载荷作用时求载荷作用处的位移 。
§ 16.2 虚位移原理用于变形固体
16.2.1 虚位移原理用于变形固体在 § 9.4中,对由弹簧连接的刚体系统或变形体中虚位移原理表达式为
00
11
ie
n
i
i
i
n
i
e
i WWWW 简记为此处的内力虚功指内力在相应的变形虚位移上作的功。
16.2.2 内力虚功的表达式
M
N
Q
dQQ?
dNN?
dMM?
dx
对 这一微段而言原内力 都应看作
“外力”，这个微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移。
dx
dMMdQQdNNMQN,,,,,
刚体虚位移：该微段因其它各微段的变形而引起的虚位移（将该段视为刚体）
变形虚位移：该微段本身变形引起的虚位移，
由任何原因引起的，只要满足是小变形及变形协调条件。
可分解为,,,)( dadQld
2
ld
2
ld
2
d
2
d
2
d
2
d
2
d2
d
对于刚体虚位移所做的总虚功 =0
作用下该微段在“外力” dMMdQQdNNMQN,,,,,∵
∴ 只需考虑“外力”在变形虚位移上所作的虚功。
2)(22)(22 )(2 )( ddQQdQddMMdMlddNNldN
QdMdlNdWd e
由 得该微段内力虚功为,0)()(
ie WdWd
QdMdlNdWdWd ei )()(
∴ 整个结构的内力虚功为：
略去高阶无穷小，得该阶段的“外力”虚功为
QdMdlNdW i
TdQdMdlNdP ii
式中,作用在结构上的原力系中的广义力
,沿 作用方向的广义虚位移
iP
i 点i iP
0 ie WW 即用于变形固体的虚位移原理可具体表达为：
Td若横截面上还有扭矩，则应加一项：
注：虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制,材料的应力应变关系可以非线性 。
规定 的符号与相应的指向或转向一致者为正。
dddldi,,,,
TQMNP i,,,,
§ 16.3单位载荷法
16.3.1 单位载荷法（又称莫尔积分法）
a
a
K
(a)
a
a
1
内力,QMN,,
(b)
要求 （ a） 中任一点 K,沿任意方向的位移：
⒈ 取同样的梁,只在 K点沿方向作用单位 （ b）
⒉ 考虑 (b)梁，将单位力看作实际载荷，将 (a)中位移作为虚位移，则：
dQdMldN lll1
注,⒈ 若要求某点角位移，则应施加单位力偶。
若要求两点间相对线位移,则应在两点处同时施加一对方向相反的单位力,
若要求两点间的相对角位移,则应在两点同时施加一对方向相反的单位力偶 。
dTdQdMldN
一般情况下，求结构中一点位移：
⒉ 左端是的缩写,∴ 若求出为,+”说明单位力作功为,+”,也就是所求的位移与单位力方向相同 。
⒊ 第三项 常可略去不计 。dQ
若,Q引起的 B处挠度仅为 M引起的挠度的 1%。
10
1?
l
h
A B
q
l b
h
例,
i
n
i
i lN
1
4．以弯曲为主的杆件，只记右端第二项。
只扭转，只记右端第四项。
只轴向拉压，只记右端第一项，且若 N为常量。（绗架）
16.3.2 单位载荷法用于线弹性结构若材料线弹性,服从胡克定律
EAN d xld
EI
M d xdx
dx
vddx
dx
dv
dx
dd
2
2
pGI
Td xd
注,1）对平面刚架和曲杆，截面上通常有：
N,Q,M,除了 Q可以略去不计 。 轴力 N的影响也比 M小的多 。 因此只按刚架上某段有 M和 N同时存在,N可
pGI
dxTT
EI
dxMM
EA
dxNN∴
所以常称为莫尔定理或莫尔积分。
推广：对截面高度 <<轴线曲率半径的平面曲杆也适用例 16.1 已知,AD=DB=BC=,求a
cv
A D B C
1x
2x
3x
q
qaP?
4
qa
4
7qa
2
1
2
3
1
略去不计。
ii
iii
AE
lNN2）对绗架，
解,1,求支反力
AD段 （ ）ax 10
1111 214 xxMxqaxM
DB段 （ ）axa 22
22222 214 xxMaxqaxqaxM
2,分段列 M方程。 （每段的坐标系可不同，但同段上的及所取坐标原点方向必须相同）
BC段 （ ）ax 30
33233 21 xxMqxxM
EI
qa
dxxMxMdxxMxMdxxMxM
EI
v
aa
a
a
c
24
5
1
4
33
0
322
2
211
0
1
（结果为,+”，说明 与单位力方向一至，即向下）
cv
cv
3.计算
B
Aq
d?qRd
1
1
c o s1
s i n
2
0
qR
RqR dM
c o s1 RM
2M,单位力作用下
M?1,q作用下任一截面上
AB?
例 16,2 求 A,B之间相对位移
3
EI
qR
ds R d
EI
MM
AB
4
0
3
2
§ 16.4 计算莫尔积分的图乘法
)?
xM cM
l
x
cx
dx
xM
C?
y
x0
dxMM? 对等直杆可采用图乘法计算。
x tgxM?
dxxxMtgdxxMxM ll
对应的纵坐标值图形心图中与,cMMM C
ccl MtgxdxxMxM∴
轴静矩图对是 yMdxxxM
l?
∴
dxxxM 是阴影部分面积对 y轴静矩
M 图,直线（或折线、折线分段）
M 图,形状任意，面积为 W
注 1）对扭矩项或轴力项也得类似公式
2）常用图形的面积和形心见书 P402
1,与 在同一侧时，互乘结果为,+”。M M
2,为折线时，转折点处要将,图分段分别图乘，再按代数值叠加。
M M M
图乘法注意事项：
EI
Mdx
EI
xMxM c
l
∴
3,有变化时，需分段图乘，再叠加。EI
4,图的面积 及形心 不好求时，可将图划分为几个简单部分，分别图乘，
再叠加。
M? cx
M
5,当梁上载荷较复杂时，为避免绘出的图 及 不好找，可令每种载荷单独作用在梁上，绘 图，再放在一起。
M
cx
M
6,同一杆件，同种类型的内力图才能互乘。
双向弯曲的梁，同一平面内的 图和图才能互乘。
M M
7．当 图及 图均为直线段时，谁取 均可。M M?
qaP? q
a a a
2
2qa
2
2qa
1?
2? 3?
⊕
M
例 16.4 用图乘法重新计算例 16.2
1
对直梁和刚架,图乘法比积分法要简单方便 。
21
aM c?
aM c 322? aM c 433?
M
321 3211 cccc MMMEIv
EI
qa
a
qa
aa
qa
a
aqa
a
EI
24
5
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
11
4
222
例 16.5 求中间铰两侧截面相对转角。
4
Pl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4M
11
M
23
1
2l 2l 2l
l
qP
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllpl
EI?
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
32
3
6
1 23 plql
EI
例 16.10 求 C处的线位移 。
q
A B
C
l
l
y
z
x
)( TM?
2ql
2
2ql
求,则应在 C处沿 x方向加单位力。1
cx?
1
l
xM
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
2 求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
1
l l
yTM?
ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
GEdql 23118 44?
求,在 C处沿 z向加单位力。3
cz?
l
1
zM
0?cz?
思考,若想求杆 1的转角（杆 1长）,如何加单位反力？
P
1
§ 16.5 互等定理
16.5.1 功的互等定理
ij?,i表示位移发生在 i点。 j表示引起 的载荷作用在 j点。
ij?
1 2
11? 21?
1P
先加,然后在加
1P 2P
1212221111 2
1
2
1 PPPW
12? 22?
1 2
2P
1P
2P
先加,再加
2P 1P
2121112222 2
1
2
1 PPPW
∵
21 WW?
∴
212121 PP
在 由引起的位移 上所作的功 = 在由引起的位移 上所作的功称为功的互等定理
1P 2P 12? 2P 1P
21?
注,和 可以推广为一组力系。1
1P 2P
1P 2P
2 可以推广到两种应力状态：第一种应力状态在第二种应力状态引起的位移上作的功等于第二种应力状态在第一种应力状态引起的位移上做的功例 16.７ 轴承中滚珠，直径为,沿直径两端作用一对大小相等方向相反的集中力 F,材料的弹性模量 E和泊松比已知。试用功的互等定理求滚珠的体积改变。
d
F
F
第一状态
q
第二状态由功的互等定理：
Fq VqdF
对第二状态，滚珠的任一点应力状态均为
q 321
d
E
q
d
E
qd
21
1
321
∴21
E
Fd
q
dFV q
F
负号表示体积缩小
16.5.2位移互等定理若,则有,即两个广义力,
数值上相等。 则 在 作用处引起的广义位移 = 在 作用处引起的广义位移。
21 PP? 2112 1P 2P
1P 2P
2P 1P
例 16.8 欲用测量方法画挠曲线（描点绘图）
而测挠度的千分表又不能动，请拟定实验方案。
利用位移互等定理，如想测中点 C的挠度
P
A B
C
PC
B
PC
B∵
作用在 B处引起的 C处挠度 =P作用在 C处引起的 B
处挠度
∴ 只要将 P移至 C点，千分表测得的 B处挠度就是原题图中要求的中点 C的挠度。
注,1,只要在线性及小变形条件下，互等定理都成立。
以此类推，将 AB平分为 8等份，将 P依次移动。千分表测得各处挠度，描点作出挠曲线。
2,及 为广义的，若为力偶矩，则对应的角位移：
mP
§ 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
1,势能驻值原理：
§ 9.5中,平衡位形出现在势能取驻值处。0?V?
对变形体, 0 VU
其中 V 仍为外力势能
U为弹性变形势能（应变能）
结构平衡时，总势能对某一位移函数取驻值，
或说总势能的一阶变分为零。
2,最小势能原理：
结构在稳定的平衡状态下所具有的总势能必为最小。
1 假设一位移函数近似地表示结构的真实位移，此函数包括一个或多个待定的位移参数。
3.瑞利 -里茨法用于求近似解，其原理和方法：
对位移函数最低要求：满足变形连续条件及位移边界条件 。
对位移函数最高要求：再满足力的边界条件更好 。
2 将总势能 用待定的位移参数表示出来。
3 将总势能对每一个参数取偏导数，并另其为零（势能驻值原理）。得到包含待定参数的联立方程组，解之，可求待定参数。
注：假设的位移函数中包含的待参数越多，结果越精确。从理论上说如果假设的位移函数为完备的函数系列构成的无穷级数，应该得到精确结果。在工程实际中取两个或三个待定参数就可以达到满意结果。
4 参数一经求出，假设的位移函数就已确定,进而可求出结构的内力。
例 16.9 求自由端挠度、转角及固定端弯矩。
位移函数（即挠度函数）：?1
lxy 2c os1
l
x
ly 2s in2
'
l
x
ly 2c o s4 2
2
''
满足 处 。待定参数,表示自由端挠度（ ）
0?x 0,0 ' yy?
lxy
q
y
x
l
o2
3 242
0
''
0
2
6422 l
EIdxyEIdx
EI
MU ll
l qlyqdxV
0
21
2164 3
24
qllEI
3 由 得
0dd
EI
ql
4
42132
4 自由端挠度即为?
固定端弯矩,''E IyM
2
1
8
4
2
2
2
2
0
ql
EI
l
M
x
讨论：
1．自由端挠度，即最大挠度。
3
3
'
2116
2
ql
EIl
y
lx?
自由端转角：
EI
ql
EI
ql 44 1 2 5.0
8?
精确解：
误差,4%
2．自由端转角。
精确解：
EI
ql
EI
ql 33 167.0
6?
近似解：
EI
ql
EI
ql 33
3 18 7.0
2116
误差,-12%
EI
ql
EI
ql 44
4 12.0
2132
近似解：
3,固定端弯矩 。
精确解,22 5.0
2
1 qlql?
近似解,22
2 3.0
218 qlql
误差,40%
原因：位移函数是不精确的，其导数就更不精确了，微分次数越大，误差越大。
提高精确度办法：取包含两个或三个待定位移参数的挠度函数 。 精确度会有明显提高 。
工程上精确度足够 。
第十六章 能量法
第十七章 静不定结构
第十八章 压杆稳定
第二十四章 变形固体的几个动力失效问题
附 录 平面图形的几何性质和弯曲强度第十六章 能量法
§ 16.1 弹性变形势能的计算
§ 16.2 虚位移原理用于变形固体
§ 16.3 单位载荷法
§ 16.4 计算莫尔积分的图乘法
§ 16.5 互等定理
§ 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
§ 16.1 弹性变形势能的计算
V duU
⒈ 弹性变形能：简称变形能、应变能。用 U表示。
量纲,[力 ][长度 ] 单位：焦耳,1J=1N?m
⒉ 比能：ｕ，单位体积的变形能。
⒊ 功能原理：静载 （动能及其它能量变化均略去）
U=W（外力所做的功）
16.1.1 外力功的计算
0?pdW
是曲线与横轴所包面积若材料服从胡克定律，曲线 斜直线。
其中力和位移都是广义的
PW 21
静载：外力由 0缓慢增加到最终值 P，外力作用点的位置也由 0增加到最终值 Δ。
P
P
p
d
P
P 力 —— 线位移力偶 —— 角位移
1P
16,1,2～ 3 应变能及比能的计算
⒈ 基本变形件的应变能和比能。
EA
lNlPU
22
1 2
l dxEAxNU 2 )(2
Eu 22
1 2
EAlEA
lN
2
1
2
22?
轴向拉（压）
比能 u 杆件变形能 U 基本变形圆轴扭转
m P
GI
lTmU
22
1 2
l
P
dxGI xTU 2 )(
2 G
u 221
2?
m m
EI
lMmU
22
1 2
dxEI xMU l 2 )(
2
Eu 22
1 2
弯曲 纯弯曲注,1）纯弯曲时,的证明：
EI
Ml
法⒉ 而,BA
EI
Ml
EI
Ml
BA 26
1
3
1
dx
GA
xKQU
l?
2
)(2
2）剪切弯曲时，应分别计算弯曲和剪切变形相对应的应变能。剪切应变能为
EI
M
ds
d
1
EI
Ml法⒈,
K 是无量纲系数，与截面形状，尺寸有关,,,
但在细长梁情况下，对应的剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，长略去不计。
5
6
9
10
3）应变能的计算，不能用叠加原理。
习题 16.1 试判断应变能的下列叠加形式是否正确。
1P
2P)(a
1P
2P
)(b
P
P
)(d
P
M
)(e
);()(),()( 2121 PUPUPPUa
);()(),()( 2121 PUPUPPUb
);()(),()( 2121 MUMUMMUc
);(2)2()( PUPUd?
)()(),()( MUPUMPUe
1M
2M
)(c
16.2 杆件受力如图,EA为常量，下面两种对变形能的计算是否正确？
EA
lP
EA
lP
EA
lP
EA
lPP
U
EA
lP
EA
lP
EA
llP
EA
lP
U
2
2
22
)(
)2(
2
2
)(
2
)1(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
P
P
1l
2l
⒉ 复杂应力状态下应变比能由主应力，主应变表现出。
33221121u
133221232221 22 1 E
形变比能体变比能
d
V
u
u
u
⒊ 体变比能和形变比能
（ 1）体变比能
2?
1?
3?
=
m?
m?
m?
+
m2
m1
m3
图 (b)单元体由于 3个主应力相等，只能发生体积改变，其应变比能就是（ a）的体变比能
m32131图中
（ 2） 图（ c）单元体的应变比能 =（ a） 的形变比能
22)( 3232 1 mmbV Euu
232 21 mE
23216 21 E
2
13
2
32
2
21
133221
2
3
2
2
2
1)(
6
1
2
2
1
E
E
uu
mmmmmm
mmmcd
（ 3）体变比能与形变比能关系：比较可知
dV uuu,,
dV uuu
EI
Pl
vWU
vPW
l
EI
P
dxPx
EI
dx
EI
xM
U
B
B
l
l
3
2
1
322
1
2
)(
3
322
0
2
由
A B
P
l
x
Bv例 16,１求注：直接用功能原理,只能解决结构受单个载荷作用时求载荷作用处的位移 。
§ 16.2 虚位移原理用于变形固体
16.2.1 虚位移原理用于变形固体在 § 9.4中,对由弹簧连接的刚体系统或变形体中虚位移原理表达式为
00
11
ie
n
i
i
i
n
i
e
i WWWW 简记为此处的内力虚功指内力在相应的变形虚位移上作的功。
16.2.2 内力虚功的表达式
M
N
Q
dQQ?
dNN?
dMM?
dx
对 这一微段而言原内力 都应看作
“外力”，这个微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移。
dx
dMMdQQdNNMQN,,,,,
刚体虚位移：该微段因其它各微段的变形而引起的虚位移（将该段视为刚体）
变形虚位移：该微段本身变形引起的虚位移，
由任何原因引起的，只要满足是小变形及变形协调条件。
可分解为,,,)( dadQld
2
ld
2
ld
2
d
2
d
2
d
2
d
2
d2
d
对于刚体虚位移所做的总虚功 =0
作用下该微段在“外力” dMMdQQdNNMQN,,,,,∵
∴ 只需考虑“外力”在变形虚位移上所作的虚功。
2)(22)(22 )(2 )( ddQQdQddMMdMlddNNldN
QdMdlNdWd e
由 得该微段内力虚功为,0)()(
ie WdWd
QdMdlNdWdWd ei )()(
∴ 整个结构的内力虚功为：
略去高阶无穷小，得该阶段的“外力”虚功为
QdMdlNdW i
TdQdMdlNdP ii
式中,作用在结构上的原力系中的广义力
,沿 作用方向的广义虚位移
iP
i 点i iP
0 ie WW 即用于变形固体的虚位移原理可具体表达为：
Td若横截面上还有扭矩，则应加一项：
注：虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制,材料的应力应变关系可以非线性 。
规定 的符号与相应的指向或转向一致者为正。
dddldi,,,,
TQMNP i,,,,
§ 16.3单位载荷法
16.3.1 单位载荷法（又称莫尔积分法）
a
a
K
(a)
a
a
1
内力,QMN,,
(b)
要求 （ a） 中任一点 K,沿任意方向的位移：
⒈ 取同样的梁,只在 K点沿方向作用单位 （ b）
⒉ 考虑 (b)梁，将单位力看作实际载荷，将 (a)中位移作为虚位移，则：
dQdMldN lll1
注,⒈ 若要求某点角位移，则应施加单位力偶。
若要求两点间相对线位移,则应在两点处同时施加一对方向相反的单位力,
若要求两点间的相对角位移,则应在两点同时施加一对方向相反的单位力偶 。
dTdQdMldN
一般情况下，求结构中一点位移：
⒉ 左端是的缩写,∴ 若求出为,+”说明单位力作功为,+”,也就是所求的位移与单位力方向相同 。
⒊ 第三项 常可略去不计 。dQ
若,Q引起的 B处挠度仅为 M引起的挠度的 1%。
10
1?
l
h
A B
q
l b
h
例,
i
n
i
i lN
1
4．以弯曲为主的杆件，只记右端第二项。
只扭转，只记右端第四项。
只轴向拉压，只记右端第一项，且若 N为常量。（绗架）
16.3.2 单位载荷法用于线弹性结构若材料线弹性,服从胡克定律
EAN d xld
EI
M d xdx
dx
vddx
dx
dv
dx
dd
2
2
pGI
Td xd
注,1）对平面刚架和曲杆，截面上通常有：
N,Q,M,除了 Q可以略去不计 。 轴力 N的影响也比 M小的多 。 因此只按刚架上某段有 M和 N同时存在,N可
pGI
dxTT
EI
dxMM
EA
dxNN∴
所以常称为莫尔定理或莫尔积分。
推广：对截面高度 <<轴线曲率半径的平面曲杆也适用例 16.1 已知,AD=DB=BC=,求a
cv
A D B C
1x
2x
3x
q
qaP?
4
qa
4
7qa
2
1
2
3
1
略去不计。
ii
iii
AE
lNN2）对绗架，
解,1,求支反力
AD段 （ ）ax 10
1111 214 xxMxqaxM
DB段 （ ）axa 22
22222 214 xxMaxqaxqaxM
2,分段列 M方程。 （每段的坐标系可不同，但同段上的及所取坐标原点方向必须相同）
BC段 （ ）ax 30
33233 21 xxMqxxM
EI
qa
dxxMxMdxxMxMdxxMxM
EI
v
aa
a
a
c
24
5
1
4
33
0
322
2
211
0
1
（结果为,+”，说明 与单位力方向一至，即向下）
cv
cv
3.计算
B
Aq
d?qRd
1
1
c o s1
s i n
2
0
qR
RqR dM
c o s1 RM
2M,单位力作用下
M?1,q作用下任一截面上
AB?
例 16,2 求 A,B之间相对位移
3
EI
qR
ds R d
EI
MM
AB
4
0
3
2
§ 16.4 计算莫尔积分的图乘法
)?
xM cM
l
x
cx
dx
xM
C?
y
x0
dxMM? 对等直杆可采用图乘法计算。
x tgxM?
dxxxMtgdxxMxM ll
对应的纵坐标值图形心图中与,cMMM C
ccl MtgxdxxMxM∴
轴静矩图对是 yMdxxxM
l?
∴
dxxxM 是阴影部分面积对 y轴静矩
M 图,直线（或折线、折线分段）
M 图,形状任意，面积为 W
注 1）对扭矩项或轴力项也得类似公式
2）常用图形的面积和形心见书 P402
1,与 在同一侧时，互乘结果为,+”。M M
2,为折线时，转折点处要将,图分段分别图乘，再按代数值叠加。
M M M
图乘法注意事项：
EI
Mdx
EI
xMxM c
l
∴
3,有变化时，需分段图乘，再叠加。EI
4,图的面积 及形心 不好求时，可将图划分为几个简单部分，分别图乘，
再叠加。
M? cx
M
5,当梁上载荷较复杂时，为避免绘出的图 及 不好找，可令每种载荷单独作用在梁上，绘 图，再放在一起。
M
cx
M
6,同一杆件，同种类型的内力图才能互乘。
双向弯曲的梁，同一平面内的 图和图才能互乘。
M M
7．当 图及 图均为直线段时，谁取 均可。M M?
qaP? q
a a a
2
2qa
2
2qa
1?
2? 3?
⊕
M
例 16.4 用图乘法重新计算例 16.2
1
对直梁和刚架,图乘法比积分法要简单方便 。
21
aM c?
aM c 322? aM c 433?
M
321 3211 cccc MMMEIv
EI
qa
a
qa
aa
qa
a
aqa
a
EI
24
5
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
11
4
222
例 16.5 求中间铰两侧截面相对转角。
4
Pl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4M
11
M
23
1
2l 2l 2l
l
qP
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllpl
EI?
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
32
3
6
1 23 plql
EI
例 16.10 求 C处的线位移 。
q
A B
C
l
l
y
z
x
)( TM?
2ql
2
2ql
求,则应在 C处沿 x方向加单位力。1
cx?
1
l
xM
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
2 求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
1
l l
yTM?
ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
GEdql 23118 44?
求,在 C处沿 z向加单位力。3
cz?
l
1
zM
0?cz?
思考,若想求杆 1的转角（杆 1长）,如何加单位反力？
P
1
§ 16.5 互等定理
16.5.1 功的互等定理
ij?,i表示位移发生在 i点。 j表示引起 的载荷作用在 j点。
ij?
1 2
11? 21?
1P
先加,然后在加
1P 2P
1212221111 2
1
2
1 PPPW
12? 22?
1 2
2P
1P
2P
先加,再加
2P 1P
2121112222 2
1
2
1 PPPW
∵
21 WW?
∴
212121 PP
在 由引起的位移 上所作的功 = 在由引起的位移 上所作的功称为功的互等定理
1P 2P 12? 2P 1P
21?
注,和 可以推广为一组力系。1
1P 2P
1P 2P
2 可以推广到两种应力状态：第一种应力状态在第二种应力状态引起的位移上作的功等于第二种应力状态在第一种应力状态引起的位移上做的功例 16.７ 轴承中滚珠，直径为,沿直径两端作用一对大小相等方向相反的集中力 F,材料的弹性模量 E和泊松比已知。试用功的互等定理求滚珠的体积改变。
d
F
F
第一状态
q
第二状态由功的互等定理：
Fq VqdF
对第二状态，滚珠的任一点应力状态均为
q 321
d
E
q
d
E
qd
21
1
321
∴21
E
Fd
q
dFV q
F
负号表示体积缩小
16.5.2位移互等定理若,则有,即两个广义力,
数值上相等。 则 在 作用处引起的广义位移 = 在 作用处引起的广义位移。
21 PP? 2112 1P 2P
1P 2P
2P 1P
例 16.8 欲用测量方法画挠曲线（描点绘图）
而测挠度的千分表又不能动，请拟定实验方案。
利用位移互等定理，如想测中点 C的挠度
P
A B
C
PC
B
PC
B∵
作用在 B处引起的 C处挠度 =P作用在 C处引起的 B
处挠度
∴ 只要将 P移至 C点，千分表测得的 B处挠度就是原题图中要求的中点 C的挠度。
注,1,只要在线性及小变形条件下，互等定理都成立。
以此类推，将 AB平分为 8等份，将 P依次移动。千分表测得各处挠度，描点作出挠曲线。
2,及 为广义的，若为力偶矩，则对应的角位移：
mP
§ 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
1,势能驻值原理：
§ 9.5中,平衡位形出现在势能取驻值处。0?V?
对变形体, 0 VU
其中 V 仍为外力势能
U为弹性变形势能（应变能）
结构平衡时，总势能对某一位移函数取驻值，
或说总势能的一阶变分为零。
2,最小势能原理：
结构在稳定的平衡状态下所具有的总势能必为最小。
1 假设一位移函数近似地表示结构的真实位移，此函数包括一个或多个待定的位移参数。
3.瑞利 -里茨法用于求近似解，其原理和方法：
对位移函数最低要求：满足变形连续条件及位移边界条件 。
对位移函数最高要求：再满足力的边界条件更好 。
2 将总势能 用待定的位移参数表示出来。
3 将总势能对每一个参数取偏导数，并另其为零（势能驻值原理）。得到包含待定参数的联立方程组，解之，可求待定参数。
注：假设的位移函数中包含的待参数越多，结果越精确。从理论上说如果假设的位移函数为完备的函数系列构成的无穷级数，应该得到精确结果。在工程实际中取两个或三个待定参数就可以达到满意结果。
4 参数一经求出，假设的位移函数就已确定,进而可求出结构的内力。
例 16.9 求自由端挠度、转角及固定端弯矩。
位移函数（即挠度函数）：?1
lxy 2c os1
l
x
ly 2s in2
'
l
x
ly 2c o s4 2
2
''
满足 处 。待定参数,表示自由端挠度（ ）
0?x 0,0 ' yy?
lxy
q
y
x
l
o2
3 242
0
''
0
2
6422 l
EIdxyEIdx
EI
MU ll
l qlyqdxV
0
21
2164 3
24
qllEI
3 由 得
0dd
EI
ql
4
42132
4 自由端挠度即为?
固定端弯矩,''E IyM
2
1
8
4
2
2
2
2
0
ql
EI
l
M
x
讨论：
1．自由端挠度，即最大挠度。
3
3
'
2116
2
ql
EIl
y
lx?
自由端转角：
EI
ql
EI
ql 44 1 2 5.0
8?
精确解：
误差,4%
2．自由端转角。
精确解：
EI
ql
EI
ql 33 167.0
6?
近似解：
EI
ql
EI
ql 33
3 18 7.0
2116
误差,-12%
EI
ql
EI
ql 44
4 12.0
2132
近似解：
3,固定端弯矩 。
精确解,22 5.0
2
1 qlql?
近似解,22
2 3.0
218 qlql
误差,40%
原因：位移函数是不精确的，其导数就更不精确了，微分次数越大，误差越大。
提高精确度办法：取包含两个或三个待定位移参数的挠度函数 。 精确度会有明显提高 。
工程上精确度足够 。
