扭 转 内 力第十三章 扭转
外力偶方向垂直横截面，变形，相对扭转角
Am
Bm
Cm
A
m
B
BA?
轴其横截面上的内力为一力偶,T称为扭矩，转规定外法线方向为正
cm 1T
cm
Bm
T
第十三章 扭转
§ 13.1 圆轴扭转时的应力
§ 13.2 圆轴扭转时的变形
§ 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
§ 13.4 薄壁圆筒的扭转
§ 13.5 非圆截面杆的扭转
附录,平面图形几何性质圆 轴 扭 转
§ 13.1 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系矩形格变为四边形
mm
平面假定：横截面仍保持为平面，
大小，形状不变，各横截面间的经历不变，只发生相对转动（绕轴线）
从圆轴中切取段再切取一楔体
dx取横截面的相对扭转角 dx
RddxBB R
dx
dR
R
ddxbb
dx
d
R?矩形 ABCD的直角改变量
矩形 abcd的直角改变量
dx
1O 2O
R
A
B
CD
B?
C?
a b
cd
b?
c?
d
R?
对同一横截面 为一常量,单位长度上的相对扭转角 dx
d?
二、物理关系单元体处于纯剪切应力状态 (无正应力 )
G?
(b)沿圆向
dx
dG
(c)
T
A
O
dA
的“合力”构成扭矩 T
A dAT (d)
将 (c)代入 (d)
dx
dGIdA
dx
dGT
PA
2
则
PGI
T
dx
d (13.1)
三,静力学关系
dAI AP 2? （ 13.2）
为一几何量称为圆截面对圆心的极惯性矩PI 4][长度令,[弧度 ]/[长度 ]
dx
d
PGI
T
将（ 13.1）代入（ c） 式
PI
T
R
PI
TR?
m ax?
令 抗扭截面模量
R
IW P
P?
则 上述公式适用于实心和空心圆轴 PW
T?
max?
对实心圆轴,直径为 D
4
32 DI P
3
16 DW P
D
对外径为 D内径为 d的空心圆轴,
43 116 dDW P
4432 dDI P Dd
圆轴强度条件
PW
T
m a x
d D
由
dx
GI
Td
P
P
l
Pl GI
Tldx
GI
Td
0
PGI
—— 抗扭刚度
PGI
T
l
§ 13.2圆轴扭转时的变形
l
dx
m m
设 为允许的单位长度扭转角o
mo
刚度条件
o
o
1 8 0m a xm a x
PGI
Tmo
精密机械
moo 5.0~25.0
一般机械
moo 0.1~5.0
例：已知,KNmm
c 5.4?
mmd 701? mmd 55
2?
mml 11? mml 5.12?
G P aG 80 M P a60
moo 1
校核轴的强度和刚度
1l 2l
1d
A BC
cm
2d
解,1,求支反力：
AmT?1
BmT2
BAc mmm
几何,0
CBACAB
物理：
1
1
1
11
P
A
P
AC GI
lm
GI
lT
2
2
2
22
P
B
P
CB GI
lm
GI
lT
59.3
91.0
)( mKNT?
cmAm
Bm
0
2
2
1
1
P
B
P
A
GI
lm
GI
lm则
1
2
2
1
l
l
I
Im
p
P
A
解得,KNmm A 59.3? KNmm B 91.0?
2,强度
AC段：
M P a
d
m
W
T A
p
3.53
16
3
1
1
1
1m a x
BC段,M P a
d
m
W
T B
P
9.27
16
1 3
2
2
2
2m a x
2m ax 安全
3,刚度：
AC段,oo
mGI T
P
0 0 1 1.01 8 0
1
1
1
BC段：
m
GI
T
P
o00073.0180
2
2
2
2
安全铸 铁 扭 转 破 坏
§ 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力塑性材料：沿轴线 45度角的螺旋面断裂变形很小塑性材料的扭转破坏
脆性材料抗拉能力低于抗剪能力因而被拉断塑性材料抗拉能力高于抗剪能力因而被剪断
3
45
1
r 10?
r
则 rrT 2
22 r
T?
32 22 rrrI P
22 rrIW PP
§ 13.4 薄壁圆筒的扭转
T
r
薄 壁 圆 筒 扭 转其换算关系为
mNr p mn
KWPm 9549
根据功的等量代换：
1000260,10001 PnmsmNKW?
对非圆截面杆的扭转，刚性平面的假定不成立，以矩形截面为例，受扭后，原横截面成为凹凸不平的曲面，称为翘曲
1、自由扭转：各横截面可自由翘曲且程度相同，因而横截面上只有，
而正应力很小，可忽略。
§ 13.5 非圆截面杆的扭转
0
对矩形截面,截面周边上各点 方向与周边平行且四个角处
FLI,,
2,约束扭转：杆两端受约束不能自由翘曲,各横截面翘曲程度不同,横截面上不仅有 且有 。 对实心杆 很小可忽略,但对薄壁杆如,则 不可忽略
T
的大致分布如图,?
发生在截面长 边的中点处max? h
2m a x hb
T
短边中点的应力：
m a x1
T
C
1?
max?
b
h
相距为,不变的两截面相对扭转角l T?
3hbG
Tl
,,根据 由 表 13.1查得bh 302?P
由表可见当 时10?
b
h
3
1,
因此对长度为,长度为 的狭长矩形
h
2
m ax
3
1 h
T?
3
3
1 hG
Tl?
矩 形 扭 转对于开口的薄壁杆,可将截面看成若干狭长矩形所组成各部分承受的扭矩 可根据各部分的抗扭刚度确定且
iT
iTT
例：试计算开口及闭口薄壁圆筒在相同情况下
2
1
2
1
T r
解,1,开口
rh?2? 2
2
1 2
3
3
1
r
T
h
T
Gr
Tl
hG
Tl
3
3
1 2
3
3
1
2,闭口
22
2 r
T 22 rW P?
22 rrI
P Gr
Tl
GI
Tl
P
32
2
3,比较：
r3
2
1
2
2
1 3?
r
开 闭 环 扭 转 剪 应 力开 口 圆 筒 扭 转静矩 (A对 y轴静矩 )
yS
Ay zd AS3长度一次矩,有正有负形心
A
Sy z
c?
附录：平面图形几何性质一,形心与静矩
O
y
z
cz
cy
C
A
dA
对组合图形,如 T型
21 AAA 0?cycz
221121 ccAAAy zAzAz d Az d Az d AS
21
2211
AA
zAzA
A
Sz ccy
c?
i
cii
c A
zA
z
一般
1A
2A
C
1C
2C
y
z
如图
zy II?
二,惯性矩,极惯性矩,惯性积
4长度0?yI
Ay dAzI 21,惯性矩,图形对某轴的二次矩,显然,图形离坐标轴越远则对该轴的惯性矩越大
y
z
02 dAI
AP
显然,由于 222 zy
zyP III
3、惯性积，图形对两相互垂直轴的二次矩
Ayz y zd AI 可正可负
2,极惯性矩,图形对某点的二次矩性质：若坐标轴之一为图形的对称轴则
0?yzI
例：矩形截面
0?yzI
3
12
1 bhI
y?
bdzdA?
3
12
1 hbI
z?
同理
dA
h
z
y
b
C
例：圆形截面
42
32 DdAI Ap
ddA 2?
Pzy III
4
64 DII zy
0?yzI
利用积分的可叠加性
4422 32 dDdAdAI AdADP
4464 dDII zy
C
D
y
z
d D
例：求
yI
解：
3
12
1 hbI
y?
4
64 dI y
43
3212
12 dhbIII
yyy
zI
O
z
y2b
2b
4h 4h 4h 4h
d
若 则称 轴为主轴
0?yzI zy,
图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩形心主轴,形心主惯性矩
4,主轴,主惯性矩三、惯性矩与惯性积的平行移轴公式
ycycAy aSAaIdAzI 2
22
azz c 0?ycS
AaII ycy 2
同理 AbII
zcz
2
abAII y c z cyz
z
y
dA
C
b
O
A a
cz
cy
上例
3
12
1 bhI
z?
2
24
4464
hddI
z
2223
3212
12 hddbhIII
zzz
逆时针转动 角yoz?
11ozy?
s inc o s1 zyy
s inc o s1 yzz
四,惯性矩和惯性积的转轴公式
dA
O
z
y
1z 1
y
2c o s2s in
21111 yz
zy
Azy
IIIdAzyI
2s in2c o s22211 yzzyzy
Ay
IIIIIdAzI
11 zyzy IIII
类比
yx I zy I yzxy
I
主轴,主惯性矩主轴方位,
zy
yz
II
Itg
22
0?
主惯性矩
minmax,II
例：证明若对任意正多边形其形心主轴均为主轴且 为一常量
1yI
0y证：设 为形心对称轴,轴00 yz?
为另一形心对称轴,轴1y 11 yz?
101 oyy 000?zyI
02c o s2s in2 10010011 zyzyzy IIII
00 zy II?
对任意对形心轴 zy,
02c o s2s in
2 00
00
zy
zy
yz I
II
I
也是主轴且zy,0yy II?
外力偶方向垂直横截面，变形，相对扭转角
Am
Bm
Cm
A
m
B
BA?
轴其横截面上的内力为一力偶,T称为扭矩，转规定外法线方向为正
cm 1T
cm
Bm
T
第十三章 扭转
§ 13.1 圆轴扭转时的应力
§ 13.2 圆轴扭转时的变形
§ 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
§ 13.4 薄壁圆筒的扭转
§ 13.5 非圆截面杆的扭转
附录,平面图形几何性质圆 轴 扭 转
§ 13.1 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系矩形格变为四边形
mm
平面假定：横截面仍保持为平面，
大小，形状不变，各横截面间的经历不变，只发生相对转动（绕轴线）
从圆轴中切取段再切取一楔体
dx取横截面的相对扭转角 dx
RddxBB R
dx
dR
R
ddxbb
dx
d
R?矩形 ABCD的直角改变量
矩形 abcd的直角改变量
dx
1O 2O
R
A
B
CD
B?
C?
a b
cd
b?
c?
d
R?
对同一横截面 为一常量,单位长度上的相对扭转角 dx
d?
二、物理关系单元体处于纯剪切应力状态 (无正应力 )
G?
(b)沿圆向
dx
dG
(c)
T
A
O
dA
的“合力”构成扭矩 T
A dAT (d)
将 (c)代入 (d)
dx
dGIdA
dx
dGT
PA
2
则
PGI
T
dx
d (13.1)
三,静力学关系
dAI AP 2? （ 13.2）
为一几何量称为圆截面对圆心的极惯性矩PI 4][长度令,[弧度 ]/[长度 ]
dx
d
PGI
T
将（ 13.1）代入（ c） 式
PI
T
R
PI
TR?
m ax?
令 抗扭截面模量
R
IW P
P?
则 上述公式适用于实心和空心圆轴 PW
T?
max?
对实心圆轴,直径为 D
4
32 DI P
3
16 DW P
D
对外径为 D内径为 d的空心圆轴,
43 116 dDW P
4432 dDI P Dd
圆轴强度条件
PW
T
m a x
d D
由
dx
GI
Td
P
P
l
Pl GI
Tldx
GI
Td
0
PGI
—— 抗扭刚度
PGI
T
l
§ 13.2圆轴扭转时的变形
l
dx
m m
设 为允许的单位长度扭转角o
mo
刚度条件
o
o
1 8 0m a xm a x
PGI
Tmo
精密机械
moo 5.0~25.0
一般机械
moo 0.1~5.0
例：已知,KNmm
c 5.4?
mmd 701? mmd 55
2?
mml 11? mml 5.12?
G P aG 80 M P a60
moo 1
校核轴的强度和刚度
1l 2l
1d
A BC
cm
2d
解,1,求支反力：
AmT?1
BmT2
BAc mmm
几何,0
CBACAB
物理：
1
1
1
11
P
A
P
AC GI
lm
GI
lT
2
2
2
22
P
B
P
CB GI
lm
GI
lT
59.3
91.0
)( mKNT?
cmAm
Bm
0
2
2
1
1
P
B
P
A
GI
lm
GI
lm则
1
2
2
1
l
l
I
Im
p
P
A
解得,KNmm A 59.3? KNmm B 91.0?
2,强度
AC段：
M P a
d
m
W
T A
p
3.53
16
3
1
1
1
1m a x
BC段,M P a
d
m
W
T B
P
9.27
16
1 3
2
2
2
2m a x
2m ax 安全
3,刚度：
AC段,oo
mGI T
P
0 0 1 1.01 8 0
1
1
1
BC段：
m
GI
T
P
o00073.0180
2
2
2
2
安全铸 铁 扭 转 破 坏
§ 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力塑性材料：沿轴线 45度角的螺旋面断裂变形很小塑性材料的扭转破坏
脆性材料抗拉能力低于抗剪能力因而被拉断塑性材料抗拉能力高于抗剪能力因而被剪断
3
45
1
r 10?
r
则 rrT 2
22 r
T?
32 22 rrrI P
22 rrIW PP
§ 13.4 薄壁圆筒的扭转
T
r
薄 壁 圆 筒 扭 转其换算关系为
mNr p mn
KWPm 9549
根据功的等量代换：
1000260,10001 PnmsmNKW?
对非圆截面杆的扭转，刚性平面的假定不成立，以矩形截面为例，受扭后，原横截面成为凹凸不平的曲面，称为翘曲
1、自由扭转：各横截面可自由翘曲且程度相同，因而横截面上只有，
而正应力很小，可忽略。
§ 13.5 非圆截面杆的扭转
0
对矩形截面,截面周边上各点 方向与周边平行且四个角处
FLI,,
2,约束扭转：杆两端受约束不能自由翘曲,各横截面翘曲程度不同,横截面上不仅有 且有 。 对实心杆 很小可忽略,但对薄壁杆如,则 不可忽略
T
的大致分布如图,?
发生在截面长 边的中点处max? h
2m a x hb
T
短边中点的应力：
m a x1
T
C
1?
max?
b
h
相距为,不变的两截面相对扭转角l T?
3hbG
Tl
,,根据 由 表 13.1查得bh 302?P
由表可见当 时10?
b
h
3
1,
因此对长度为,长度为 的狭长矩形
h
2
m ax
3
1 h
T?
3
3
1 hG
Tl?
矩 形 扭 转对于开口的薄壁杆,可将截面看成若干狭长矩形所组成各部分承受的扭矩 可根据各部分的抗扭刚度确定且
iT
iTT
例：试计算开口及闭口薄壁圆筒在相同情况下
2
1
2
1
T r
解,1,开口
rh?2? 2
2
1 2
3
3
1
r
T
h
T
Gr
Tl
hG
Tl
3
3
1 2
3
3
1
2,闭口
22
2 r
T 22 rW P?
22 rrI
P Gr
Tl
GI
Tl
P
32
2
3,比较：
r3
2
1
2
2
1 3?
r
开 闭 环 扭 转 剪 应 力开 口 圆 筒 扭 转静矩 (A对 y轴静矩 )
yS
Ay zd AS3长度一次矩,有正有负形心
A
Sy z
c?
附录：平面图形几何性质一,形心与静矩
O
y
z
cz
cy
C
A
dA
对组合图形,如 T型
21 AAA 0?cycz
221121 ccAAAy zAzAz d Az d Az d AS
21
2211
AA
zAzA
A
Sz ccy
c?
i
cii
c A
zA
z
一般
1A
2A
C
1C
2C
y
z
如图
zy II?
二,惯性矩,极惯性矩,惯性积
4长度0?yI
Ay dAzI 21,惯性矩,图形对某轴的二次矩,显然,图形离坐标轴越远则对该轴的惯性矩越大
y
z
02 dAI
AP
显然,由于 222 zy
zyP III
3、惯性积，图形对两相互垂直轴的二次矩
Ayz y zd AI 可正可负
2,极惯性矩,图形对某点的二次矩性质：若坐标轴之一为图形的对称轴则
0?yzI
例：矩形截面
0?yzI
3
12
1 bhI
y?
bdzdA?
3
12
1 hbI
z?
同理
dA
h
z
y
b
C
例：圆形截面
42
32 DdAI Ap
ddA 2?
Pzy III
4
64 DII zy
0?yzI
利用积分的可叠加性
4422 32 dDdAdAI AdADP
4464 dDII zy
C
D
y
z
d D
例：求
yI
解：
3
12
1 hbI
y?
4
64 dI y
43
3212
12 dhbIII
yyy
zI
O
z
y2b
2b
4h 4h 4h 4h
d
若 则称 轴为主轴
0?yzI zy,
图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩形心主轴,形心主惯性矩
4,主轴,主惯性矩三、惯性矩与惯性积的平行移轴公式
ycycAy aSAaIdAzI 2
22
azz c 0?ycS
AaII ycy 2
同理 AbII
zcz
2
abAII y c z cyz
z
y
dA
C
b
O
A a
cz
cy
上例
3
12
1 bhI
z?
2
24
4464
hddI
z
2223
3212
12 hddbhIII
zzz
逆时针转动 角yoz?
11ozy?
s inc o s1 zyy
s inc o s1 yzz
四,惯性矩和惯性积的转轴公式
dA
O
z
y
1z 1
y
2c o s2s in
21111 yz
zy
Azy
IIIdAzyI
2s in2c o s22211 yzzyzy
Ay
IIIIIdAzI
11 zyzy IIII
类比
yx I zy I yzxy
I
主轴,主惯性矩主轴方位,
zy
yz
II
Itg
22
0?
主惯性矩
minmax,II
例：证明若对任意正多边形其形心主轴均为主轴且 为一常量
1yI
0y证：设 为形心对称轴,轴00 yz?
为另一形心对称轴,轴1y 11 yz?
101 oyy 000?zyI
02c o s2s in2 10010011 zyzyzy IIII
00 zy II?
对任意对形心轴 zy,
02c o s2s in
2 00
00
zy
zy
yz I
II
I
也是主轴且zy,0yy II?
