第十七章 静不定结构静不定结构强度大，刚度大。
P
2
l
2
l
A B
P
l
maxM
为相应静定结构的
8
3
maxv 为相应静定结构的 331
§ 17.1 概述
§ 17.2 力法求解静不定结构
§ 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算
§ 17.4 装配应力和温度应力
§ 17.5 静不定结构的特点
§ 17.1 概述
17.1.1 什么是静不定结构内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力 。
“多余约束”,AB梁中 B端可动铰支座，
绗架中的 CD杆称为多余约束，相应的约束力或内力“多余约束力”
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束反力。
注意,多余约束力对维持平衡是多余的,但对工程实际并不多余,都是为了提高强度,
或刚度而加上去的 。
17.1,2 静不定次数
2,内静不定结构将结构切开一个或 n个截面 ——去掉内部多余约束,使其变成静定的,则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数内力分量的总数 =原内部多余约束数
1,外静不定结构约束反力数 -平衡方程数
（ 1） 切开一个链杆 （ 2力杆 ）,只有 N,相当于去掉 1个多余约束 。
P P
N
N
（ 2）切开一个单铰，有 2个内力分量,N,Q，
相当于去掉 2个多余约束。
P P
Q
Q NN
（ 3）切开一处刚性联结，有 3个内力分量 N,Q、
M，相当于去掉 3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多一 3次静不定
P
（ 4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉 1个多余约束。
M N
Q
P
3,静不定次数 =外静不定次数 +内静不定次数
=多余约束数 （ 内外多余约束数 ）
=多余未知量个数 （ 约束反力和内力 ）
=未知量个数 -平衡方程数例
17.1.3 求解静不定结构方法（三条件法）
1,力法：以多余未知力为基本未知量将位移表示为未知力的函数,然后按位移协调条件建 立方程,从而解除多余未知力 。
2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程，从而通过求解未知位移来求解多余未知力。
本章重点：力法
§ 17.2 力法求解静不定结构
17.2.1 基本静定系和相当系统
1,基本静定系：去掉原载荷,只考虑结构本身解除多余约束后得到的静定结构,称为原结构的基本静定系 。
2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力代替被解除的多余约束，并加上原载荷，则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构完全相同。
m
（基）
（相）
1X
1X
m
P P
1X
2X 3X
P
1X
2X
3X
3．基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
P
1X
3X
2X P
3X
2X
1X
P
3X2X
1X
17.2.2 力法求解简单静不定结构
P
A B
P
1X
P
BPv
1BXv
1X
1 静不定次数,1次
2 相当系统
3
01 BXBPB vvv
位移协调条件（保证相当系统的变形和位移与原静不定结构相同）
EIPlv BP 485 3
EIlXv Bx 3 311
物理条件代入位移协调方程，求解多余未知力
5
1X
03485
3
1
3
EIlXEIPl
PX 1651∴
4 物理条件：位移表达为力的函数
2,求出后，原静不定结构就相当于在
P及 共同作用下的静定梁（相当系统）
进而可按静定梁的方法作 Q,M图，
求应力和变形，进行强度和刚度计算 。
1X
1X
讨论,1,即为原静不定结构 B端的约束反力。 A端的 3个约束反力可由静力平衡方程求出。
1X
17.2.3 力法正则方程将上例中的位移协调方程改写一下：
BBPBX vvv1
1?B （ B是 作用处）1X
11 1 XBXv
111X?
力与位移成线性关系
==================
PBPv 1
1Bv
则 ------------------ 力法正则方程11111 PX?
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向第二个下标表示位移发生的原因 （ 哪个力引起的 ）
* —— 原静不定结构上，作用处沿方向的位移
（广义：线位移、角位移、绝对位移、
相对位移）
1?
1X
* —— 多余未知力。可以是外约束力，也可是内约束力（广义的。可以是力，可以是力偶）
* —— 在相当系统中，只得保留,并令由它引起的 作用处，沿 方向的位移。（广义）
11? 1X 11?X
1X 1X
* —— 在相当系统中，只得保留原已知载荷 P（广义力）
由所有原已知载荷引起的 作用处沿方向的位移。（广义）
P1?
1X
1X
表示在相当系统中，只考虑（不考虑原有载荷）的作用，在自身作用点和方向上引起的位移。
111X?
表示在相当系统中（不考虑 ），只考虑原有载荷作用，所有原已知载荷在 作用点及方向上引起的位移。
1X
1X
P1?
由叠加原理,及 之和应等于原结构在 作用点沿 方向的位移。相当系统本身只保证了“力”
的相当，而正则方程又保证了“位移”的相当。
111X? P1? 1X
1X
次静不定的力法正则方程。（不用力法位移协调条件很难找）
n
nnPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
2211
222222121
111212111
nnP
P
P
nnnnn
n
n
X
X
X
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
..,.,,
* 第 i个方程物理意义：相当系统中，原已知载荷与全部 n个多余未知力共同作用下，在作用点，沿 方向的位移应等于原结构在 作用点，沿 方向的位移。i
X iX
iX iX
* 多余未知力的系数 组成的方阵中
ij?
1,主对角线上称为主系数。其物理意义：在相当系统上只保留，并令。它在自身作用点，
沿方向引起的位移。由 于与 方向一致，
ij? iX
所以恒为正。
2,称为副系数。它的物理意义：在相当系统中，只保留,并令,它在 作用点，沿 方向引起的位移。由于 与 方向不一定相同，所以可正可负可为零。
)( jiij
jX 1?jX iX
1X ij? iX
3,（位移互等定理），所以系数矩阵为对称方阵。
jiij
* 是自由项。物理意义：在相当系统上，去掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷；
它们在 作用点沿 方向引起的位移可正、
可负、可为零。
iP?
iX iX
* 表示原静不定结构在 作用点沿 方向的位移。 与 同向为,+”，反之为,-”，在很多情况下
i? iX iX
i? iX
0i
力法正则方程把求解静不定问题转化为在静不定结构上求一系列位移,的问题。而它们可由第十四章或第十六章知识求出。
ij? iP?
讨论,1．求出之后,可用叠加法解原静不定结构内力图。
例如
i
n
i
iP MXMM?
1
图为相当系统，只保留原已知载荷作用的 图。PM M
图为相当系统，只保留,并令 时的 图。iM
iX 1?iX
M
“+”：代数值叠加。
2,求静不定结构上某点 K的位移（广义）时可把单位力加在原静不定结构的 K点上，
也可把单位力加在基本静定系的 K点上。
P
2l 2l
A BC
D
P
1X
（相）
l
1X
)( 1M
P
2Pl
)(?M
法 1
1,相当系统
3．
EI
llll
EI 33
2
2
11 3
11
EI
PllPll
EIP 48
5
6
5
222
11 3
1
4．,代入正则方程。11? P1?
IaAl P A lX 316 5 3
3
1
BDN
例 17.1 求：
EA
aXX
P
1
1111
2,正则方程：
5,（拉力）
IaAl
PAlXN
BD 316
5
3
3
1
1X
1X
P
1X
1X
11?N?l
1
1
N
M
P
2
Pl
P
P
N
M
法 2
1,相当系统
3,lal
EAEI
l 1
3
3
11?
EI
Pl
P 48
5 3
1
4．
EI
PlX
48
5 3
1
5,（拉）
EI
PlXN
BD 48
5 3
1
01111 PX?2,正则方程：
讨论,1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。
2．法 1中正则方程出现负号的原因：原结构 B处位移向下与 反向1X
2l
2l
qlP?
解,1．相当系统
3．
EIlllllllEI 3432211 311
01111 PX?2．正则方程：
l
)( 1M
11?X
2
2ql
2
2ql )( PM
l
qll
ll
ql
l
ql
l
EIP 222
1
24
3
23
11 222
1
EI
ql
4
3 4
4,qlX
16
9
1?
例 17.3 绘 M图
q
a
q
1X
1X
1．二次静不定，相当系统。
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
3,求 PP 2122211211,,)(,
2．正则方程
q
2
2qa
)( PM
11?
21?
11?X
)( 1M
)( 2M
a
12?
22?
12?X
EI
aaaa
EI 33
2
2
11 3
11
EI
aaaa
EI 22
11 3
12
EIaaaaaaaEI 3432211 222
EI
qaaaqa
EIP 422
1 42
1
EI
qaaqaaaaqa
EIP 8
5
4
3
23
1
2
1 422
2
4．以上各式代入正则方程：
qaX 2831? qaX 732?
5．
2211 MXMXMM P
14
2qa
28
2qa
98
9 2qa
a73
例 17.5 在载荷 P作用下，梁 AB挠曲线如虚线所示。若 AB梁与杆 CD的材料及截面形状、
尺寸完全相同，且知截面关于形心轴上下对称，截面高度,又知
10
lh?
30
2l
A
I?
求：（ 1）图中 D点的铅垂位移
（ 2）图示的转角
（ 3）结构中横截面上的,及
D?
max? max? min?
l
PA B
D
I
I
l l
C
解,1．一次静不定，相当系统（将 CD切）
11?X
11?X
1N
2l
P
2
Pl
65PN
12Pl
2,01111 PX?
3．
EI
llll
EI
322
12
11?
EI
l
5
3
322121 lPllEIP
EI
Pl
6
3
4,（压力）PX
6
5
1?
5,
EI
Pl
EA
Pl
EI
lX
D 366
5 31
1
1 6．求?
EI
PlPll
EIA 242
1
1222
11 3
EI
Pl
AB 24
2
7．求 及
max? max?
梁 AB：
I
lPl
I
hM
20122m a x
m a x
I
Pl
240
2
杆 CD：
I
lP
A
X
306
5 21
I
Pl
36
2
∴
I
Pl
2 4 0
2
m a x 36
2
m a x
Pl
I
Pl
36
2
m i n
讨论：求 法 2 相当系统上求
PP 65?
EI
Pl
EI
lP
2416
2
6 2
2
§ 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算结构对称,载荷也对称,其内力和变形必然也对称 。
结构对称，载荷反对称，其内力和变形必然也反对称。
* 由于剪力的符号规定，对称的内力 ——剪力画出的内力图（剪力图）是反对称的 。
1,结构对称，载荷也对称的奇数跨结构内力对称,∴ C处只有 N,M无 Q。
变形对称,∴ C处只有铅垂位移。
c
C处切开，改用滑动支座即可。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构等效为下图示的 2次静不定结构。
2,结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
P P
c
P
内力反对称,C处只有剪力 Q
无 N,M。
变形反对称,C处只有水平线位移和转角，无铅垂位移。
C处切开，改活动铰支座。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构等效为 1次静不定结构。
P P
c
3,结构对称，载荷也对称的偶数跨结构与 1中相比较,又 CD杆中只有轴力 N（ 对称 ）,则用固定支座代替滑动支座即可 。 原 6次静不定结构等效为 3次静不定结构
4．结构对称，载荷也对称的偶数跨结构等效
PP
2I 2I
PP
2I 2I
cQcQ P
2I
由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它杆的内力。
cQ cQ
P P
c
I
∴ 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不计。
原 6次静不定结构等效为 3次静不定问题。
5．双对称结构：
结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，
取四分之一结构进行计算。
q
q
而原中间竖杆的内力等于以两竖杆内力之和。
例 17.8 EI=C 求 AB?
解,1．原 3次静不定结构。
双对称，四分之一结构可等效为 1次静不定结构。
AB
D
E
C
a2
a P
A
CE
P
1X
2
P（等效）
2．求解 1次静不定，相当系统。
3,01111 PX?
4,11?M
s in2
PaM
ACP
2
PaM
CEP
EI
a
EI
a
EI
adxads
EIdsEI
M a 57.2
2
1 2
0 0
1
11
20 0211 2s i n21
aPP dxPadPaEIdsEI MM
EI
PaPaPa
EI
222
22
1
1X
2
P?
5,PQX P 3 8 9.0
11
1
1?
6,11 MXMM P原
PaPaM AC 3 8 9.0s in2
PaPaPaM CE 1 1 1.03 8 9.02
7,求,在相当系统上去掉 P及,在 A处加单位力
A? 1X
1
s inaM AC
aM CE
dsMMEIA 1
2
0 0
111.0s i n389.0s i n21
a dxaPaadaPPaEI
2
0
2
3
111.0s i n389.0s i n21
dEIPa
111.0c o s389.02s i n
4
1
2
1
2
0
2
0
3?
EI
Pa
EI
Pa 31 1 4 7.0?
8,
EI
Pa
AAB
3
229.02
§ 17.4 装配应力和温度应力静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都会产生内力和应力。（装配、温度、载荷）
静定结构：装载作用下才产生内力和应力。
17.4.1 装载内力和应力一次静不定的力法正则方程：
11111 eX?
n次静不定的力法正则方程
ie?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只保留原制造误差 e，由 e引起的 作用点沿
iX
方向的位移,与 方向一致时取正号，
反之取负号。 可正、可负、可为零。
iX ie? iX
ie?
例 17.9 设,,求21 EE? 21 AA?
321,,NNN
1 2
3
l
e
1X
相当解,1．一次静不定，相当系统
2,01111 eX?
3．在相当系统中，只保留
，并令
（不计误差 e）
1X 11?X
（压）则?c o s2 121 NN 13?N
33
2
11
11
c os4
c os2
AE
l
l
AE
1 2
3
11?X
e1?
4．在相当系统中，去掉,只保留误差 e，则
1X
ee 1
5．
33
3
11
33
3
11
11
1
1 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eX e
6,13 XN?
c o s2
3
21
NNN
2．有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配合，自行车轮的车条与轮缘的配合。
,200321 GP aEEE 可以求出
（压）M P a3.6521
（拉）M P a9.1 1 23
装配应力不可忽视
,1 0 001?le,321 AAA,30讨论,1．若设
17.4.2 温度内力和应力
：在相当系统中，去掉所有多余位知力，
只保留温度变化,由 引起的 作用处沿 方向的位移。 与 方向一致时取正号。可正、可负、可为零。
it?
t? t? 1X
1X it? 1X
§ 17.5 静不定结构的特点
1,强度,刚度比相应的静定 （ 系统 ） 结构显著提高
3．求解内力方法：
静定：静力平衡方程静不定：除静力平衡方程，还需变形位移条件及物理条件
2．引起内力和应力的原因：
静定：载荷静不定：载荷，温度改变、制造误差、支座移动的变形因素
4,内力与什么相关静定：只与载荷有关静不定：除载荷外,与材料性质和截面尺寸相关,因此静定结构截面尺寸设计简单
（ 求出内力后,由强度条件即可确定截面尺寸 ） 。 而静不定结构中各部分内力分配与各部分相对度有关 。 改变一根杆的截面尺寸,会使得所有杆件受力重新分布 。
5．静定结构任何一个约束（内、外）遭破坏，
立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。
而静不定结构由于具有多余约束,当多余约束遭破坏时,整个结构仍能维持原位,不发生刚体位移,还具有一定承载能力 。
P
2
l
2
l
A B
P
l
maxM
为相应静定结构的
8
3
maxv 为相应静定结构的 331
§ 17.1 概述
§ 17.2 力法求解静不定结构
§ 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算
§ 17.4 装配应力和温度应力
§ 17.5 静不定结构的特点
§ 17.1 概述
17.1.1 什么是静不定结构内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力 。
“多余约束”,AB梁中 B端可动铰支座，
绗架中的 CD杆称为多余约束，相应的约束力或内力“多余约束力”
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束反力。
注意,多余约束力对维持平衡是多余的,但对工程实际并不多余,都是为了提高强度,
或刚度而加上去的 。
17.1,2 静不定次数
2,内静不定结构将结构切开一个或 n个截面 ——去掉内部多余约束,使其变成静定的,则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数内力分量的总数 =原内部多余约束数
1,外静不定结构约束反力数 -平衡方程数
（ 1） 切开一个链杆 （ 2力杆 ）,只有 N,相当于去掉 1个多余约束 。
P P
N
N
（ 2）切开一个单铰，有 2个内力分量,N,Q，
相当于去掉 2个多余约束。
P P
Q
Q NN
（ 3）切开一处刚性联结，有 3个内力分量 N,Q、
M，相当于去掉 3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多一 3次静不定
P
（ 4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉 1个多余约束。
M N
Q
P
3,静不定次数 =外静不定次数 +内静不定次数
=多余约束数 （ 内外多余约束数 ）
=多余未知量个数 （ 约束反力和内力 ）
=未知量个数 -平衡方程数例
17.1.3 求解静不定结构方法（三条件法）
1,力法：以多余未知力为基本未知量将位移表示为未知力的函数,然后按位移协调条件建 立方程,从而解除多余未知力 。
2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程，从而通过求解未知位移来求解多余未知力。
本章重点：力法
§ 17.2 力法求解静不定结构
17.2.1 基本静定系和相当系统
1,基本静定系：去掉原载荷,只考虑结构本身解除多余约束后得到的静定结构,称为原结构的基本静定系 。
2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力代替被解除的多余约束，并加上原载荷，则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构完全相同。
m
（基）
（相）
1X
1X
m
P P
1X
2X 3X
P
1X
2X
3X
3．基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
P
1X
3X
2X P
3X
2X
1X
P
3X2X
1X
17.2.2 力法求解简单静不定结构
P
A B
P
1X
P
BPv
1BXv
1X
1 静不定次数,1次
2 相当系统
3
01 BXBPB vvv
位移协调条件（保证相当系统的变形和位移与原静不定结构相同）
EIPlv BP 485 3
EIlXv Bx 3 311
物理条件代入位移协调方程，求解多余未知力
5
1X
03485
3
1
3
EIlXEIPl
PX 1651∴
4 物理条件：位移表达为力的函数
2,求出后，原静不定结构就相当于在
P及 共同作用下的静定梁（相当系统）
进而可按静定梁的方法作 Q,M图，
求应力和变形，进行强度和刚度计算 。
1X
1X
讨论,1,即为原静不定结构 B端的约束反力。 A端的 3个约束反力可由静力平衡方程求出。
1X
17.2.3 力法正则方程将上例中的位移协调方程改写一下：
BBPBX vvv1
1?B （ B是 作用处）1X
11 1 XBXv
111X?
力与位移成线性关系
==================
PBPv 1
1Bv
则 ------------------ 力法正则方程11111 PX?
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向第二个下标表示位移发生的原因 （ 哪个力引起的 ）
* —— 原静不定结构上，作用处沿方向的位移
（广义：线位移、角位移、绝对位移、
相对位移）
1?
1X
* —— 多余未知力。可以是外约束力，也可是内约束力（广义的。可以是力，可以是力偶）
* —— 在相当系统中，只得保留,并令由它引起的 作用处，沿 方向的位移。（广义）
11? 1X 11?X
1X 1X
* —— 在相当系统中，只得保留原已知载荷 P（广义力）
由所有原已知载荷引起的 作用处沿方向的位移。（广义）
P1?
1X
1X
表示在相当系统中，只考虑（不考虑原有载荷）的作用，在自身作用点和方向上引起的位移。
111X?
表示在相当系统中（不考虑 ），只考虑原有载荷作用，所有原已知载荷在 作用点及方向上引起的位移。
1X
1X
P1?
由叠加原理,及 之和应等于原结构在 作用点沿 方向的位移。相当系统本身只保证了“力”
的相当，而正则方程又保证了“位移”的相当。
111X? P1? 1X
1X
次静不定的力法正则方程。（不用力法位移协调条件很难找）
n
nnPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
2211
222222121
111212111
nnP
P
P
nnnnn
n
n
X
X
X
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
..,.,,
* 第 i个方程物理意义：相当系统中，原已知载荷与全部 n个多余未知力共同作用下，在作用点，沿 方向的位移应等于原结构在 作用点，沿 方向的位移。i
X iX
iX iX
* 多余未知力的系数 组成的方阵中
ij?
1,主对角线上称为主系数。其物理意义：在相当系统上只保留，并令。它在自身作用点，
沿方向引起的位移。由 于与 方向一致，
ij? iX
所以恒为正。
2,称为副系数。它的物理意义：在相当系统中，只保留,并令,它在 作用点，沿 方向引起的位移。由于 与 方向不一定相同，所以可正可负可为零。
)( jiij
jX 1?jX iX
1X ij? iX
3,（位移互等定理），所以系数矩阵为对称方阵。
jiij
* 是自由项。物理意义：在相当系统上，去掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷；
它们在 作用点沿 方向引起的位移可正、
可负、可为零。
iP?
iX iX
* 表示原静不定结构在 作用点沿 方向的位移。 与 同向为,+”，反之为,-”，在很多情况下
i? iX iX
i? iX
0i
力法正则方程把求解静不定问题转化为在静不定结构上求一系列位移,的问题。而它们可由第十四章或第十六章知识求出。
ij? iP?
讨论,1．求出之后,可用叠加法解原静不定结构内力图。
例如
i
n
i
iP MXMM?
1
图为相当系统，只保留原已知载荷作用的 图。PM M
图为相当系统，只保留,并令 时的 图。iM
iX 1?iX
M
“+”：代数值叠加。
2,求静不定结构上某点 K的位移（广义）时可把单位力加在原静不定结构的 K点上，
也可把单位力加在基本静定系的 K点上。
P
2l 2l
A BC
D
P
1X
（相）
l
1X
)( 1M
P
2Pl
)(?M
法 1
1,相当系统
3．
EI
llll
EI 33
2
2
11 3
11
EI
PllPll
EIP 48
5
6
5
222
11 3
1
4．,代入正则方程。11? P1?
IaAl P A lX 316 5 3
3
1
BDN
例 17.1 求：
EA
aXX
P
1
1111
2,正则方程：
5,（拉力）
IaAl
PAlXN
BD 316
5
3
3
1
1X
1X
P
1X
1X
11?N?l
1
1
N
M
P
2
Pl
P
P
N
M
法 2
1,相当系统
3,lal
EAEI
l 1
3
3
11?
EI
Pl
P 48
5 3
1
4．
EI
PlX
48
5 3
1
5,（拉）
EI
PlXN
BD 48
5 3
1
01111 PX?2,正则方程：
讨论,1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。
2．法 1中正则方程出现负号的原因：原结构 B处位移向下与 反向1X
2l
2l
qlP?
解,1．相当系统
3．
EIlllllllEI 3432211 311
01111 PX?2．正则方程：
l
)( 1M
11?X
2
2ql
2
2ql )( PM
l
qll
ll
ql
l
ql
l
EIP 222
1
24
3
23
11 222
1
EI
ql
4
3 4
4,qlX
16
9
1?
例 17.3 绘 M图
q
a
q
1X
1X
1．二次静不定，相当系统。
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
3,求 PP 2122211211,,)(,
2．正则方程
q
2
2qa
)( PM
11?
21?
11?X
)( 1M
)( 2M
a
12?
22?
12?X
EI
aaaa
EI 33
2
2
11 3
11
EI
aaaa
EI 22
11 3
12
EIaaaaaaaEI 3432211 222
EI
qaaaqa
EIP 422
1 42
1
EI
qaaqaaaaqa
EIP 8
5
4
3
23
1
2
1 422
2
4．以上各式代入正则方程：
qaX 2831? qaX 732?
5．
2211 MXMXMM P
14
2qa
28
2qa
98
9 2qa
a73
例 17.5 在载荷 P作用下，梁 AB挠曲线如虚线所示。若 AB梁与杆 CD的材料及截面形状、
尺寸完全相同，且知截面关于形心轴上下对称，截面高度,又知
10
lh?
30
2l
A
I?
求：（ 1）图中 D点的铅垂位移
（ 2）图示的转角
（ 3）结构中横截面上的,及
D?
max? max? min?
l
PA B
D
I
I
l l
C
解,1．一次静不定，相当系统（将 CD切）
11?X
11?X
1N
2l
P
2
Pl
65PN
12Pl
2,01111 PX?
3．
EI
llll
EI
322
12
11?
EI
l
5
3
322121 lPllEIP
EI
Pl
6
3
4,（压力）PX
6
5
1?
5,
EI
Pl
EA
Pl
EI
lX
D 366
5 31
1
1 6．求?
EI
PlPll
EIA 242
1
1222
11 3
EI
Pl
AB 24
2
7．求 及
max? max?
梁 AB：
I
lPl
I
hM
20122m a x
m a x
I
Pl
240
2
杆 CD：
I
lP
A
X
306
5 21
I
Pl
36
2
∴
I
Pl
2 4 0
2
m a x 36
2
m a x
Pl
I
Pl
36
2
m i n
讨论：求 法 2 相当系统上求
PP 65?
EI
Pl
EI
lP
2416
2
6 2
2
§ 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算结构对称,载荷也对称,其内力和变形必然也对称 。
结构对称，载荷反对称，其内力和变形必然也反对称。
* 由于剪力的符号规定，对称的内力 ——剪力画出的内力图（剪力图）是反对称的 。
1,结构对称，载荷也对称的奇数跨结构内力对称,∴ C处只有 N,M无 Q。
变形对称,∴ C处只有铅垂位移。
c
C处切开，改用滑动支座即可。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构等效为下图示的 2次静不定结构。
2,结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
P P
c
P
内力反对称,C处只有剪力 Q
无 N,M。
变形反对称,C处只有水平线位移和转角，无铅垂位移。
C处切开，改活动铰支座。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构等效为 1次静不定结构。
P P
c
3,结构对称，载荷也对称的偶数跨结构与 1中相比较,又 CD杆中只有轴力 N（ 对称 ）,则用固定支座代替滑动支座即可 。 原 6次静不定结构等效为 3次静不定结构
4．结构对称，载荷也对称的偶数跨结构等效
PP
2I 2I
PP
2I 2I
cQcQ P
2I
由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它杆的内力。
cQ cQ
P P
c
I
∴ 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不计。
原 6次静不定结构等效为 3次静不定问题。
5．双对称结构：
结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，
取四分之一结构进行计算。
q
q
而原中间竖杆的内力等于以两竖杆内力之和。
例 17.8 EI=C 求 AB?
解,1．原 3次静不定结构。
双对称，四分之一结构可等效为 1次静不定结构。
AB
D
E
C
a2
a P
A
CE
P
1X
2
P（等效）
2．求解 1次静不定，相当系统。
3,01111 PX?
4,11?M
s in2
PaM
ACP
2
PaM
CEP
EI
a
EI
a
EI
adxads
EIdsEI
M a 57.2
2
1 2
0 0
1
11
20 0211 2s i n21
aPP dxPadPaEIdsEI MM
EI
PaPaPa
EI
222
22
1
1X
2
P?
5,PQX P 3 8 9.0
11
1
1?
6,11 MXMM P原
PaPaM AC 3 8 9.0s in2
PaPaPaM CE 1 1 1.03 8 9.02
7,求,在相当系统上去掉 P及,在 A处加单位力
A? 1X
1
s inaM AC
aM CE
dsMMEIA 1
2
0 0
111.0s i n389.0s i n21
a dxaPaadaPPaEI
2
0
2
3
111.0s i n389.0s i n21
dEIPa
111.0c o s389.02s i n
4
1
2
1
2
0
2
0
3?
EI
Pa
EI
Pa 31 1 4 7.0?
8,
EI
Pa
AAB
3
229.02
§ 17.4 装配应力和温度应力静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都会产生内力和应力。（装配、温度、载荷）
静定结构：装载作用下才产生内力和应力。
17.4.1 装载内力和应力一次静不定的力法正则方程：
11111 eX?
n次静不定的力法正则方程
ie?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只保留原制造误差 e，由 e引起的 作用点沿
iX
方向的位移,与 方向一致时取正号，
反之取负号。 可正、可负、可为零。
iX ie? iX
ie?
例 17.9 设,,求21 EE? 21 AA?
321,,NNN
1 2
3
l
e
1X
相当解,1．一次静不定，相当系统
2,01111 eX?
3．在相当系统中，只保留
，并令
（不计误差 e）
1X 11?X
（压）则?c o s2 121 NN 13?N
33
2
11
11
c os4
c os2
AE
l
l
AE
1 2
3
11?X
e1?
4．在相当系统中，去掉,只保留误差 e，则
1X
ee 1
5．
33
3
11
33
3
11
11
1
1 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eX e
6,13 XN?
c o s2
3
21
NNN
2．有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配合，自行车轮的车条与轮缘的配合。
,200321 GP aEEE 可以求出
（压）M P a3.6521
（拉）M P a9.1 1 23
装配应力不可忽视
,1 0 001?le,321 AAA,30讨论,1．若设
17.4.2 温度内力和应力
：在相当系统中，去掉所有多余位知力，
只保留温度变化,由 引起的 作用处沿 方向的位移。 与 方向一致时取正号。可正、可负、可为零。
it?
t? t? 1X
1X it? 1X
§ 17.5 静不定结构的特点
1,强度,刚度比相应的静定 （ 系统 ） 结构显著提高
3．求解内力方法：
静定：静力平衡方程静不定：除静力平衡方程，还需变形位移条件及物理条件
2．引起内力和应力的原因：
静定：载荷静不定：载荷，温度改变、制造误差、支座移动的变形因素
4,内力与什么相关静定：只与载荷有关静不定：除载荷外,与材料性质和截面尺寸相关,因此静定结构截面尺寸设计简单
（ 求出内力后,由强度条件即可确定截面尺寸 ） 。 而静不定结构中各部分内力分配与各部分相对度有关 。 改变一根杆的截面尺寸,会使得所有杆件受力重新分布 。
5．静定结构任何一个约束（内、外）遭破坏，
立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。
而静不定结构由于具有多余约束,当多余约束遭破坏时,整个结构仍能维持原位,不发生刚体位移,还具有一定承载能力 。
