第三章 傅立叶变换（ 2）
§ 3.3 典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号 (半波脉冲,全波脉冲 )
画出周期信号 各次谐波 的分布图形称为 信号的频谱,它是信号频域表示的一种方式。
描述各次谐波振幅与频率关系称为 振幅频谱,描述各次谐波相位与频率关系称为 相位频谱 。
一,周期矩形脉冲信号的频谱
)
2
(0
)
2
(
)(
t
tE
tf
x(t)
t0
E
2
2
-T T
n
n
T
E
ee
jnT
E
dtEe
T
F
jnjn
tjn
n
)s i n (
)(
)(
//
n
tjn
n eFtf
1)(?
)(
1T
nSa
2
x(t)
Fn
n?
t
0
0
2
4
24
E
2
2
T-T
1
1
2
T
)(,
111
0 T
nSa
T
EF
T
EF
n
频谱分析表明
离散性,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。
谐波性,各谐波分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，
与周期成反比。
收敛性,各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为,主要能量在第一过零点内。
带宽
)(
1T
nSa
m2?
2?B
1?
fB
的宽度与频宽成反比反比于τ，即脉冲信号得出：B w
周期矩形的频谱变化规律：
若 T不变，在改变 τ 的情况
若 τ 不变，在改变 T时的情况
T
)(
1T
nSa
对称方波是周期矩形的特例
T1
T1/4
-T1/4
)(tx
实偶函数奇谐函数
,...5c o s
5
13c o s
3
1c o s2)(
111 ttt
Etf
)(
11 T
nSa
T
EF
n
周期矩形对称方波奇次余弦
n
tjn
n eFtf
1)(?
nn
n tn
nSaEtnFtf )c o s ()
2(22)c o s (2)( 11 1?
对称方波的频谱变化规律
T
T/4-T/4
1?
13?
15? 15?13?1?
13?
n?
na
na
)(tx
§ 3.4 非周期信号的频谱分析当周期信号的周期 T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号
1T
d
T
02
1
1
1n
频率也变成连续变量周期信号的 离散频谱 变成非周期信号的 连续谱一,频谱演变的定性观察 动画演示
-T/2 T/2
T/2-T/2
)( 1?nF
1
1)(nF
)( 1?nF
2
2?
1
1
2
T
1?
)(
11 T
nSa
T
EF
n
二,从周期信号 FS推导非周期的 FT
n
tjnenFtf 1).()(~
1 dtetfTnF
T
T
tjn,).(~1)( 21
2
1
1
1
1
傅立叶变换
21
2
1
1).(~)(2)(
1
1
11
T
T dtetf
nFTnF tjn?
111 0 nT当
11
1
1
0
)()(2)( limlim
11
TnFnFF
T
定义
1
1)(
nF
因此 F(ω) 是一个密度函数的概念含有单位频带上的频谱值的意思
dtetfF tj,).()(
三,傅立叶的逆变换
n
tjnenFtf 1).()(~
1
dnnT )(0 1111
n
deFtf tj.)(2 1)(
傅立叶逆变换
)(..)()(~ 1
1
1 1?
nenFtf tjn
n
11 )( n
11
1
1
0
)()(2)( l i ml i m
11
TnFnFwF
T
2
)()(
1
1 wFnF
四、从物理意义来讨论 FT
(a) F(ω) 是一个密度函数的概念
(b) F(ω) 是一个连续谱
(c) F(ω) 包含了从零到无限高频的所有频率分量,分量的频率不成谐波关系傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数 P112
)()()( jeFF?
deF
deFtf
tj
tj
))((
2
1
2
1
)(
)()(
若 f(t)为实数，则 幅频为偶,相频为奇
dtFtf ))(c o s ()()( 2 1
dttf )(
四 傅立叶变换存在的充分条件注意,用广义函数的概念，引入冲激函数,可使不满足绝对可积条件的阶跃、符号、周期信号也存在傅立叶变换
单边指数信号
双边指数信号
矩形脉冲信号
符号函数
冲激函数信号
冲激偶函数信号
阶跃函数信号
§ 3.5典型非周期信号的频谱
1.单边指数信号
信号表达式
幅频
相频
)0(0
)0()(
t
tetf t?
)0(1)()(?
j
dteedtetfF tjattj
22
1)(
F
)()( a r c tg
f(t)
t0
)(?F
1
21
3
)(
0
0
2?
2
？思考,0
2,双边指数信号
)()( tetf t?
22
2)(
F 0)(
f(t)
)(?F
0 t
0
0
0
)()(
dteedtee
dteedtetfF
tjattjat
tjtatj
3,矩形脉冲信号
)(0
)(
)(
2
2
t
tE
tf
)(
)s i n (
)s i n ()(
2
2
2
2
2
2/
2/
SaEE
dtEeF E
tj
)()( 2 SaEF?
)(
)(0
)( )1(4)12(2
)12(24
nn
nn
f(t)
t
0
)(?F
2
4
6
2?2
)(
E
E
4.符号函数
)0(1
)0(1
)s g n ()(
t
t
ttf
]).[ s g n (lim)(lim)(
010
ta
aa
ettftf?
ja
jFF
aa
22lim)(lim)(
22010
2
)(?F
)0(
)0(
)(
2
2
220
0
1
2)(
w
jwdteedteeF tjattjat
f1(t) )(
1?F1
0 t a
-a 0 t
Sgn(t)
+1
-1
)(?F
)(
2?
2
tae?
0?a
§ 3.5 冲激函数傅立叶变换对
1)()( dtetF tj
1
t
0
)(t?
)(?F
2
1
)(
2
1
)]([1
de
FT
tj
1)(?tf1
0 t
2)(?
2
0
0
冲激偶的傅立叶变换
det tj2 1)(
dejt
dt
d tj)()(
2
1
jtdtdFT
)(
n
n
n
jt
dt
dFT )()(
1)]([?tFT?
)(tj
)()(2)( nnnn d djtFT?
)(2]1[FT
)s g n ()( 2121 ttu
j
tuFT 1)()(
)(?F
u(t)
0 t
0?
§ 3.6 阶跃信号的傅立叶变换
§ 3.7 傅立叶变换的基本性质
对称性和叠加性
奇偶虚实性
尺度变换特性
时移特性和频移特性
微分和积分特性
卷积定理一、对称性 (对偶性 )
若已知
则
deFtf tj)(2 1)(
,)(2 1)( deFtf tj
dtetFf tj )(2 1)(
)(2)( ftFFT
证明：
)()( tfFTF
)(2)( ftFFT
变量,t 互换?
2
)(tf
2? t
1
0
)(?F
22?
0
)(tf
c?
2
c?
2?
t
2c
0
)(?F
2c
2c
1
0
)2()( SatG? )2()( SatG?
)()2(2
c
GtSa cc?
若 f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
)(2
)(t?
1
1
1
)(tf
)(?F
)(?F
atetf)(
FT
jaF
1)(
1)(1
jta
FTF?
对称性
aefF 2)(2)(
1
t 换成
0,1 ta
f 换成
1F
二、线性（叠加性）
)()(?ii FtfFT?若
n
i
ii
n
i
ii FatfaFT
11
)()(?则证明：
)()()( 2211 tfatfatf令
)]()([)]([)( 2211 tfatfaFTtfFTwF
dtetfatfa j w t
)]()([ 2211
dtetfadtetfa j w tj w t
)]([)]([ 2211
)()( 2211 wFawFa
即：信号在时域叠加与在频域叠加相对应。
求：
)(tf
的傅立叶变换
)(tf
2?2
1
2
t
)]()([)]()([)( 22 tututututf
)](2)2/([)( SaSaF
2
t d ttfjt d ttfF s i n)(c o s)()(
)(?R
)(?X
)()( RR
)()( * FF
(1) f(t)实 偶 函数 =0,F(w) 实 偶函数
(2) f(t)实 奇 函数 =0,F(w) 虚 奇 函数
)(?R )(?X
三,奇偶虚实性
(一 ),f(t)是实函数
)()( XX
偶函数 奇函数偶分量 -------实部奇分量 -------虚部
(二 ),f(t) = jg(t)是虚函数
t d ttgjt d ttgF c o s)(s i n)()(
)(?R )(?X
)()( RR
)()]([ ** FtfFT
)()]([ **?FtfFT
)()]([ FtfFT
(自已证 )
奇函数 偶函数
)()( XX
无论 f(t)是实函数还是复函数，下面三式均成立四、尺度变换特性
若
则
)()]([?FtfFT?
)(
1
)]([
a
F
a
atfFT
)(1)()]([0 1
a
F
a
dxexfatfFTa axja
)(1)()]([0 1
a
F
a
dxexfatfFTa axja
)()]([ FtfFT
特例 a=-1
即,1 时域中的压缩等于频域中的扩展
(脉宽 与 带宽 成反比 )
f(t/2)
0 t
)2(2?F
2
0
)2( tf
0 4/?4/ t
)2(21?F
2?
4
4?
压缩 扩展
1
1
0
2,等效脉宽与等效频带宽度
)0()(
)()(
Fdttf
dtetfF
tj
等效带宽
)(fF
)0(F
0
f
fBfB
)0()(
)(
2
1
)(
fdffF
deFtf
tj
)(tf
)0(f
t
1)0().0()0().0( ff BfBFFf
等效脉宽求下列时域函数的频谱的带宽
1
1? 1
)(1 tf
t
1
)(2 tf
t2
1
2
)(3 tf
4
t
1).0(1fB f
1).0(2fB f
时移不影响带宽
1).0(3fB f
时域重复影响福频高度不影响频谱带宽
12121)0(F
1)0()0( 1fBF f
1
五、时移特性
)()(
)()(
00
0 )(
0
Fedxexfe
dxexfxfFT
ttx
tjxjtj
txj
证明：
)()( 00 FettfFT tj
)()(?FtfFT?若
0)()( 0 tjeFttfFT则即,信号在时域 沿时间轴右移 t0,等效于在频域中乘以因子幅频谱 不变,而 相位谱 产生了 附加的相位变化
)( 0t
0tje
带有尺度变换的时移特性
a
tj
e
a
F
a
tatfFT
0
)(1)( 0
0
00
00
( ) /
0
0
[ ( ) ] ( ) 0
1
()
11
( ) / ( ) ( )
jt
j x t a
tt
jj
jxaa
F T f a t t f a t t e d t a
x a t t f x e d x
a
t x t a e f x e d x e F
a a a
若 a < 0,则有绝对值解,单脉冲 的频谱为则如下三脉冲信号其频谱为
)(0 tf )
2()(0
SaEF?
)c o s21)(
2
(
)1)(()( 0
TSaE
eeFF TjTj
)()()()( 000 TtfTtftftf
例：求三脉冲信号的频谱
2?2
)(tf
如下图,
E
2
2?
E3
T
2
T
2?
2
2?
)(0?F
)(?F
六、频移特性
)()(?FtfFT?若
)(])([ 00 FetfFT tj则
)(
)(])([
0
00
F
dteetfetfFT tjtjtj证明：
)(])([ 00 FetfFT tj同理：
即,频谱搬移技术信号乘以因子,等效于频谱 F(W)沿频率轴左移 W0
0tje
调幅信号的频谱（载波技术）
)(21c o s 000 tjtj eet
)]()([21]c o s)([ 000 FFttfFT
)(
2
1s in
00
0
tjtj ee
j
t
)]()([
2
1]s in)([
000 FFjttfFT
求：
ttf 0c o s)(?
的频谱？
)(
2
1c o s
00
0
tjtj eet
)(tf tje 02
1? )(tftje 021
)(21 0F )(21 0F
)]()([21 00 FF
载波频率
0?
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 0000 FF
)()]([ 0?FtfFT? ])[(
2
1 00 tjtj eetf
0
)(0?F
)(021?F
)(?F
0?0
频移特性
)(021?F
调幅信号都可看成乘积信号
矩形调幅
指数衰减振荡
三角调幅
ttf 0c o s)(?
ttG 0c o s)(?
te at 0c o s
t
t
0c o s
2
1?
求它们的频谱 =？（略）
七、微分特性
)()]([?FtfFT?若：
)()( Fjdt tdfFT则：
)()()( Fjdt tfdFT nn
n
且：
deFtf tj.)(2 1)(
dej w Ftft tj].)([2 1)('
求导两边对
)()]('[ wj w FtfFT?
证明：
三角脉冲 的频谱
)(0
)()1(
)(
2
2
2
t
ttE
tf
)(2)()(2)( 2222 tttE
dt
tfd
2 2 4 422
22( ) ( ) ( 2 ) ( )j j j jEEj F e e e e
)4(2)( 2 SaEF?
FT
方法一：代入定义计算（如前面所述）
方法二：利用二阶导数的 FT
)(tf
2?2 0 t
dt
tdf )(
E2
E2?
2?
2
E2?
E2
E4?
2?2
)(?F
E2
4
4?
2
2 )(
dt
tfd
t
t
0
0
0
三角脉冲例：如下图示梯形脉冲，求其频谱。
)()( wFtf?
)()(' 1 wFtf?
)()('' 2 wFtf?
A
b
b
b
b?
b?
b?
a?
a?
a? a
a
a
解：如图示，对 f(t)两次求导，有,
)]()()()([)('' btatatbtab Atf
1)(
,1)(
1
j w tett
t
用延时特性有：由于
)('')c o s( c o s
2
])([)()(
),()(
2
tfawbw
ab
A
eeee
ab
A
wFjw
wFtf
j b wj a wj a wj b w
则有：若令
)]('[)()];(''[)( 12 tfFTwFtfFTwF
0)0(;0)0( 12 FF
]c o sc o s[2)]([)( 2w bwawab AtfFTwF
八、积分特性
)()]([?FtfFT?若
0)0(?F如果
)()0()()( FjFdfFT t
则
)()0(
)(
)
1
)()(()(1
)(*)()(
F
j
F
j
wFwF
tutfdf
t
证明一：
证明二
dtedf j w tt ])([
)572,(])()([ 67
Pdtedtuf j w t
ddtetuf j w t ])()[(
dejwfdewf jwjw 1)()()(
)()0()()(
F
j
FdfFT t
则
])([ t dfFT
t j
de
j
f?
)1)()((
斜平信号 的频谱看成高,宽 的矩形脉冲 的积分
)(0
)0(1
)0(0
)(
0
0
0
t
ttf
)(1
)0(
)0(0
)(
0
0
0
t
t
t
tty
t dfty )()(
0
1t 0t )(?f
)()
2
(
1
)()0()(
1
)]([)(
20
0
t
j
e
t
Sa
j
FF
j
tyFTY
F(0)不为 0
1
0t
0t
1t
)(?f
用 FT积分特性求阶跃的 FT
t dtuty )()()()()(f
)(1)]([)(
j
tuFTY
)]()
2
(
1
[)( 20
0
0
0
lim
t
j
t
e
t
Sa
j
Y
00?t当
00?t
§ 3.8 时域 卷积定理
若
则
)()]([ 11?FtfFT?
)()]([ 22?FtfFT?
)()()]()([ 2121 FFtftfFT
证明：
dxxtfxftftf )()()()( 2121
dtedxxtfxftftfFT j w t])()([)]()([ 2121
dxdtextfxf j w t ])()[( 21
dxewFxf j w x
)()( 21
dxexfwF j w x
)()( 12
)()( 21 wFwF?
例：求三角脉冲的频谱三角脉冲 可看成两个同样 矩形脉冲 的卷积
)(tG )(tG
)(*)( tGtG
卷
)(?G )(?G乘
42
)( 2 SaEF
时域卷
频域乘
FT FT
4
4?
4
4
2
2
E2?
E2
§ 3.8 频域 卷积定理
若
则
)()]([ 11?FtfFT?
)()]([ 22?FtfFT?
)()(
2
1
)]()([ 2121
FFtftfFT
例：求余弦脉冲的频谱
tcos
)(tG
1
E
E )(tf
2?
2
2?
2?
2
2
相乘
][costFT
FT
FT )(?G
2?
2?
)(?F
卷积
)
2
()( SaEG? )()(
)(tGtcos
2)(1
)
2
)
c o s (2
)(
E
F
乘
FT FT
卷
ttGtf c o s).()(?
求图中所示的三角调幅波信号的频谱
t0co s?1
1?
2
2
t
)(21c o s 000 tjtj eet
ttf 21)(
0
42
)( 2 SaEF
4
)(
4
)(
4
)( 0202 SaSaEF
三角波
1?E
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 00 FF
)]([ tfFT ][ co s
0tFT?
0
0
0?0
卷积
1
2121
§ 3.3 典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号 (半波脉冲,全波脉冲 )
画出周期信号 各次谐波 的分布图形称为 信号的频谱,它是信号频域表示的一种方式。
描述各次谐波振幅与频率关系称为 振幅频谱,描述各次谐波相位与频率关系称为 相位频谱 。
一,周期矩形脉冲信号的频谱
)
2
(0
)
2
(
)(
t
tE
tf
x(t)
t0
E
2
2
-T T
n
n
T
E
ee
jnT
E
dtEe
T
F
jnjn
tjn
n
)s i n (
)(
)(
//
n
tjn
n eFtf
1)(?
)(
1T
nSa
2
x(t)
Fn
n?
t
0
0
2
4
24
E
2
2
T-T
1
1
2
T
)(,
111
0 T
nSa
T
EF
T
EF
n
频谱分析表明
离散性,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。
谐波性,各谐波分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，
与周期成反比。
收敛性,各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为,主要能量在第一过零点内。
带宽
)(
1T
nSa
m2?
2?B
1?
fB
的宽度与频宽成反比反比于τ，即脉冲信号得出：B w
周期矩形的频谱变化规律：
若 T不变，在改变 τ 的情况
若 τ 不变，在改变 T时的情况
T
)(
1T
nSa
对称方波是周期矩形的特例
T1
T1/4
-T1/4
)(tx
实偶函数奇谐函数
,...5c o s
5
13c o s
3
1c o s2)(
111 ttt
Etf
)(
11 T
nSa
T
EF
n
周期矩形对称方波奇次余弦
n
tjn
n eFtf
1)(?
nn
n tn
nSaEtnFtf )c o s ()
2(22)c o s (2)( 11 1?
对称方波的频谱变化规律
T
T/4-T/4
1?
13?
15? 15?13?1?
13?
n?
na
na
)(tx
§ 3.4 非周期信号的频谱分析当周期信号的周期 T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号
1T
d
T
02
1
1
1n
频率也变成连续变量周期信号的 离散频谱 变成非周期信号的 连续谱一,频谱演变的定性观察 动画演示
-T/2 T/2
T/2-T/2
)( 1?nF
1
1)(nF
)( 1?nF
2
2?
1
1
2
T
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)(
11 T
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T
EF
n
二,从周期信号 FS推导非周期的 FT
n
tjnenFtf 1).()(~
1 dtetfTnF
T
T
tjn,).(~1)( 21
2
1
1
1
1
傅立叶变换
21
2
1
1).(~)(2)(
1
1
11
T
T dtetf
nFTnF tjn?
111 0 nT当
11
1
1
0
)()(2)( limlim
11
TnFnFF
T
定义
1
1)(
nF
因此 F(ω) 是一个密度函数的概念含有单位频带上的频谱值的意思
dtetfF tj,).()(
三,傅立叶的逆变换
n
tjnenFtf 1).()(~
1
dnnT )(0 1111
n
deFtf tj.)(2 1)(
傅立叶逆变换
)(..)()(~ 1
1
1 1?
nenFtf tjn
n
11 )( n
11
1
1
0
)()(2)( l i ml i m
11
TnFnFwF
T
2
)()(
1
1 wFnF
四、从物理意义来讨论 FT
(a) F(ω) 是一个密度函数的概念
(b) F(ω) 是一个连续谱
(c) F(ω) 包含了从零到无限高频的所有频率分量,分量的频率不成谐波关系傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数 P112
)()()( jeFF?
deF
deFtf
tj
tj
))((
2
1
2
1
)(
)()(
若 f(t)为实数，则 幅频为偶,相频为奇
dtFtf ))(c o s ()()( 2 1
dttf )(
四 傅立叶变换存在的充分条件注意,用广义函数的概念，引入冲激函数,可使不满足绝对可积条件的阶跃、符号、周期信号也存在傅立叶变换
单边指数信号
双边指数信号
矩形脉冲信号
符号函数
冲激函数信号
冲激偶函数信号
阶跃函数信号
§ 3.5典型非周期信号的频谱
1.单边指数信号
信号表达式
幅频
相频
)0(0
)0()(
t
tetf t?
)0(1)()(?
j
dteedtetfF tjattj
22
1)(
F
)()( a r c tg
f(t)
t0
)(?F
1
21
3
)(
0
0
2?
2
？思考,0
2,双边指数信号
)()( tetf t?
22
2)(
F 0)(
f(t)
)(?F
0 t
0
0
0
)()(
dteedtee
dteedtetfF
tjattjat
tjtatj
3,矩形脉冲信号
)(0
)(
)(
2
2
t
tE
tf
)(
)s i n (
)s i n ()(
2
2
2
2
2
2/
2/
SaEE
dtEeF E
tj
)()( 2 SaEF?
)(
)(0
)( )1(4)12(2
)12(24
nn
nn
f(t)
t
0
)(?F
2
4
6
2?2
)(
E
E
4.符号函数
)0(1
)0(1
)s g n ()(
t
t
ttf
]).[ s g n (lim)(lim)(
010
ta
aa
ettftf?
ja
jFF
aa
22lim)(lim)(
22010
2
)(?F
)0(
)0(
)(
2
2
220
0
1
2)(
w
jwdteedteeF tjattjat
f1(t) )(
1?F1
0 t a
-a 0 t
Sgn(t)
+1
-1
)(?F
)(
2?
2
tae?
0?a
§ 3.5 冲激函数傅立叶变换对
1)()( dtetF tj
1
t
0
)(t?
)(?F
2
1
)(
2
1
)]([1
de
FT
tj
1)(?tf1
0 t
2)(?
2
0
0
冲激偶的傅立叶变换
det tj2 1)(
dejt
dt
d tj)()(
2
1
jtdtdFT
)(
n
n
n
jt
dt
dFT )()(
1)]([?tFT?
)(tj
)()(2)( nnnn d djtFT?
)(2]1[FT
)s g n ()( 2121 ttu
j
tuFT 1)()(
)(?F
u(t)
0 t
0?
§ 3.6 阶跃信号的傅立叶变换
§ 3.7 傅立叶变换的基本性质
对称性和叠加性
奇偶虚实性
尺度变换特性
时移特性和频移特性
微分和积分特性
卷积定理一、对称性 (对偶性 )
若已知
则
deFtf tj)(2 1)(
,)(2 1)( deFtf tj
dtetFf tj )(2 1)(
)(2)( ftFFT
证明：
)()( tfFTF
)(2)( ftFFT
变量,t 互换?
2
)(tf
2? t
1
0
)(?F
22?
0
)(tf
c?
2
c?
2?
t
2c
0
)(?F
2c
2c
1
0
)2()( SatG? )2()( SatG?
)()2(2
c
GtSa cc?
若 f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
)(2
)(t?
1
1
1
)(tf
)(?F
)(?F
atetf)(
FT
jaF
1)(
1)(1
jta
FTF?
对称性
aefF 2)(2)(
1
t 换成
0,1 ta
f 换成
1F
二、线性（叠加性）
)()(?ii FtfFT?若
n
i
ii
n
i
ii FatfaFT
11
)()(?则证明：
)()()( 2211 tfatfatf令
)]()([)]([)( 2211 tfatfaFTtfFTwF
dtetfatfa j w t
)]()([ 2211
dtetfadtetfa j w tj w t
)]([)]([ 2211
)()( 2211 wFawFa
即：信号在时域叠加与在频域叠加相对应。
求：
)(tf
的傅立叶变换
)(tf
2?2
1
2
t
)]()([)]()([)( 22 tututututf
)](2)2/([)( SaSaF
2
t d ttfjt d ttfF s i n)(c o s)()(
)(?R
)(?X
)()( RR
)()( * FF
(1) f(t)实 偶 函数 =0,F(w) 实 偶函数
(2) f(t)实 奇 函数 =0,F(w) 虚 奇 函数
)(?R )(?X
三,奇偶虚实性
(一 ),f(t)是实函数
)()( XX
偶函数 奇函数偶分量 -------实部奇分量 -------虚部
(二 ),f(t) = jg(t)是虚函数
t d ttgjt d ttgF c o s)(s i n)()(
)(?R )(?X
)()( RR
)()]([ ** FtfFT
)()]([ **?FtfFT
)()]([ FtfFT
(自已证 )
奇函数 偶函数
)()( XX
无论 f(t)是实函数还是复函数，下面三式均成立四、尺度变换特性
若
则
)()]([?FtfFT?
)(
1
)]([
a
F
a
atfFT
)(1)()]([0 1
a
F
a
dxexfatfFTa axja
)(1)()]([0 1
a
F
a
dxexfatfFTa axja
)()]([ FtfFT
特例 a=-1
即,1 时域中的压缩等于频域中的扩展
(脉宽 与 带宽 成反比 )
f(t/2)
0 t
)2(2?F
2
0
)2( tf
0 4/?4/ t
)2(21?F
2?
4
4?
压缩 扩展
1
1
0
2,等效脉宽与等效频带宽度
)0()(
)()(
Fdttf
dtetfF
tj
等效带宽
)(fF
)0(F
0
f
fBfB
)0()(
)(
2
1
)(
fdffF
deFtf
tj
)(tf
)0(f
t
1)0().0()0().0( ff BfBFFf
等效脉宽求下列时域函数的频谱的带宽
1
1? 1
)(1 tf
t
1
)(2 tf
t2
1
2
)(3 tf
4
t
1).0(1fB f
1).0(2fB f
时移不影响带宽
1).0(3fB f
时域重复影响福频高度不影响频谱带宽
12121)0(F
1)0()0( 1fBF f
1
五、时移特性
)()(
)()(
00
0 )(
0
Fedxexfe
dxexfxfFT
ttx
tjxjtj
txj
证明：
)()( 00 FettfFT tj
)()(?FtfFT?若
0)()( 0 tjeFttfFT则即,信号在时域 沿时间轴右移 t0,等效于在频域中乘以因子幅频谱 不变,而 相位谱 产生了 附加的相位变化
)( 0t
0tje
带有尺度变换的时移特性
a
tj
e
a
F
a
tatfFT
0
)(1)( 0
0
00
00
( ) /
0
0
[ ( ) ] ( ) 0
1
()
11
( ) / ( ) ( )
jt
j x t a
tt
jj
jxaa
F T f a t t f a t t e d t a
x a t t f x e d x
a
t x t a e f x e d x e F
a a a
若 a < 0,则有绝对值解,单脉冲 的频谱为则如下三脉冲信号其频谱为
)(0 tf )
2()(0
SaEF?
)c o s21)(
2
(
)1)(()( 0
TSaE
eeFF TjTj
)()()()( 000 TtfTtftftf
例：求三脉冲信号的频谱
2?2
)(tf
如下图,
E
2
2?
E3
T
2
T
2?
2
2?
)(0?F
)(?F
六、频移特性
)()(?FtfFT?若
)(])([ 00 FetfFT tj则
)(
)(])([
0
00
F
dteetfetfFT tjtjtj证明：
)(])([ 00 FetfFT tj同理：
即,频谱搬移技术信号乘以因子,等效于频谱 F(W)沿频率轴左移 W0
0tje
调幅信号的频谱（载波技术）
)(21c o s 000 tjtj eet
)]()([21]c o s)([ 000 FFttfFT
)(
2
1s in
00
0
tjtj ee
j
t
)]()([
2
1]s in)([
000 FFjttfFT
求：
ttf 0c o s)(?
的频谱？
)(
2
1c o s
00
0
tjtj eet
)(tf tje 02
1? )(tftje 021
)(21 0F )(21 0F
)]()([21 00 FF
载波频率
0?
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 0000 FF
)()]([ 0?FtfFT? ])[(
2
1 00 tjtj eetf
0
)(0?F
)(021?F
)(?F
0?0
频移特性
)(021?F
调幅信号都可看成乘积信号
矩形调幅
指数衰减振荡
三角调幅
ttf 0c o s)(?
ttG 0c o s)(?
te at 0c o s
t
t
0c o s
2
1?
求它们的频谱 =？（略）
七、微分特性
)()]([?FtfFT?若：
)()( Fjdt tdfFT则：
)()()( Fjdt tfdFT nn
n
且：
deFtf tj.)(2 1)(
dej w Ftft tj].)([2 1)('
求导两边对
)()]('[ wj w FtfFT?
证明：
三角脉冲 的频谱
)(0
)()1(
)(
2
2
2
t
ttE
tf
)(2)()(2)( 2222 tttE
dt
tfd
2 2 4 422
22( ) ( ) ( 2 ) ( )j j j jEEj F e e e e
)4(2)( 2 SaEF?
FT
方法一：代入定义计算（如前面所述）
方法二：利用二阶导数的 FT
)(tf
2?2 0 t
dt
tdf )(
E2
E2?
2?
2
E2?
E2
E4?
2?2
)(?F
E2
4
4?
2
2 )(
dt
tfd
t
t
0
0
0
三角脉冲例：如下图示梯形脉冲，求其频谱。
)()( wFtf?
)()(' 1 wFtf?
)()('' 2 wFtf?
A
b
b
b
b?
b?
b?
a?
a?
a? a
a
a
解：如图示，对 f(t)两次求导，有,
)]()()()([)('' btatatbtab Atf
1)(
,1)(
1
j w tett
t
用延时特性有：由于
)('')c o s( c o s
2
])([)()(
),()(
2
tfawbw
ab
A
eeee
ab
A
wFjw
wFtf
j b wj a wj a wj b w
则有：若令
)]('[)()];(''[)( 12 tfFTwFtfFTwF
0)0(;0)0( 12 FF
]c o sc o s[2)]([)( 2w bwawab AtfFTwF
八、积分特性
)()]([?FtfFT?若
0)0(?F如果
)()0()()( FjFdfFT t
则
)()0(
)(
)
1
)()(()(1
)(*)()(
F
j
F
j
wFwF
tutfdf
t
证明一：
证明二
dtedf j w tt ])([
)572,(])()([ 67
Pdtedtuf j w t
ddtetuf j w t ])()[(
dejwfdewf jwjw 1)()()(
)()0()()(
F
j
FdfFT t
则
])([ t dfFT
t j
de
j
f?
)1)()((
斜平信号 的频谱看成高,宽 的矩形脉冲 的积分
)(0
)0(1
)0(0
)(
0
0
0
t
ttf
)(1
)0(
)0(0
)(
0
0
0
t
t
t
tty
t dfty )()(
0
1t 0t )(?f
)()
2
(
1
)()0()(
1
)]([)(
20
0
t
j
e
t
Sa
j
FF
j
tyFTY
F(0)不为 0
1
0t
0t
1t
)(?f
用 FT积分特性求阶跃的 FT
t dtuty )()()()()(f
)(1)]([)(
j
tuFTY
)]()
2
(
1
[)( 20
0
0
0
lim
t
j
t
e
t
Sa
j
Y
00?t当
00?t
§ 3.8 时域 卷积定理
若
则
)()]([ 11?FtfFT?
)()]([ 22?FtfFT?
)()()]()([ 2121 FFtftfFT
证明：
dxxtfxftftf )()()()( 2121
dtedxxtfxftftfFT j w t])()([)]()([ 2121
dxdtextfxf j w t ])()[( 21
dxewFxf j w x
)()( 21
dxexfwF j w x
)()( 12
)()( 21 wFwF?
例：求三角脉冲的频谱三角脉冲 可看成两个同样 矩形脉冲 的卷积
)(tG )(tG
)(*)( tGtG
卷
)(?G )(?G乘
42
)( 2 SaEF
时域卷
频域乘
FT FT
4
4?
4
4
2
2
E2?
E2
§ 3.8 频域 卷积定理
若
则
)()]([ 11?FtfFT?
)()]([ 22?FtfFT?
)()(
2
1
)]()([ 2121
FFtftfFT
例：求余弦脉冲的频谱
tcos
)(tG
1
E
E )(tf
2?
2
2?
2?
2
2
相乘
][costFT
FT
FT )(?G
2?
2?
)(?F
卷积
)
2
()( SaEG? )()(
)(tGtcos
2)(1
)
2
)
c o s (2
)(
E
F
乘
FT FT
卷
ttGtf c o s).()(?
求图中所示的三角调幅波信号的频谱
t0co s?1
1?
2
2
t
)(21c o s 000 tjtj eet
ttf 21)(
0
42
)( 2 SaEF
4
)(
4
)(
4
)( 0202 SaSaEF
三角波
1?E
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 00 FF
)]([ tfFT ][ co s
0tFT?
0
0
0?0
卷积
1
2121
