工 程 力 学 (c)
北京理工大学工程力学系工 程 力 学 （ C）
第十章 变形固体静力学概述
第十一章 应力应变分析
第十二章 轴向拉压
第十三章 扭转
第十四章 梁的弯曲
第十五章 组合变形第十章 变形固体静力学概述
静力学主要研究的是原点，刚体的受力与平衡问题而实际上物体受力后都会发生变形，即两点间的距离相对变化。工程结构中的构件。均为可变形固体构件的类型可分为：杆，板壳。
块。本课程主要以杆为研究对象。
例如：屋梁，柱桥梁，传动轴。
一、任务
1、强度 —— 构件抵抗破坏的能力，
如屋架，梁等
2、刚度 —— 构件抵抗变形的能力，
如传动轴等
3、稳定性 —— 构件维持原有平衡形式的能力，即平衡的稳定性问题，
如柱等
注意：构件在使用中，存在安全性与经济性的矛盾，变形固体静力学的任务就是确定结构的承载力，解决构件安全与经济的矛盾。
变形体力学的发展：十七世纪 Galileo
开创了实验和数学分析相结合的科学方法。变形固体力学的分析方法与工程有更为紧密的联系,,实验和基本理论有同等重要的地位,
二、变形固体的基本假设
1、连续性假设：材料是密实的，在整个几何体内是连续分布的
2、均匀性假设：材料在各处的力学性质相同（统计平均）
3、各向同性假设：材料在各方面上的力学性能相同
4、小变形假设：构件受力后的变形同其几何尺寸相比非常小。
因此,研究物体的平衡时,可以忽略变形,以确定其支反力和内力
例如下图
A
B
AM
P
AR
三,杆件变形的基本形式
杆的几何特性：
轴线,横截面,
形心,轴线过横截面的形心,
横截面与轴线垂直,杆可用其轴线表示 。
轴线横截面形心
杆的分类：曲杆，直杆，变截面杆，
等截面杆
直杆的四种基本变形形式：
1、轴向的拉伸或压缩,
1P
2P?
3P
拉伸（压缩）演示拉伸（压缩）演示
1
P
2
P 2
P
1
P
1M 2M
3,扭转,
2,剪切,
剪 切 演 示剪 切 演 示扭 转 演 示矩 形 扭 转
P
4,弯曲,
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时,称为组合变形 。
四、杆件的内力
杆件所受到的载荷（主动力）和约束反力，统称为外力。
内力是指：在外力的作用下构件一部分对另一部分的作用力。
研究内力的目的是确定构件的强度和刚度。
研究内力的方法
1、截面法,
以轴向拉 （ 压 ） 杆为例,
在 n-n处切开取分离体用内力替代沿杆件轴线的作用的内力称为轴力
CBA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1P
1N
n
n
1N
2P
3P
n
n
2P
1P
2N
m
m
m
m
2N
3P
CBA
n
n
m
m
1P
2P
3P
A B
C1P
3P
取一微段，其作用
n
n
N N使微段伸长时的轴力为拉力使微段缩短时的轴力为压力
约定：截面上的轴力均要按拉力假设，其方向与截面的外法线方向相同。
轴力图：横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。
2、扭转内力
a b
n
n
A CB
AM
0m
n
n
T
AM
bmM A 0?
例：求 T
支反力
扭矩图，如图
A CB
a b
n
n
AM
0m
CBA
bm0
T
约定,T的方向按截面的外法线方向假设。
3、弯曲内力
(1)弯曲的概念：
以弯曲变形为住的杆见称为梁通常梁的横截面有一对称轴与轴线构成纵向对称面。对称弯曲或平面弯曲静定梁 。
x
m qP
2R
1R
q
简支梁
P
外伸梁悬臂梁
m
(2)梁横截面上的内力,
q
x
x BA
AR BR
l
xq
A
AR
xQ
xM
q
B
BRxQ
xM
xQ 剪力
xM 弯矩约定：剪力,弯矩的正负规定
QQ 为正为正剪力 Q
弯矩 M M
M
B
q
x
xA
AR BR
l
M图
Q图 2ql
2
ql
2
8
1ql
2m a x
qlQ?
qlM
8
1
m a x?
(3)q,Q,M间的关系
xqdxdxQdxdM?
xqdxdQdx Md22
利用 q,Q,M的积分关系作内力图
dx
xq
xQ
xM dMxM?
dQxQxq 向上为正
(1)若 q(x)=0 即
Q图为一水平直线由
M图斜率为一常量，即 M图为一斜直线
（ Q>0,Q<0 )
c o n s txQdxd,0?
c o n stQdxdM
(2)若
Q图为一斜直线 而 M图为一抛物线
0 c o n s txq
\/; qq
图图 M
dx
MdqM
dx
Mdq,0,;,0,
2
2
2
2
例
qaR A 45? qaR B 4
3?
\,0,0,MQqCA
/,0,0,MQqAD
MQqDB \,,0:
0x0
0
xxdx
dM 0
0?xQ
(3)若 即 M在截面处有极值。
a a a
AR BR
DC A B
qaP?
q20 qam?
M的 极值点：
2
4
3
2
1
4
3?
aqaRM
Bm
2
32
9 qa? 4
qa
qa qa
4
3
2qa
243qa
2329 qa
a a a
AR BR
q
C A B
qaP? 20 qam?
4、多跨静定梁分成两段：
P
2P 2P
2
P
ql
Pql
22
1 2?
2
Pql?
C BA P
l a a
q
一段简支一段悬臂。
BA P
l a a
q
2
P
2
P
:Q
:M
Plql 2121 2?
4
Pl
5、刚架
刚结点：弯曲变形时与该结点连接的各杆间夹角不变
刚架：若干杆由刚节点连接而成的结构
BC
A
例,C结点为刚结点
约定,M图画在杆的纵向纤维受压一侧，
不标出正负 Q 图画在哪一侧均可标出正负。
1Q
2Q
1M
2M
1M
2M 2
Q
1Q
例：
1,支反力
qaR A 21?
qaR B 21?
qaH B?
aq
CA
B
AR
a
BR
BH
2,分段求杆端力
:AC
qaRQ ACA 21
2
2
1 qaaRM
ACA
A
C
AR CAM
CAQ
:CB
0?CBQ
qaRN BCB 21
2
2
1 qaM
CB?
BH
BR
CBQ
CBM
CBN
3,内力图
qa21
M
A
C
B
qa21
N
qa21
qa
Q
例,1/4圆弧曲杆
（ 微分关系不适用 ）
约定：
O
a
A
B
P P2
拉为正?N 与梁和刚架相同?Q
使轴线曲率增加为正?M
如下图
6、平面曲杆
P
P2
N
M
Q c o s2s in PPN
s in2c o s PPQ
)c o s1(2s in PaPaM
极值点：
0s in2c o s 00
PaPa
d
dM
2
1
0
tg o6.260
PaM 2 3 6.00 Pa
A
B
6.26
Pa263.0
M
弯曲内力分析讨论课
2
1
12
x
x
dxxqxQxQqdxd 积分有?
2
1
12
x
x
dxxQxMxMQdxdM 积分由二,积分关系
qdxd? Q
dx
dM? Q
dx
Md?
2
2一,
（ 面积的正负 ）
=剪力图面积
21 ~ xx由 2
1
x
x
dxxQ
条件无集中力偶作用
21 ~ xx由习题 3,已知剪力图求外力图及 M图 （
无集中力偶作用 ）
AC,Q水平 q=0 M/
KN2AP
KN2CP
mKN212CM
KN2
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
Q
CD,0?Q 0?q
M
DB,\Q
mKN1m2KN2q
KN2BP
M 为极值
DM
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
KN2
KN2
mKN1
KN2
KN2
KN2
mKN1
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
M
习题 4,已知 M图求剪力图和外力图
/MQ图,AC：
0?QQ 水平
1 K N1m m1 K NQ
CD,\M 水平0?Q
KN13 12Q
DB,M 0?Q
mKN?2
m1 m3 m1
mKN?1 mKN?1 M
A C D B
KN1
KN1
Q
外力图,
AC,Q 0?q
KN1AP KN2BP
CD,Q 0?q
KN1DP
DB:D处 M突变外力偶
mKN3Dm
mKN1Bm
mKN?2
m1 m3 m1
mKN?1 mKN?1 M
A C D B
KN1
KN2
KN1
mKN?1
mKN?3
三,用叠加法作 M图
A
B C
q qaP?
aa2
2a
2
8
1qa
2qa
M
A
B C
qaP?
PM
2qa
A
B C
q
221qa
qM
北京理工大学工程力学系工 程 力 学 （ C）
第十章 变形固体静力学概述
第十一章 应力应变分析
第十二章 轴向拉压
第十三章 扭转
第十四章 梁的弯曲
第十五章 组合变形第十章 变形固体静力学概述
静力学主要研究的是原点，刚体的受力与平衡问题而实际上物体受力后都会发生变形，即两点间的距离相对变化。工程结构中的构件。均为可变形固体构件的类型可分为：杆，板壳。
块。本课程主要以杆为研究对象。
例如：屋梁，柱桥梁，传动轴。
一、任务
1、强度 —— 构件抵抗破坏的能力，
如屋架，梁等
2、刚度 —— 构件抵抗变形的能力，
如传动轴等
3、稳定性 —— 构件维持原有平衡形式的能力，即平衡的稳定性问题，
如柱等
注意：构件在使用中，存在安全性与经济性的矛盾，变形固体静力学的任务就是确定结构的承载力，解决构件安全与经济的矛盾。
变形体力学的发展：十七世纪 Galileo
开创了实验和数学分析相结合的科学方法。变形固体力学的分析方法与工程有更为紧密的联系,,实验和基本理论有同等重要的地位,
二、变形固体的基本假设
1、连续性假设：材料是密实的，在整个几何体内是连续分布的
2、均匀性假设：材料在各处的力学性质相同（统计平均）
3、各向同性假设：材料在各方面上的力学性能相同
4、小变形假设：构件受力后的变形同其几何尺寸相比非常小。
因此,研究物体的平衡时,可以忽略变形,以确定其支反力和内力
例如下图
A
B
AM
P
AR
三,杆件变形的基本形式
杆的几何特性：
轴线,横截面,
形心,轴线过横截面的形心,
横截面与轴线垂直,杆可用其轴线表示 。
轴线横截面形心
杆的分类：曲杆，直杆，变截面杆，
等截面杆
直杆的四种基本变形形式：
1、轴向的拉伸或压缩,
1P
2P?
3P
拉伸（压缩）演示拉伸（压缩）演示
1
P
2
P 2
P
1
P
1M 2M
3,扭转,
2,剪切,
剪 切 演 示剪 切 演 示扭 转 演 示矩 形 扭 转
P
4,弯曲,
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时,称为组合变形 。
四、杆件的内力
杆件所受到的载荷（主动力）和约束反力，统称为外力。
内力是指：在外力的作用下构件一部分对另一部分的作用力。
研究内力的目的是确定构件的强度和刚度。
研究内力的方法
1、截面法,
以轴向拉 （ 压 ） 杆为例,
在 n-n处切开取分离体用内力替代沿杆件轴线的作用的内力称为轴力
CBA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1P
1N
n
n
1N
2P
3P
n
n
2P
1P
2N
m
m
m
m
2N
3P
CBA
n
n
m
m
1P
2P
3P
A B
C1P
3P
取一微段，其作用
n
n
N N使微段伸长时的轴力为拉力使微段缩短时的轴力为压力
约定：截面上的轴力均要按拉力假设，其方向与截面的外法线方向相同。
轴力图：横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。
2、扭转内力
a b
n
n
A CB
AM
0m
n
n
T
AM
bmM A 0?
例：求 T
支反力
扭矩图，如图
A CB
a b
n
n
AM
0m
CBA
bm0
T
约定,T的方向按截面的外法线方向假设。
3、弯曲内力
(1)弯曲的概念：
以弯曲变形为住的杆见称为梁通常梁的横截面有一对称轴与轴线构成纵向对称面。对称弯曲或平面弯曲静定梁 。
x
m qP
2R
1R
q
简支梁
P
外伸梁悬臂梁
m
(2)梁横截面上的内力,
q
x
x BA
AR BR
l
xq
A
AR
xQ
xM
q
B
BRxQ
xM
xQ 剪力
xM 弯矩约定：剪力,弯矩的正负规定
QQ 为正为正剪力 Q
弯矩 M M
M
B
q
x
xA
AR BR
l
M图
Q图 2ql
2
ql
2
8
1ql
2m a x
qlQ?
qlM
8
1
m a x?
(3)q,Q,M间的关系
xqdxdxQdxdM?
xqdxdQdx Md22
利用 q,Q,M的积分关系作内力图
dx
xq
xQ
xM dMxM?
dQxQxq 向上为正
(1)若 q(x)=0 即
Q图为一水平直线由
M图斜率为一常量，即 M图为一斜直线
（ Q>0,Q<0 )
c o n s txQdxd,0?
c o n stQdxdM
(2)若
Q图为一斜直线 而 M图为一抛物线
0 c o n s txq
图图 M
dx
MdqM
dx
Mdq,0,;,0,
2
2
2
2
例
qaR A 45? qaR B 4
3?
\,0,0,MQqCA
/,0,0,MQqAD
MQqDB \,,0:
0x0
0
xxdx
dM 0
0?xQ
(3)若 即 M在截面处有极值。
a a a
AR BR
DC A B
qaP?
q20 qam?
M的 极值点：
2
4
3
2
1
4
3?
aqaRM
Bm
2
32
9 qa? 4
qa
qa qa
4
3
2qa
243qa
2329 qa
a a a
AR BR
q
C A B
qaP? 20 qam?
4、多跨静定梁分成两段：
P
2P 2P
2
P
ql
Pql
22
1 2?
2
Pql?
C BA P
l a a
q
一段简支一段悬臂。
BA P
l a a
q
2
P
2
P
:Q
:M
Plql 2121 2?
4
Pl
5、刚架
刚结点：弯曲变形时与该结点连接的各杆间夹角不变
刚架：若干杆由刚节点连接而成的结构
BC
A
例,C结点为刚结点
约定,M图画在杆的纵向纤维受压一侧，
不标出正负 Q 图画在哪一侧均可标出正负。
1Q
2Q
1M
2M
1M
2M 2
Q
1Q
例：
1,支反力
qaR A 21?
qaR B 21?
qaH B?
aq
CA
B
AR
a
BR
BH
2,分段求杆端力
:AC
qaRQ ACA 21
2
2
1 qaaRM
ACA
A
C
AR CAM
CAQ
:CB
0?CBQ
qaRN BCB 21
2
2
1 qaM
CB?
BH
BR
CBQ
CBM
CBN
3,内力图
qa21
M
A
C
B
qa21
N
qa21
qa
Q
例,1/4圆弧曲杆
（ 微分关系不适用 ）
约定：
O
a
A
B
P P2
拉为正?N 与梁和刚架相同?Q
使轴线曲率增加为正?M
如下图
6、平面曲杆
P
P2
N
M
Q c o s2s in PPN
s in2c o s PPQ
)c o s1(2s in PaPaM
极值点：
0s in2c o s 00
PaPa
d
dM
2
1
0
tg o6.260
PaM 2 3 6.00 Pa
A
B
6.26
Pa263.0
M
弯曲内力分析讨论课
2
1
12
x
x
dxxqxQxQqdxd 积分有?
2
1
12
x
x
dxxQxMxMQdxdM 积分由二,积分关系
qdxd? Q
dx
dM? Q
dx
Md?
2
2一,
（ 面积的正负 ）
=剪力图面积
21 ~ xx由 2
1
x
x
dxxQ
条件无集中力偶作用
21 ~ xx由习题 3,已知剪力图求外力图及 M图 （
无集中力偶作用 ）
AC,Q水平 q=0 M/
KN2AP
KN2CP
mKN212CM
KN2
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
Q
CD,0?Q 0?q
M
DB,\Q
mKN1m2KN2q
KN2BP
M 为极值
DM
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
KN2
KN2
mKN1
KN2
KN2
KN2
mKN1
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
M
习题 4,已知 M图求剪力图和外力图
/MQ图,AC：
0?QQ 水平
1 K N1m m1 K NQ
CD,\M 水平0?Q
KN13 12Q
DB,M 0?Q
mKN?2
m1 m3 m1
mKN?1 mKN?1 M
A C D B
KN1
KN1
Q
外力图,
AC,Q 0?q
KN1AP KN2BP
CD,Q 0?q
KN1DP
DB:D处 M突变外力偶
mKN3Dm
mKN1Bm
mKN?2
m1 m3 m1
mKN?1 mKN?1 M
A C D B
KN1
KN2
KN1
mKN?1
mKN?3
三,用叠加法作 M图
A
B C
q qaP?
aa2
2a
2
8
1qa
2qa
M
A
B C
qaP?
PM
2qa
A
B C
q
221qa
qM
