第十八章 压杆稳定
§ 18.1 概述
§ 18.2 静力法
§ 18.3 能量法
§ 18.4 不同支承条件下细长压杆的临界载荷
§ 18.5 柔度临界应力总图
§ 18.6 压杆的稳定计算
§ 18.7 提高压杆稳定性措施
§ 18.1 概述
18.1.1 压杆稳定的概念细长压杆平衡，当压力 <“一定值”时，压杆一直处于直线形式的平衡，微小的外界扰动使其偏离平衡位置，发生微小的弯曲变形。但干扰解除后，
它仍能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直线形式的平衡状态是稳定的。当压力达到“一定数值”时，外界扰动使其发生微小的弯曲变形。扰动解除后，它将处于微弯状态下的平衡，而不能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直线形式的平衡状态是不稳定的。
失稳：压杆丧失直线形式的平衡状态转变为曲线形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称屈曲。
临界载荷：“一定数值”记为 。本章重点研究 。
应使 <,才能保证稳定性。 cr
P
P crP
crP
18.1.2 弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲细长压杆，当压力达到,杆中应力一般 < 。
crP crP
∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。 ∴ 细长压杆也称为弹性压杆。
f
P
P
f
P
A
D C
0
crP
B
,OA 直线一种平衡形式稳定
crPP?
：二种可能平衡形式
crPP?
AB 直线
AC（ AD） 曲线说明,直线形式不稳定，扰动，变为屈曲。crPP?
且 增长很快，f 时
crPP 0 1 5.1?
lf 11.0?
曲线称为压杆的平衡路径。 A点称为平衡路径的分叉点。 ∴ 细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲。其临界载荷又称为分叉载荷。
fP?
18.1.3 研究方法静力法（ § 18.2）能量法（ § 18.3）
§ 18.2 静力法与以前各章不同，研究稳定性，必须应用变形后形态下的平衡条件。
1,刚性杆稳定问题的静力法 。
l
P
A
B
k k
A
P
lk?
AXF
AYF
扰动使 AB
有倾斜?
弹簧力对 A之矩,恢复力矩22 lk?
P对 A之矩,偏离力矩lP?
若 稳定klP 2? )2( 2lklP
klP 2? 不稳定
∴ 是临界载荷。klP 2? klPcr 2?
2．两端铰支细长压杆（弹性）稳定角的静力法。
时，压杆可能有两种平衡形式。一种是直线，另一种是曲线。另一种是曲线。这时直线形式是不稳定的，稍扰动就过度到曲线形式的
crPP?
平衡状态。就取这种微弯状态下的平衡来研究。
P
A
l
y
crP
crP
x
crP
crP
y
x
)(xM
任截面上弯矩 yPxM
cr)(
：绝对值crP
：挠曲线方程)(xyy?
小变形，当 时，可用近似微分方程P
yPxMEI y cr )("
EI
Pk cr?2令
02" yky则
kxBkxAy c o ss in
边界条件,0:0 yx
0, ylx
代入上式将关于 A,B的齐次方程组：
0c o ss in
010
klBklA
BA
不能取 A=B=0，它虽满足方程组，但使。表示杆仍处于直线平衡状态。不是我们研究的问题。
若要有非零解,A,B就不能全为零。那么方程组中关于 A,B的系数行列式就必须等于零，即
0c o ss in 10 klklD 称稳定特征方程解得 0sin?kl
)2,1,0( nnkl?
2
22
l
EInP
cr
∴
弃去，其它的非零解称为原平衡微分方程的本征值，要求的临界载荷应是其中最小的本征值。
∴ 取 1?n
2
2
l
EIP
cr
此即两端铰支细长压杆的临界载荷公式，
又称欧拉公式讨论：
1,压杆在抗弯能力最弱的纵向平面内首先失稳
∴ 若各弯曲平面内的约束相同时,取 minII
若取 则L4,3,2?n
lllk 432
xlAy?2s in? xlA?3sin KKxlA?4s in
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。
∴ 实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意义上的就是 时的 。1?n
crP
3．当 时，1?n
l
xAy?s in?
A无法近似微分方程确定的常数，表示杆中点挠度。
4．对实际存在的外力有点偏心，处小曲率等。
公式仍可用。由安全系数调整。
用静力法步骤：
1,对临界微弯状态建立平衡微分方程。
2,稳定特征方程。
3,解特征方程，求得平衡微分方程的本征值。
其中最小的就是临界载荷。
§ 18.3 能量法
§ 16.6 中势能驻值原理和最小势能原理，知：
当压杆处于平衡状态时，。总势能对某一挠度函数去驻值，驻值若为最小值，平衡是稳定的。驻值若为最大值，平衡是不稳定的。
二者之间的平衡状态称为中性的。即临界状态。
∴ 能量准则：设是从原有平衡位置到任意相邻平衡位置时总势能的改变量。
0 为极小，平衡稳定
0 为极大，平衡不稳定
0 平衡中性，即处于临界状态
1．刚性杆稳定问题的能量法
22212 lklkU 弹簧增加弹性势能
P力作用点 B降低，势能减小
2)2(s in2c o s1 22 lll
2
2 lP
PV
由临界状态时必有,得 0 VU
02)(
2
2 lPlk cr
klPcr 2?
与静力法结构同
2．两端铰支细长压杆
l
y
P
x
dx
P
dx
cosdx
d
dxd )c o s1(
l dd 0?
压杆由直线 微弯 变形能?
l l dxyEIdxEI xMU 0 0 22 )"(21)(21
P力作用点下降,势能减少?
dxd )c o s1( )('2c o s1 2 xy而
dxxyd 2)('21∴
ll dxyd 0 20 )'(21
l dxyPPV 0 2)'(2?
由临界状态 得 0 VU
l lcr dxyPdxyEI0 0 22 )'()"(
l
l
cr
dxy
dxyEI
P
0
2
0
2
)'(
)"(∴
因此从理论上讲，应遍取一切可能的 y，使上式取最小值的才是真实的 y和真实的,所以上式应写为：
crP
l
l
l
l
cr
dxy
dxyEI
dxy
dxyEI
stP
0
2
0
2
0
2
0
2
)'(
)"(
m i n
)'(
)"(
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求泛函的最小值。
实际计算时，不必要取出一切可能的 y。
通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把原来的大范围缩小到只包含一个参数 的挠度函数集。
)1( lxlxy
它满足边界位移条件 x=0,y=0
x=l,y=0
l lEIdxyEI0 3 22 4)"(?
ldxy
l
3)'(
2
0
2
2
12
l
EIP
cr?
∴
我们已知 精确解为,误差偏大 22%,原因是它与真实的挠度函数相差太远。
crP 2
2
l
EI?
若使 y包含两个参数，
)1()1( 21 lxlxlxlxy
近似值的误差只偏大 0.05%crP
一般情况,可取一组适合边界位移条件的挠度函数
i?
iiy
取 2项或 3项便可以达到满意效果
* 两种方法比较,
精确解：二者等价近似解：求微分方程近似解较困难，求泛函极值近似解较方便。
§ 18.4 不同支承条件下细长压杆的临界载荷
2
2
)( l
EIP
cr?
：不同支承条件下压杆失稳时挠曲线正弦半波的长度l?
：长度系数?
P
A
l
1?u
l5.0
5.0?u
crP
l7.0
7.0?u
2?u
crP
l2
其它情况可用静力法或能量法求，
也可用正弦半波长度类比得出。
§ 18.5 柔度临界应力总图
18.5.1 临界应力和柔度临界载荷作用下,压杆在直线平衡位置时横截面上的应力
Al
EI
A
P cr
cr 2
2
)(?
又 惯性半径
A
Ii?
则 22222 22 )(
E
i
l
E
l
Ei
cr?
欧拉公式另一形式称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很重要的参数。
i
l
18.5.2 欧拉公式适用范围欧拉公式是由导 出的，而它又用到胡克定律
)(" xMEI y?
∴ 欧拉公式只有在 时才适用Pcr
P
E
2?即设 欧拉公式适用于
P
P
E
P
18.5.3 大柔度杆、中柔度杆和小柔度杆
1．大柔度杆：
① 的压杆称为大柔度杆，也就是细长杆。
② 此类压杆只发生了弹性失稳
③ 稳定计算：欧拉公式
P
2．中柔度杆：
① 称中柔度杆，也称中长杆
② 此类压杆也会发生失稳，但横截面上的应力 以超出 。出现塑性变形，称为非弹性失稳。其平衡路径无分支及分叉点，
只有极限点，也称为极限点屈面。
SP
cr? P?
③ 稳定计算：经验公式
3．小柔度杆：
① 称小柔度杆
② 此类压杆不失稳，其破坏原因是压应力达到屈服极限（塑）或强度极限（脆），
属强度问题。其“临界应力”就是屈服极限或强度极限。
S
18.5.4 中柔度杆的临界应力公式、临界应力总图经验公式以实验为基础：直线公式、抛物线公式
1．直线公式, bacr
式中 为压杆实际柔度,a,b是与材料有关常数?
采用直线公式计算中柔度杆的 时,曲线如下，称为临界应力总图
crcr
A
P?
cr?
s? P?
0
B
C
scr
bacr
2
2
Ecr?
2
2
)(ul
EIP
cr
P
P
E
b
a s
s
（ 1）由压杆材料算出
SP 及
（ 2）由压杆尺寸及支承条件计算出实际柔度
A
Ii
i
l,
若在各个弯曲平面内柔度不同，则取
max
（ 3）用,比较，选用 的计算公式
P与 S? cr?
若,图中 CD段选欧拉公式P
若,图中 BC段选经验公式PS
若,图中 AB段按强度计算，即S scr
*若压杆由脆性材料制成，将 换为 即可。cr? b?
2．抛物线公式 211 bacr
式中,也是与材料有关常数1a
1b
国钢结构设计中，采用下列形式的抛物线公式
243.01
c
scr?
c
s
c
E
57.0?式中对 Q-235A钢：,,则有
，,
M P as 2 3 5 G P aE 2 0 6?
123?c? 200666.0235cr 123
计算 步骤基本相同cr?
* 注：若压杆上存在钉孔等造成局部削弱的因素，不予考虑，一律采用未削弱前的横截面形状和尺寸。
原因：临界力大小是压杆整体变形决定的。
临界应力总图
cr?
2)(43.01
c
scr?
s
c
E
57.0?
例,18.1 矩形 (b=12mm,h=20mm)截面压杆,
l=300mm,材料为 Q-235A钢,计算
(若为中柔度杆,用直线公式 )
(1) 一端固定,一端自由
(2) 两端铰支
(3) 两端固定
crP
解：
32
12
3
m i n
m i n
b
bh
hb
A
Ii
2（ 1）
1 0 02.1 7 3
m i n
m a x Pi
l 用欧拉公式
kNEAP cr 3.162.173 10201210206 2
692
2
m a x
2
1（ 2）
6.86m a x PS m a x 经验公式
kN
AbaP cr
7.49
10201210)6.8612.1304()( 66
5.0（ 3）
S 3.43m a x
kNAP scr 4.5610201210235 66
§ 18.6 压杆的稳定计算在会求 及 的基础上，进行稳定计算。三类问题
cr?crP
st
cr
cr n
PPP
为稳定安全系数，一般大于强度安全系数。
由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔等，都会降低 。而且柔度越大，影响越大。
stn
crP
∴ 取值也随 增大而提高。?stn?
一般钢材 0.3~8.1?stn
（钢制磨床油缸活塞杆，取到 4~6。所以与压杆工作条件也有关）
铸铁 5.5~0.5?stn 可查专业手册工程实际中，常用如下公式
stcrst nPPn
stn 工作安全系数安全系数法：实际具备的安全系数不小于规定的稳定安全系数。
例 18.3 活塞直径,65 mmD?,2.1 M P ap? 活塞杆长
,1 2 5 0 mml? 材料,2 0 6 G P aE?,2 2 0 M P aP
,6?stn 确定 d （杆两端可简化为铰支）
pD
d
分析：由于 d未知,无法求，也就不知该选什么公式？处理办法是先选用欧拉公式进行计算。求出 d后，再校核是否满足欧拉公式条件。
解,1,计算
crP
)(3 9 8 0
102.1)1065(
44
632
N
pDP
)(2 3 9 0 03 9 8 06 NPnP stcr
2,用欧拉公式求 d
2
4
32
2
2
)12501(
64
10206
)(?
d
ul
EIP
cr
∴ d=24.7 mm 取 d=25 mm
3,校核是否可用欧拉公式
2 00
4
25
1 25 01
i
ul?
962 2 02 0 6
P
P
E
可见,用欧拉公式计算是正确的,
结论,取 d=25 mm
P
例,18.5 图示结构,各段材料相同且均为直径为 d
的圆截面杆,c为刚结点,已知,20 mmd?,2 0 0 G P aE?
,2 0 0 M P aP,5.0 ma? 若稳定安全系数,5.2?stn
试按 DE杆的稳定条件确定许可载荷q
2a a
Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
解,1,求解静不定相当系统,DE切开，代之以 1X
11?X
a
1N
11?X
2
a
2qa
2
2qa
aaaaaaaaaEI 32)221(232)221(232)2221[(111?
EI
a
EI
a
EA
aaaa
4
5]
3
2)
2
1 3
p1 ]2)2232(232)21(232)221[(1
222 aqaaaqaaaqaa
EI
EI
qa
6
5 4
01111 pX?
qX p 3 3 3.0
11
1
1?
∴
2,DE杆两端铰支 1∴
mmdi 54 ml 5.0?
100 il∴
35.991
P
E
而由于 可选用欧拉公式
1
KNAEP cr 622
2
KNnPP
st
cr 8.24
][][
mKN
Pq 4.74
3 3 3.0
][][
注：此题只要求有稳定性确定 [q]实际还应考虑其他段的弯曲强度。
例 18.6 圆杆 AB,时将其固定?0 mlcmd 1,5.2
材料 Q-235A钢,?C
l 11092.3 5
问：杆失稳时温升为多少度
l
1,求
cr?
11 12
4
5.2
1 007.0
i
l
2
2
E
cr
2,求温度升高 产生的
t?t?
EA
Nllt
l tEA
N
lt
3,失稳条件
tcr
1.20
1092.3112 52
2
2
2
l
t
§ 18.7 提高压杆稳定性措施越大稳定性越好
cr?
合理材料中长杆或细长杆?
)(
)(
2
11
2
2
baba
E
ercr
cr
18.7.1 减小柔度?
A
Ii
i
l,
1,增强支承的刚性使,滑动轴承尽量增加长度
2,减小压杆长度 l，可增加中间支承
3,合理选择截面形状尺寸使 当 A一定时增大 I最经济的方法是采用中空截面
i
空心截面或用型钢制成组合截面，不能使相互连接变弱各型钢近似为独立杆等稳定性 ——各弯曲平面内的柔度相等
(1) 若个弯曲面内约束相同，即 相同，则应选的截面形状
yz II?
(2) 若 不同则 但使
yz II? xyxy
18.7.2 合理选用材料
1,对大柔度杆 选用 E大的教好
2
2
E
cr?
2,对中柔度杆由于 与,有关cr? Pbs
强度越高,也越高cr?
3,对小柔度杆：强度问题
§ 18.1 概述
§ 18.2 静力法
§ 18.3 能量法
§ 18.4 不同支承条件下细长压杆的临界载荷
§ 18.5 柔度临界应力总图
§ 18.6 压杆的稳定计算
§ 18.7 提高压杆稳定性措施
§ 18.1 概述
18.1.1 压杆稳定的概念细长压杆平衡，当压力 <“一定值”时，压杆一直处于直线形式的平衡，微小的外界扰动使其偏离平衡位置，发生微小的弯曲变形。但干扰解除后，
它仍能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直线形式的平衡状态是稳定的。当压力达到“一定数值”时，外界扰动使其发生微小的弯曲变形。扰动解除后，它将处于微弯状态下的平衡，而不能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直线形式的平衡状态是不稳定的。
失稳：压杆丧失直线形式的平衡状态转变为曲线形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称屈曲。
临界载荷：“一定数值”记为 。本章重点研究 。
应使 <,才能保证稳定性。 cr
P
P crP
crP
18.1.2 弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲细长压杆，当压力达到,杆中应力一般 < 。
crP crP
∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。 ∴ 细长压杆也称为弹性压杆。
f
P
P
f
P
A
D C
0
crP
B
,OA 直线一种平衡形式稳定
crPP?
：二种可能平衡形式
crPP?
AB 直线
AC（ AD） 曲线说明,直线形式不稳定，扰动，变为屈曲。crPP?
且 增长很快，f 时
crPP 0 1 5.1?
lf 11.0?
曲线称为压杆的平衡路径。 A点称为平衡路径的分叉点。 ∴ 细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲。其临界载荷又称为分叉载荷。
fP?
18.1.3 研究方法静力法（ § 18.2）能量法（ § 18.3）
§ 18.2 静力法与以前各章不同，研究稳定性，必须应用变形后形态下的平衡条件。
1,刚性杆稳定问题的静力法 。
l
P
A
B
k k
A
P
lk?
AXF
AYF
扰动使 AB
有倾斜?
弹簧力对 A之矩,恢复力矩22 lk?
P对 A之矩,偏离力矩lP?
若 稳定klP 2? )2( 2lklP
klP 2? 不稳定
∴ 是临界载荷。klP 2? klPcr 2?
2．两端铰支细长压杆（弹性）稳定角的静力法。
时，压杆可能有两种平衡形式。一种是直线，另一种是曲线。另一种是曲线。这时直线形式是不稳定的，稍扰动就过度到曲线形式的
crPP?
平衡状态。就取这种微弯状态下的平衡来研究。
P
A
l
y
crP
crP
x
crP
crP
y
x
)(xM
任截面上弯矩 yPxM
cr)(
：绝对值crP
：挠曲线方程)(xyy?
小变形，当 时，可用近似微分方程P
yPxMEI y cr )("
EI
Pk cr?2令
02" yky则
kxBkxAy c o ss in
边界条件,0:0 yx
0, ylx
代入上式将关于 A,B的齐次方程组：
0c o ss in
010
klBklA
BA
不能取 A=B=0，它虽满足方程组，但使。表示杆仍处于直线平衡状态。不是我们研究的问题。
若要有非零解,A,B就不能全为零。那么方程组中关于 A,B的系数行列式就必须等于零，即
0c o ss in 10 klklD 称稳定特征方程解得 0sin?kl
)2,1,0( nnkl?
2
22
l
EInP
cr
∴
弃去，其它的非零解称为原平衡微分方程的本征值，要求的临界载荷应是其中最小的本征值。
∴ 取 1?n
2
2
l
EIP
cr
此即两端铰支细长压杆的临界载荷公式，
又称欧拉公式讨论：
1,压杆在抗弯能力最弱的纵向平面内首先失稳
∴ 若各弯曲平面内的约束相同时,取 minII
若取 则L4,3,2?n
lllk 432
xlAy?2s in? xlA?3sin KKxlA?4s in
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。
∴ 实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意义上的就是 时的 。1?n
crP
3．当 时，1?n
l
xAy?s in?
A无法近似微分方程确定的常数，表示杆中点挠度。
4．对实际存在的外力有点偏心，处小曲率等。
公式仍可用。由安全系数调整。
用静力法步骤：
1,对临界微弯状态建立平衡微分方程。
2,稳定特征方程。
3,解特征方程，求得平衡微分方程的本征值。
其中最小的就是临界载荷。
§ 18.3 能量法
§ 16.6 中势能驻值原理和最小势能原理，知：
当压杆处于平衡状态时，。总势能对某一挠度函数去驻值，驻值若为最小值，平衡是稳定的。驻值若为最大值，平衡是不稳定的。
二者之间的平衡状态称为中性的。即临界状态。
∴ 能量准则：设是从原有平衡位置到任意相邻平衡位置时总势能的改变量。
0 为极小，平衡稳定
0 为极大，平衡不稳定
0 平衡中性，即处于临界状态
1．刚性杆稳定问题的能量法
22212 lklkU 弹簧增加弹性势能
P力作用点 B降低，势能减小
2)2(s in2c o s1 22 lll
2
2 lP
PV
由临界状态时必有,得 0 VU
02)(
2
2 lPlk cr
klPcr 2?
与静力法结构同
2．两端铰支细长压杆
l
y
P
x
dx
P
dx
cosdx
d
dxd )c o s1(
l dd 0?
压杆由直线 微弯 变形能?
l l dxyEIdxEI xMU 0 0 22 )"(21)(21
P力作用点下降,势能减少?
dxd )c o s1( )('2c o s1 2 xy而
dxxyd 2)('21∴
ll dxyd 0 20 )'(21
l dxyPPV 0 2)'(2?
由临界状态 得 0 VU
l lcr dxyPdxyEI0 0 22 )'()"(
l
l
cr
dxy
dxyEI
P
0
2
0
2
)'(
)"(∴
因此从理论上讲，应遍取一切可能的 y，使上式取最小值的才是真实的 y和真实的,所以上式应写为：
crP
l
l
l
l
cr
dxy
dxyEI
dxy
dxyEI
stP
0
2
0
2
0
2
0
2
)'(
)"(
m i n
)'(
)"(
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求泛函的最小值。
实际计算时，不必要取出一切可能的 y。
通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把原来的大范围缩小到只包含一个参数 的挠度函数集。
)1( lxlxy
它满足边界位移条件 x=0,y=0
x=l,y=0
l lEIdxyEI0 3 22 4)"(?
ldxy
l
3)'(
2
0
2
2
12
l
EIP
cr?
∴
我们已知 精确解为,误差偏大 22%,原因是它与真实的挠度函数相差太远。
crP 2
2
l
EI?
若使 y包含两个参数，
)1()1( 21 lxlxlxlxy
近似值的误差只偏大 0.05%crP
一般情况,可取一组适合边界位移条件的挠度函数
i?
iiy
取 2项或 3项便可以达到满意效果
* 两种方法比较,
精确解：二者等价近似解：求微分方程近似解较困难，求泛函极值近似解较方便。
§ 18.4 不同支承条件下细长压杆的临界载荷
2
2
)( l
EIP
cr?
：不同支承条件下压杆失稳时挠曲线正弦半波的长度l?
：长度系数?
P
A
l
1?u
l5.0
5.0?u
crP
l7.0
7.0?u
2?u
crP
l2
其它情况可用静力法或能量法求，
也可用正弦半波长度类比得出。
§ 18.5 柔度临界应力总图
18.5.1 临界应力和柔度临界载荷作用下,压杆在直线平衡位置时横截面上的应力
Al
EI
A
P cr
cr 2
2
)(?
又 惯性半径
A
Ii?
则 22222 22 )(
E
i
l
E
l
Ei
cr?
欧拉公式另一形式称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很重要的参数。
i
l
18.5.2 欧拉公式适用范围欧拉公式是由导 出的，而它又用到胡克定律
)(" xMEI y?
∴ 欧拉公式只有在 时才适用Pcr
P
E
2?即设 欧拉公式适用于
P
P
E
P
18.5.3 大柔度杆、中柔度杆和小柔度杆
1．大柔度杆：
① 的压杆称为大柔度杆，也就是细长杆。
② 此类压杆只发生了弹性失稳
③ 稳定计算：欧拉公式
P
2．中柔度杆：
① 称中柔度杆，也称中长杆
② 此类压杆也会发生失稳，但横截面上的应力 以超出 。出现塑性变形，称为非弹性失稳。其平衡路径无分支及分叉点，
只有极限点，也称为极限点屈面。
SP
cr? P?
③ 稳定计算：经验公式
3．小柔度杆：
① 称小柔度杆
② 此类压杆不失稳，其破坏原因是压应力达到屈服极限（塑）或强度极限（脆），
属强度问题。其“临界应力”就是屈服极限或强度极限。
S
18.5.4 中柔度杆的临界应力公式、临界应力总图经验公式以实验为基础：直线公式、抛物线公式
1．直线公式, bacr
式中 为压杆实际柔度,a,b是与材料有关常数?
采用直线公式计算中柔度杆的 时,曲线如下，称为临界应力总图
crcr
A
P?
cr?
s? P?
0
B
C
scr
bacr
2
2
Ecr?
2
2
)(ul
EIP
cr
P
P
E
b
a s
s
（ 1）由压杆材料算出
SP 及
（ 2）由压杆尺寸及支承条件计算出实际柔度
A
Ii
i
l,
若在各个弯曲平面内柔度不同，则取
max
（ 3）用,比较，选用 的计算公式
P与 S? cr?
若,图中 CD段选欧拉公式P
若,图中 BC段选经验公式PS
若,图中 AB段按强度计算，即S scr
*若压杆由脆性材料制成，将 换为 即可。cr? b?
2．抛物线公式 211 bacr
式中,也是与材料有关常数1a
1b
国钢结构设计中，采用下列形式的抛物线公式
243.01
c
scr?
c
s
c
E
57.0?式中对 Q-235A钢：,,则有
，,
M P as 2 3 5 G P aE 2 0 6?
123?c? 200666.0235cr 123
计算 步骤基本相同cr?
* 注：若压杆上存在钉孔等造成局部削弱的因素，不予考虑，一律采用未削弱前的横截面形状和尺寸。
原因：临界力大小是压杆整体变形决定的。
临界应力总图
cr?
2)(43.01
c
scr?
s
c
E
57.0?
例,18.1 矩形 (b=12mm,h=20mm)截面压杆,
l=300mm,材料为 Q-235A钢,计算
(若为中柔度杆,用直线公式 )
(1) 一端固定,一端自由
(2) 两端铰支
(3) 两端固定
crP
解：
32
12
3
m i n
m i n
b
bh
hb
A
Ii
2（ 1）
1 0 02.1 7 3
m i n
m a x Pi
l 用欧拉公式
kNEAP cr 3.162.173 10201210206 2
692
2
m a x
2
1（ 2）
6.86m a x PS m a x 经验公式
kN
AbaP cr
7.49
10201210)6.8612.1304()( 66
5.0（ 3）
S 3.43m a x
kNAP scr 4.5610201210235 66
§ 18.6 压杆的稳定计算在会求 及 的基础上，进行稳定计算。三类问题
cr?crP
st
cr
cr n
PPP
为稳定安全系数，一般大于强度安全系数。
由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔等，都会降低 。而且柔度越大，影响越大。
stn
crP
∴ 取值也随 增大而提高。?stn?
一般钢材 0.3~8.1?stn
（钢制磨床油缸活塞杆，取到 4~6。所以与压杆工作条件也有关）
铸铁 5.5~0.5?stn 可查专业手册工程实际中，常用如下公式
stcrst nPPn
stn 工作安全系数安全系数法：实际具备的安全系数不小于规定的稳定安全系数。
例 18.3 活塞直径,65 mmD?,2.1 M P ap? 活塞杆长
,1 2 5 0 mml? 材料,2 0 6 G P aE?,2 2 0 M P aP
,6?stn 确定 d （杆两端可简化为铰支）
pD
d
分析：由于 d未知,无法求，也就不知该选什么公式？处理办法是先选用欧拉公式进行计算。求出 d后，再校核是否满足欧拉公式条件。
解,1,计算
crP
)(3 9 8 0
102.1)1065(
44
632
N
pDP
)(2 3 9 0 03 9 8 06 NPnP stcr
2,用欧拉公式求 d
2
4
32
2
2
)12501(
64
10206
)(?
d
ul
EIP
cr
∴ d=24.7 mm 取 d=25 mm
3,校核是否可用欧拉公式
2 00
4
25
1 25 01
i
ul?
962 2 02 0 6
P
P
E
可见,用欧拉公式计算是正确的,
结论,取 d=25 mm
P
例,18.5 图示结构,各段材料相同且均为直径为 d
的圆截面杆,c为刚结点,已知,20 mmd?,2 0 0 G P aE?
,2 0 0 M P aP,5.0 ma? 若稳定安全系数,5.2?stn
试按 DE杆的稳定条件确定许可载荷q
2a a
Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
解,1,求解静不定相当系统,DE切开，代之以 1X
11?X
a
1N
11?X
2
a
2qa
2
2qa
aaaaaaaaaEI 32)221(232)221(232)2221[(111?
EI
a
EI
a
EA
aaaa
4
5]
3
2)
2
1 3
p1 ]2)2232(232)21(232)221[(1
222 aqaaaqaaaqaa
EI
EI
qa
6
5 4
01111 pX?
qX p 3 3 3.0
11
1
1?
∴
2,DE杆两端铰支 1∴
mmdi 54 ml 5.0?
100 il∴
35.991
P
E
而由于 可选用欧拉公式
1
KNAEP cr 622
2
KNnPP
st
cr 8.24
][][
mKN
Pq 4.74
3 3 3.0
][][
注：此题只要求有稳定性确定 [q]实际还应考虑其他段的弯曲强度。
例 18.6 圆杆 AB,时将其固定?0 mlcmd 1,5.2
材料 Q-235A钢,?C
l 11092.3 5
问：杆失稳时温升为多少度
l
1,求
cr?
11 12
4
5.2
1 007.0
i
l
2
2
E
cr
2,求温度升高 产生的
t?t?
EA
Nllt
l tEA
N
lt
3,失稳条件
tcr
1.20
1092.3112 52
2
2
2
l
t
§ 18.7 提高压杆稳定性措施越大稳定性越好
cr?
合理材料中长杆或细长杆?
)(
)(
2
11
2
2
baba
E
ercr
cr
18.7.1 减小柔度?
A
Ii
i
l,
1,增强支承的刚性使,滑动轴承尽量增加长度
2,减小压杆长度 l，可增加中间支承
3,合理选择截面形状尺寸使 当 A一定时增大 I最经济的方法是采用中空截面
i
空心截面或用型钢制成组合截面，不能使相互连接变弱各型钢近似为独立杆等稳定性 ——各弯曲平面内的柔度相等
(1) 若个弯曲面内约束相同，即 相同，则应选的截面形状
yz II?
(2) 若 不同则 但使
yz II? xyxy
18.7.2 合理选用材料
1,对大柔度杆 选用 E大的教好
2
2
E
cr?
2,对中柔度杆由于 与,有关cr? Pbs
强度越高,也越高cr?
3,对小柔度杆：强度问题
