第二章 连续时间系统的时域分析本章主要研究线性时不变 (LTI)连续时间系统的分析方法
（一）建立系统的数学模型 —— 微分方程
（二） 系统分析的任务：
给定或建立系统模型,给定输入信号，求系统的输出响应。
（三）系统分析方法：
时域分析法,包括微分方程法，经典法求解系统方程的完全解（ 0＋
）
卷积法,已知或求得系统的冲激响应，将冲激响应与输入激励信号相卷积，得到系统的输出响应（零状态响应）。它是时间域与变换域分析线性系统的纽带。（ 0_
）
§ 2.1 引言系统 建立系统的微分方程 求转移算子 H(p)
求特征根求冲激响应 h(t)
求零输入响应 )(ty
x
求零状态响应
)(*)()( thtfty f?
)()()( tytyty fx求全响应
时域经典法和时域卷积法
§ 2.2微分方程的建立与求解
a.电阻：
b.电容,
c.电感,
)(
)(
ti
tuR?
)(
)(
tu
tqC?
R
Ruip ui
2
2
t
c dicu )(
1
il
dt
tdiltu
l
)()(?
d
l
t
ll ui )(
1?
d.耦 合电感 v— I 的关系
dt
tducti )()(?
一、构筑微分方程的基本依据
1、元件特性：即表征元件的特性的关系式。
2、网络拓扑结构,KCL,KVL。
dt
di
m
dt
di
l
dt
d
tv 12222 )(
dt
di
m
dt
di
l
dt
d
tv 21111 )(
V1 V2
I1 I2M
1L 2L
1R
)(te C
2R
)(0 tv
)()()()( 010
2
0 tvR
dt
tdvc
R
tvte?
)(1)()(
1
0
21
210 te
cRtvcRR
RR
dt
tdv
)(),()( 0 tvtuEete t 求输出信号
例,电路如图所示,激励信号即此系统模型用输入 -输出的微分程来描述二、一般线性系统的数学描述
eb
dt
deb
dt
edbra
dt
dra
dt
rda
dt
rd
trte
m
m
mn
n
nn
n
01011
1
1,.....
)()(1
—响应，系统描述为：——激励，—：将上例推广到一般：
三、求解问题：
A：由时域经典法,r(t)=齐次解（通解） +特解。
0..,0111 aaa nnn其特征方程：
特解：对应于强迫响应
B：指卷积法。（求解零状态响应及零输入响应）
)()(
1
tyectr ptin
i
i
系数 ci由边界条件求得,指数系数由如下求得对应于自由响应。频率系统的固有频率或自然称为为微分方程的特征根，，特征方程的根
,
...21 n
其中齐次解 /通解：描述方程式左边 =0的解,对应于 自由响应
§ 2.8 系统模型的算子表示法一、算子符号表示的基本规则：
dt
dp?：定义算子：1?d
p
t
()1
dt
dxpx?则：
n
n
n
dt
xdxp?
t xdxp?1
edtdedrrdtdrdt rd t 3)(522
2
如：
eperprprrp 31522用算子表示成：
eprppp )3()152( 2即,~
二、算子运算规则：
pxpxpp 11?
yxpypx 不可以得出由
yxypDxpD 不可以得出由 )()(
xabpbap ])([ 2
其一：对算子多项式可以进行因式分解，但不可以公因子相消其二：算子乘除运算不可以颠倒
px
p
x
p
ppx
p
x
p
px
xtxdx
d
d
p
p
txxd
dt
d
x
p
p
tt
11;
11
0)(
)()(][
1
);(
1
时，当且仅当
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d d d
p a p b x a b x a x b x
d t d t d t d t
d d d d d d
x b x a x b x x b x a x a b x
d t d t d t d t d t d t
三、转移算子
eb
dt
de
b
dt
ed
bra
dt
dr
a
dt
rd
a
dt
rd
m
m
mn
n
nn
n
01011
1
1,....,
系统描述为：
ebpbpbrapapap mmmmnnn ).,,().,,( 0110111
用算子表示为：
)( pN即,D(p)r(t)=N(p)e(t)
)()( )()( tepD pNtr
)(
)()(
pD
pNpH?定义转移算子,（又称传输算子）
)( pH
)(te )(tr
)(pD
§ 2。 8 系统方程的算子表示法例：下图中 e(t)为激励,为响应，求转移算子 。2i
1 1
12
21i 2i
解,用 KVL：
03
)(3
2
21
2
1
1
i
dt
di
dt
di
te
dt
di
i
dt
di
)()3102(
0)3(
)()13(
2
2
21
21 tpeipp
ippi
tepiip
即：
3102
)( 2
pp
ppH
运用算子运算与代数符号运算的近似性，配合有关规则，
使解微分方程变得相对简单。
1）
由 D(p)r(t)=N(p)e(t),
0)...( 0111 rapapap nnn即求解：
A：对于一阶齐次方程 0)( rp?
tcetrktr
dt
r
dr
r
dt
dr
)(ln
0
取不定积分有,)(; kec?
其中 c为待定系数，由系统初始条件决定
)(
00
0
0)()()(
,)0()0(
ttetrtrtr
ccerr
已知，有：若可求则已知，有：若 自已证四、求解微分方程齐次解的求解,描述方程式左边 =0的解
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 2）
B：对于二阶齐次方程：
0)( 012 rapap
0)())((
0
21
2101
2
trpp
apap
,则：，的两单根为设
）成立中能成立一个，则（与 10)(0)( 21 rprp
）（ 1
若两个都成立，则两者之和满足方程 (1),即有：
tt ecectr 21 21)(
2
1
2211
21
21 )0('
)0(,
c
c
ccr
ccrcc
为待定系数，一般：
于是方程得解。
C：对于一般系统,0).,,()(
0111 rapapaprpD nnnD(p)=0—— 特征方程 P45
D(p)=0的根称为特征根，特征根对应的频率称 自然频率。
t
n
tt
n
nececectr
npD
...)(
,...0)(1
21
21
21 则：，个单根有、若
t
n
t
m
tm
m
nececetctcctr
npD
,,,).,,)(
0)(2
21
1
1
21
1
（
重根，则：为有重根，不妨设、若
)c o ss in()(
0)(3
211 tctcetr
pD
t
应的解的形式为：有复根，则一对复根对、若
)( 21 i，设复根
.,,)0(.,,;.,,,)0('.,,;)0(
.,,
)1(
2,1
n
n
rrr
nccc 个初始条件决定为待定系数，由其中
.,,.,,;,,,.,,; 21 nccc
例
)(
),()(,0)0(')0(
),()(2)('3)(''
ty
tuetfyy
tftytyty
t
全响应试求输入激励已知系统的初始条件为的微分方程为描述某线性非时变系统
.２＝－１ ２１
因此该 方程的齐次解 tt
tz ececy 2)( 21
特解 tt
p eptepty 01)(
由待定系数法
tp tety)(
ttt teececty 221)(完全解为由初始条件 y(0)=y’(0)=0 y(0)=c1+c2=0 y’(0)=-c1-c2+1=0
解得 c1=－１,c2=1,所以，全响应为
)()( 2 tuteeety ttt ）（－
＋２＝０得＋３解：由特征方程 ２
由上例可以看出微分方程解的物理意义：当微分方程用以描述系统的输入输出关系时，微分方程的解是系统的响应 。
齐次解是系统的 自由响应,解的模式依赖于系统的特性，它的指数幅度与初始条件和输入有关；
特解是系统的 强迫响应,它取决于系统特性与输入函数
§ 2.3起始点的跳变－－从 0_到 0+状态的转换一,0_,0+ 状态的定义
0_状态：系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态，定为
)]0(),.,,0(),0([)0( 11 rdtdrdtdrr nnk ）（
称为系统的起始状态，简称 0_状态
0＋状态：系统在激励信号加入之后,由于受到激励的影响,0_瞬间状态从 t=0_到 t=0+时刻 可能 发生变化,加入后瞬间的这组状态，
定为称为初始条件，简称 0+状态对于一个具体的电网络,0_状态就是系统是储能元件的储能情况,
_ ) ]0(_ ),.,,0(_ ),0([_)0( 1
1
rdtdrdtdrr n
n
k
）（
二,0_,0+ 边界条件值的确定
1,t<0时，系统已达稳定，根据电路定律求得储能元件 L、
C的初始值 i(0_) uc(0_)
2,t=0加入信号，从 t=0_到 t=0+时刻,是否变化取决于：
微分方程右端的是否包含有冲激及其导数。
包含有，则 0_,0+ 状态 发生变化,r(0_)=r(0+)
不包含，则不发生变化,r(0_)=r(0+)
由冲激匹配法或冲激平衡法把给定的 0_ 转换为 0＋边界值
() 3 ( ) 3 '( ),( 0 _ ) 0d r t r t t r
dt
,'( ),'( )t r t?右 边 最 高 次 左 边 最 高 次
)()()(')(' tuctbtatr设
)()()( tubtatr
)('3)]()([3)]()()('[ ttubtatuctbta
03
03
3
bc
ab
a
解：方程右端含有冲激项,起始点发生跳变冲激匹配法
9
9
3
c
b
a
因此，
,)0(,
,,
边界值并写出在起始点是否发生跳变判断起始条件及激励信号已知系统微分方程
r
( 0 ) ( 0 _ ) 9r r b
( 0 ) 9r
)(:)(':
),(':
..
0)0(_)0(,,:
)()(,0_)0(),()(2
)(
tutr
tr
rr
tutertetr
dt
tdr
右边左边故有因方程右端最高项为推导阶项应保持平衡即微分方程两边的最高采用冲激平衡法求解则不发生跳变方程右端不含有冲激项解
)()( ttutr?
显然,tu(t)在 t=0处连续而无跳变,故有在 t=0处无跳变,
即 r(0_)-r(0+)=0
r(0+)=r(0_)=0
冲激平衡法
)()(,0_)0(,)(3)(2)( tuterdt tdetrdt tdr
2.
)(3)(
)(3)('3)('
tutr
ttetr
显然,r(t)在 t=0处有跳变,即 r(0+)－ r(0_)=3
因此,r(0+)=r(0_)+3=3
方程两边平衡有：
解：方程右端含有冲激项,起始点发生跳变三、由 0_,0+ 状态 确定系统的完全响应全响应＝自由响应＋强迫响应
由 0+ 边界值确定自由响应 系数从 数学角度讲：由 0＋边界求得齐次解系数，
从系统响应讲：求得完全响应的自由响应部分的系数。
若用 0_边界值直接求解将全响应分解为零输入响应 ＋ 零状态响应由 0_边界值确定零输入响应系数两个重要概念零输入响应：系统无输入，仅由初始条件引起的响应。
零状态响应：系统无初始储能，仅由输入信号引起的响应。
数学表达式,
零输入响应 零状态响应 自由响 应 强迫响应
★ 两种分解方式的区别：自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但系数不同,仅由系统的初始状态 (0_
边界 )所决定,要由系统的初始状态和激励 共同来确定
(0+边界 )。 即，自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部分。
xic
ic
1 1 1
( ) ( ) ( )i i i
n n n
t t t
x i f i p i p
i i i
y t c e c e y t c e y t
§ 2.4零输入响应和零状态响应全响应＝自由响应＋强迫响应
＝零输入响应＋零状态响应
＝暂态响应＋稳态响应电路如图所示,t=0以前开关位于,1”,t>0时，开关由,1”转到,2”，求输出电压 的自由、强迫响应、零输入、零状态、完全响应 （ is,E是常数）
Ev )0(0
2
V0(t)
解一：当 t<0，电路达到稳态，
E
C R
is
1
2
1
V0(t)
+
_
当 t>0时
V0(t)
dt
tdVC
R
tVI
S
)()( 00
siCtvRCdt
tdv 1)(1)(
0
0
齐次解,t
Rcec
1
1
完全解：
s
tRc Riectv 1
10 )( Evv
)0()0(
00?
s
tRc
S RieRIEtv
1
0 )()(
自由响应,t
Rc
s eRiE
1
)(
强迫响应：
is C R
sRit?)(,?特解
sRi
0)()( 00 dt tdVCR tV
齐次解,tRcAe 1?
求零输入响应,令 外加激励 =0,由初始条件来确定)(tv
zi
)(tvzi
由初始条件 EAEvv zi )0()0( 0
)(tvzi tRCEe 1?
求零状态响应,令 起始状态 =0,由所加激励确定)(tv
zs
siCtvRCdt
tdv 1)(1)(
0
0
s
tRc
zs Riektv
1
1)(
解二：
由初始值 )0(
zsv
0)0()0( zszs vv sRik 1
)(tvzs )1( 1 tRc
s eRi
s
t
Rc
S
zszi
RieRIE
tvtvtv
1
0
)(
)()()(
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 4）
一、零输入响应举例：
2
1( 1 ) ( ) ; ( 0 ) 1,'( 0 ) 2
32
pH p r r
pp
2,1023 21的根为：解,pp
tt ecectr 221)(
)(]34[)(
3
4
22)0('
1)0(
,
2
2
1
21
21
21
tueetr
c
c
ccr
ccr
cc
tt
为待定系数此题 切不可 用如下解法,
)()(
2
1
)2)(1(
1
23
1
)(
2
2
tucetr
ppp
p
pp
p
pH
t
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 5）
二、零输入响应举例：
1)0('',0)0(')0(,)1( 13)()2( 2 rrrpp ppH
1,00)1( 3212的根为解,pp
tt ecetcctr 0321 ))(（
1
1
1
12)0(''
0)0('
0)0(
3
2
1
21
21
31
c
c
c
ccr
ccr
ccr
)(]1)1([)( tuettr t
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 6）
二、零输入响应举例：
1)0('',0)0(')0(;
)52)(2(
)3()()3(
2
rrr
ppp
pPpH
ippp 2120)52)(2( 3212,，的根为：解,
)2c o s2s i n()( 3221 tctceectr tt
9
1
18
1
9
1
1344)0(''
022)0('
0)0(
3
2
1
321
321
31
c
c
c
cccr
cccr
ccr
)()]2c o s912s i n18 1(91[)( 2 tutteetr tt
§ 2.4 系统的零状态响应二 求解：由冲激响应与输入信号卷 积
)(te
系统LTI
r(t)=H[e(t)]=h(t)*e(t)
一 零状态响应：系统无初始储能，仅由输入信号引起的响应。
()rt
§ 2.5 阶跃响应与冲激响应 (p58)
一、定义：
冲激响应：以单位 冲激 信号作为激励，系统产生的 零状态响应称单位冲激响应，简称冲激响应。用 h(t)表示。
阶跃响应：以单位 阶跃 信号作为激励，系统产生的 零状态响应称单位阶跃响应，简称阶跃响应。用 g(t)表示。
三、冲激响应与阶跃响应的关系（互求）：
)()( tgdtdthA?：
证明：由线性时不变系统的微分特性有：
)(')(
)(')(
)(')(),()(
)(')('),()(
tgth
tgt
tuttgtu
trtetrte
即：
且现则若
t dhtgB 0 )()(：
仿上可证注意 0_概念
0
0?0
二、冲激响应表征系统本身的特性，仅决定于系统的内部结构及其元件参数三、冲激响应的求法
１、冲激平衡法（自学）
指为保持 系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则可求得 h(t)
例,已知某线性时不变系统为
)0)((2)(3)( ttftydt tdy
试求系统的 冲激响应 h(t)
解：根据系统 冲激响应 h(t)定义,当 时,即为 h(t),即原方程为
)(2)(3)( tthdt tdh
)()( ttf
右边含有 冲激信号,则左边也含有,必然是 h’(t)含有 冲激因子,于是有,
冲激响应 h(t)必含有 u(t),由于该方程的特征方程为 a+3=0
特征根为 a=-3,则 代入方程有设 )()( tuAeth
t
)(2)(3)]([ 33 ttuAetuAedtd tt
1.
)(2)(
)(2)(3)(3)( 333
ttA
ttuAetuAetAe ttt
)(2)(
2
tueth
A
t
)0(),(3)()(2)(3)(22 ttfdt tdftrdt tdrdt trd
2.
解,
)()(
)()(')(')(''
tuth
tthtth
则冲激响应
方程的特征方程为
)()21()(
22,11,023
2
2
tueKeKth
aaaa
tt
因此设则同上,待定系数得,K1=2 K2=-1
)()2()( 2 tueeth tt
总结冲激响应的形式（ m,n为方程式现两端的次数）
n
i
t
im tuektbth
i
1
)()()(
n
i
t
i
mn
m tuektAtbth
i
1
)( )()(...)()(
n
i
t
i tuekth
i
1
)()(?
A,n > m时：
C,n<m时：
B,m=n时：
系数由冲激平衡法确定
2,冲激匹配法（初始条件法）
即：方程式左右两边的冲激相匹配
1 冲激信号的作用转化为等效的初始条件,
2 按零输入响应的求解方法（设定解的模式，待定系数） 求得 h(t)
例,已知某线性时不变系统为
)0)((2)(3)( ttftydt tdy 试求系统的 冲激响应 h(t)
)(2)(3)( tthdt tdh
解,1) 求初始条件 h(0+)
冲激响应满足动态方程式
)()('),(,ttht故左边最高次右边最高次
)()( tuath则
)()()(' tubtath设
2、冲激匹配法（初始条件法）
ahbh
hth
ahhbhh
k
)0(,)0('
0)0()(
)0()0(,)0(')0('
)(是零状态响应又?
)()( 3 tuAeth t设
)(2)( 3 tueth t
代入初始条件有
2) 设定解
6,2
)(2)(3)()(
)()('
ba
ttuatubta
thth
代入原方程与将三、冲激响应的求法,(1)
现
ebpbpbrapapap mmmmnnn )...()...( 0110111由于
( ) ( ),( ) ( )r t h t e t t
)()...()()...( 0110111 tbpbpbthapapap mmmmnnn
故：
A,n>m时
)(].,,[
)(
.,,
.,,
)()()(
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
t
p
k
p
k
p
k
t
apapap
bpbpbpb
tpHth
n
n
n
n
n
m
m
m
m
3,运算算子法,即系统用转移算子表示,
三、冲激响应的求法,(2)
不妨设特征根为单根各不相同，考察即 n,..,21
解的模式)()(
1
1
1 tp
kth?
)()()()()( 1111
1
1
1 tkththdt
dt
p
kth
有：由有：两边同时乘以 ),0(1 te?
)()()( 111 1111 tekthethdtde ttt
)()]([ 11 11 tekthedtd tt
dekhthet tt )()0()(0 11 0111取积分：到从
)()()(0)0( 11 1)(0111 tuekdekthh ttt则由因式分解的系数）的确定—（— )()()(
1
phktuekth i
n
i
t
i
i?
例
)0(),(3)()(2)(3)(22 ttfdt tdftrdt tdrdt trd
解一：
)(3)()(2)(3)( '2
2
ttth
dt
tdh
dt
tdh )()3()()23( 2 tfptrpp
)()()( tpHth
2
1
1
2
pp23
3)(
2
pp
pph )()2()( 2 tueeth tt
解二：冲激匹配法
)()( tuath则代入方程式,a=1
b+3a=3
c+3b+2a=0
得 a=1b=0
c=-2
得,h(0+)=a=1
h’(0+)=b=0
)()()(')('' tuctbtath设
)()()(' tubtath
)()21()(
22,11,023
2
2
tueKeKth
aaaa
tt
因此设则待定系数得,K1=2 K2=-1
)()2()( 2 tueeth tt
特征方程式：
习题 2-9
)(3)(3)()(2)( 22 tfdt tdfdt tfdtrdt tdr
解一：冲激平衡法代入方程式,a=1
b+2a=3
c+2b=3
得 a=1b=1
c=1
得：
)()()(')( 2 tuettth t
)(')(
)('')('
tth
tth
)()(2)(')('')('
)()()(')(
2
2
tctucetbtath
tucetbtath
t
t
设解二：算子运算法
2
1)1(
2
33)( 2
ppp
ppph
)()()( tphth
)(]21)1[()( tppth
)()()(')( 2 tuettth t
三、冲激响应的求法,(3)
B,m=n时：
)()()()()]([)()()( 11 tpHtbtpHbtpHth mm
处理可仿对 AthtpH )()()( 11
n
i
t
im tuektbth
i
1
)()()(
C,n<m时：
对 H(p)用分式长除法，则：
处理。—仿— ApHAbpH m )(.,,)( 1
n
i
t
i
mn
m tuektAtbth
i
1
)( )()(...)()(
§ 2.6 卷积 (Convolution) （重点）
卷积积分的导出及其应用举例：
1、理论基础,叠加原理 。施加于 线性时不变 系统的 信号分解成冲激 信号之和，借助于冲激响应，将众 冲激响应叠加,即得到系统的 零状态响应 。
2、卷积的导出：
)(te
系统LTI
r(t)=H[e(t)]=h(t)*e(t)
t dthe0 )()(
表达式
t dhte0 )()(
()rt
卷积积分图形说明
11 )( tte?
)()( 111 tthtte
1
1
1 1 10
0
( ) l i m ( ) ( )
t
t t
r t e t t h t t
1t
t
)( 1te
1t?
面积为 的矩形窄脉冲演变为幅度为 冲激信号
11 )( tte?
t dthe0 )()(
)()( 111 tttte
卷积积分
)()()(
0
tktttkete
n
k
)]()([)]([)(
0
tktttkeHteHtr
n
k
)]()([)]([:
0
tktttkeHteH
n
k
由叠加性有
)]([)()]([:
0
tkttHtketeH
n
k
由齐次性有推导,
)()]([),()]([ tkthtktHthtH 由时不变性
t dhte0 )()(又可得由换元
xxt,
:
t dthetrtkt 0 )()()(,,0 有：
求和变积分
（积分限扩大）
3.卷积公式的物理解释
0( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
tr t h t e t e h t d
:表示系统的记忆时间，系统响应的间，系统带宽的倒数,
t:表示观察响应的时刻,
表示信号的激励时间:?
三个与时间有关的物理量 (函数 )
从数学意义上讲，卷积积分的表达式为：
dtffts )()()( 21
)()()( 21 tftfts记为：
)()()( 21 tftfts或：
t
§ 2.7 叠加积分 (9)
3、用卷积积分求系统的零状态响应的物理解析（卷积的物理含义）
先
…
后后先
)(te
)(th
1.用图解法计算卷积
2.用函数式计算卷积
3.利用性质计算卷积
4.数值解法
*四、计算卷积的方法分段时限卷积积分限
1.卷积的图解说明,求 )()()( tethtr
( ) ( )th t e u t )()( tute?解,
tt t ededthetr
1)()()( 0
)(
*
)(?e
eh )(
t
)(th
B、反折,把 相对纵轴对折)(?h
C.位移：把 移动一个 t值
D.相乘,将位移后的函数乘以
)(th
)(?e
E.积分,乘积曲线下的面积即为 t时刻的卷积值,
卷积图解的动态演示
)(h
A、换坐标
)(h )(th
解,1,0 t
重合面积为零,f1(t)*f2(t)=0
10.....2 tif
a
0t-2 1
dtffff )()( 2121
*
0
a
1
f1(t)
t
f2(t)
t
0 2
b
)()()( 21 tftfty求
tt tabdtba
0
2
0
)(4)(2
a
1tt-2 0
2
4 t
ab?
21...,,3 tif
t10t-2
1
0
21
021
)(4)(2 tabdtbaff
)12(4 tab
32......4 tif
0 t-2 1 t
dtbaff
t
)(21
221
)23(4)(4 21 22 1 ttabtab t
0.,,,,,,,,,3......5 21 fftif
1 2 30
0.25ab
卷积积分例 2,)()()(
21 tftfty求
)(1 tf )(2 tf
1 2 2 4
1
2
)(2f
2?4?
t
4?t 2?t
43, ta 54, tb 65, tc
dtffty )()()( 21
96)1(2)(:43 221 ttdtyt t
0)(:3 tyt
§ 2.7 叠加积分 (8)
二、卷积积分继例 2
1)1(2)(:54 21 dtyt
96)1(2)(:65 22 4 ttdtyt t
0)(:6 tyt
)(ty
3 6
右右右左左左结果的定义域：
21
21
)()()(
ffy
ffy
tftfty
§ 2.87 卷积的性质 (1)
一、卷积代数
)()()()(1 twtvtvtw、交换律：
dtvwtvtw )()()()(证明：
)()()()()()( twtvdxxvxtwtvtw
xt
有：令?
) (t w ) (t v
) (t v ) (t w
) (t h ) (t e
)(te )()()( thtetr )(th )()()( tethtr
级联系统中子系统
§ 2.8 卷积的性质 (2)
一、卷积代数
)()()()()]()([)(2 tztwtvtwtztvtw、分配律：
可用定义证明。
)(tv
)(tz
)(tv
)(tz
)(tw )]()([)()( tztvtwtr
)()()()()( tztwtvtwtr
)(tw
)(tw
§ 2.8 卷积的性质 (3)
一、卷积代数
)]()([)()()]()([3 tztvtwtztvtw、结合律：
，用定义证。证明见 65P
)(1 th )(2 th )(3 th
)(1 th )(2 th )(3 th
§ 2.8 卷积的性质 (4)
二、卷积的微分与积分
)()]([)]([)()]()([1 tvtwdtdtvdtdtwtvtwdtd、微分：
)(])([
])([)()]()([2
tvdxxw
dxxvtwdxxvxw
t
tt
、积分：
)()]([)]()([:
)()]([
))(
)()()]()([
tvtw
dt
d
tvtw
dt
d
twtv
dt
d
dtv
dt
d
w
dtvw
dt
d
tvtw
dt
d
同理证明：
二、卷积的微分与积分
ddxxvw
dxdxvwdxxvxw
t
tt
])()[(
])()([)]()([证明：
t dxxvtw ])([)(
t tvdxxw )(])([,可得同理
)]([])([])([)]([)()( tv
dt
d
dxxwdxxvtw
dt
d
tvtw
tt
由上两性质显然有：
)()()()()()( )()()( tvtwtstvtwts jiji 则：同样：
注意：由于任意常数微分后恒为零，故两信号卷积中 有常数存在时，微积分性质不可用。
§ 2.8 卷积的性质 (5)
三、函数与冲激函数或阶跃函数的卷积
)()()(1 tfttf、
)()()()()()()( tfdtfdtfttf证明：
)()()()(')(')(2 )()( tfttftfttf kk 且、
由微积分特性及 1可证。
dftutf t )()()(3、
由微积分特性及 1可证。
4、延时后的卷积特性：两函数延时后的卷积，等于两个函数卷积后的延时，其 延时量为 两函数分别 延时量的和 。即：
)()()()()()( 21221121 tttfttfttftftftf 则若
§ 2.8 卷积的性质 (6)
例：计算 r(t)=e(t)*h(t)
)(te )(th
5.0? 1 2
1 1
)1(
)1(?
1)(' te
)()1( th?求导 积分
5.0? 1
)(tr
)(tr
5.0? 3
)1()5.0()(' ttte
解：
...
)1()5.0(
)()(')(
)1()1(
)1(
thth
thtetr
常数的存在不可用
)2()]2()([
4
)]2()([5.0
)()(
2
)1(
tututu
t
dxxuxux
dxxhth
t
t
§ 2.8 卷积的性质 (6)
例：计算 r(t)=f1(t)*f2(t)
2
f1(t) f2 (t)
0 1 7 0 1 5
2
f’1(t)
0 1 7 0 1 5
2
1
2
0 2 6 8 12
4
小结 线性系统响应的时域求解 (4)
所对应的响应分量。励频率受迫响应分量：外加激所对应的响应分量。频率由自然响应分量：自然
s
)(
响应分量。增加而趋向于稳定的的稳态响应分量：随时间分量。增加而趋向于零的响应瞬时响应分量：随时间全响应分解的三种常用方式：
稳态响应瞬态响应全响应受迫响应自然响应全响应零状态响应零输入响应全响应例：给定系统微分方程起始条件 和激励信号，
试求其全响应，并指出零输入响应、零状态响应、自由响应、
强迫响应分量，写出 0+时刻界边值
2
2
( ) ( ) ( )3 2 ( ) 3 ( ),(0 _ ) 1,' (0 _ ) 2,( ) ( )d r t d r t d e tr t e t r r e t u t
d t d t d t
解,1、首先求得零输入响应 rzi(t).
特征方程为 0232 aa
特征根 a1=－ 1,a2=－ 2
故 rzi(t)＝ tt ecec 221
根据初始条件 r(0-),r’(0)可得,c1+c2=1
－ c1 － 2c2=2
得,c1=4,c2=－ 3 所以 rzi(t)= tt ee 234
求 rzi(t)用的初始条件是 0_条件,而不是 0+条件,0_时刻 激励信号还未作用系统,而 0+时刻激励 信号已作用于系统并产生了响应，
所以 0＋条件中包含激励信号的作 用。
2、求零状态响应冲激响应 h(t) 21
() 12Hp pp
)()2()( 2 tueeth tt
零状态响应,rzs(t)＝ h(t)*u(t)= )(*)()2( 2 tutuee tt
)()23212( 2 tuee tt
)()23252( 2 tuee tt全响应 r(t)=rzi(t)+rzs(t)=
3.下面求边界值 r(0+),r’(0)
r(0+)- r(0_)= rzs(0+)
rzs(0+) =rzs(t)
2
00
13( 2 ) ( ) 0
22
tt
tte e u t
所以,r (0+)= r(0_)=1
求 r’(0+)可对 rzs(t)求导，即
22
zs
13r ' ( t) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )
22
t t t te e u t e e t
r’(0+)=r’(0_)+r’zs(0+)=2+1=3
自由响应
'( 0 ) 1zsr
强迫响应
213( ) ( 2 ) ( )
22
tt
zsr t e e u t
0所以,
253( ) ( 2 ) ( )
22
ttr t e e u t
§ 2.例系统数学模型为：
)()('2)('')(4)('5)('' tetetetrtrtr
)(),(2)0(')0()()( trtrrrtuete zszit,求，系统初始状态若激励
).()( trth 及全响应
45
12)(
2
2
pp
pppH解：由微分方程得：
41045)()(1 212,特征根：、求 pppDtr zi
)()()( 421 tuecectr ttzi
)(]
3
4
3
10
[)(
3
4
3
10
24)0('
2)0(
4
2
1
21
21
tueetr
c
c
ccr
ccr
tt
zi
)41(3145 )1(31)(:)(2 212 p kp kpp ppHth、求
§ 2.例继
：、求 )(3 trzs )](3)([)]([)( 4 tuettuetr ttzs
)](3[)()()( 4 tuetuettue ttt
)(][)1(4 13)( 4 tueetue ttt
)(4 tue t
:)(4 tr、求 )()
3
1
3
10()()()( 4 tueetrtrtr tt
zszi
呢？思考：若 45 12)( 2
2
pp
pppH
)(
)()()( 3421
trt
tuececectr ttt
时：
其时
（一）建立系统的数学模型 —— 微分方程
（二） 系统分析的任务：
给定或建立系统模型,给定输入信号，求系统的输出响应。
（三）系统分析方法：
时域分析法,包括微分方程法，经典法求解系统方程的完全解（ 0＋
）
卷积法,已知或求得系统的冲激响应，将冲激响应与输入激励信号相卷积，得到系统的输出响应（零状态响应）。它是时间域与变换域分析线性系统的纽带。（ 0_
）
§ 2.1 引言系统 建立系统的微分方程 求转移算子 H(p)
求特征根求冲激响应 h(t)
求零输入响应 )(ty
x
求零状态响应
)(*)()( thtfty f?
)()()( tytyty fx求全响应
时域经典法和时域卷积法
§ 2.2微分方程的建立与求解
a.电阻：
b.电容,
c.电感,
)(
)(
ti
tuR?
)(
)(
tu
tqC?
R
Ruip ui
2
2
t
c dicu )(
1
il
dt
tdiltu
l
)()(?
d
l
t
ll ui )(
1?
d.耦 合电感 v— I 的关系
dt
tducti )()(?
一、构筑微分方程的基本依据
1、元件特性：即表征元件的特性的关系式。
2、网络拓扑结构,KCL,KVL。
dt
di
m
dt
di
l
dt
d
tv 12222 )(
dt
di
m
dt
di
l
dt
d
tv 21111 )(
V1 V2
I1 I2M
1L 2L
1R
)(te C
2R
)(0 tv
)()()()( 010
2
0 tvR
dt
tdvc
R
tvte?
)(1)()(
1
0
21
210 te
cRtvcRR
RR
dt
tdv
)(),()( 0 tvtuEete t 求输出信号
例,电路如图所示,激励信号即此系统模型用输入 -输出的微分程来描述二、一般线性系统的数学描述
eb
dt
deb
dt
edbra
dt
dra
dt
rda
dt
rd
trte
m
m
mn
n
nn
n
01011
1
1,.....
)()(1
—响应，系统描述为：——激励，—：将上例推广到一般：
三、求解问题：
A：由时域经典法,r(t)=齐次解（通解） +特解。
0..,0111 aaa nnn其特征方程：
特解：对应于强迫响应
B：指卷积法。（求解零状态响应及零输入响应）
)()(
1
tyectr ptin
i
i
系数 ci由边界条件求得,指数系数由如下求得对应于自由响应。频率系统的固有频率或自然称为为微分方程的特征根，，特征方程的根
,
...21 n
其中齐次解 /通解：描述方程式左边 =0的解,对应于 自由响应
§ 2.8 系统模型的算子表示法一、算子符号表示的基本规则：
dt
dp?：定义算子：1?d
p
t
()1
dt
dxpx?则：
n
n
n
dt
xdxp?
t xdxp?1
edtdedrrdtdrdt rd t 3)(522
2
如：
eperprprrp 31522用算子表示成：
eprppp )3()152( 2即,~
二、算子运算规则：
pxpxpp 11?
yxpypx 不可以得出由
yxypDxpD 不可以得出由 )()(
xabpbap ])([ 2
其一：对算子多项式可以进行因式分解，但不可以公因子相消其二：算子乘除运算不可以颠倒
px
p
x
p
ppx
p
x
p
px
xtxdx
d
d
p
p
txxd
dt
d
x
p
p
tt
11;
11
0)(
)()(][
1
);(
1
时，当且仅当
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d d d
p a p b x a b x a x b x
d t d t d t d t
d d d d d d
x b x a x b x x b x a x a b x
d t d t d t d t d t d t
三、转移算子
eb
dt
de
b
dt
ed
bra
dt
dr
a
dt
rd
a
dt
rd
m
m
mn
n
nn
n
01011
1
1,....,
系统描述为：
ebpbpbrapapap mmmmnnn ).,,().,,( 0110111
用算子表示为：
)( pN即,D(p)r(t)=N(p)e(t)
)()( )()( tepD pNtr
)(
)()(
pD
pNpH?定义转移算子,（又称传输算子）
)( pH
)(te )(tr
)(pD
§ 2。 8 系统方程的算子表示法例：下图中 e(t)为激励,为响应，求转移算子 。2i
1 1
12
21i 2i
解,用 KVL：
03
)(3
2
21
2
1
1
i
dt
di
dt
di
te
dt
di
i
dt
di
)()3102(
0)3(
)()13(
2
2
21
21 tpeipp
ippi
tepiip
即：
3102
)( 2
pp
ppH
运用算子运算与代数符号运算的近似性，配合有关规则，
使解微分方程变得相对简单。
1）
由 D(p)r(t)=N(p)e(t),
0)...( 0111 rapapap nnn即求解：
A：对于一阶齐次方程 0)( rp?
tcetrktr
dt
r
dr
r
dt
dr
)(ln
0
取不定积分有,)(; kec?
其中 c为待定系数，由系统初始条件决定
)(
00
0
0)()()(
,)0()0(
ttetrtrtr
ccerr
已知，有：若可求则已知，有：若 自已证四、求解微分方程齐次解的求解,描述方程式左边 =0的解
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 2）
B：对于二阶齐次方程：
0)( 012 rapap
0)())((
0
21
2101
2
trpp
apap
,则：，的两单根为设
）成立中能成立一个，则（与 10)(0)( 21 rprp
）（ 1
若两个都成立，则两者之和满足方程 (1),即有：
tt ecectr 21 21)(
2
1
2211
21
21 )0('
)0(,
c
c
ccr
ccrcc
为待定系数，一般：
于是方程得解。
C：对于一般系统,0).,,()(
0111 rapapaprpD nnnD(p)=0—— 特征方程 P45
D(p)=0的根称为特征根，特征根对应的频率称 自然频率。
t
n
tt
n
nececectr
npD
...)(
,...0)(1
21
21
21 则：，个单根有、若
t
n
t
m
tm
m
nececetctcctr
npD
,,,).,,)(
0)(2
21
1
1
21
1
（
重根，则：为有重根，不妨设、若
)c o ss in()(
0)(3
211 tctcetr
pD
t
应的解的形式为：有复根，则一对复根对、若
)( 21 i，设复根
.,,)0(.,,;.,,,)0('.,,;)0(
.,,
)1(
2,1
n
n
rrr
nccc 个初始条件决定为待定系数，由其中
.,,.,,;,,,.,,; 21 nccc
例
)(
),()(,0)0(')0(
),()(2)('3)(''
ty
tuetfyy
tftytyty
t
全响应试求输入激励已知系统的初始条件为的微分方程为描述某线性非时变系统
.２＝－１ ２１
因此该 方程的齐次解 tt
tz ececy 2)( 21
特解 tt
p eptepty 01)(
由待定系数法
tp tety)(
ttt teececty 221)(完全解为由初始条件 y(0)=y’(0)=0 y(0)=c1+c2=0 y’(0)=-c1-c2+1=0
解得 c1=－１,c2=1,所以，全响应为
)()( 2 tuteeety ttt ）（－
＋２＝０得＋３解：由特征方程 ２
由上例可以看出微分方程解的物理意义：当微分方程用以描述系统的输入输出关系时，微分方程的解是系统的响应 。
齐次解是系统的 自由响应,解的模式依赖于系统的特性，它的指数幅度与初始条件和输入有关；
特解是系统的 强迫响应,它取决于系统特性与输入函数
§ 2.3起始点的跳变－－从 0_到 0+状态的转换一,0_,0+ 状态的定义
0_状态：系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态，定为
)]0(),.,,0(),0([)0( 11 rdtdrdtdrr nnk ）（
称为系统的起始状态，简称 0_状态
0＋状态：系统在激励信号加入之后,由于受到激励的影响,0_瞬间状态从 t=0_到 t=0+时刻 可能 发生变化,加入后瞬间的这组状态，
定为称为初始条件，简称 0+状态对于一个具体的电网络,0_状态就是系统是储能元件的储能情况,
_ ) ]0(_ ),.,,0(_ ),0([_)0( 1
1
rdtdrdtdrr n
n
k
）（
二,0_,0+ 边界条件值的确定
1,t<0时，系统已达稳定，根据电路定律求得储能元件 L、
C的初始值 i(0_) uc(0_)
2,t=0加入信号，从 t=0_到 t=0+时刻,是否变化取决于：
微分方程右端的是否包含有冲激及其导数。
包含有，则 0_,0+ 状态 发生变化,r(0_)=r(0+)
不包含，则不发生变化,r(0_)=r(0+)
由冲激匹配法或冲激平衡法把给定的 0_ 转换为 0＋边界值
() 3 ( ) 3 '( ),( 0 _ ) 0d r t r t t r
dt
,'( ),'( )t r t?右 边 最 高 次 左 边 最 高 次
)()()(')(' tuctbtatr设
)()()( tubtatr
)('3)]()([3)]()()('[ ttubtatuctbta
03
03
3
bc
ab
a
解：方程右端含有冲激项,起始点发生跳变冲激匹配法
9
9
3
c
b
a
因此，
,)0(,
,,
边界值并写出在起始点是否发生跳变判断起始条件及激励信号已知系统微分方程
r
( 0 ) ( 0 _ ) 9r r b
( 0 ) 9r
)(:)(':
),(':
..
0)0(_)0(,,:
)()(,0_)0(),()(2
)(
tutr
tr
rr
tutertetr
dt
tdr
右边左边故有因方程右端最高项为推导阶项应保持平衡即微分方程两边的最高采用冲激平衡法求解则不发生跳变方程右端不含有冲激项解
)()( ttutr?
显然,tu(t)在 t=0处连续而无跳变,故有在 t=0处无跳变,
即 r(0_)-r(0+)=0
r(0+)=r(0_)=0
冲激平衡法
)()(,0_)0(,)(3)(2)( tuterdt tdetrdt tdr
2.
)(3)(
)(3)('3)('
tutr
ttetr
显然,r(t)在 t=0处有跳变,即 r(0+)－ r(0_)=3
因此,r(0+)=r(0_)+3=3
方程两边平衡有：
解：方程右端含有冲激项,起始点发生跳变三、由 0_,0+ 状态 确定系统的完全响应全响应＝自由响应＋强迫响应
由 0+ 边界值确定自由响应 系数从 数学角度讲：由 0＋边界求得齐次解系数，
从系统响应讲：求得完全响应的自由响应部分的系数。
若用 0_边界值直接求解将全响应分解为零输入响应 ＋ 零状态响应由 0_边界值确定零输入响应系数两个重要概念零输入响应：系统无输入，仅由初始条件引起的响应。
零状态响应：系统无初始储能，仅由输入信号引起的响应。
数学表达式,
零输入响应 零状态响应 自由响 应 强迫响应
★ 两种分解方式的区别：自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但系数不同,仅由系统的初始状态 (0_
边界 )所决定,要由系统的初始状态和激励 共同来确定
(0+边界 )。 即，自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部分。
xic
ic
1 1 1
( ) ( ) ( )i i i
n n n
t t t
x i f i p i p
i i i
y t c e c e y t c e y t
§ 2.4零输入响应和零状态响应全响应＝自由响应＋强迫响应
＝零输入响应＋零状态响应
＝暂态响应＋稳态响应电路如图所示,t=0以前开关位于,1”,t>0时，开关由,1”转到,2”，求输出电压 的自由、强迫响应、零输入、零状态、完全响应 （ is,E是常数）
Ev )0(0
2
V0(t)
解一：当 t<0，电路达到稳态，
E
C R
is
1
2
1
V0(t)
+
_
当 t>0时
V0(t)
dt
tdVC
R
tVI
S
)()( 00
siCtvRCdt
tdv 1)(1)(
0
0
齐次解,t
Rcec
1
1
完全解：
s
tRc Riectv 1
10 )( Evv
)0()0(
00?
s
tRc
S RieRIEtv
1
0 )()(
自由响应,t
Rc
s eRiE
1
)(
强迫响应：
is C R
sRit?)(,?特解
sRi
0)()( 00 dt tdVCR tV
齐次解,tRcAe 1?
求零输入响应,令 外加激励 =0,由初始条件来确定)(tv
zi
)(tvzi
由初始条件 EAEvv zi )0()0( 0
)(tvzi tRCEe 1?
求零状态响应,令 起始状态 =0,由所加激励确定)(tv
zs
siCtvRCdt
tdv 1)(1)(
0
0
s
tRc
zs Riektv
1
1)(
解二：
由初始值 )0(
zsv
0)0()0( zszs vv sRik 1
)(tvzs )1( 1 tRc
s eRi
s
t
Rc
S
zszi
RieRIE
tvtvtv
1
0
)(
)()()(
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 4）
一、零输入响应举例：
2
1( 1 ) ( ) ; ( 0 ) 1,'( 0 ) 2
32
pH p r r
pp
2,1023 21的根为：解,pp
tt ecectr 221)(
)(]34[)(
3
4
22)0('
1)0(
,
2
2
1
21
21
21
tueetr
c
c
ccr
ccr
cc
tt
为待定系数此题 切不可 用如下解法,
)()(
2
1
)2)(1(
1
23
1
)(
2
2
tucetr
ppp
p
pp
p
pH
t
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 5）
二、零输入响应举例：
1)0('',0)0(')0(,)1( 13)()2( 2 rrrpp ppH
1,00)1( 3212的根为解,pp
tt ecetcctr 0321 ))(（
1
1
1
12)0(''
0)0('
0)0(
3
2
1
21
21
31
c
c
c
ccr
ccr
ccr
)(]1)1([)( tuettr t
§ 2.4 系统的零输入响应 （ 6）
二、零输入响应举例：
1)0('',0)0(')0(;
)52)(2(
)3()()3(
2
rrr
ppp
pPpH
ippp 2120)52)(2( 3212,，的根为：解,
)2c o s2s i n()( 3221 tctceectr tt
9
1
18
1
9
1
1344)0(''
022)0('
0)0(
3
2
1
321
321
31
c
c
c
cccr
cccr
ccr
)()]2c o s912s i n18 1(91[)( 2 tutteetr tt
§ 2.4 系统的零状态响应二 求解：由冲激响应与输入信号卷 积
)(te
系统LTI
r(t)=H[e(t)]=h(t)*e(t)
一 零状态响应：系统无初始储能，仅由输入信号引起的响应。
()rt
§ 2.5 阶跃响应与冲激响应 (p58)
一、定义：
冲激响应：以单位 冲激 信号作为激励，系统产生的 零状态响应称单位冲激响应，简称冲激响应。用 h(t)表示。
阶跃响应：以单位 阶跃 信号作为激励，系统产生的 零状态响应称单位阶跃响应，简称阶跃响应。用 g(t)表示。
三、冲激响应与阶跃响应的关系（互求）：
)()( tgdtdthA?：
证明：由线性时不变系统的微分特性有：
)(')(
)(')(
)(')(),()(
)(')('),()(
tgth
tgt
tuttgtu
trtetrte
即：
且现则若
t dhtgB 0 )()(：
仿上可证注意 0_概念
0
0?0
二、冲激响应表征系统本身的特性，仅决定于系统的内部结构及其元件参数三、冲激响应的求法
１、冲激平衡法（自学）
指为保持 系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则可求得 h(t)
例,已知某线性时不变系统为
)0)((2)(3)( ttftydt tdy
试求系统的 冲激响应 h(t)
解：根据系统 冲激响应 h(t)定义,当 时,即为 h(t),即原方程为
)(2)(3)( tthdt tdh
)()( ttf
右边含有 冲激信号,则左边也含有,必然是 h’(t)含有 冲激因子,于是有,
冲激响应 h(t)必含有 u(t),由于该方程的特征方程为 a+3=0
特征根为 a=-3,则 代入方程有设 )()( tuAeth
t
)(2)(3)]([ 33 ttuAetuAedtd tt
1.
)(2)(
)(2)(3)(3)( 333
ttA
ttuAetuAetAe ttt
)(2)(
2
tueth
A
t
)0(),(3)()(2)(3)(22 ttfdt tdftrdt tdrdt trd
2.
解,
)()(
)()(')(')(''
tuth
tthtth
则冲激响应
方程的特征方程为
)()21()(
22,11,023
2
2
tueKeKth
aaaa
tt
因此设则同上,待定系数得,K1=2 K2=-1
)()2()( 2 tueeth tt
总结冲激响应的形式（ m,n为方程式现两端的次数）
n
i
t
im tuektbth
i
1
)()()(
n
i
t
i
mn
m tuektAtbth
i
1
)( )()(...)()(
n
i
t
i tuekth
i
1
)()(?
A,n > m时：
C,n<m时：
B,m=n时：
系数由冲激平衡法确定
2,冲激匹配法（初始条件法）
即：方程式左右两边的冲激相匹配
1 冲激信号的作用转化为等效的初始条件,
2 按零输入响应的求解方法（设定解的模式，待定系数） 求得 h(t)
例,已知某线性时不变系统为
)0)((2)(3)( ttftydt tdy 试求系统的 冲激响应 h(t)
)(2)(3)( tthdt tdh
解,1) 求初始条件 h(0+)
冲激响应满足动态方程式
)()('),(,ttht故左边最高次右边最高次
)()( tuath则
)()()(' tubtath设
2、冲激匹配法（初始条件法）
ahbh
hth
ahhbhh
k
)0(,)0('
0)0()(
)0()0(,)0(')0('
)(是零状态响应又?
)()( 3 tuAeth t设
)(2)( 3 tueth t
代入初始条件有
2) 设定解
6,2
)(2)(3)()(
)()('
ba
ttuatubta
thth
代入原方程与将三、冲激响应的求法,(1)
现
ebpbpbrapapap mmmmnnn )...()...( 0110111由于
( ) ( ),( ) ( )r t h t e t t
)()...()()...( 0110111 tbpbpbthapapap mmmmnnn
故：
A,n>m时
)(].,,[
)(
.,,
.,,
)()()(
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
t
p
k
p
k
p
k
t
apapap
bpbpbpb
tpHth
n
n
n
n
n
m
m
m
m
3,运算算子法,即系统用转移算子表示,
三、冲激响应的求法,(2)
不妨设特征根为单根各不相同，考察即 n,..,21
解的模式)()(
1
1
1 tp
kth?
)()()()()( 1111
1
1
1 tkththdt
dt
p
kth
有：由有：两边同时乘以 ),0(1 te?
)()()( 111 1111 tekthethdtde ttt
)()]([ 11 11 tekthedtd tt
dekhthet tt )()0()(0 11 0111取积分：到从
)()()(0)0( 11 1)(0111 tuekdekthh ttt则由因式分解的系数）的确定—（— )()()(
1
phktuekth i
n
i
t
i
i?
例
)0(),(3)()(2)(3)(22 ttfdt tdftrdt tdrdt trd
解一：
)(3)()(2)(3)( '2
2
ttth
dt
tdh
dt
tdh )()3()()23( 2 tfptrpp
)()()( tpHth
2
1
1
2
pp23
3)(
2
pp
pph )()2()( 2 tueeth tt
解二：冲激匹配法
)()( tuath则代入方程式,a=1
b+3a=3
c+3b+2a=0
得 a=1b=0
c=-2
得,h(0+)=a=1
h’(0+)=b=0
)()()(')('' tuctbtath设
)()()(' tubtath
)()21()(
22,11,023
2
2
tueKeKth
aaaa
tt
因此设则待定系数得,K1=2 K2=-1
)()2()( 2 tueeth tt
特征方程式：
习题 2-9
)(3)(3)()(2)( 22 tfdt tdfdt tfdtrdt tdr
解一：冲激平衡法代入方程式,a=1
b+2a=3
c+2b=3
得 a=1b=1
c=1
得：
)()()(')( 2 tuettth t
)(')(
)('')('
tth
tth
)()(2)(')('')('
)()()(')(
2
2
tctucetbtath
tucetbtath
t
t
设解二：算子运算法
2
1)1(
2
33)( 2
ppp
ppph
)()()( tphth
)(]21)1[()( tppth
)()()(')( 2 tuettth t
三、冲激响应的求法,(3)
B,m=n时：
)()()()()]([)()()( 11 tpHtbtpHbtpHth mm
处理可仿对 AthtpH )()()( 11
n
i
t
im tuektbth
i
1
)()()(
C,n<m时：
对 H(p)用分式长除法，则：
处理。—仿— ApHAbpH m )(.,,)( 1
n
i
t
i
mn
m tuektAtbth
i
1
)( )()(...)()(
§ 2.6 卷积 (Convolution) （重点）
卷积积分的导出及其应用举例：
1、理论基础,叠加原理 。施加于 线性时不变 系统的 信号分解成冲激 信号之和，借助于冲激响应，将众 冲激响应叠加,即得到系统的 零状态响应 。
2、卷积的导出：
)(te
系统LTI
r(t)=H[e(t)]=h(t)*e(t)
t dthe0 )()(
表达式
t dhte0 )()(
()rt
卷积积分图形说明
11 )( tte?
)()( 111 tthtte
1
1
1 1 10
0
( ) l i m ( ) ( )
t
t t
r t e t t h t t
1t
t
)( 1te
1t?
面积为 的矩形窄脉冲演变为幅度为 冲激信号
11 )( tte?
t dthe0 )()(
)()( 111 tttte
卷积积分
)()()(
0
tktttkete
n
k
)]()([)]([)(
0
tktttkeHteHtr
n
k
)]()([)]([:
0
tktttkeHteH
n
k
由叠加性有
)]([)()]([:
0
tkttHtketeH
n
k
由齐次性有推导,
)()]([),()]([ tkthtktHthtH 由时不变性
t dhte0 )()(又可得由换元
xxt,
:
t dthetrtkt 0 )()()(,,0 有：
求和变积分
（积分限扩大）
3.卷积公式的物理解释
0( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
tr t h t e t e h t d
:表示系统的记忆时间，系统响应的间，系统带宽的倒数,
t:表示观察响应的时刻,
表示信号的激励时间:?
三个与时间有关的物理量 (函数 )
从数学意义上讲，卷积积分的表达式为：
dtffts )()()( 21
)()()( 21 tftfts记为：
)()()( 21 tftfts或：
t
§ 2.7 叠加积分 (9)
3、用卷积积分求系统的零状态响应的物理解析（卷积的物理含义）
先
…
后后先
)(te
)(th
1.用图解法计算卷积
2.用函数式计算卷积
3.利用性质计算卷积
4.数值解法
*四、计算卷积的方法分段时限卷积积分限
1.卷积的图解说明,求 )()()( tethtr
( ) ( )th t e u t )()( tute?解,
tt t ededthetr
1)()()( 0
)(
*
)(?e
eh )(
t
)(th
B、反折,把 相对纵轴对折)(?h
C.位移：把 移动一个 t值
D.相乘,将位移后的函数乘以
)(th
)(?e
E.积分,乘积曲线下的面积即为 t时刻的卷积值,
卷积图解的动态演示
)(h
A、换坐标
)(h )(th
解,1,0 t
重合面积为零,f1(t)*f2(t)=0
10.....2 tif
a
0t-2 1
dtffff )()( 2121
*
0
a
1
f1(t)
t
f2(t)
t
0 2
b
)()()( 21 tftfty求
tt tabdtba
0
2
0
)(4)(2
a
1tt-2 0
2
4 t
ab?
21...,,3 tif
t10t-2
1
0
21
021
)(4)(2 tabdtbaff
)12(4 tab
32......4 tif
0 t-2 1 t
dtbaff
t
)(21
221
)23(4)(4 21 22 1 ttabtab t
0.,,,,,,,,,3......5 21 fftif
1 2 30
0.25ab
卷积积分例 2,)()()(
21 tftfty求
)(1 tf )(2 tf
1 2 2 4
1
2
)(2f
2?4?
t
4?t 2?t
43, ta 54, tb 65, tc
dtffty )()()( 21
96)1(2)(:43 221 ttdtyt t
0)(:3 tyt
§ 2.7 叠加积分 (8)
二、卷积积分继例 2
1)1(2)(:54 21 dtyt
96)1(2)(:65 22 4 ttdtyt t
0)(:6 tyt
)(ty
3 6
右右右左左左结果的定义域：
21
21
)()()(
ffy
ffy
tftfty
§ 2.87 卷积的性质 (1)
一、卷积代数
)()()()(1 twtvtvtw、交换律：
dtvwtvtw )()()()(证明：
)()()()()()( twtvdxxvxtwtvtw
xt
有：令?
) (t w ) (t v
) (t v ) (t w
) (t h ) (t e
)(te )()()( thtetr )(th )()()( tethtr
级联系统中子系统
§ 2.8 卷积的性质 (2)
一、卷积代数
)()()()()]()([)(2 tztwtvtwtztvtw、分配律：
可用定义证明。
)(tv
)(tz
)(tv
)(tz
)(tw )]()([)()( tztvtwtr
)()()()()( tztwtvtwtr
)(tw
)(tw
§ 2.8 卷积的性质 (3)
一、卷积代数
)]()([)()()]()([3 tztvtwtztvtw、结合律：
，用定义证。证明见 65P
)(1 th )(2 th )(3 th
)(1 th )(2 th )(3 th
§ 2.8 卷积的性质 (4)
二、卷积的微分与积分
)()]([)]([)()]()([1 tvtwdtdtvdtdtwtvtwdtd、微分：
)(])([
])([)()]()([2
tvdxxw
dxxvtwdxxvxw
t
tt
、积分：
)()]([)]()([:
)()]([
))(
)()()]()([
tvtw
dt
d
tvtw
dt
d
twtv
dt
d
dtv
dt
d
w
dtvw
dt
d
tvtw
dt
d
同理证明：
二、卷积的微分与积分
ddxxvw
dxdxvwdxxvxw
t
tt
])()[(
])()([)]()([证明：
t dxxvtw ])([)(
t tvdxxw )(])([,可得同理
)]([])([])([)]([)()( tv
dt
d
dxxwdxxvtw
dt
d
tvtw
tt
由上两性质显然有：
)()()()()()( )()()( tvtwtstvtwts jiji 则：同样：
注意：由于任意常数微分后恒为零，故两信号卷积中 有常数存在时，微积分性质不可用。
§ 2.8 卷积的性质 (5)
三、函数与冲激函数或阶跃函数的卷积
)()()(1 tfttf、
)()()()()()()( tfdtfdtfttf证明：
)()()()(')(')(2 )()( tfttftfttf kk 且、
由微积分特性及 1可证。
dftutf t )()()(3、
由微积分特性及 1可证。
4、延时后的卷积特性：两函数延时后的卷积，等于两个函数卷积后的延时，其 延时量为 两函数分别 延时量的和 。即：
)()()()()()( 21221121 tttfttfttftftftf 则若
§ 2.8 卷积的性质 (6)
例：计算 r(t)=e(t)*h(t)
)(te )(th
5.0? 1 2
1 1
)1(
)1(?
1)(' te
)()1( th?求导 积分
5.0? 1
)(tr
)(tr
5.0? 3
)1()5.0()(' ttte
解：
...
)1()5.0(
)()(')(
)1()1(
)1(
thth
thtetr
常数的存在不可用
)2()]2()([
4
)]2()([5.0
)()(
2
)1(
tututu
t
dxxuxux
dxxhth
t
t
§ 2.8 卷积的性质 (6)
例：计算 r(t)=f1(t)*f2(t)
2
f1(t) f2 (t)
0 1 7 0 1 5
2
f’1(t)
0 1 7 0 1 5
2
1
2
0 2 6 8 12
4
小结 线性系统响应的时域求解 (4)
所对应的响应分量。励频率受迫响应分量：外加激所对应的响应分量。频率由自然响应分量：自然
s
)(
响应分量。增加而趋向于稳定的的稳态响应分量：随时间分量。增加而趋向于零的响应瞬时响应分量：随时间全响应分解的三种常用方式：
稳态响应瞬态响应全响应受迫响应自然响应全响应零状态响应零输入响应全响应例：给定系统微分方程起始条件 和激励信号，
试求其全响应，并指出零输入响应、零状态响应、自由响应、
强迫响应分量，写出 0+时刻界边值
2
2
( ) ( ) ( )3 2 ( ) 3 ( ),(0 _ ) 1,' (0 _ ) 2,( ) ( )d r t d r t d e tr t e t r r e t u t
d t d t d t
解,1、首先求得零输入响应 rzi(t).
特征方程为 0232 aa
特征根 a1=－ 1,a2=－ 2
故 rzi(t)＝ tt ecec 221
根据初始条件 r(0-),r’(0)可得,c1+c2=1
－ c1 － 2c2=2
得,c1=4,c2=－ 3 所以 rzi(t)= tt ee 234
求 rzi(t)用的初始条件是 0_条件,而不是 0+条件,0_时刻 激励信号还未作用系统,而 0+时刻激励 信号已作用于系统并产生了响应，
所以 0＋条件中包含激励信号的作 用。
2、求零状态响应冲激响应 h(t) 21
() 12Hp pp
)()2()( 2 tueeth tt
零状态响应,rzs(t)＝ h(t)*u(t)= )(*)()2( 2 tutuee tt
)()23212( 2 tuee tt
)()23252( 2 tuee tt全响应 r(t)=rzi(t)+rzs(t)=
3.下面求边界值 r(0+),r’(0)
r(0+)- r(0_)= rzs(0+)
rzs(0+) =rzs(t)
2
00
13( 2 ) ( ) 0
22
tt
tte e u t
所以,r (0+)= r(0_)=1
求 r’(0+)可对 rzs(t)求导，即
22
zs
13r ' ( t) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )
22
t t t te e u t e e t
r’(0+)=r’(0_)+r’zs(0+)=2+1=3
自由响应
'( 0 ) 1zsr
强迫响应
213( ) ( 2 ) ( )
22
tt
zsr t e e u t
0所以,
253( ) ( 2 ) ( )
22
ttr t e e u t
§ 2.例系统数学模型为：
)()('2)('')(4)('5)('' tetetetrtrtr
)(),(2)0(')0()()( trtrrrtuete zszit,求，系统初始状态若激励
).()( trth 及全响应
45
12)(
2
2
pp
pppH解：由微分方程得：
41045)()(1 212,特征根：、求 pppDtr zi
)()()( 421 tuecectr ttzi
)(]
3
4
3
10
[)(
3
4
3
10
24)0('
2)0(
4
2
1
21
21
tueetr
c
c
ccr
ccr
tt
zi
)41(3145 )1(31)(:)(2 212 p kp kpp ppHth、求
§ 2.例继
：、求 )(3 trzs )](3)([)]([)( 4 tuettuetr ttzs
)](3[)()()( 4 tuetuettue ttt
)(][)1(4 13)( 4 tueetue ttt
)(4 tue t
:)(4 tr、求 )()
3
1
3
10()()()( 4 tueetrtrtr tt
zszi
呢？思考：若 45 12)( 2
2
pp
pppH
)(
)()()( 3421
trt
tuececectr ttt
时：
其时
