2.5 逻辑函数的表达式一?常用表达式 (五种形式 )
说明,一个逻辑函数的 真值表 是 唯一的,
但其 表达式 不是 唯一的。
二?逻辑函数的标准表达式一个真值表可能对应 多个 一般与或式，但只对应一个 标准与或式。
1?最小项?最小项表达式
（ 1） 最小项的概念及其表示最小项的特点：
① 首先是一个乘积项，用符号 mi表示 。
② 它包含了所有的变量，而且变量以 原变量 或反变量 的形式 只出现一次 。
③ 最小项有 2n个乘积项。
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？
解：把最小项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 ABCD，从而得 (0111)2，即 (7)10。
所以，此最小项的编号为 7，通常写成 m7。
其中,m 表示最小项,5 表示最小项的编号
ABC ( 101 )2 ( 5 )10
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 ABC就是一个最小项，通常写成 m5。
(2)最小项表达式（标准与或式）
最小项,
用 mi符号表示。其中,m表示最小项,i
表示最小项的编号原变量,1‖
反变量,0‖
例,F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
),,( 420 mmm
)4,2,0(m
420 mmm
例,F（ A,B,C） =AB+BC ------与 -或形式
=∑（ 7,6,3）
2?最大项?最大项表达式
(1)最大项的概念及其表示最大项的特点：
① 首先是一个和项，用符号 Mi表示。
② 它包含了所有的变量，而且变量都以原变量或反变量的形式只出现一次。
③ 最大项有 2n个和项。
其中,M 表示最大项,5 表示最大项的编号
( 101 )2 ( 5 )10
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 A + B + C
就是一个最大项，通常写成 M5。
A + B + C
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 B + C +
A + D 就是一个最大项，其最大项编号为多少？
解：把最大项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 A + B +C + D，从而得 (0111)2，即
(7)10。
所以，此最大项的编号为 7，通常写成 M7。
(2)最大项表达式（标准或与式）
最大项,
用 Mi符号表示，其中,M表示最大项,i表示最大项的编号。
原变量为,0‖
反变量为,1‖
注意：最大项与最小项变量的取值相反。
例,F(A,B,C) = (A + B + C ) · ( A + B + C ) · ( A +
B + C )
),,( 420 MMM
420 MMM
)4,2,0(M
例,------这是个“或 -与”式，
不是最大项形式。
=∏ （ 0,1,4）
注意：利用分配律 A+BC=（ A+B）?（ A+C）
一变量函数，如 F(A)，共有,2个最小项
3,最小项和最大项的性质即,A,A
二变量函数，如 F(A,B)，共有,4个最小项三变量函数，如 F(A,B,C)，共有,8个最小项即,A B,A B,A B,A B
即,A B C,A B C,A B C,A B C
A B C,A B C,A B C,A B C
结论,n变量函数，共有,2 n 个最小（大）项。
(1) 最小项的主要性质
① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 1。
A B C A B C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
能使最小项的值为 1的取值组合，称为与该 最小项对应的取值组合。
例,101 ABC 。
若把 与最小项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最小项的编号 i。
② 全部最小项之和恒等于 1。
即,
12
0
1
n
i
im
③ 任意两个最小项的乘积恒等于 0 。
即：
),12)(0(0 jijimm nji 且即：
④ 任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项 。
),12)(0( jijimmm niji 且
(2) 最大项的主要性质,
① 对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 0。
A B C A+B+C
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
能使最大项的值为 0的取值组合，称为 与该最大项对应的取值组合。
若把 与最大项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最大项的编号 i。
例,101 A+B+C 。
② 全部最大项之积恒等于 0。
即,012
0
n
i
iM
③ 任意两个最大项的和恒等于 1。
即,),12)(0(1 jijiMM n
ji 且
④ 任一最大项与另一最大项非之和恒等于该最大项 。
即,),12)(0( jijiMMM n
iji 且
4?最小项与最大项之间的几个关系
（ 1） mi和 Mi互补例一：
例如：三变量函数 F(A,B,C)的 m5,M5 对
A,B,C的 8组取值组合，其取值如下：
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
证明：
即上述关系式成立。
1 kj mm因为
),4,2,1(),,( mCBAF例：
kj Mm)3(
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
),4,2,1(),,( mCBAF例：
)7,6,5,3,0(M
例一,F（ A,B,C） =∑m（ 2,3,4,7）
=∏ M（ 2,3,4,7）
F=∑m（ 2,3,4,7）和 F= ∏ M（ 2,3,4,7）
总结,F的最小项编号和 F的最大项编号恰好完全一样。
证明：
根据反演规则和对偶规则之间的关系可知,F中的原、反变量互换，即得到 F′。
所以,F 和 F′中包含的最小项的个数是相等的，
且对应的最小项的编号之和为 ( 2n-1 )。
即上述关系式成立。
例 1：若 )6,4,3(),,( mCBAF
则 F′(A,B,C)=(?)
)1,3,4(m
例 2：若 )6,4,3(),,( mCBAF
则 )?(mF
解：,)7,5,2,1,0( mF )7,6,5,2,0(mF
利用,
则 F′(A,B,C)
练习,F(A,B,C)=∑(0,1,2)利用最小项和最大项之间的关系,直接写出它的最大项表达式和 F
的最大项表达式。 F’的最小项表达式。
解,F（ A,B,C） =∑m（ 0,1,2）
F（ A,B,C） = ∏M（ 3,4,5,6,7）
F（ A,B,C） = ∏M（ 0,1,2）
F’（ A,B,C） = ∑m （ 4,3,2,1,0）
F（ A,B,C） = Σm（ 3,4,5,6,7）
2.6 逻辑函数的化简 （重点）
一、化简的意义和最简的标准,
1.化简的意义（目的）,
节省元器件；提高工作可靠性
2,化简的目标,
最简 与或式 或者最简 或与式
3.最简的标准,
(1)乘积项数最少
(2) 每个乘积项中的变量数最少化简的方式有两种：
代数法化简卡诺图法化简这意味着,（这里主要指 SSI的设计）
1）实现电路所用的与门个数较少。
2）实现电路中与门的输入端数也较少 。
二?代数法化简化简的原则：
代数法化简是利用前面介绍的 9个基本公式和三个规则进行化简。
① 乘积项最少；
② 乘积项中的变量最少。
1?化简,与 —或” 式的主要方法
（ 1）相邻项合并法
=A
（ 2）消项法例一：
例二：
(3)消去互补因子法
(4)拆项法把乘积项拆为两项,
再进行化简。
= AB + C AB
（ 5）添项法例一：
例二：
=A+CD+BD+BC+CD
练习 1,用公式法化简为最简与或式练习 2,用公式法化简为最简与或式解,F = A + B? C + A B + B + C
= A B C + A B + B + C
= A (B C + B) + B + C
= A ( B + C ) + B + C
= A + B + C + B + C
= A + 1
= 1
练习 3,用公式法化简为最简与或式解,F=A B( C + D )+B C+A B+A C+B C+B C D
=A B C+A B D+B+A B+A C +B C D
=A C+A D + B + A +A C +C D
=C + D +B +A +C D
= A + B + C + D
解,= ABC DE ( ABC + DE )
= (ABC + DE ) ( ABC +DE)
= DE + ABC ABC
= DE
解,F=ABC +ABD +( A + B) C D + C ⊕ D D
=AB ( C+D ) + A B C D + C⊕ D D
= AB C D + A B C D + C⊕ D D
= C D + ( C D + C D ) D
= C D +C D
= 1
2?或与式的化简化简方法：
① 利用“或与”形式的公式进行化简。
② 采用二次对偶法进行化简。
―或与”式用公式法进行化简比较繁琐，
建议 采用 二次对偶 比较简单。
例：
解,F’ =A+ B C + B D + A B + A B C D
=A + B C +B D +B
= A + B + C + D
F = (F’)’ = A B C D
练习,用公式法化简函数解,F ’= A+AB +AD+BD+ACEF
= A(1+B+CEF) +AD +BD
= A +AD+BD = A + D
∴ (F’)’= F=AD
以上介绍的化简方法是采用公式法进行化简的，
在化简过程中，它存在这样一个问题：
① 逻辑函数化简的好与坏，完全取决于化简者的技巧以及对公式的熟练运用。
② 至于函数是否化简到最简，没有办法来恒量，
也就是说用公式法化简其 观察不直观。
于是，人们就引入了一种图解的方法来进行化简。也就是下面我们将介绍的 卡诺图化简法 。
强调,图解的方法只适用于变量 ≤5的情况，大于 5
个变量就不适用。
三?卡诺图化简法 （重点）
1?卡诺图的基本概念卡诺图实质上也是一张真值表，即,一张特殊结构的格图形式的真值表。
特点：
① 它有 2n（ n=0,1,2,,m ）个方格，而每个方格对应一个最小项。
② 它以循环码的规律进行排列，即：相邻的组合只有一个码不同。 （即：单位间距特性）
(1) 两变量真值表对应的卡 诺 图
)3,1(mF
)2,0(MF
)3,1(mF
)2,0(MF
n=3,2n=23= 8个方格
(2) 三变量卡 诺 图例 2.6.11 将图 2.6.4所示卡诺图分别用最小项表达式和最大项表达式表示。
641),,( mmmCBAF
解：
= A B C + A B C + A B C
75320),,( MMMMMCBAF
10011
00100
10110100A BC
图 2.6.4
=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
( A + B + C )( A + B + C )
F = f (A,B,C,D)
n=4,24=16个方格
(3) 四变量卡 诺 图
2?函数的卡诺图表示法 (或卡诺图填图规律 )
(1)填写卡诺图的方法 （有两种方法）
① 展开成标准表达式。
② 用观察法移植。 （重点介绍）
=m12+m7+ m5+ m15+ m14+ m11 +m10
––―与 –或”式例一：把 填写到卡诺图中解：首先采用方法一：展开成标准表达式
F= m12+m7+ m5+ m15+ m14+ m11 +m10
采用方法二：观察法移植将三张卡诺图合并为一张图可得到如下结果：
强调,使用卡诺图不是用它来表示函数的，
而是用它来化简函数。
例,F=AB+BC
(2)卡诺图的运算
① 两卡诺图相加
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1 (逻辑加 )
② 两卡诺图相乘
0× 0=0,0× 1=0,1× 0=0,1× 1=1 (逻辑乘 )
③ 两卡诺图相异或
0⊕ 0=0,0⊕ 1=1,1⊕ 0=1,1⊕ 1=0 (异或运算 )
④ 卡诺图反演 (逻辑反 )
(3)卡诺图化简原理
① 主要利用 AB+AB=A的公式化简
② 合并的规律
1)相邻两个 1格可合并为一项,消去一个变量。
00001
00110
10110100A BC
F = A B
00001
10010
10110100A BC
F = A C
圈 2格，可消去 1个变量，合并结果为公共因子例 1,F（ A,B,C） =∑ m(0,1,4,6)
2) 相邻四个 1格可合并为一项，消去二个变量。
00111
00110
10110100A BC
F = B
00001
11110
10110100A BC
F = A
10011
10010
10110100A
BC
F = C
圈 4格，可消去 2个变量，合并结果为公共因子
100110
011011
011001
100100
10110100AB CD
011010
100111
100101
011000
10110100AB CD
F = B D + B D F = B D + B D
例 2,F=∑m（ 0,1,2,5,8,9,10,13）
圈 8格，可消去 3个变量，合并结果为公共因子
3)相邻八个 1格可合并为一项,消去三个变量。
011010
011011
011001
011000
10110100AB CD
F = D
例 3,F=∑m（ 0,2,4,6,8,10,12,14）
∑m (0,2,4,6,8,10,12,14)=D
∴ F=D
根据上面的讨论，可得到如下结论：
结论,相邻 2i个 1格，可合并为一项，消去 i个变量。
也就是说在化简时，应以 1格?2格?4格?8格?16格进行圈化。
（ 4）化简原则和步骤
1)名词解释注意,不可以用 3格?5格?6格?7格?9格等不满足 2i个格进行圈化。
① 主要项不能再扩大的卡诺图所对应的合并项称为主要项。
② 必要项在卡诺图中，未被其它主要项圈画覆盖，而为本圈所独有的,1‖格所代表的最小项称为 实质小项,具有实质小项的卡诺图所代表的主要项称为 必要项 。
注意,必要项指圈中有新的成份。
③ 多余项如果主要项圈中所有的,1‖格都被别的主要项圈走,即本圈无独占的,1‖格,这种主要项圈所代表的项称为 多余项。
注意,多余项指没有新的成份。
强调,在化简中，应保证每一个圈包含有主要项和必要项。
2）化简原则
① 排斥原则
―1‖格?―0‖格不可共存于同一圈内。
② 闭合原则卡诺图中所有的,1‖格都要圈光。
③ 最小原则圈数要最少，圈子要最大。
3）化简步骤 （重要）
① 填图。
② 先圈孤立的,1‖格。
③ 找出只有一种圈法，一种合并方向的,1‖
格，进行合并。
④ 将剩下的,1‖格用尽可能大的圈圈起来，
直到圈完所有的,1‖格为止。
⑤ 写出表达式
4)化简举例例一,F=∑m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)
注意：
(1) 圈中,1‖格的数目只能为 2 i ( i = 0,1,2…),且是相邻的。
(2)同一个,1‖ 格可被圈多次 ( A + A = A )。
(3)每个圈中必须有该圈独有的,1‖格（即新的
,1‖格。
(4)首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。
(5) 圈法不是唯一的。
例二,F(A,B,C,D)=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)
强调,按化简步骤进行化简,否则会出现圈画出多余项。
多余项例三,F(A,B,C,D)=∑m (0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
例四,F(A,B,C,D)=∑m(1,2,3,5,7,8,12,13)
说明,由例四可见，
一个函数的表达式不是唯一的。
例五,F=∑m（ 2,3,5,7,8,10,12,13）
说明,圈画时注意按一个方向圈，否则就会使圈画的函数不是最简。
由最大项表达式求最简与或式例 2.6.18 已知函数 )15,13,7,5(),,,( MDCBAF
求最简与或式。
F(A,B,C,D) = B + D
化简为最简或与式例：求函数 F（ ABCD） =?m（ 0,2,3,5,7,8,10,11,13）
的最简或与式。
11110
111
1101
11100
10110100AB CD
F=(?B+D)(B+C+?D)(?A+?B+?C)
(1)F=(ACD+ABC+ABC+ACD)ABC+ACD+ABC+ACD
求最简“与 -或”式。
解,
=
F=BD
作业,2.8(1),(3),2.10(1),2.11,
2.12(1)?(2)
补充题,
1.填空
(1)F(A,B,C)=AB+BC=∑m(?)
=∏M(?)
(3)F(A,B,C)=1⊕ A⊕ BC=∑m(?)
(4)若 F(A,B,C)= ∏M( 3,5,6,7),
则 F(A,B,C)=∑m(?),
F(A,B,C)=∑m(?)。
(5)若 F1(A,B,C)=∑m(0,1,2,3),
F2(A,B,C)=∏M(0,1,2,3),
则 F1⊕ F2=（? ）。
说明,一个逻辑函数的 真值表 是 唯一的,
但其 表达式 不是 唯一的。
二?逻辑函数的标准表达式一个真值表可能对应 多个 一般与或式，但只对应一个 标准与或式。
1?最小项?最小项表达式
（ 1） 最小项的概念及其表示最小项的特点：
① 首先是一个乘积项，用符号 mi表示 。
② 它包含了所有的变量，而且变量以 原变量 或反变量 的形式 只出现一次 。
③ 最小项有 2n个乘积项。
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？
解：把最小项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 ABCD，从而得 (0111)2，即 (7)10。
所以，此最小项的编号为 7，通常写成 m7。
其中,m 表示最小项,5 表示最小项的编号
ABC ( 101 )2 ( 5 )10
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 ABC就是一个最小项，通常写成 m5。
(2)最小项表达式（标准与或式）
最小项,
用 mi符号表示。其中,m表示最小项,i
表示最小项的编号原变量,1‖
反变量,0‖
例,F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
),,( 420 mmm
)4,2,0(m
420 mmm
例,F（ A,B,C） =AB+BC ------与 -或形式
=∑（ 7,6,3）
2?最大项?最大项表达式
(1)最大项的概念及其表示最大项的特点：
① 首先是一个和项，用符号 Mi表示。
② 它包含了所有的变量，而且变量都以原变量或反变量的形式只出现一次。
③ 最大项有 2n个和项。
其中,M 表示最大项,5 表示最大项的编号
( 101 )2 ( 5 )10
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 A + B + C
就是一个最大项，通常写成 M5。
A + B + C
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 B + C +
A + D 就是一个最大项，其最大项编号为多少？
解：把最大项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 A + B +C + D，从而得 (0111)2，即
(7)10。
所以，此最大项的编号为 7，通常写成 M7。
(2)最大项表达式（标准或与式）
最大项,
用 Mi符号表示，其中,M表示最大项,i表示最大项的编号。
原变量为,0‖
反变量为,1‖
注意：最大项与最小项变量的取值相反。
例,F(A,B,C) = (A + B + C ) · ( A + B + C ) · ( A +
B + C )
),,( 420 MMM
420 MMM
)4,2,0(M
例,------这是个“或 -与”式，
不是最大项形式。
=∏ （ 0,1,4）
注意：利用分配律 A+BC=（ A+B）?（ A+C）
一变量函数，如 F(A)，共有,2个最小项
3,最小项和最大项的性质即,A,A
二变量函数，如 F(A,B)，共有,4个最小项三变量函数，如 F(A,B,C)，共有,8个最小项即,A B,A B,A B,A B
即,A B C,A B C,A B C,A B C
A B C,A B C,A B C,A B C
结论,n变量函数，共有,2 n 个最小（大）项。
(1) 最小项的主要性质
① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 1。
A B C A B C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
能使最小项的值为 1的取值组合，称为与该 最小项对应的取值组合。
例,101 ABC 。
若把 与最小项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最小项的编号 i。
② 全部最小项之和恒等于 1。
即,
12
0
1
n
i
im
③ 任意两个最小项的乘积恒等于 0 。
即：
),12)(0(0 jijimm nji 且即：
④ 任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项 。
),12)(0( jijimmm niji 且
(2) 最大项的主要性质,
① 对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 0。
A B C A+B+C
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
能使最大项的值为 0的取值组合，称为 与该最大项对应的取值组合。
若把 与最大项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最大项的编号 i。
例,101 A+B+C 。
② 全部最大项之积恒等于 0。
即,012
0
n
i
iM
③ 任意两个最大项的和恒等于 1。
即,),12)(0(1 jijiMM n
ji 且
④ 任一最大项与另一最大项非之和恒等于该最大项 。
即,),12)(0( jijiMMM n
iji 且
4?最小项与最大项之间的几个关系
（ 1） mi和 Mi互补例一：
例如：三变量函数 F(A,B,C)的 m5,M5 对
A,B,C的 8组取值组合，其取值如下：
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
证明：
即上述关系式成立。
1 kj mm因为
),4,2,1(),,( mCBAF例：
kj Mm)3(
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
),4,2,1(),,( mCBAF例：
)7,6,5,3,0(M
例一,F（ A,B,C） =∑m（ 2,3,4,7）
=∏ M（ 2,3,4,7）
F=∑m（ 2,3,4,7）和 F= ∏ M（ 2,3,4,7）
总结,F的最小项编号和 F的最大项编号恰好完全一样。
证明：
根据反演规则和对偶规则之间的关系可知,F中的原、反变量互换，即得到 F′。
所以,F 和 F′中包含的最小项的个数是相等的，
且对应的最小项的编号之和为 ( 2n-1 )。
即上述关系式成立。
例 1：若 )6,4,3(),,( mCBAF
则 F′(A,B,C)=(?)
)1,3,4(m
例 2：若 )6,4,3(),,( mCBAF
则 )?(mF
解：,)7,5,2,1,0( mF )7,6,5,2,0(mF
利用,
则 F′(A,B,C)
练习,F(A,B,C)=∑(0,1,2)利用最小项和最大项之间的关系,直接写出它的最大项表达式和 F
的最大项表达式。 F’的最小项表达式。
解,F（ A,B,C） =∑m（ 0,1,2）
F（ A,B,C） = ∏M（ 3,4,5,6,7）
F（ A,B,C） = ∏M（ 0,1,2）
F’（ A,B,C） = ∑m （ 4,3,2,1,0）
F（ A,B,C） = Σm（ 3,4,5,6,7）
2.6 逻辑函数的化简 （重点）
一、化简的意义和最简的标准,
1.化简的意义（目的）,
节省元器件；提高工作可靠性
2,化简的目标,
最简 与或式 或者最简 或与式
3.最简的标准,
(1)乘积项数最少
(2) 每个乘积项中的变量数最少化简的方式有两种：
代数法化简卡诺图法化简这意味着,（这里主要指 SSI的设计）
1）实现电路所用的与门个数较少。
2）实现电路中与门的输入端数也较少 。
二?代数法化简化简的原则：
代数法化简是利用前面介绍的 9个基本公式和三个规则进行化简。
① 乘积项最少；
② 乘积项中的变量最少。
1?化简,与 —或” 式的主要方法
（ 1）相邻项合并法
=A
（ 2）消项法例一：
例二：
(3)消去互补因子法
(4)拆项法把乘积项拆为两项,
再进行化简。
= AB + C AB
（ 5）添项法例一：
例二：
=A+CD+BD+BC+CD
练习 1,用公式法化简为最简与或式练习 2,用公式法化简为最简与或式解,F = A + B? C + A B + B + C
= A B C + A B + B + C
= A (B C + B) + B + C
= A ( B + C ) + B + C
= A + B + C + B + C
= A + 1
= 1
练习 3,用公式法化简为最简与或式解,F=A B( C + D )+B C+A B+A C+B C+B C D
=A B C+A B D+B+A B+A C +B C D
=A C+A D + B + A +A C +C D
=C + D +B +A +C D
= A + B + C + D
解,= ABC DE ( ABC + DE )
= (ABC + DE ) ( ABC +DE)
= DE + ABC ABC
= DE
解,F=ABC +ABD +( A + B) C D + C ⊕ D D
=AB ( C+D ) + A B C D + C⊕ D D
= AB C D + A B C D + C⊕ D D
= C D + ( C D + C D ) D
= C D +C D
= 1
2?或与式的化简化简方法：
① 利用“或与”形式的公式进行化简。
② 采用二次对偶法进行化简。
―或与”式用公式法进行化简比较繁琐，
建议 采用 二次对偶 比较简单。
例：
解,F’ =A+ B C + B D + A B + A B C D
=A + B C +B D +B
= A + B + C + D
F = (F’)’ = A B C D
练习,用公式法化简函数解,F ’= A+AB +AD+BD+ACEF
= A(1+B+CEF) +AD +BD
= A +AD+BD = A + D
∴ (F’)’= F=AD
以上介绍的化简方法是采用公式法进行化简的，
在化简过程中，它存在这样一个问题：
① 逻辑函数化简的好与坏，完全取决于化简者的技巧以及对公式的熟练运用。
② 至于函数是否化简到最简，没有办法来恒量，
也就是说用公式法化简其 观察不直观。
于是，人们就引入了一种图解的方法来进行化简。也就是下面我们将介绍的 卡诺图化简法 。
强调,图解的方法只适用于变量 ≤5的情况，大于 5
个变量就不适用。
三?卡诺图化简法 （重点）
1?卡诺图的基本概念卡诺图实质上也是一张真值表，即,一张特殊结构的格图形式的真值表。
特点：
① 它有 2n（ n=0,1,2,,m ）个方格，而每个方格对应一个最小项。
② 它以循环码的规律进行排列，即：相邻的组合只有一个码不同。 （即：单位间距特性）
(1) 两变量真值表对应的卡 诺 图
)3,1(mF
)2,0(MF
)3,1(mF
)2,0(MF
n=3,2n=23= 8个方格
(2) 三变量卡 诺 图例 2.6.11 将图 2.6.4所示卡诺图分别用最小项表达式和最大项表达式表示。
641),,( mmmCBAF
解：
= A B C + A B C + A B C
75320),,( MMMMMCBAF
10011
00100
10110100A BC
图 2.6.4
=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
( A + B + C )( A + B + C )
F = f (A,B,C,D)
n=4,24=16个方格
(3) 四变量卡 诺 图
2?函数的卡诺图表示法 (或卡诺图填图规律 )
(1)填写卡诺图的方法 （有两种方法）
① 展开成标准表达式。
② 用观察法移植。 （重点介绍）
=m12+m7+ m5+ m15+ m14+ m11 +m10
––―与 –或”式例一：把 填写到卡诺图中解：首先采用方法一：展开成标准表达式
F= m12+m7+ m5+ m15+ m14+ m11 +m10
采用方法二：观察法移植将三张卡诺图合并为一张图可得到如下结果：
强调,使用卡诺图不是用它来表示函数的，
而是用它来化简函数。
例,F=AB+BC
(2)卡诺图的运算
① 两卡诺图相加
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1 (逻辑加 )
② 两卡诺图相乘
0× 0=0,0× 1=0,1× 0=0,1× 1=1 (逻辑乘 )
③ 两卡诺图相异或
0⊕ 0=0,0⊕ 1=1,1⊕ 0=1,1⊕ 1=0 (异或运算 )
④ 卡诺图反演 (逻辑反 )
(3)卡诺图化简原理
① 主要利用 AB+AB=A的公式化简
② 合并的规律
1)相邻两个 1格可合并为一项,消去一个变量。
00001
00110
10110100A BC
F = A B
00001
10010
10110100A BC
F = A C
圈 2格，可消去 1个变量，合并结果为公共因子例 1,F（ A,B,C） =∑ m(0,1,4,6)
2) 相邻四个 1格可合并为一项，消去二个变量。
00111
00110
10110100A BC
F = B
00001
11110
10110100A BC
F = A
10011
10010
10110100A
BC
F = C
圈 4格，可消去 2个变量，合并结果为公共因子
100110
011011
011001
100100
10110100AB CD
011010
100111
100101
011000
10110100AB CD
F = B D + B D F = B D + B D
例 2,F=∑m（ 0,1,2,5,8,9,10,13）
圈 8格，可消去 3个变量，合并结果为公共因子
3)相邻八个 1格可合并为一项,消去三个变量。
011010
011011
011001
011000
10110100AB CD
F = D
例 3,F=∑m（ 0,2,4,6,8,10,12,14）
∑m (0,2,4,6,8,10,12,14)=D
∴ F=D
根据上面的讨论，可得到如下结论：
结论,相邻 2i个 1格，可合并为一项，消去 i个变量。
也就是说在化简时，应以 1格?2格?4格?8格?16格进行圈化。
（ 4）化简原则和步骤
1)名词解释注意,不可以用 3格?5格?6格?7格?9格等不满足 2i个格进行圈化。
① 主要项不能再扩大的卡诺图所对应的合并项称为主要项。
② 必要项在卡诺图中，未被其它主要项圈画覆盖，而为本圈所独有的,1‖格所代表的最小项称为 实质小项,具有实质小项的卡诺图所代表的主要项称为 必要项 。
注意,必要项指圈中有新的成份。
③ 多余项如果主要项圈中所有的,1‖格都被别的主要项圈走,即本圈无独占的,1‖格,这种主要项圈所代表的项称为 多余项。
注意,多余项指没有新的成份。
强调,在化简中，应保证每一个圈包含有主要项和必要项。
2）化简原则
① 排斥原则
―1‖格?―0‖格不可共存于同一圈内。
② 闭合原则卡诺图中所有的,1‖格都要圈光。
③ 最小原则圈数要最少，圈子要最大。
3）化简步骤 （重要）
① 填图。
② 先圈孤立的,1‖格。
③ 找出只有一种圈法，一种合并方向的,1‖
格，进行合并。
④ 将剩下的,1‖格用尽可能大的圈圈起来，
直到圈完所有的,1‖格为止。
⑤ 写出表达式
4)化简举例例一,F=∑m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)
注意：
(1) 圈中,1‖格的数目只能为 2 i ( i = 0,1,2…),且是相邻的。
(2)同一个,1‖ 格可被圈多次 ( A + A = A )。
(3)每个圈中必须有该圈独有的,1‖格（即新的
,1‖格。
(4)首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。
(5) 圈法不是唯一的。
例二,F(A,B,C,D)=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)
强调,按化简步骤进行化简,否则会出现圈画出多余项。
多余项例三,F(A,B,C,D)=∑m (0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
例四,F(A,B,C,D)=∑m(1,2,3,5,7,8,12,13)
说明,由例四可见，
一个函数的表达式不是唯一的。
例五,F=∑m（ 2,3,5,7,8,10,12,13）
说明,圈画时注意按一个方向圈，否则就会使圈画的函数不是最简。
由最大项表达式求最简与或式例 2.6.18 已知函数 )15,13,7,5(),,,( MDCBAF
求最简与或式。
F(A,B,C,D) = B + D
化简为最简或与式例：求函数 F（ ABCD） =?m（ 0,2,3,5,7,8,10,11,13）
的最简或与式。
11110
111
1101
11100
10110100AB CD
F=(?B+D)(B+C+?D)(?A+?B+?C)
(1)F=(ACD+ABC+ABC+ACD)ABC+ACD+ABC+ACD
求最简“与 -或”式。
解,
=
F=BD
作业,2.8(1),(3),2.10(1),2.11,
2.12(1)?(2)
补充题,
1.填空
(1)F(A,B,C)=AB+BC=∑m(?)
=∏M(?)
(3)F(A,B,C)=1⊕ A⊕ BC=∑m(?)
(4)若 F(A,B,C)= ∏M( 3,5,6,7),
则 F(A,B,C)=∑m(?),
F(A,B,C)=∑m(?)。
(5)若 F1(A,B,C)=∑m(0,1,2,3),
F2(A,B,C)=∏M(0,1,2,3),
则 F1⊕ F2=（? ）。
