第二十四章 变形固体的几个动力失效问题已学,静载荷下的强度,刚度,稳定性计算 。
初载荷下如何进行计算？
§ 24.1 概述
§ 24.2 惯性力问题
§ 24.3 冲击问题 （重点）
§ 24.4 交变应力问题静载荷,从 0开始,缓慢增加到某一值后就保持不变 。
§ 24,1 概述动应力：构件中因动载荷引起的应力称动荷应力．简称动应力．用 表示．
d? )( d?
动载荷：构件在载荷作用下处于运动状态，其内各点的速度发生显著的变化，或载荷随时间变化．
* 同静载的地方：实验表明：
只要,胡克定律仍成立,E也不变。Pd
* 不同静载的地方：
1．
std
2．材料的强度指标有可能发生变化，要注意。
* 本章研究
1．惯性力问题
2．冲击力问题 （重点）
3．交变应力问题
§ 24,2惯性力问题处理方法：构件或其上部件作匀加速直线运动或匀速转动时,再将其做静载处理不行,可以根据达朗贝尔原理,
把相应均惯性力加在构件上,这样就把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,
强度指标：对于惯性力问题,材料性能的变化可以忽略不计,
∴ 在进行强度计算时，可以采用静强度指标,
24.2.1 构件作匀加速直线运动若ＡＢ杆以加速度 a 向上提升，每单位长度的重量为,Ａ是横截面面积．相应的惯性力为,方向向下
)(?gA?
gA? )(?
A B
l
a
受力分析
gAq st
AyF ByF
静载
)1( gagAaAgAq st
dAyF
动载：加速度为 a上升
8
2
m a x
lqM st
st? 8
2
m a x
lqM d
d?
W
glA
W
M st
st 8
2
m a x
m a x
)1(8
2
m a x g
a
W
glA
d
EI
glA
EI
lq st
st 3 8 4
5
3 8 4
5 44
m a x
)1(3 8 45
4
m a x g
a
EI
glA
d
现：
)1(m a xm a x gastd )1(
m a xm a x g
a
std
强度条件,
m a xd
,静载时的许用应力。
24.2.2 构件作匀速转动（或匀加速转动）
d?
dq
以匀角速 旋转的飞轮，可忽略轮辐视为薄圆环：平均直径,D>>t（厚度），设圆环横截面积为 A，材料密度为,求动应力（不计自重）
1．若不旋转，则无应力。因 产生的动应力与法向 相反,为沿圆环轴线均匀分布的惯性力集度 。
na dq
2,内力,应力取上半部研究
2
2
1 DAaAq
nd
DqdDqN ddd0 s in22
222
4
1
2 vAdA
DqN d
d )2(
Dv?
2v
A
N d
d
(t<<D认为均布 )
3,强度条件,
2vd
v 称为极限速度，相应的
D
v2 称为极限转速讨论：
1．若飞轮强度不够，增加截面面积 A可否？
无用，且增加重量，浪费材料
2．要保证强度，只能限制转速。但飞轮是储存机械能的元件，希望其速度越高越好。
例 24,1
一般是用强度较高的材料来制作飞轮，即使 提高。
mg
A
O
OA：质量 m，长 l，匀质，由铅垂位置受扰动倒下。试求杆中的弯矩分布，最大弯矩及位置。
mgl?
dN
dM
dQ
解：
1．以 A为原点，沿杆轴方向,轴。沿任一部位 B
切开，以 为研究对象。截面上的动轴力,动剪力
AB
dN
，动弯矩 我们要求的是 。 ∴ 惯性力系中只需求出红线部分（切向加速度 引起）
dQ dM dM
0
3
2
2
1
22
s i n:0
ll
l
m
l
l
m
mg
l
Mm dB
2．求
02s in:0 lmgMm oqo
讨论：拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，根部开始断裂，烟囱象刚体一样整体下落。当下落角度 较大时,增大、惯性力的切向分量增大、
也增大。当弯矩最大值所在截面 上的最大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱就产生第二次断裂。这第二次断裂由惯性力引起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应从背向地面一侧有最大拉应力）
dM
l
3
2
§ 24.3 冲击问题 （重点）
§ 24.3 冲击问题 （重点）
冲击会引起很大的动应力和变形,此处研究的只限于,被冲击构件,始终处于线弹性范围 。
采用能量法 dUVT
冲击物在冲击过程中减少动能 势能 V
1T
被冲击物在冲击过程中增加的变形能
dU
假设：
1．冲击物为刚体,并略去冲击过程中的能量损失（声能、热能等）
2．被冲击构件质量可以略去不计。
3．冲击与被冲击一经接触，即附着在一起，
直至构件上被冲击处的位移达到最大值。
（冲击过程认为到此结束）
)0(?冲U
:pd
d
st
d
st
d
st
d K
P
P
dK,称为动荷系数式中 为被冲击构件达到最大变形位置
（此时冲击物速度为 0）时的瞬时载荷，变形和应力 时的冲击问题，可以采用静强度指标。
实例：冲床、轴急刹车
dddP,,
pd
24.3.1 铅垂刹车
1,冲击物自由下落：重为 P的冲击物,初速度为 0,自高度为 h处自由下落,冲击到构件上 。
dUVT
T,冲击开始时,结束时ghv 2? 0?v
V,冲击过程势能减少为 dP?
铅垂刹车指冲击物与被冲击构件即将接触的瞬间，冲击物的速度是铅垂向下的。
dU
:冲击过程增加变形能为
ddP?2
1
∴ ddd PPgh
g
P
2
12
2
1
又
d
st
dd K
P
P
∴
st
d
d PP?
代入上式
0222 stdstd h
st
std
h
211
由于 总大于相应的 。 ∴ 取,+”号
d? st?
stst
d
d
hK
211∴
冲击物自由下落时的动荷系数。
讨论：
1．式中 的含义：将冲击物的重力 P以静载荷的方式沿冲击方向作用在被冲击构件的冲击点处。此处沿冲击方向产生的静位移。具体应用时，根据不同情况分析和计算。
st?
例：
l
h
P
P
EA
Pl
st
P
2
l
2
l
EI
Pl
st 48
3
)2(2148
3
k
P
EI
Pl
st
P
k
2．冲击物以初速度 下落方向不受限制。在接触到被冲击构件之前下落了高度为 h的一段距离。但最终接触到被冲击构件时，冲击方向是铅垂向下的。
将冲击物以 开始下落到冲击结束作为一个全过程。
0v
0v
0v
P 0v
d?
h
h
d?
例：
2
02
1 v
g
PT?
)( dhPV
st
d
ddd PPU?
2
2
1
2
1
代入
dUVT
022
2
02
stdstd hg
v
st
std g
ghv
211
2
0
st
d g
ghvK
211 20
公式讨论,1．当初速度 时，即得自由下落公式。d
K 00?v
2,临冲击到被冲击构件（梁）时，速度方向必须是铅垂向下的。否则
)s in( dhPV
3．式中 含义同前。
st?
24.3.2 水平冲击重量为 P的物体，沿水平方向，以速度 冲击到构件上。
v
∵ 0?v ∴ 即
dUT?
st
d
dd PPvg
P
22
2
1
2
1
2
1
st
std g
v
2
st
d g
vK
2
例 24,3 水平面内 AC杆（质量不计）,C端重物重量 Q,AC绕 A以 匀速转动。因故障在 B点卡住而突然停止转动。求 AC杆内最大冲击应力（ AC弯矩截面系数 W已知）
A B
l
A B
1l
C
d?
1．求
dK
2)(
2
1?l
g
QT?
0?V
相当于水平冲击
Q
st?
st
d g
vK
2
111
111
3
2
2
1
3
2
2
11
llllllQ
lllllQ
EI
st?
EI
llQl
3
2
1
∴
gQ l
EI
ll
lK
d
3
1?
)( 1llQ?
)(M
)( 1ll?
2,
W
llQ
W
M
st
1m a x
m a x
∴
g
E I Q l
WK stdd
3
m a xm a x
24.3.3 扭转冲击
A B?
刹车时使
，,AB轴：,
B端有一转动惯量很大的飞轮，与其相比,AB轴质量略去不计,A端装有刹车离 合器。已知飞轮转速
m in1 0 0 rn? 25 0 0 mKgT mmd 100?
，G P aG 80?,ml 1,M P a40,m?5.1'
轴在 10秒内匀速停 止转动，问 AB轴是否安全？
分析,10秒内匀减速球属惯性力问题,若 A
端突然急刹车,瞬间停止转动,则属扭转冲击问题 。
解：
)(310602 sr a dn
)(
310
3
100
0
2s
r ad
t
（负号表示与方向相反，减速）
惯性力偶矩：
)(6)3(5 0 0 mKNJm d
离合器作用在轴上，摩擦力偶矩,由,0xm
)(6 mKNmm df
AB轴在 及 作用下扭转变形dm
fm
)(6 mKNmT dd
Pa
W
T
p
d
d
6
33
3
m a x 1067.2
)10100(
16
10
6
'038.0
180
)10100(
32
1080
10
6180
'
439
3
m
GI
T
P
d
d
o
此轴安全考虑急刹车，瞬间停止：飞轮由于惯性将继续转动。视为冲击物,AB轴视为被冲击物 。
动能损失：
2
2
1?JT?
0?V
p
d
ddd GI
lTTU
22
1 2
由 即
dUT?
p
d
GI
lTJ
22
1 22
l
JGIT p
d
M P a
Al
GJ
lW
JGI
W
T
p
p
p
d
d 1 0 5 7
2
2m a x
不安全讨论：
1．扭转冲击时 与轴的体积 Al有关，体积,
maxd?
maxd?
2．突然急刹车的 与正常刹车（ 10秒匀速）
相比，是 396倍,∴ 工程实际中重要轴是不允许突然刹车的。在操作规程中规定刹车过程不得少于若干秒，以保证轴的安全。
maxd?
* 若不属于 24.3.1～ 24.3.3各种情况，不能直接用公式，但应会从 去推。另外 还可以由定义式去求,
参见书 P606，例 24.8
dUVT
st
d
st
d
st
d
d P
PK
dK
24.3.4 冲击与其它问题的组合
* 若被冲击结构为静不定结构：
dK
3．求
2．求静载方式下冲击点的静位移（静不定结构上求位移）
1．首先将冲击物重力 P以静载方式沿冲击方向作用在被冲击结构的冲击点上，求解此静不定结构。
4．进一步求被冲击结构上,解决强度,刚度问题。
)( m a xm a x dd
* 若被冲击结构上有压杆，还应考虑稳定性问题
（不管是静定，还是静不定结构上）
A
C
B
l l
v
D
E
l
a
P
例 24,4：书 P604 例 24.7
ABC：直角拐,CD段刚体，
AC段,EI,CE段,EA
AlI 24? al 3?
EI
gPav
5
84 3?
求,（ B处挠度）
（不考虑 CE杆失稳）
Bd?
P
1X
1XP
Pa
0
)(
P
P
N
M
1．求解静不定
01111 Px?
llPaEIP 221211
EI
Pal 21
EI
Pl
6
1
1
N
M
)(?
l2
11?X
11?X
11N
EA
l
EA
l
EI
l
l
EI
lll
EI
3
5
3
8
11
1
2
3
2
22
2
11
3
11
∴
1011
1
1
PX P
11 MXMM P原
11 NXNN P原
)(?Pa
Pa52
10
PN?
0
)(
N
M
1
a
0
)(
N
M
2．求 （将下图 与,图乘）
Dst? 原M 原N
alPaPa
EID s t 25
21?
EI
Pa
EI
lPa
5
21
5
7 32
3,22
D s t
d g
vK
1
l
4,求 先求
Bd? Bst?
3103212521 lPalllPaEIB s t?
EI
Pal
20
5 2?
)(12
3
EIPl
∴ )(
6
3
EIPlK B s tdBd
* 若要考虑 CE杆失稳角：
将其去和 CE杆的 比较。 510
2 PPNKN stdd
crP
24.3.5 提高构件抗冲击能力措施
dK?st? EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
1．,EAGIEI
p,,
若能选择 E,G较低的材料。可以提高抗冲击能力。若减小,则在减小了刚度的同时，
也会使静应力增大。结果未必能达到降低冲击应力目的。工程上一般采用的方法是增设缓冲装置。如习题 24.12，以达既能增加静位移，又不增加静应力。
AII p,,
2,尽量增加构件长度 （ 许可范围 ）
3,受拉压冲击构件最好采用等截面杆
1A 1A2A
s
)1(
v
2A)2(?
v
∵
m a x2m a x1 stst
stst 21
EA
Pl
∴ 且 s越小，动应力越大。dd 21
§ 24.4 交变应力问题
24.4.1 交变应力与疲劳失效
1．交变应力：随时间作周期性变化的应力。
实例 *齿轮每转一周，每个轮齿只啮合一次。
啮合时，作用于轮齿上的力 P由 0迅速增大到最大值。然后又减小为零。引起赤根部的弯曲正应力也有 0增大到,再减小为零。
max?
* 火车轮轴
t?
若火车行驶，轮轴以角速度 转动，则除轴心外，任一点的应力都随时间变化。
tRIMIMy s in
* 弹簧等
2．疲劳失效的概念及特点实际上并非疲劳，是一种损伤积累的过程。其破坏完全不同于静应力引起的破坏。
疲劳失效：有些构件（设计或加工工艺有问题），在交变应力作用下，经过长期的应力重复变化，会发生突然断裂。这种破坏现象习惯上称为疲劳破坏（失效）。
特点 （ 1） 最大工作应力远低于静强度指标时,
疲劳破坏就可能发生 。 （ 所以进行强度计算时,不能再采用静强度指标 ） 但这种破坏不是立刻发生的,而要经历一段时间,甚至很长时间 。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料。发生疲劳破坏时，均表现为脆性断裂，即使塑性好的材料，事先也没有明显的塑性变形。
∴ 疲劳破坏没有先兆 。 断裂突然,后果严重 。 应掌握疲劳强度计算 。
本节只研究金属疲劳 。 （ 非金属疲劳,高湿疲劳,声疲劳,冲击疲劳 ）
3．疲劳失效的断口特征及成因断口包含光滑区和粗糙区疲劳失效过程可见成因：
（ 1）裂纹疲劳源的形成
（ 2）疲劳裂纹的扩展
（ 3）最后发生脆性断裂
24.4.2 交变应力表现法
max?
min?
a?
m?
t
循环特征（应力比）：
max
min
r
应力幅：
2
m i nm a x
a
平均应力,2 m i nm a xm
任何一个交变应力均可用,表示三种典型的交变应力。
rma,,,,m i nm a x
（ 1）对称循环,m i nm a x 火车轮轴
0,,1 m a x mar
（ 2）脉动循环,0min 齿根
m a x2
1,0
mar
（ 3）静载,minmax
m i nm a x,0,1 mar
* 时，统称非对称循环。可将其视为一个相当于 的静应力叠加一个应力幅为 的对称循环交变应力。
1r
m? a?
*,以上均适用
24.4.3 材料的持久极限
1,疲劳寿命在交变应力下,产生疲劳破坏所需的应力循环数称疲劳寿命 。 按疲劳寿命的高低将疲劳分为：
（ 1）高循环疲劳（高周疲劳）：破坏循环次数 。因其 较低，应力应变关系是线性的。所以工作应力仍可按静载时的公式计算。
54 10~10? ma,
本节介绍的就是高循环疲劳的强度计算 。
例传动轴 。
（ 2）低循环疲劳：破坏时循环次数 。
材料处于塑性状态。 例 压力容器
54 10~10?
∵ 时，疲劳破坏就可发生。所以静强度指标 不能用。那么许用应力怎么定？
m a x
n
构件的持久极限许用应力?
材料的持久极限由标准试件实物得到。
2,材料的持久极限：
标准试件经历“无限次” 应力循环而不发生疲劳失效的最大应力。
标准试件：国家标准规定的光滑小试件，每组十根。
)10( 7
（ 1）简介钢弯曲对称循环疲劳试验。
max?
1
)(寿命N
b?
静%60
1.m a x
1N
：当减小到时，疲劳曲线趋于水平。
即,∴ 称 的钢在对称循环下疲劳破坏。则再增加循环次数也不会疲劳 。
1
N 1
∴ 将 称为循环基数（代替 次）。
与其对应的仍未疲劳的最大应力 规定为钢的持久极限
710?DN?
max?
镁合金等有色金属的疲劳曲线没有明显趋于水平的直线部分。通常取 把它对应的 作为材料的持久极限，称名义持久极限。
870 10~10?N
max?
同样原理可测定拉压疲劳极限，扭转疲劳极限等。
可参见关于疲劳试验的专门著作,
b
b
b
25.0
38.0)(
43.0(
1
1
1
拉压弯曲）
经验公式，可用于估算。
（ 2）同一种材料（例钢）在不同循环特征的交变应力作用下，持久极限是不同的。仍可设计试验同理进行测定。画出一组曲线
max?
N
1r
0?r
3.0?r
6.0?r
A
C
D
E
1
0?
得到各种应力循环下的,r? ),,,(
6.03.001 LL
其中 为最低。1
* 持久极限可以理解为交变应力下的极限应力，
但它与静载下的极限应力完全不同：
a．静载下的极限应力只需用材料破坏时的应力值即可表示。而交变应力下的极限应力必须用破坏时的最大工作应力 和循环次数
N才能表示清楚。
)( bs 或 r?
max?
b,不仅因材料不同而异，即使是同一种材料也会因循环特征 r不同而异，还会因变形形式而异。
r?
a?
m?
A )2,2( 00C
D
B0
F
1r
1r
0?r
∵ amm a x
∴
armrr )()(
∴ 任一循环下的 都与坐标系中一点对应
r?
3．材料的持久极限曲线该曲线上任一点的横纵坐标之和就是该点所对应的那种循环特征下的持久极限。
（ 1） 坐标系中任一点 F对应一个具体的应力循环：有 F就知
am
,,am
则,amm a x
amm i n
r可由下式求出：
r
rtg
m
a
1
1
m i nm a x
m i nm a x
由此式还可看出：从原点 O出发的同一条射线上的各点所对应的应力循环具有相同的 r。
（ 2）射线 OF与持久极限曲线的交点，表示该循环特征下的持久极限 。只要 F位于曲线之下则,材料就不会发生疲劳失效。
r?
rmax
（ 3）工程上常用简化折线代替曲线，这样只需,,即可解出，而且偏于安全。 1?
0? b1
24.4.4 对称循环下构件的持久极限与标准试件不同，实际构件的形状、尺寸、
表面质量均不同，必须考虑这些因素。
构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，截面尺寸突变引起应力集中。导致 （促裂纹产生、扩展、脆断）有效应力集中系数
r?
k
1．构件外形的影响（应力集中）
rr修正
K
k )(
1
1
1,无应力集中标准试件
K)( 1,有应力集中试件（除应力集中外，其它均与标准试件同）
显然 （也有 ）1?
k?k
比较有效应力集中与 12章中介绍的理论应力集中系数不同：
后者仅与构件外形有关前者不仅与构件外形有关，而且与材料性能有关。这点由图可见。材料的强度极限越高，
越大。k
2．构件尺寸的影响随着试件横截面尺寸的增大,?
r?
（试件中处于高应力状态的金属结晶颗粒多，
包含的缺陷就多，更多形成疲劳纹）
尺寸系数,
1
1 )(
：大试件（除 d大外，其它同标准试件） )( 1?
：标准试件1
一般 d>标准试件时,但当轴向拉压时，因横截面上应力均匀分布，尺寸大小对 无影响。可取 。
1
r?
1
3．构件表面加工质量的影响表面加工时的切削痕迹、擦伤等都会成为疲劳裂纹源，使?
r?
表面质量系数,?
1
1 )(
：其它各种表面加工试件（其它同标准试件）
)( 1?
：标准试件（表面磨削加工）1
若想提高的值，可对表面进行强化处理。
可使 1
（ 1）淬火、渗碳、氮化等热处理及化学处理。
（ 2）滚压、喷丸等机械处理，使表面形成预压应力，减弱容易引起裂纹的工作拉应力。
综合上述三种因素，构件的持久极限为：
11
k
11
k
24.4.5 构件的疲劳强度计算
1．对称循环下的疲劳强度计算
1
1
1 ][?
nkn
（ n为疲劳安全系数，一般取 1.5~2.5）
通常写为：
n
max
1
左侧：构件的持久极限与最大工作应力之比。
代表构件工作时的安全储备。称为工作安全系数。
nkn
m a x
1
m a x
1
2．非对称循环下构件的强度条件
（ 1）非对称循环下构件的持久极限原则：用 对材料的持久极限曲线加以修正就可得构件的持久极限曲线。
,,k
注意：各种因素只对属于动应力部分的 有影响，
而对属于静应力部分的 无影响。
a?
m?
∴ 修正时，只需将各点的纵坐标乘以,
横坐标不动?
k
a?
m?b?
B
A
'A )2,2( 00
C
'C
s?
1
2
0
k
s?
1
k
A-B-C：材料的持久极限曲线
A`-C`-B：构件的持久极限曲线
（ 2）非对称循环下构件的疲劳强度计算
nnn 分以下三种情况
① 01 r
ma
k
n
1
式中 及 为构件危险点处工作应力的应力幅和平均应力。 为材料对非对称循环的敏感系数
a? m?
a?
0
012
a
② 循环特征接近 +1时，构件承受的交变应力接近于静应力。此时，钢等塑性材料制成的构件在产生疲劳破坏之前会因 达到 而发生显著的塑性变形。若与危险点工作应力相对应的点，落在横坐标轴上截距均为 的斜线之下，则既不疲劳破坏也不屈服破坏。
此时
max? s?
s?
nn s
m a x?
（对屈服破坏规定的 n）
③ 1,0 但又不接近r
有可能在塑性变形很小时就发生疲劳破坏。
∴ 既校核疲劳强度，又校核屈服强度。
3．弯扭组合交变应力作用下构件的强度条件
n
nn
nnn?
22
式中 为只考虑弯曲（设 ）时构件的工作安全系数
n 0
为只考虑扭转（设 ）时构件的工作安全系数
n 0
t
120
40
例,24.5 构件承受图示交变应力又知 M PaM Pa
b 600,2001
8.0,4 2 0
kM P aD
（ 1）作出构件的持久极限简化折线
（ 2）标出与图示应力循环对应的点 F
（ 3）标出表示此构件在此种应力循环下的持久极限的点 P
（ 4）设 P点横坐标为,纵坐标为,写出Pm )(? Pa)(?
r?
A
'A
B m?
a?
0
80
168
200
250
'C
P
)210,210(C
PaPmr )()(
初载荷下如何进行计算？
§ 24.1 概述
§ 24.2 惯性力问题
§ 24.3 冲击问题 （重点）
§ 24.4 交变应力问题静载荷,从 0开始,缓慢增加到某一值后就保持不变 。
§ 24,1 概述动应力：构件中因动载荷引起的应力称动荷应力．简称动应力．用 表示．
d? )( d?
动载荷：构件在载荷作用下处于运动状态，其内各点的速度发生显著的变化，或载荷随时间变化．
* 同静载的地方：实验表明：
只要,胡克定律仍成立,E也不变。Pd
* 不同静载的地方：
1．
std
2．材料的强度指标有可能发生变化，要注意。
* 本章研究
1．惯性力问题
2．冲击力问题 （重点）
3．交变应力问题
§ 24,2惯性力问题处理方法：构件或其上部件作匀加速直线运动或匀速转动时,再将其做静载处理不行,可以根据达朗贝尔原理,
把相应均惯性力加在构件上,这样就把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,
强度指标：对于惯性力问题,材料性能的变化可以忽略不计,
∴ 在进行强度计算时，可以采用静强度指标,
24.2.1 构件作匀加速直线运动若ＡＢ杆以加速度 a 向上提升，每单位长度的重量为,Ａ是横截面面积．相应的惯性力为,方向向下
)(?gA?
gA? )(?
A B
l
a
受力分析
gAq st
AyF ByF
静载
)1( gagAaAgAq st
dAyF
动载：加速度为 a上升
8
2
m a x
lqM st
st? 8
2
m a x
lqM d
d?
W
glA
W
M st
st 8
2
m a x
m a x
)1(8
2
m a x g
a
W
glA
d
EI
glA
EI
lq st
st 3 8 4
5
3 8 4
5 44
m a x
)1(3 8 45
4
m a x g
a
EI
glA
d
现：
)1(m a xm a x gastd )1(
m a xm a x g
a
std
强度条件,
m a xd
,静载时的许用应力。
24.2.2 构件作匀速转动（或匀加速转动）
d?
dq
以匀角速 旋转的飞轮，可忽略轮辐视为薄圆环：平均直径,D>>t（厚度），设圆环横截面积为 A，材料密度为,求动应力（不计自重）
1．若不旋转，则无应力。因 产生的动应力与法向 相反,为沿圆环轴线均匀分布的惯性力集度 。
na dq
2,内力,应力取上半部研究
2
2
1 DAaAq
nd
DqdDqN ddd0 s in22
222
4
1
2 vAdA
DqN d
d )2(
Dv?
2v
A
N d
d
(t<<D认为均布 )
3,强度条件,
2vd
v 称为极限速度，相应的
D
v2 称为极限转速讨论：
1．若飞轮强度不够，增加截面面积 A可否？
无用，且增加重量，浪费材料
2．要保证强度，只能限制转速。但飞轮是储存机械能的元件，希望其速度越高越好。
例 24,1
一般是用强度较高的材料来制作飞轮，即使 提高。
mg
A
O
OA：质量 m，长 l，匀质，由铅垂位置受扰动倒下。试求杆中的弯矩分布，最大弯矩及位置。
mgl?
dN
dM
dQ
解：
1．以 A为原点，沿杆轴方向,轴。沿任一部位 B
切开，以 为研究对象。截面上的动轴力,动剪力
AB
dN
，动弯矩 我们要求的是 。 ∴ 惯性力系中只需求出红线部分（切向加速度 引起）
dQ dM dM
0
3
2
2
1
22
s i n:0
ll
l
m
l
l
m
mg
l
Mm dB
2．求
02s in:0 lmgMm oqo
讨论：拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，根部开始断裂，烟囱象刚体一样整体下落。当下落角度 较大时,增大、惯性力的切向分量增大、
也增大。当弯矩最大值所在截面 上的最大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱就产生第二次断裂。这第二次断裂由惯性力引起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应从背向地面一侧有最大拉应力）
dM
l
3
2
§ 24.3 冲击问题 （重点）
§ 24.3 冲击问题 （重点）
冲击会引起很大的动应力和变形,此处研究的只限于,被冲击构件,始终处于线弹性范围 。
采用能量法 dUVT
冲击物在冲击过程中减少动能 势能 V
1T
被冲击物在冲击过程中增加的变形能
dU
假设：
1．冲击物为刚体,并略去冲击过程中的能量损失（声能、热能等）
2．被冲击构件质量可以略去不计。
3．冲击与被冲击一经接触，即附着在一起，
直至构件上被冲击处的位移达到最大值。
（冲击过程认为到此结束）
)0(?冲U
:pd
d
st
d
st
d
st
d K
P
P
dK,称为动荷系数式中 为被冲击构件达到最大变形位置
（此时冲击物速度为 0）时的瞬时载荷，变形和应力 时的冲击问题，可以采用静强度指标。
实例：冲床、轴急刹车
dddP,,
pd
24.3.1 铅垂刹车
1,冲击物自由下落：重为 P的冲击物,初速度为 0,自高度为 h处自由下落,冲击到构件上 。
dUVT
T,冲击开始时,结束时ghv 2? 0?v
V,冲击过程势能减少为 dP?
铅垂刹车指冲击物与被冲击构件即将接触的瞬间，冲击物的速度是铅垂向下的。
dU
:冲击过程增加变形能为
ddP?2
1
∴ ddd PPgh
g
P
2
12
2
1
又
d
st
dd K
P
P
∴
st
d
d PP?
代入上式
0222 stdstd h
st
std
h
211
由于 总大于相应的 。 ∴ 取,+”号
d? st?
stst
d
d
hK
211∴
冲击物自由下落时的动荷系数。
讨论：
1．式中 的含义：将冲击物的重力 P以静载荷的方式沿冲击方向作用在被冲击构件的冲击点处。此处沿冲击方向产生的静位移。具体应用时，根据不同情况分析和计算。
st?
例：
l
h
P
P
EA
Pl
st
P
2
l
2
l
EI
Pl
st 48
3
)2(2148
3
k
P
EI
Pl
st
P
k
2．冲击物以初速度 下落方向不受限制。在接触到被冲击构件之前下落了高度为 h的一段距离。但最终接触到被冲击构件时，冲击方向是铅垂向下的。
将冲击物以 开始下落到冲击结束作为一个全过程。
0v
0v
0v
P 0v
d?
h
h
d?
例：
2
02
1 v
g
PT?
)( dhPV
st
d
ddd PPU?
2
2
1
2
1
代入
dUVT
022
2
02
stdstd hg
v
st
std g
ghv
211
2
0
st
d g
ghvK
211 20
公式讨论,1．当初速度 时，即得自由下落公式。d
K 00?v
2,临冲击到被冲击构件（梁）时，速度方向必须是铅垂向下的。否则
)s in( dhPV
3．式中 含义同前。
st?
24.3.2 水平冲击重量为 P的物体，沿水平方向，以速度 冲击到构件上。
v
∵ 0?v ∴ 即
dUT?
st
d
dd PPvg
P
22
2
1
2
1
2
1
st
std g
v
2
st
d g
vK
2
例 24,3 水平面内 AC杆（质量不计）,C端重物重量 Q,AC绕 A以 匀速转动。因故障在 B点卡住而突然停止转动。求 AC杆内最大冲击应力（ AC弯矩截面系数 W已知）
A B
l
A B
1l
C
d?
1．求
dK
2)(
2
1?l
g
QT?
0?V
相当于水平冲击
Q
st?
st
d g
vK
2
111
111
3
2
2
1
3
2
2
11
llllllQ
lllllQ
EI
st?
EI
llQl
3
2
1
∴
gQ l
EI
ll
lK
d
3
1?
)( 1llQ?
)(M
)( 1ll?
2,
W
llQ
W
M
st
1m a x
m a x
∴
g
E I Q l
WK stdd
3
m a xm a x
24.3.3 扭转冲击
A B?
刹车时使
，,AB轴：,
B端有一转动惯量很大的飞轮，与其相比,AB轴质量略去不计,A端装有刹车离 合器。已知飞轮转速
m in1 0 0 rn? 25 0 0 mKgT mmd 100?
，G P aG 80?,ml 1,M P a40,m?5.1'
轴在 10秒内匀速停 止转动，问 AB轴是否安全？
分析,10秒内匀减速球属惯性力问题,若 A
端突然急刹车,瞬间停止转动,则属扭转冲击问题 。
解：
)(310602 sr a dn
)(
310
3
100
0
2s
r ad
t
（负号表示与方向相反，减速）
惯性力偶矩：
)(6)3(5 0 0 mKNJm d
离合器作用在轴上，摩擦力偶矩,由,0xm
)(6 mKNmm df
AB轴在 及 作用下扭转变形dm
fm
)(6 mKNmT dd
Pa
W
T
p
d
d
6
33
3
m a x 1067.2
)10100(
16
10
6
'038.0
180
)10100(
32
1080
10
6180
'
439
3
m
GI
T
P
d
d
o
此轴安全考虑急刹车，瞬间停止：飞轮由于惯性将继续转动。视为冲击物,AB轴视为被冲击物 。
动能损失：
2
2
1?JT?
0?V
p
d
ddd GI
lTTU
22
1 2
由 即
dUT?
p
d
GI
lTJ
22
1 22
l
JGIT p
d
M P a
Al
GJ
lW
JGI
W
T
p
p
p
d
d 1 0 5 7
2
2m a x
不安全讨论：
1．扭转冲击时 与轴的体积 Al有关，体积,
maxd?
maxd?
2．突然急刹车的 与正常刹车（ 10秒匀速）
相比，是 396倍,∴ 工程实际中重要轴是不允许突然刹车的。在操作规程中规定刹车过程不得少于若干秒，以保证轴的安全。
maxd?
* 若不属于 24.3.1～ 24.3.3各种情况，不能直接用公式，但应会从 去推。另外 还可以由定义式去求,
参见书 P606，例 24.8
dUVT
st
d
st
d
st
d
d P
PK
dK
24.3.4 冲击与其它问题的组合
* 若被冲击结构为静不定结构：
dK
3．求
2．求静载方式下冲击点的静位移（静不定结构上求位移）
1．首先将冲击物重力 P以静载方式沿冲击方向作用在被冲击结构的冲击点上，求解此静不定结构。
4．进一步求被冲击结构上,解决强度,刚度问题。
)( m a xm a x dd
* 若被冲击结构上有压杆，还应考虑稳定性问题
（不管是静定，还是静不定结构上）
A
C
B
l l
v
D
E
l
a
P
例 24,4：书 P604 例 24.7
ABC：直角拐,CD段刚体，
AC段,EI,CE段,EA
AlI 24? al 3?
EI
gPav
5
84 3?
求,（ B处挠度）
（不考虑 CE杆失稳）
Bd?
P
1X
1XP
Pa
0
)(
P
P
N
M
1．求解静不定
01111 Px?
llPaEIP 221211
EI
Pal 21
EI
Pl
6
1
1
N
M
)(?
l2
11?X
11?X
11N
EA
l
EA
l
EI
l
l
EI
lll
EI
3
5
3
8
11
1
2
3
2
22
2
11
3
11
∴
1011
1
1
PX P
11 MXMM P原
11 NXNN P原
)(?Pa
Pa52
10
PN?
0
)(
N
M
1
a
0
)(
N
M
2．求 （将下图 与,图乘）
Dst? 原M 原N
alPaPa
EID s t 25
21?
EI
Pa
EI
lPa
5
21
5
7 32
3,22
D s t
d g
vK
1
l
4,求 先求
Bd? Bst?
3103212521 lPalllPaEIB s t?
EI
Pal
20
5 2?
)(12
3
EIPl
∴ )(
6
3
EIPlK B s tdBd
* 若要考虑 CE杆失稳角：
将其去和 CE杆的 比较。 510
2 PPNKN stdd
crP
24.3.5 提高构件抗冲击能力措施
dK?st? EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
1．,EAGIEI
p,,
若能选择 E,G较低的材料。可以提高抗冲击能力。若减小,则在减小了刚度的同时，
也会使静应力增大。结果未必能达到降低冲击应力目的。工程上一般采用的方法是增设缓冲装置。如习题 24.12，以达既能增加静位移，又不增加静应力。
AII p,,
2,尽量增加构件长度 （ 许可范围 ）
3,受拉压冲击构件最好采用等截面杆
1A 1A2A
s
)1(
v
2A)2(?
v
∵
m a x2m a x1 stst
stst 21
EA
Pl
∴ 且 s越小，动应力越大。dd 21
§ 24.4 交变应力问题
24.4.1 交变应力与疲劳失效
1．交变应力：随时间作周期性变化的应力。
实例 *齿轮每转一周，每个轮齿只啮合一次。
啮合时，作用于轮齿上的力 P由 0迅速增大到最大值。然后又减小为零。引起赤根部的弯曲正应力也有 0增大到,再减小为零。
max?
* 火车轮轴
t?
若火车行驶，轮轴以角速度 转动，则除轴心外，任一点的应力都随时间变化。
tRIMIMy s in
* 弹簧等
2．疲劳失效的概念及特点实际上并非疲劳，是一种损伤积累的过程。其破坏完全不同于静应力引起的破坏。
疲劳失效：有些构件（设计或加工工艺有问题），在交变应力作用下，经过长期的应力重复变化，会发生突然断裂。这种破坏现象习惯上称为疲劳破坏（失效）。
特点 （ 1） 最大工作应力远低于静强度指标时,
疲劳破坏就可能发生 。 （ 所以进行强度计算时,不能再采用静强度指标 ） 但这种破坏不是立刻发生的,而要经历一段时间,甚至很长时间 。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料。发生疲劳破坏时，均表现为脆性断裂，即使塑性好的材料，事先也没有明显的塑性变形。
∴ 疲劳破坏没有先兆 。 断裂突然,后果严重 。 应掌握疲劳强度计算 。
本节只研究金属疲劳 。 （ 非金属疲劳,高湿疲劳,声疲劳,冲击疲劳 ）
3．疲劳失效的断口特征及成因断口包含光滑区和粗糙区疲劳失效过程可见成因：
（ 1）裂纹疲劳源的形成
（ 2）疲劳裂纹的扩展
（ 3）最后发生脆性断裂
24.4.2 交变应力表现法
max?
min?
a?
m?
t
循环特征（应力比）：
max
min
r
应力幅：
2
m i nm a x
a
平均应力,2 m i nm a xm
任何一个交变应力均可用,表示三种典型的交变应力。
rma,,,,m i nm a x
（ 1）对称循环,m i nm a x 火车轮轴
0,,1 m a x mar
（ 2）脉动循环,0min 齿根
m a x2
1,0
mar
（ 3）静载,minmax
m i nm a x,0,1 mar
* 时，统称非对称循环。可将其视为一个相当于 的静应力叠加一个应力幅为 的对称循环交变应力。
1r
m? a?
*,以上均适用
24.4.3 材料的持久极限
1,疲劳寿命在交变应力下,产生疲劳破坏所需的应力循环数称疲劳寿命 。 按疲劳寿命的高低将疲劳分为：
（ 1）高循环疲劳（高周疲劳）：破坏循环次数 。因其 较低，应力应变关系是线性的。所以工作应力仍可按静载时的公式计算。
54 10~10? ma,
本节介绍的就是高循环疲劳的强度计算 。
例传动轴 。
（ 2）低循环疲劳：破坏时循环次数 。
材料处于塑性状态。 例 压力容器
54 10~10?
∵ 时，疲劳破坏就可发生。所以静强度指标 不能用。那么许用应力怎么定？
m a x
n
构件的持久极限许用应力?
材料的持久极限由标准试件实物得到。
2,材料的持久极限：
标准试件经历“无限次” 应力循环而不发生疲劳失效的最大应力。
标准试件：国家标准规定的光滑小试件，每组十根。
)10( 7
（ 1）简介钢弯曲对称循环疲劳试验。
max?
1
)(寿命N
b?
静%60
1.m a x
1N
：当减小到时，疲劳曲线趋于水平。
即,∴ 称 的钢在对称循环下疲劳破坏。则再增加循环次数也不会疲劳 。
1
N 1
∴ 将 称为循环基数（代替 次）。
与其对应的仍未疲劳的最大应力 规定为钢的持久极限
710?DN?
max?
镁合金等有色金属的疲劳曲线没有明显趋于水平的直线部分。通常取 把它对应的 作为材料的持久极限，称名义持久极限。
870 10~10?N
max?
同样原理可测定拉压疲劳极限，扭转疲劳极限等。
可参见关于疲劳试验的专门著作,
b
b
b
25.0
38.0)(
43.0(
1
1
1
拉压弯曲）
经验公式，可用于估算。
（ 2）同一种材料（例钢）在不同循环特征的交变应力作用下，持久极限是不同的。仍可设计试验同理进行测定。画出一组曲线
max?
N
1r
0?r
3.0?r
6.0?r
A
C
D
E
1
0?
得到各种应力循环下的,r? ),,,(
6.03.001 LL
其中 为最低。1
* 持久极限可以理解为交变应力下的极限应力，
但它与静载下的极限应力完全不同：
a．静载下的极限应力只需用材料破坏时的应力值即可表示。而交变应力下的极限应力必须用破坏时的最大工作应力 和循环次数
N才能表示清楚。
)( bs 或 r?
max?
b,不仅因材料不同而异，即使是同一种材料也会因循环特征 r不同而异，还会因变形形式而异。
r?
a?
m?
A )2,2( 00C
D
B0
F
1r
1r
0?r
∵ amm a x
∴
armrr )()(
∴ 任一循环下的 都与坐标系中一点对应
r?
3．材料的持久极限曲线该曲线上任一点的横纵坐标之和就是该点所对应的那种循环特征下的持久极限。
（ 1） 坐标系中任一点 F对应一个具体的应力循环：有 F就知
am
,,am
则,amm a x
amm i n
r可由下式求出：
r
rtg
m
a
1
1
m i nm a x
m i nm a x
由此式还可看出：从原点 O出发的同一条射线上的各点所对应的应力循环具有相同的 r。
（ 2）射线 OF与持久极限曲线的交点，表示该循环特征下的持久极限 。只要 F位于曲线之下则,材料就不会发生疲劳失效。
r?
rmax
（ 3）工程上常用简化折线代替曲线，这样只需,,即可解出，而且偏于安全。 1?
0? b1
24.4.4 对称循环下构件的持久极限与标准试件不同，实际构件的形状、尺寸、
表面质量均不同，必须考虑这些因素。
构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，截面尺寸突变引起应力集中。导致 （促裂纹产生、扩展、脆断）有效应力集中系数
r?
k
1．构件外形的影响（应力集中）
rr修正
K
k )(
1
1
1,无应力集中标准试件
K)( 1,有应力集中试件（除应力集中外，其它均与标准试件同）
显然 （也有 ）1?
k?k
比较有效应力集中与 12章中介绍的理论应力集中系数不同：
后者仅与构件外形有关前者不仅与构件外形有关，而且与材料性能有关。这点由图可见。材料的强度极限越高，
越大。k
2．构件尺寸的影响随着试件横截面尺寸的增大,?
r?
（试件中处于高应力状态的金属结晶颗粒多，
包含的缺陷就多，更多形成疲劳纹）
尺寸系数,
1
1 )(
：大试件（除 d大外，其它同标准试件） )( 1?
：标准试件1
一般 d>标准试件时,但当轴向拉压时，因横截面上应力均匀分布，尺寸大小对 无影响。可取 。
1
r?
1
3．构件表面加工质量的影响表面加工时的切削痕迹、擦伤等都会成为疲劳裂纹源，使?
r?
表面质量系数,?
1
1 )(
：其它各种表面加工试件（其它同标准试件）
)( 1?
：标准试件（表面磨削加工）1
若想提高的值，可对表面进行强化处理。
可使 1
（ 1）淬火、渗碳、氮化等热处理及化学处理。
（ 2）滚压、喷丸等机械处理，使表面形成预压应力，减弱容易引起裂纹的工作拉应力。
综合上述三种因素，构件的持久极限为：
11
k
11
k
24.4.5 构件的疲劳强度计算
1．对称循环下的疲劳强度计算
1
1
1 ][?
nkn
（ n为疲劳安全系数，一般取 1.5~2.5）
通常写为：
n
max
1
左侧：构件的持久极限与最大工作应力之比。
代表构件工作时的安全储备。称为工作安全系数。
nkn
m a x
1
m a x
1
2．非对称循环下构件的强度条件
（ 1）非对称循环下构件的持久极限原则：用 对材料的持久极限曲线加以修正就可得构件的持久极限曲线。
,,k
注意：各种因素只对属于动应力部分的 有影响，
而对属于静应力部分的 无影响。
a?
m?
∴ 修正时，只需将各点的纵坐标乘以,
横坐标不动?
k
a?
m?b?
B
A
'A )2,2( 00
C
'C
s?
1
2
0
k
s?
1
k
A-B-C：材料的持久极限曲线
A`-C`-B：构件的持久极限曲线
（ 2）非对称循环下构件的疲劳强度计算
nnn 分以下三种情况
① 01 r
ma
k
n
1
式中 及 为构件危险点处工作应力的应力幅和平均应力。 为材料对非对称循环的敏感系数
a? m?
a?
0
012
a
② 循环特征接近 +1时，构件承受的交变应力接近于静应力。此时，钢等塑性材料制成的构件在产生疲劳破坏之前会因 达到 而发生显著的塑性变形。若与危险点工作应力相对应的点，落在横坐标轴上截距均为 的斜线之下，则既不疲劳破坏也不屈服破坏。
此时
max? s?
s?
nn s
m a x?
（对屈服破坏规定的 n）
③ 1,0 但又不接近r
有可能在塑性变形很小时就发生疲劳破坏。
∴ 既校核疲劳强度，又校核屈服强度。
3．弯扭组合交变应力作用下构件的强度条件
n
nn
nnn?
22
式中 为只考虑弯曲（设 ）时构件的工作安全系数
n 0
为只考虑扭转（设 ）时构件的工作安全系数
n 0
t
120
40
例,24.5 构件承受图示交变应力又知 M PaM Pa
b 600,2001
8.0,4 2 0
kM P aD
（ 1）作出构件的持久极限简化折线
（ 2）标出与图示应力循环对应的点 F
（ 3）标出表示此构件在此种应力循环下的持久极限的点 P
（ 4）设 P点横坐标为,纵坐标为,写出Pm )(? Pa)(?
r?
A
'A
B m?
a?
0
80
168
200
250
'C
P
)210,210(C
PaPmr )()(
