第十五章 组合变形
§ 15.1组合变形的概念与方法
§ 15.2 强度理论
§ 15.3 斜弯曲
§ 15.4 拉（压）弯组合变形
§ 15.5 弯扭组合变形
§ 15.6 组合变形的一般情况
§ 15.1 组合变形的 概念与方法
组合变形 —— 杆件在外力作用下，
同时产生两种或两种以上基本变形的情况 。
例如：（ a)厂房边柱压（拉）弯组合
N
M
矩 形 截 面 梁 斜 弯 曲例如：（ b） 坡屋顶上的横梁斜弯曲弯 扭 组 合 变 形例如：（ c） 传动轴弯扭组合
T1 T2
m
分析方法,在线弹性范围，采用叠加原理，先分解成基本变形，然后将同一点的应力叠加 。
§ 15.2 强度理论
强度理论 —— 材料失效的假设
注意,在应力状态相同的情况下，不同的材料会有不同的失效形式。
例
轴向拉伸,铸铁的失效与低碳钢的失效。
圆轴扭转,铸铁的失效与低碳钢的失效。
前面研究过单向应力状态和纯剪应力状态的强度问题。
复杂应力状态的强度问题?
四种常用的强度理论
1,第一强度理论 （最大的拉应力理论）
（主要用于脆性材料）
max 达到某一数值 C时，材料失效。
由于? max =? 1
在单向拉伸时,? 1 =? b 失效即 C=? b
令 [?]=? b/n
复杂应力状态,? 1= [?] 失效强度条件,? 1? [?]
2,第二强度理论 （最大拉应变理论）
（主要用于脆性材料）
max 达到某一数值 C时，材料失效。
由于? max =? 1
在单向拉伸时,? 1 =? b =? b/ E 失效即 C=? b/ E
令 [?]=? b/n
复杂应力状态,? 1 = [?] / E 失效强度条件,? 1 -? (? 2+? 3)? [?]
3,第三强度理论 （最大剪应力理论 )
（主要用于塑性材料）
max 达到某一数值 C时,材料失效。
由于? max = （? 1 -? 3） / 2
在单向拉伸，材料屈服时,? 1=?s,? 3=0
即? max=?s / 2 失效 所以 C=?s / 2
令 [?]=?s / n
复杂应力状态,? max = （? 1 -? 3)/ 2 = [?] /2 失效强度条件,? 1 -? 3? [?]
4,第四强度理论 (最大歪形能理论 )
(主要用于塑性材料 )
uf 达到某一数值 C时,材料失效。
由于
uf=[（? 1 -?2)2 + (? 2 -? 3)2 + (? 3 -? 1)2](1+?)/6E
在单向拉伸，材料屈服时，
1=?s,? 2=? 3= 0
即 uf=?s2(1+?)/3E 失效所以 C=?s2(1+?)/3E
令 [?]=?s / n
])()()[(21 213232221
复杂应力状态,
= [?] 失效
])()()[(21 213232221
强度条件：
[?]
四个强度理论的统一表示形式,
r i? [?] i =1 ~ 4
r i称为相当应力其中,?r 1 =?1
r 2 =?1 -? （?2 +?3）
r 3 =?1 -?3
r 4 =
])()()[(21 213232221
注意,应力状态不同，材料失效的形式也可能发生变化。
例如：
铸铁单向受压，试件沿 45o斜截面断裂，
应采用第三或第四强度理论。
低碳钢三个主方向均受拉，材料沿与?1垂直截面断裂,应采用第一或第二强度理论。
莫尔强度理论,
对于拉、压强度不相同的材料，
即 [?t]? [?c]
强度条件,?1 -?3 [?t] / [?c]? [?t]
当 [?t] = [?c]时，则上式简化为第三强度理论。
§ 15.3 斜弯曲
斜弯曲 --梁上横向载荷的作用方向过横截面的弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行。
矩 形 截 面 梁 斜 弯 曲
在 My作用下：平面弯曲
中性轴 y =My? z / Iy
在 Mz作用下：平面弯曲
中性轴 z=Mz? y / Iz
在 M作用下,将 My,Mz作用结果叠加有：
= + = My?z / Iy + Mz? y / Iz （ a)
一、纯弯曲
如图，设 y,z为形心主轴，即 Iyz= 0。
将 M分解为 My,Mz。
M
z
y
载荷作用平面
Mz
My
中性轴位置：
设中性轴上各点
坐标为 y0,z0
根据 (a)式，由?= 0
得 中性轴方程
My? z 0 / Iy + Mz? y0 / Iz = 0
应力?最大的点为离中性轴最远的点。
设中性轴与 y轴的夹角为?
tg? = z 0 / y0= - (Mz / My）?( Iy / Iz）
非平面弯曲
M
z
y
载荷作用平面
Mz
My
中性轴
二、横力弯曲
试求图示矩形截面悬臂梁，横截面上最大的正应力?max和自由端挠度 f。?
p
ly
o
z
x
建立坐标系,y,z轴为形心主轴。
py= p?cos? pz = p?sin?
Mz= -py l =- pl?cos?,My= -pz l =- pl?sin?
z
y
p
A
B
c
中性轴方位：
tg? = - (Mz / My）?( Iy / Iz）
离中性轴最远的点为 A点和 B点
A =?max (受拉）
B = -?A （ 受压）
A = | Mz / Wz| + | My / Wy|
z
y
p
A
B
c
自由端 y,z方向的位移分别为：
fy=pyl3/(3EIz)=pl3cos? /(3EIz)
fz=pzl3/(3EIy)=pl3sin? /(3EIy)
f =? (fy2 + fz2)
设?为位移向量与 y轴的夹角
tg? = fz / fy=tg Iz / Iy
由于 Iz > Iy 所以? >?
位移向量不在外力 p所在的纵向平面内，
因此，称为斜弯曲。
圆 形 截 面 梁 斜 弯 曲拉 弯 组 合
§ 15.4 拉（压）弯组合变形
一等截面直杆，如图。已知杆的横截面面积为 A,抗弯截面模量为 WZ,试确定杆危险点的应力。（ y,z为主轴）
x
z
z
A pB
x
l
先分解
psin?
pcos? pcos?
psin?
pcos?
+ N
Pl sin?
+ M
M
危险截面 A
M= Pl sin?
N= pcos?
=N/A
= Pcos?/A
=M? y/ Iz
= Pl sin y / Iz
N
然后叠加
= + = pcos? / A + Pl sin y / Iz
b
a
A
a
b
A
较小?较大中性轴位于截面外 中性轴位于截面内但偏上
a点,?2 = N / A - M / Wz
=Pcos? / A - Plsin? / Wz
2=?1 = 0
设?较大，危险点为 b,a。
b点,?1 = N / A + M / Wz
=Pcos? / A + Plsin? / Wz
2=?3 = 0
强度条件：
b点,?1? [?] （四个强度理论相同）
a点,|?3|? [?] （第三或第四强度理论）
偏心受压（拉）
P
z
y
e
P
N
M
P P
e较小小偏心受压
e较大大偏心受压
=? N+?M= -P/A-P·e·y/Iz
c max=P/A+P·e/Wz?[?c ]
t max= P·e/Wz - P/A?[?t ]
矩 形 截 面 偏 心 拉 伸
截面核心的概念：
纵向压力 P作用在靠近横截面形心的某一区域内，则横截面上的正应力均为压应力
，该区域称为该截面的核心。
弯 扭 组 合 变 形
§ 15.5 弯扭组合例,曲拐已知,杆 AB直径
d及 ][?
求杆 AB的强度杆 AB为弯扭组合变形
l y
z
a
P
A B
C
A
B
z
y
P
Pam?
1、分解危险截面 A
plM
paT
Pam?
Pa
T
P
M
Pl
危险点 K
应力分布
2
dWM周边
PW
T
K
K
z
y
K
K
z
y
2,叠加
22)
2(2?
3
1
02
K? K
K
3、强度条件
][4 22313r
][321 22
4
r
圆轴 WW
p 2?
4
32 dW
][1)(4)( 2222
3
TMWW TWM
p
r
][75.01 22
4
TMWr
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
45K K
z
y
例：圆截面直角拐 ABC处于水平面内，
直径 d=20mm。 测得 AB杆上的 K点沿与轴线 45度方向的线应变 （ K点在水平直径的前端）。若材料的许用应力,弹性模量 E=200GPa，
泊松比,且 P=200N。 试用第三强度理论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
5
45 10
10
M P a1 1 0
25.0
解：由题可以画出杆的内力图弯矩图、扭矩图如图所示：
A B
C
D
P
P2
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
可知：危险截面在 A面处
PaT?
PM z 24.0?
PM y 36.0?
PPPMMM yz 43.036.024.0 2222合
x
y
45
1?
3?
PW
T 316 dWP
P
WEa P?
1 45
mm40200
02.016
25.01
101010200 359
EE 11 32145?
PP W
Pa
W
TE
1
45?
1302
M P aPPMTWr 8620043.043.004.01 22223 合?
332 dW PT 04.0?
3r
安全皮带轮直径 mmD 300?
例,传动轴 电动机输出力矩
MKNm 1
mml 200?
皮带张力
21 2TT?
钢 M Pa160][
求直径d
T1 T2
mA BC
2l 2l
第四强度理论解,1)外力 研究轴 AB
221 3 TTTP
mDTDTDTm 2211 2122
KNDmT 67.63 0 01022
3
2?
KNTP 203 2
m
1m
P
2)内力
mKNplM 14 2.0204
mKNmT 1
危险截面 C
3）强度
][75.01 224 TMWr
mmd 8.431 6 0 1075.01323
6
即
mmd 44?
例 按第三强度理论 较核齿轮轴 AB
的强度，
轴 AB直径 mmd 22? 45#钢 M Pa180][
KNp y 83.3?
KNp z 3 9 3.1?
齿轮 1上的切向力径向力
KNp y 473.1'?
KNp z 5 3 6.0'?
齿轮 2上的切向力径向力
mmDmmD 1 3 0,50 21齿轮直径
50
50
50
x
y
z
yP
zP
zP?
yP?
1
2
A
E
C
B
y
z
A
1m 2m
yP
zP
yP?
zP?
B
x
解,1)外力 将外力的 AB轴简化
mmNDpm y 4
3
1
1 1058.92
501083.3
2
4
3
2'
2 1058.92
13010473.1
2
Dpm
y
2)内力扭转
1m 2m
2m
T
铅垂面
y
yP yP?
523.1 125.1
mmNM z?510
z
zP zP?
水平面
75.3
535.0
mmNM y?410
各截面 22 yy MMM
合
)10( 5 mmNM?合
568.1
130.1
危险截面?C mmNT 41058.9
5105 6 8.1M
3)强度条件
][1 223 TMWr 332 dW
][17610958.0568.12232 5223
3
M P ar
安全
§ 15.6 组合变形的一般情况计算任意截面上的内力 找出危险截面
m
m
比如 m-m截面
A
N x
N
p
T I
TP z
I
M
y
y
M?
'? y
I
M
z
z
M
扭矩
xT 弯矩 zy MM,
内力,轴力 弯曲剪力
xN zy QQ,
x
m
m
z
y
zQ
yQ
xN xT
yM
zM
Ib
QS
Q
*
一般可忽略若 即为弯曲组合 拉弯组合0?
xN 0?xT
弯 扭 拉 组 合 变 形制作人,98级应用力学系毕业设计谢谢使用
§ 15.1组合变形的概念与方法
§ 15.2 强度理论
§ 15.3 斜弯曲
§ 15.4 拉（压）弯组合变形
§ 15.5 弯扭组合变形
§ 15.6 组合变形的一般情况
§ 15.1 组合变形的 概念与方法
组合变形 —— 杆件在外力作用下，
同时产生两种或两种以上基本变形的情况 。
例如：（ a)厂房边柱压（拉）弯组合
N
M
矩 形 截 面 梁 斜 弯 曲例如：（ b） 坡屋顶上的横梁斜弯曲弯 扭 组 合 变 形例如：（ c） 传动轴弯扭组合
T1 T2
m
分析方法,在线弹性范围，采用叠加原理，先分解成基本变形，然后将同一点的应力叠加 。
§ 15.2 强度理论
强度理论 —— 材料失效的假设
注意,在应力状态相同的情况下，不同的材料会有不同的失效形式。
例
轴向拉伸,铸铁的失效与低碳钢的失效。
圆轴扭转,铸铁的失效与低碳钢的失效。
前面研究过单向应力状态和纯剪应力状态的强度问题。
复杂应力状态的强度问题?
四种常用的强度理论
1,第一强度理论 （最大的拉应力理论）
（主要用于脆性材料）
max 达到某一数值 C时，材料失效。
由于? max =? 1
在单向拉伸时,? 1 =? b 失效即 C=? b
令 [?]=? b/n
复杂应力状态,? 1= [?] 失效强度条件,? 1? [?]
2,第二强度理论 （最大拉应变理论）
（主要用于脆性材料）
max 达到某一数值 C时，材料失效。
由于? max =? 1
在单向拉伸时,? 1 =? b =? b/ E 失效即 C=? b/ E
令 [?]=? b/n
复杂应力状态,? 1 = [?] / E 失效强度条件,? 1 -? (? 2+? 3)? [?]
3,第三强度理论 （最大剪应力理论 )
（主要用于塑性材料）
max 达到某一数值 C时,材料失效。
由于? max = （? 1 -? 3） / 2
在单向拉伸，材料屈服时,? 1=?s,? 3=0
即? max=?s / 2 失效 所以 C=?s / 2
令 [?]=?s / n
复杂应力状态,? max = （? 1 -? 3)/ 2 = [?] /2 失效强度条件,? 1 -? 3? [?]
4,第四强度理论 (最大歪形能理论 )
(主要用于塑性材料 )
uf 达到某一数值 C时,材料失效。
由于
uf=[（? 1 -?2)2 + (? 2 -? 3)2 + (? 3 -? 1)2](1+?)/6E
在单向拉伸，材料屈服时，
1=?s,? 2=? 3= 0
即 uf=?s2(1+?)/3E 失效所以 C=?s2(1+?)/3E
令 [?]=?s / n
])()()[(21 213232221
复杂应力状态,
= [?] 失效
])()()[(21 213232221
强度条件：
[?]
四个强度理论的统一表示形式,
r i? [?] i =1 ~ 4
r i称为相当应力其中,?r 1 =?1
r 2 =?1 -? （?2 +?3）
r 3 =?1 -?3
r 4 =
])()()[(21 213232221
注意,应力状态不同，材料失效的形式也可能发生变化。
例如：
铸铁单向受压，试件沿 45o斜截面断裂，
应采用第三或第四强度理论。
低碳钢三个主方向均受拉，材料沿与?1垂直截面断裂,应采用第一或第二强度理论。
莫尔强度理论,
对于拉、压强度不相同的材料，
即 [?t]? [?c]
强度条件,?1 -?3 [?t] / [?c]? [?t]
当 [?t] = [?c]时，则上式简化为第三强度理论。
§ 15.3 斜弯曲
斜弯曲 --梁上横向载荷的作用方向过横截面的弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行。
矩 形 截 面 梁 斜 弯 曲
在 My作用下：平面弯曲
中性轴 y =My? z / Iy
在 Mz作用下：平面弯曲
中性轴 z=Mz? y / Iz
在 M作用下,将 My,Mz作用结果叠加有：
= + = My?z / Iy + Mz? y / Iz （ a)
一、纯弯曲
如图，设 y,z为形心主轴，即 Iyz= 0。
将 M分解为 My,Mz。
M
z
y
载荷作用平面
Mz
My
中性轴位置：
设中性轴上各点
坐标为 y0,z0
根据 (a)式，由?= 0
得 中性轴方程
My? z 0 / Iy + Mz? y0 / Iz = 0
应力?最大的点为离中性轴最远的点。
设中性轴与 y轴的夹角为?
tg? = z 0 / y0= - (Mz / My）?( Iy / Iz）
非平面弯曲
M
z
y
载荷作用平面
Mz
My
中性轴
二、横力弯曲
试求图示矩形截面悬臂梁，横截面上最大的正应力?max和自由端挠度 f。?
p
ly
o
z
x
建立坐标系,y,z轴为形心主轴。
py= p?cos? pz = p?sin?
Mz= -py l =- pl?cos?,My= -pz l =- pl?sin?
z
y
p
A
B
c
中性轴方位：
tg? = - (Mz / My）?( Iy / Iz）
离中性轴最远的点为 A点和 B点
A =?max (受拉）
B = -?A （ 受压）
A = | Mz / Wz| + | My / Wy|
z
y
p
A
B
c
自由端 y,z方向的位移分别为：
fy=pyl3/(3EIz)=pl3cos? /(3EIz)
fz=pzl3/(3EIy)=pl3sin? /(3EIy)
f =? (fy2 + fz2)
设?为位移向量与 y轴的夹角
tg? = fz / fy=tg Iz / Iy
由于 Iz > Iy 所以? >?
位移向量不在外力 p所在的纵向平面内，
因此，称为斜弯曲。
圆 形 截 面 梁 斜 弯 曲拉 弯 组 合
§ 15.4 拉（压）弯组合变形
一等截面直杆，如图。已知杆的横截面面积为 A,抗弯截面模量为 WZ,试确定杆危险点的应力。（ y,z为主轴）
x
z
z
A pB
x
l
先分解
psin?
pcos? pcos?
psin?
pcos?
+ N
Pl sin?
+ M
M
危险截面 A
M= Pl sin?
N= pcos?
=N/A
= Pcos?/A
=M? y/ Iz
= Pl sin y / Iz
N
然后叠加
= + = pcos? / A + Pl sin y / Iz
b
a
A
a
b
A
较小?较大中性轴位于截面外 中性轴位于截面内但偏上
a点,?2 = N / A - M / Wz
=Pcos? / A - Plsin? / Wz
2=?1 = 0
设?较大，危险点为 b,a。
b点,?1 = N / A + M / Wz
=Pcos? / A + Plsin? / Wz
2=?3 = 0
强度条件：
b点,?1? [?] （四个强度理论相同）
a点,|?3|? [?] （第三或第四强度理论）
偏心受压（拉）
P
z
y
e
P
N
M
P P
e较小小偏心受压
e较大大偏心受压
=? N+?M= -P/A-P·e·y/Iz
c max=P/A+P·e/Wz?[?c ]
t max= P·e/Wz - P/A?[?t ]
矩 形 截 面 偏 心 拉 伸
截面核心的概念：
纵向压力 P作用在靠近横截面形心的某一区域内，则横截面上的正应力均为压应力
，该区域称为该截面的核心。
弯 扭 组 合 变 形
§ 15.5 弯扭组合例,曲拐已知,杆 AB直径
d及 ][?
求杆 AB的强度杆 AB为弯扭组合变形
l y
z
a
P
A B
C
A
B
z
y
P
Pam?
1、分解危险截面 A
plM
paT
Pam?
Pa
T
P
M
Pl
危险点 K
应力分布
2
dWM周边
PW
T
K
K
z
y
K
K
z
y
2,叠加
22)
2(2?
3
1
02
K? K
K
3、强度条件
][4 22313r
][321 22
4
r
圆轴 WW
p 2?
4
32 dW
][1)(4)( 2222
3
TMWW TWM
p
r
][75.01 22
4
TMWr
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
45K K
z
y
例：圆截面直角拐 ABC处于水平面内，
直径 d=20mm。 测得 AB杆上的 K点沿与轴线 45度方向的线应变 （ K点在水平直径的前端）。若材料的许用应力,弹性模量 E=200GPa，
泊松比,且 P=200N。 试用第三强度理论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
5
45 10
10
M P a1 1 0
25.0
解：由题可以画出杆的内力图弯矩图、扭矩图如图所示：
A B
C
D
P
P2
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
可知：危险截面在 A面处
PaT?
PM z 24.0?
PM y 36.0?
PPPMMM yz 43.036.024.0 2222合
x
y
45
1?
3?
PW
T 316 dWP
P
WEa P?
1 45
mm40200
02.016
25.01
101010200 359
EE 11 32145?
PP W
Pa
W
TE
1
45?
1302
M P aPPMTWr 8620043.043.004.01 22223 合?
332 dW PT 04.0?
3r
安全皮带轮直径 mmD 300?
例,传动轴 电动机输出力矩
MKNm 1
mml 200?
皮带张力
21 2TT?
钢 M Pa160][
求直径d
T1 T2
mA BC
2l 2l
第四强度理论解,1)外力 研究轴 AB
221 3 TTTP
mDTDTDTm 2211 2122
KNDmT 67.63 0 01022
3
2?
KNTP 203 2
m
1m
P
2)内力
mKNplM 14 2.0204
mKNmT 1
危险截面 C
3）强度
][75.01 224 TMWr
mmd 8.431 6 0 1075.01323
6
即
mmd 44?
例 按第三强度理论 较核齿轮轴 AB
的强度，
轴 AB直径 mmd 22? 45#钢 M Pa180][
KNp y 83.3?
KNp z 3 9 3.1?
齿轮 1上的切向力径向力
KNp y 473.1'?
KNp z 5 3 6.0'?
齿轮 2上的切向力径向力
mmDmmD 1 3 0,50 21齿轮直径
50
50
50
x
y
z
yP
zP
zP?
yP?
1
2
A
E
C
B
y
z
A
1m 2m
yP
zP
yP?
zP?
B
x
解,1)外力 将外力的 AB轴简化
mmNDpm y 4
3
1
1 1058.92
501083.3
2
4
3
2'
2 1058.92
13010473.1
2
Dpm
y
2)内力扭转
1m 2m
2m
T
铅垂面
y
yP yP?
523.1 125.1
mmNM z?510
z
zP zP?
水平面
75.3
535.0
mmNM y?410
各截面 22 yy MMM
合
)10( 5 mmNM?合
568.1
130.1
危险截面?C mmNT 41058.9
5105 6 8.1M
3)强度条件
][1 223 TMWr 332 dW
][17610958.0568.12232 5223
3
M P ar
安全
§ 15.6 组合变形的一般情况计算任意截面上的内力 找出危险截面
m
m
比如 m-m截面
A
N x
N
p
T I
TP z
I
M
y
y
M?
'? y
I
M
z
z
M
扭矩
xT 弯矩 zy MM,
内力,轴力 弯曲剪力
xN zy QQ,
x
m
m
z
y
zQ
yQ
xN xT
yM
zM
Ib
QS
Q
*
一般可忽略若 即为弯曲组合 拉弯组合0?
xN 0?xT
弯 扭 拉 组 合 变 形制作人,98级应用力学系毕业设计谢谢使用
