第二章 逻辑代数基础
2.1 概述逻辑代数,描述和研究客观世界中事物间逻辑关系的数学，它把事物间逻辑关系简化为 符号间的数学运算。
用类似普通代数形式研究逻辑代数是英国数学家布尔（ G,Boole）最早提出，所以也称为 布尔代数。
又因为布尔代数中的常量、变量都只有“真”（ True
）和“假”（ False）两种取值，所以也称为 二值代数。
一?逻辑变量逻辑代数的变量称为 逻辑变量 。
它通常采用器件的名称命名，并用大写字母 A?B?C表示，其取值有两种，即,逻辑 0和 逻辑 1。而 0和 1又称为 逻辑常数 。
二?基本的逻辑运算基本的逻辑运算有与?或?非三种，它们可以由相应的逻辑电路实现。
1?逻辑乘 （与运算）
逻辑关系,只有所有的条件同时具备，结果才会发生。
开关闭合为,1”
开关打开为,0”
灯亮为,1”
灯灭为,0”
逻辑功能：,有 0出 0，全 1出 1”
逻辑表达式,L=AB=A·B
实现“与”运算的电路称为 与门 （ AND
gate）,它可以用三种与门逻辑符号来表示。
2?逻辑加 （或运算）
逻辑关系,只要具备一个或一个以上的条件，结果就会发生。
开关闭合为,1”
开关打开为,0”
灯亮为,1”
灯灭为,0”
逻辑功能：,有 1出 1，全 0出 0”
逻辑表达式,L=A+B
实现逻辑相加（或运算）的电路称为 或门（ OR gate ），它也可以用三种或门逻辑符号来表示。
3?逻辑反 （非运算）
逻辑反 （非运算） 是逻辑的否定，当条件不成立时，与其相关的事件却为真。
开关闭合为,1”
开关打开为,0”
灯亮为,1”
灯灭为,0”
L = A逻辑表达式,
三?逻辑函数及其表示方法因变量,F称为输出变量。
1.逻辑函数概念自变量,X1,X2,X3,,Xn称为输入变量。
如果逻辑变量 X1,X2,X3,,Xn的取值决定后,逻辑变量 F的取值也唯一地被确定了,则称 F是 X1,X2,
X3,,Xn的逻辑函数。记作：
2? 真值表把输入变量所有的取值组合和它所对应的输出函数的值列成表格，所得的这个表格为 真值表。
例如：二变量函数 F的真值表。
强调,列真值表时，输入变量的取值组合应按二进制数递增的顺序排列，以免遗漏或重复。
3?逻辑表达式逻辑表达式是由输入变量和逻辑运算符号组成。
逻辑运算符为：,?”，,+”,,-”
例如：
应用实例,人们常常在楼上?楼下各装一个“单刀双掷”开关，使得在楼下开灯照亮了楼梯，待人上了楼之后再在楼上把灯关掉。同样也可以在楼上开灯，楼下关灯。
两个“单刀双掷”开关的接点为,a?b 和 c?
d 。
令,a?b 为 1；
c?d为 0。
L=1----灯亮
L=0----灯灭
L和 A?B之间的关系可以表示为：
0
1
0
1
2.2逻辑代数中的运算一、三种基本逻辑
1.与运算
(1) 算符
,·,（或者,×,、,∧,、,∩”、
,AND”)
(2) 运算规则
0 · 0 = 0,0 · 1 = 0,1 · 0 = 0,1 · 1 = 1
(3) 逻辑表达式,F = A · B
(4) 逻辑符号
(5) 实现电路输 入 输 出
uA(V) uB(V) uF(V)
0 0 0
0 3 0
3 0 0
3 3 3
① 二极管与门电路
② 状态表
2? 或运算
(1) 算符
“＋,（或者,∨,、,∪,、,OR”)
(2) 运算规则
0 ＋ 0 = 0,0 ＋ 1 = 1,1 ＋ 0 = 1,1 ＋ 1 = 1
(3) 逻辑表达式,F = A ＋ B
(4) 逻辑符号
(5)实现 电路
① 二极管或门电路输 入 输 出
uA(V) uB(V) uF(V)
0 0 0
0 3 3
3 0 3
3 3 3
② 状态表
3?非运算
(1)算符
,—”
(2) 运算规则
(3) 逻辑表达式
(4) 逻辑符号
(5) 实现电路 输 入 输 出
uA(V) uF(V)
0 3
3 0
① 三极管非门电路
② 状态表二、复合逻辑运算
1.与非运算：
(1) 逻辑表达式,F = AB
(2) 逻辑符号
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
&A
B F
A
B F
A
B F
(3) 逻辑功能：“有 0出 1，全 1出 0”
２,或非运算：
(1) 逻辑表达式,F = A＋ B
(2) 逻辑符号
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
1A
B F +
A
B F
A
B F
逻辑功能：“有 1出 0，全 0出 1”
３,与或非运算：
(1) 逻辑表达式,F = AB＋ CD
(2) 逻辑符号
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
F
A
B
C
D
& 1
F
A
B
C
D
+
A
B
F
C
D
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
=1 FA
B
A
B F+
A
B
F
4.异或运算 (A,B取值不同时,F才为 1)：
(1) 逻辑表达式：
(3) 逻辑符号
F = A⊕ B = AB + AB
(2) 异或逻辑真值表
01 1
11 0
1 0 1
00 0
FA B
模二加
5.同或运算 (A,B取值相同时,F才为 1)：
(1) 逻辑表达式：
(3) 逻辑符号
F = A⊙ B = A B + A B
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 2- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
A
B F
.=
B
A F A
B
F
(2) 同或逻辑真值表
11 1
01 0
0 0 1
10 0
FA B
6?真值表
1.自等律 A + 0 = A A · 1 = A
2.吸收律 A + 1 = 1 A · 0 = 0
3.重叠律 A + A = A A · A = A
4.互补律
5.还原律 A = A
A + A = 1 A · A = 0
6.交换律 A + B = B + A A · B = B · A
2.3逻辑代数的公式一?基本公式 (9个基本公式 )
7.结合律 A + B + C
= (A + B) + C
= A + (B + C)
A · B · C
= (A · B) · C
= A · (B · C)
8.分配律 A ·(B + C)
= AB + AC
A + BC
= (A + B) ·(A + C)
9.反演律 A + B = A · B AB = A + B
基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。
二?异或?同或逻辑公式
1?基本公式用真值表证明：若 A⊕B=C,则有 A⊕C=B
A B C A⊕B C A⊕C B
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 1 0 1
⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕
采用真值表证明
2?多个变量的异或和同或之间的关系
(1)偶数 个变量的异或和同或互补
(2)奇数 个变量的异或和同或相等
(3)当多个,0”?“1”相异或时,起作用的是,1”的个数。
1）奇数个,1”异或得,1”。例,1⊕ 0⊕ 0⊕ 1⊕ 0⊕ 1=1
2）偶数个,1”异或得,0”。例,1⊕ 0⊕ 0⊕ 1⊕ 1⊕ 1=0
(4)当多个,0”?“1”同或时,起作用的是,0”的个数。
三?常用公式
1?合并相邻公式
1）奇数个,0”同或得,0”。例,1⊙ 0⊙ 0⊙ 0=0
2）偶数个,0”同或得,1”。例,0⊙ 0⊙ 1⊙ 1=1
2?消项公式
3?消去互补因子公式
4?多余项公式
2.4逻辑代数的基本规则一?代入规则设,F1(X1,X2,X3,,Xn)=F2(X1,X2,X3,,Xn)并另有函数 G代替 X1,则有
F1( G,X2,X3,,Xn )=F2(G,X2,X3,,Xn )
代入规则,对于一个等式,如在等式两边所出现的某个变量的地方,都用同一个函数代入,则等式仍成立。
例一,A（ B+C） =AB+AC
若 C=EF,则 A（ B+EF） = AB+AEF
强调,(1)在等式中凡是有所要代换的变量出现的地方都要用函数代替。
二?反演规则例二,
（ 2）尤其不要忘记代入非号下应被代换的变量。
反演规则：
例一：
强调：
1）它们之间的运算关系的优先级不变。
2）原变量 → 反变量，反变量 → 原变量，都是对单个变量而言，对于大的非号，在反演中是不变的。
例二：
常用关系式：
三?对偶规则对偶规则：
例一：
强调：
1）运用对偶规则时，要注意符号的先后顺序。
2）掌握好括号的使用，所有的非号均不变动 。
常用关系式：
（ 3）可用于等式的证明 ;同一基本公式左、右两列存在对偶关系。
习题,2.1
2.4 (2),(3)
2.5
补充题,
1.直接写出
2.试判断下列逻辑命题是否正确。正确打,√”,不正确打,×,。
① 若 A+B=A+C，则 B=C；（ ）
② 若 A=B,则 AB=A；（ ）
③ 若 1+A=B,则 1+A+AB=B； （ ）
④ 若 AB=AC,则 B=C ；（ ）
⑤ 若 A+B=A+C,AB=AC，
则 B=C。 （ ）
2.1 概述逻辑代数,描述和研究客观世界中事物间逻辑关系的数学，它把事物间逻辑关系简化为 符号间的数学运算。
用类似普通代数形式研究逻辑代数是英国数学家布尔（ G,Boole）最早提出，所以也称为 布尔代数。
又因为布尔代数中的常量、变量都只有“真”（ True
）和“假”（ False）两种取值，所以也称为 二值代数。
一?逻辑变量逻辑代数的变量称为 逻辑变量 。
它通常采用器件的名称命名，并用大写字母 A?B?C表示，其取值有两种，即,逻辑 0和 逻辑 1。而 0和 1又称为 逻辑常数 。
二?基本的逻辑运算基本的逻辑运算有与?或?非三种，它们可以由相应的逻辑电路实现。
1?逻辑乘 （与运算）
逻辑关系,只有所有的条件同时具备，结果才会发生。
开关闭合为,1”
开关打开为,0”
灯亮为,1”
灯灭为,0”
逻辑功能：,有 0出 0，全 1出 1”
逻辑表达式,L=AB=A·B
实现“与”运算的电路称为 与门 （ AND
gate）,它可以用三种与门逻辑符号来表示。
2?逻辑加 （或运算）
逻辑关系,只要具备一个或一个以上的条件，结果就会发生。
开关闭合为,1”
开关打开为,0”
灯亮为,1”
灯灭为,0”
逻辑功能：,有 1出 1，全 0出 0”
逻辑表达式,L=A+B
实现逻辑相加（或运算）的电路称为 或门（ OR gate ），它也可以用三种或门逻辑符号来表示。
3?逻辑反 （非运算）
逻辑反 （非运算） 是逻辑的否定，当条件不成立时，与其相关的事件却为真。
开关闭合为,1”
开关打开为,0”
灯亮为,1”
灯灭为,0”
L = A逻辑表达式,
三?逻辑函数及其表示方法因变量,F称为输出变量。
1.逻辑函数概念自变量,X1,X2,X3,,Xn称为输入变量。
如果逻辑变量 X1,X2,X3,,Xn的取值决定后,逻辑变量 F的取值也唯一地被确定了,则称 F是 X1,X2,
X3,,Xn的逻辑函数。记作：
2? 真值表把输入变量所有的取值组合和它所对应的输出函数的值列成表格，所得的这个表格为 真值表。
例如：二变量函数 F的真值表。
强调,列真值表时，输入变量的取值组合应按二进制数递增的顺序排列，以免遗漏或重复。
3?逻辑表达式逻辑表达式是由输入变量和逻辑运算符号组成。
逻辑运算符为：,?”，,+”,,-”
例如：
应用实例,人们常常在楼上?楼下各装一个“单刀双掷”开关，使得在楼下开灯照亮了楼梯，待人上了楼之后再在楼上把灯关掉。同样也可以在楼上开灯，楼下关灯。
两个“单刀双掷”开关的接点为,a?b 和 c?
d 。
令,a?b 为 1；
c?d为 0。
L=1----灯亮
L=0----灯灭
L和 A?B之间的关系可以表示为：
0
1
0
1
2.2逻辑代数中的运算一、三种基本逻辑
1.与运算
(1) 算符
,·,（或者,×,、,∧,、,∩”、
,AND”)
(2) 运算规则
0 · 0 = 0,0 · 1 = 0,1 · 0 = 0,1 · 1 = 1
(3) 逻辑表达式,F = A · B
(4) 逻辑符号
(5) 实现电路输 入 输 出
uA(V) uB(V) uF(V)
0 0 0
0 3 0
3 0 0
3 3 3
① 二极管与门电路
② 状态表
2? 或运算
(1) 算符
“＋,（或者,∨,、,∪,、,OR”)
(2) 运算规则
0 ＋ 0 = 0,0 ＋ 1 = 1,1 ＋ 0 = 1,1 ＋ 1 = 1
(3) 逻辑表达式,F = A ＋ B
(4) 逻辑符号
(5)实现 电路
① 二极管或门电路输 入 输 出
uA(V) uB(V) uF(V)
0 0 0
0 3 3
3 0 3
3 3 3
② 状态表
3?非运算
(1)算符
,—”
(2) 运算规则
(3) 逻辑表达式
(4) 逻辑符号
(5) 实现电路 输 入 输 出
uA(V) uF(V)
0 3
3 0
① 三极管非门电路
② 状态表二、复合逻辑运算
1.与非运算：
(1) 逻辑表达式,F = AB
(2) 逻辑符号
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
&A
B F
A
B F
A
B F
(3) 逻辑功能：“有 0出 1，全 1出 0”
２,或非运算：
(1) 逻辑表达式,F = A＋ B
(2) 逻辑符号
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
1A
B F +
A
B F
A
B F
逻辑功能：“有 1出 0，全 0出 1”
３,与或非运算：
(1) 逻辑表达式,F = AB＋ CD
(2) 逻辑符号
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
F
A
B
C
D
& 1
F
A
B
C
D
+
A
B
F
C
D
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
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B
D a t e,2 0- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
=1 FA
B
A
B F+
A
B
F
4.异或运算 (A,B取值不同时,F才为 1)：
(1) 逻辑表达式：
(3) 逻辑符号
F = A⊕ B = AB + AB
(2) 异或逻辑真值表
01 1
11 0
1 0 1
00 0
FA B
模二加
5.同或运算 (A,B取值相同时,F才为 1)：
(1) 逻辑表达式：
(3) 逻辑符号
F = A⊙ B = A B + A B
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e vi s i o nS i z e
B
D a t e,2 2- J a n- 2 00 2 S he e t o f
F i l e,E,\ D e s i gn E xp l o r e r 9 9 S E \ M y D e s i gn,dd b D r a w n B y,
A
B F
.=
B
A F A
B
F
(2) 同或逻辑真值表
11 1
01 0
0 0 1
10 0
FA B
6?真值表
1.自等律 A + 0 = A A · 1 = A
2.吸收律 A + 1 = 1 A · 0 = 0
3.重叠律 A + A = A A · A = A
4.互补律
5.还原律 A = A
A + A = 1 A · A = 0
6.交换律 A + B = B + A A · B = B · A
2.3逻辑代数的公式一?基本公式 (9个基本公式 )
7.结合律 A + B + C
= (A + B) + C
= A + (B + C)
A · B · C
= (A · B) · C
= A · (B · C)
8.分配律 A ·(B + C)
= AB + AC
A + BC
= (A + B) ·(A + C)
9.反演律 A + B = A · B AB = A + B
基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。
二?异或?同或逻辑公式
1?基本公式用真值表证明：若 A⊕B=C,则有 A⊕C=B
A B C A⊕B C A⊕C B
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 1 0 1
⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕
采用真值表证明
2?多个变量的异或和同或之间的关系
(1)偶数 个变量的异或和同或互补
(2)奇数 个变量的异或和同或相等
(3)当多个,0”?“1”相异或时,起作用的是,1”的个数。
1）奇数个,1”异或得,1”。例,1⊕ 0⊕ 0⊕ 1⊕ 0⊕ 1=1
2）偶数个,1”异或得,0”。例,1⊕ 0⊕ 0⊕ 1⊕ 1⊕ 1=0
(4)当多个,0”?“1”同或时,起作用的是,0”的个数。
三?常用公式
1?合并相邻公式
1）奇数个,0”同或得,0”。例,1⊙ 0⊙ 0⊙ 0=0
2）偶数个,0”同或得,1”。例,0⊙ 0⊙ 1⊙ 1=1
2?消项公式
3?消去互补因子公式
4?多余项公式
2.4逻辑代数的基本规则一?代入规则设,F1(X1,X2,X3,,Xn)=F2(X1,X2,X3,,Xn)并另有函数 G代替 X1,则有
F1( G,X2,X3,,Xn )=F2(G,X2,X3,,Xn )
代入规则,对于一个等式,如在等式两边所出现的某个变量的地方,都用同一个函数代入,则等式仍成立。
例一,A（ B+C） =AB+AC
若 C=EF,则 A（ B+EF） = AB+AEF
强调,(1)在等式中凡是有所要代换的变量出现的地方都要用函数代替。
二?反演规则例二,
（ 2）尤其不要忘记代入非号下应被代换的变量。
反演规则：
例一：
强调：
1）它们之间的运算关系的优先级不变。
2）原变量 → 反变量，反变量 → 原变量，都是对单个变量而言，对于大的非号，在反演中是不变的。
例二：
常用关系式：
三?对偶规则对偶规则：
例一：
强调：
1）运用对偶规则时，要注意符号的先后顺序。
2）掌握好括号的使用，所有的非号均不变动 。
常用关系式：
（ 3）可用于等式的证明 ;同一基本公式左、右两列存在对偶关系。
习题,2.1
2.4 (2),(3)
2.5
补充题,
1.直接写出
2.试判断下列逻辑命题是否正确。正确打,√”,不正确打,×,。
① 若 A+B=A+C，则 B=C；（ ）
② 若 A=B,则 AB=A；（ ）
③ 若 1+A=B,则 1+A+AB=B； （ ）
④ 若 AB=AC,则 B=C ；（ ）
⑤ 若 A+B=A+C,AB=AC，
则 B=C。 （ ）
