第七章 离散时间系统的时域分析
§ 7.1 引言本章主要研究 离散信号 的时域分析及 离散系统 的时域分析
离散信号及特性
离散系统的描述及模拟
差分方程 的经典解
单位函数响应
卷积和
7.2 离散信号及其时域特性一,离散信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：
仅在一些 离散时刻 k (k=0,± 1,± 2,…) 上才有定义 (确定的函数值 )的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用 f(k)
表示。
连续时间信号 经过抽样（即离散化）后 所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用 f(kT)表示,T 为抽样周期。 f
(kT)一般简写为 f(k) 。
k
)(kTf
k
)(kf
二,离散信号的描述方法
数学解析式
图形形式
序列形式
)(kf
t0 1 2 3 4 5
2
3
4
1
k
kkkf
其它,0
40,)(
]4,3,2,1,0[)(kf
( ),0f k k k ( ) [ 0,1,2,3,4,]fk
三、离散信号的运算
（ 1）相加：序列中同序号的数值逐项对应相加。
.,,)()()( nynxnz
（ 2）相乘：序列中同序号的数值逐项对应相乘。
),,,()()( nynxnz?
（ 3）移序：函数序号的增减。 )()( knxnx 移序
)(,)()(:
)(,)()(:
向右移为减序减序向左移为增序增序
kknxnx
kknxnx
（ 4）反褶：
)()( nxnx 反褶
（ 5）尺度变换：
扩展压缩
a
a
nx
aanx
nx )(
)(
)(
（ 6）差分：相邻相减
)()()(:
)()()(:
nxnxnx
nxnxnx
后向差分前向差分?
(见下页 )
(7)累加,
M
k
kxnz )()(
0 1 2 3 4 5 6 7 n
X(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 n
X1(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n
X(n/2)
0 1 2 3 4 5 6 7 n
X(2n)
由输入序列中偶数点组成保留偶数点,奇数点 =0
单位样值信号（ Unit Sample)
)0(0
)0(1
)(
n
n
n?
)(0
)(1
)(
0
0
0 nn
nn
nn?
)(n?
0
n
)( 0nn
0 n0n
四、常用典型信号举例与 得区别？)(t?
离散单位阶跃信号
离散矩形序列
)0(0
)0(1
)(
n
n
nu
1
.....43210 n
1
43210 n
)()(
)(
)(
)(
nnunu
Nnorn
Nn
nG
N
斜变序列
)()( nnunR?
.,,,,543210
n
1
2
3
4
5
0
)()( 2 nunnr?
.,,,,543210
n
4
9
16
25
实指数信号,f (k) = Ca k a,C 均为实数
当 |a|>1，指数为上升曲线；当 |a|<1时，指数为衰减曲线,
当 a 为负时,f(k)的值符号交替变化。当 a为正,f(k)的值均为正。
kakf?)(
10a
k0 1 2 3 41?
kakf?)(
1?a
k0 1 2 3 41?
kakf?)(
01 a
k0 1 2 3 41?
kakf?)(
1a
k0 1 2 3 41?
复指数信号,
f (k) = Ca k a=|a|ejw0,均为复数
当 |a|=1时，实部和虚部都是正弦序列；
当 |a|<1时，实部和虚部都是指数衰减的正弦序列；
当 |a|>1时，实部和虚部都是指数增长的正弦序列。
0()
00
()
c o s( ) sin ( )
jkk
kk
f k A a e
A a k jA a k
jC A e
复指数信号
指数衰减的正弦序列复指数信号
指数增长的正弦序列
正弦序列
tAtf 0s i n)(
)s i n (
)s i n ()(
0
0
nA
nTAnx s
t = nTs
s
s fTN
0
00
2
0co s)(?nAnx?
43210
n
1?N
数字角频率?0 与模拟角频率?0的关系
由于离散信号定义的时间为 kT，显然有,?0 =?0 Ts
模拟角频率?0的单位是 rad/s，而数字角频率?0 的单位为
rad。
0表示相邻两个样值间弧度的变化量 。
)(tf
st/0
01.0 02.0
sr ad /3 1402.020
)(kf
k0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
284 ra d
0表示 1秒内变化了 50个 2?rad
0表示两个离散值之间的弧度变化量正弦序列的周期
周期序列的定义,f (k+N)=f (k)
式中,N为序列的周期，只能为任意整数。
周期 N 的计算方法：
与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值 2?/?0是正整数、有理数还是无理数。
是正整数时，则周期为 N。因为：
0
2 N?
0 0 0
0
2s in [ ( ) ] s in [ ( ) ] s inA k N A k A k
是有理数时，则周期为
0
2 N
m
0
2Nm?
为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。
但包络线仍是正弦函数。0
2?
正弦序列的周期
(a)cos(?k/10)是周期的,
周期 N=20
(b)cos(0.5k)是非周期的,
任意离散序列 (离散信号的分解 )
m
mnmxnx )()()(?
加权表示 )(tx
m
mn )(?
)(nx
§ 7.3 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型
从常系数微分方程得到差分方程一,离散 线性 时不变 系统
线性,
1、可加性：
2、均匀性：
时不变性
)(nxi )(nyi)(nh
M
i
i nx
0
)(?
M
i
i ny
0
)(
M
i
ii nxa
0
)(?
M
i
ii nya
0
)(
)( mnx i? )( mny i?
连续系统的数学模型
)(
)(
.,,
)()(
)(
)(
.,,
)()(
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
基本运算：各阶导数，系数乘，相加二,离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合 (差分方程描述 )
系数乘，相加，延时单元
),.,,,(),(),( nxnxnx
),.,,,(),(),( nynyny
M
r
r
N
k
k rnxbknyany )()()(
)(nx
Z?
)1(?nx
)(ny
E?
)1(?ny
延时器加法器
)(nx
)1(?ny
)()1()( nxnyny
乘法器 )(nx
)()( naxny?
a
P11
)1()()( naynxny
例 1：
)1(?ny
)(nx
E1
a?
)()1()( nxnayny
)(nx E1
a
)()()1( nxnayny
)]()1([1)( nxnyany
例 2：
后向差分方程多用于因果系统前向差份方程多用于状态方程网络结构图,
)()1(1)( nxny
a
ny
)(nx
a
1? E1
)(ny
1 0 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )y n a y n b x n b x n
)(nx
1a?
E1
E1
)1(?nx
0b
1b
)1(?ny
)(ny
)(nx
1a?
E1
E1
0b
1b
)(nq
)(ny
)(nx
1a?
E1
E1
)1(?nx
0b
1b
)1(?ny
)(ny
1a?
E1
0b
1b
)(nq
)(nx )(ny
1a?
E1
0b
1b
)(nx )(ny
直接 I型直接 II型 （转置型）
1a?
E1
)(nq
)(nx )(ny
)()1()(
)()1()(
1
1
nynqbnq
nqnqanx
11
11
)()(
)1(
)()1()()(
ab
nxny
nq
nynqabnx
11
)1()1()(
ab
nxnynq
)()()1()1(
)1()1()()(
11
11
nxnynyanxb
nxnynyanxb
1b
)(nx
1a?
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny
2a?
E1
E1
0b
1b
2b
)1(?nx
)2(?nx
)()()(
)()()(
nxbnxbnx
nyanyany
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
1b
2b
)(ny
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
1b
2b
)(ny
直接 I型直接 II型 （转置型）
0b
0b
三、微分方程与差分方程的关联
1、数学形式上
T
nTyTny
nTTn
nTyTny
dt
tdy )(])[(
)(
)(])[()(
)()()(:
)()()(':
nxnayny
txtAyty
一阶差分系统一阶微分系统相当与与与 )()(');()();()(nytynxtxnyty
2、由微分到差分以周期 T对连续时间函数 y(t)抽样，于 t=nT各点取得样值 y(nT),若 T足够小，则：
由此，式 写为：
)()()()( nxnAyT nyny
差分方程 )()()()( nTxnyATny
即：微分方程在一定的条件下可由差分方程来近似。可以用差分方程近似处理微分方程的问题。
)(tx )(ty
)()()( txtydt tdyRC
取近似,)()( nyty?
)]()([)( nynyTRCdt tdyRC
s
)()()]()([ nxnynynyTRC
s
)()()()( nxRCTnyRCTny
用求解差分方程的方法求出其响应 y(t).便于计算机处理，但，若不采取补偿措施，必然存在误差。
例,RC低通网络可表示为例,列出生物科学的群体增长系统方程
假定每对兔子每月可以生育一对小兔,新生的小兔要隔一个月才具有生育能力,若第一个月只有一对新生小兔,求第 n个月兔的数目是多少?
分析,令 y(n)表示第 n个月兔的数目显然,y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2
可推得,在第 n个月时,y(n-2)对兔生了小兔,变为 2y(n-2),而
y(n-1)- y(n-2) 对兔子保持不变,于是在第 n个月时 y(n) = [y(n-1)- y(n-2) ]+ 2y(n-2)
整理 y(n) -y(n-1)- y(n-2) =0
§ 7.4 常系数差分方程的求解
迭代法
时域经典法
分别求零输入与零状态响应
变换域法（ Z变换法）
状态变量分析法一,迭代法
当差分方程阶次较低时常用此法
)()(
)()1()(
0.)2()1()2(2
0)1()0()1(1
1)(0)0()1()0(0
)()()()1()(
2
nuany
anxnaynynn
aaaxayyn
aaxayyn
nxayyn
nnxnxnayny
n
n
一阶
N阶差分方程解的模式,n
k
N
k
kCny
)(
二,时域经典法
差分方程
特征根,有 N个特征根
齐次解：
非重根时的齐次解
L次重根 时的齐次解
共轭根 时的齐次解
M
r
r
N
k
k rnxbknya )()(
k?
1
()
N
n
kk
k
y n C?
n
k
kl
l
k
k nCny
)(
nn jCjC )()(
0.,,1110 NNnn aaaa其特征方程：
特解：依据右端的 自由项 (输入信号 )与特征根来 确 定 (Ｐ 20)
例如,输入信号 含有 且 不是齐次根,则特解
如果 是单次 齐次根,则特解如果 是 K重 齐次根,则特解
na nDaa
a
a
nkkk aDnDnD )(
naDnD )( 21?
完全解 =齐次解 +特解
代入边界条件求出待定系数,于是得到完全解的闭式
iC
例：
)()()()( nxnxnyny
)()( ynnx
解,02 nCny )()(
齐次解
nnnr i g h t )(
DnDny )(
特解的形式代入差分方程
nDnDDnD )(
nny
DD
nDDnD
)( 特解完全解 =齐次解 +特解
nCny
n)()(
代入边界条件求出待定系数,
C
C
Cy )()()(
得到完全解
nny n)()(
例
)(,)(s in)()()( yynnynyny
)s i nc o s()(
,,
n
A
n
Any
ej
n
j?
齐次解
DDnnDDnDD s i nc o ss i n
AAyy,)(,)(
nnnnny n c o ss i ns i nc o s)(
nDnDnD c o ss i n)(
特解代入边界条件三 零输入与零状态响应
全响应
)()()( nynyny zszi
特征根,有 N个特征根
)( knya
N
k
k k?
n
k
N
k
zizi Cny
0
)(
零输入响应,
零状态响应,
)()(
0
nDCny nk
N
k
zszs
单位样值响应 卷积)(nh
§ 7.5 离散系统单位样值响应
和 的定义的区别
的定义
的定义
)(t? )(n?
)(t?
)(n?
1)( dtt?
00
01
)(
n
n
n?
t0
0 n
一,求系统单位样值响应（ 1）
一般时域经典方法求 h(n)
将 转化为起始条件，于是齐次解，即零输入解就是单位样值响应 。
在 时，接入的激励转化为起始条件
在 时，接入的激励用线性时不变性来进行计算。
)(n?
)(nh
0?n
0?n
例
)()3()2(3)1(3)( nxnynynyny
三重根
nCnCnCny )1)(()( 3221 齐次解
,0)2(,0)1(,1)0( xxx
,0)2(,0)1(,1)0( hhh
确定初始条件
12321 321 CCC
)()23(
2
1)( 2 nunnnh
系统差分方程如下,求其单位样值响应
1
)(n?作用 时响应为 )(nh
例
)2(3)()2(6)1(5)( nxnxnynyny
32 21
,0)1(,1)0( hh 3,2 21 CC
只考虑 激励
)(nx
)2(3 nx只考虑 激励
)(][
)()(
nu
nhnh
nn
利用 LTI
)()()()(
)()()(
nunu
nhnhnh
nnnn
系统差分方程如下,求其单位样值响应
)()23()( 111 nunh nn
nn CCnh 32)( 211
求系统单位样值响应（ 2）
利用与阶跃响应互化求单位冲激响应 h(n)
例：已知因果系统是一个二阶常系数差分方程，并已知当 x(n)=u(n) 时的响应为：
求系统单位样值响应
)()10532()( nung nn
解
)()10532()( nung nn
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ) ( 1 )
n u n u n
h n g n g n
由 g(n) 求 h(n)
11( 1 ) (2 3 5 1 0 ) ( 1 )nng n u n
( ) ( 2 3 5 1 0 ) ( )
( 2 3 5 1 0 ) ( ( 1 ) ( ) )
( 2 3 5 1 0 ) ( 1 ) 1 4 ( )
nn
nn
nn
g n u n
u n n
u n n
1 1214 ( ) ( 2 5 ) ( 1 )
25
nnn u n
二,根据单位样值响应分析系统的因果性和稳定性
因果性：输出变化不领先于输入变化充分必要条件
稳定性：输入有界则输出必定有界充分必要条件
0)(0 nhn
n
nh )(
例：已知某系统的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？
)()( nuanh n?
是因果系统
a
a
a
a
a
nuanh
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
)()(
1
有界稳定发散不稳定
0)()(0)(0 nuanhnun n
一、用卷积和求解零状态响应的基本思路：
将信号分解成冲激序列，然后令每个冲激函数作用于系统，再将每个冲激函数对系统的响应叠加，得到零状态响应。
§ 7.6 卷积和（ 1）
二、卷积和的导出：
knkn
knknn
,)(
,)()( 的定义有：由
m
mnmxnxnxnxnx
nx
)()(.,,)()()()()()(.,,)(
)( 可写为：激励信号
m
zs mnhmxnhxnhxnhxny )()(...)()()()()()(...)(则：
卷积和于是：
)(*)()(*)()( nxnhnhnxny
三、卷积和的性质
§ 7.6 卷积和（ 2）
1、卷积和满足交换律、结合律、分配律
2、卷积和求和：
k
i
k
i
k
i
ifififififif )(*)]([)(*)]([)](*)([
的卷积和与,)()( nnf
)()(*)(.
)()(*)(.)()(*)(.
nnnfnnnnfc
knfknnfbnfnnfa
的卷积和与,)()( nunf?
n
i
kn
i
n
i
kififknunfbifnunfa )()()(*)(.)()(*)(.
)(*)()(*)(
)(*)()(*)(
nfknfknfnf
nfknfknfnf
,
§ 7.6 卷积和（ 3）
四、卷积和的计算
1、图解法
)(*)()( nhnxny?例：求
)(nx
)(mx )( mh?
)(nh
)( mh
)( mh
)( mh
)( mh
)(,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
nyn
y
y
y
y
y
y
y
2、序列对位相乘求和
)()()()(
)()()()()(
nnnnh
nnnnnx
例 1中
)(*)()( nhnxny?求解,将序列表示为
{x(n)}={1 2 2 1}
{h(n)}={0 1 2 3/2}
所以,{y(n)}={0 1 4 15/2 8 5 3/2}
§ 7.6 卷积和（ 4）
思考,7-34
2
321:)(
1221:)(
nh
nx
1221
2442
2
3
33
2
3
2
358
2
1541
§ 7.6 卷积和（ 5）
3、解析法例 1中：
)()()()(
)()()()()(
nnnnh
nnnnnx
)(*)()()()( nhnxmnhmxny
m
)]()()([*)]()()()([)( nnnnnnnny
)()()()()()( nnnnnn
§ 7.7 解卷积（略）
本章 小结,
1.离散信号的时域分析定义、描述、示例、运算
2.离散系统的时域分析定义、数模、系统性质、求解
3.离散系统全响应的三种分解方式全响应 =零输入响应 +零状态响应
=自由响应 +强迫响应
=稳态响应 +瞬态响应冲激响应 h(n),系统的稳定性注意给定的边界条件
4.卷积的性质及求解例 1:P25
中国建设银行与北京市住房资金管理中心共同发布的等额均还个人购房贷款每月 偿还金额 计算公式为式中,P为总贷款金额,I为贷款月利息,还款期限为
N个月,R为每月还款金额,
要求,建立差分方程,并导出以上公式
1)1(
)1(
N
N
I
IIPR
分析,y(N)=0,y(0)=P--------边界条件第 n个月，总欠款为 y(n)
第 n-1个月，总欠款为 y(n-1),
y(n)=y(n-1)－Ｒ＋ Ｉ y(n-1)
则差分方程,y(n)=y(n-1)－Ｒ＋Ｉ y(n-1)
整理 y(n)-(1+I)y(n-1)=-R n>=1
求系统全响应：
nIcny )1()(
齐次解完全解
Dny?)(
代入差分方程
RDID )1(
I
RD?
I
RIcny n )1()(
由边界值 y(0)=P 得
I
Rpc
特解
I
RI
I
Rpny n )1)(()(
由当 n=Ｎ时,y(N)=0,得
1)1(
)1(
N
N
I
IIPR
1)0();()1(3)( ynunyny
例 2
差分方程的求解,起始条件和初始条件的差别 ;
起始条件,在激励信号加入 以前,系统已具有的一组样值,
初始条件,在激励信号加入 之后,系统已具有的一组样值,
rizny,.)( 表示。用
rcny,)( 表示。用
0?n
对于因果系统,若激励在 时刻加入
rcnyny
nynyn
nynyn
.),()(
)()(0
)()(0
再求系统求出用迭代法由时，但：
时，则：
下面结合本例,说明把 y(0)=1分别理解为起始条件和初始条件时，求解差分方程的具体过程．
nn
nyny
yyn
yyn
yyn
nynyn
3)
3
1
()1(
3
1
)(
.,,,)
3
1
()2(
3
1
)3(:2
)
3
1
()1(
3
1
)2(:1
3
1
)0(
3
1
)1(:0
0)1(3)(,0
3
2
，用迭代法时当方法一
：
迭代法
1)0()0(,1)0(.1yyy 即若理解为加入信号前
3
1
)1()1(
)()1(3)(0
yy
nunynyn
因果性；
时，当
.,,,,,
23331311)3(
67)]231(31[31)2(3)3()3(
22)231(31)1(3)2()2(
7231)0(3)1()1(
211)1(3)0()0(
22
y
yuy
yuy
yuy
yuy
：由以上两式用迭代法得
)13.5(213.23.,,331)( 12 nnnny
)()13.5(21)1(3)( nununy nn；时：由迭代法求得 0)(0 nyn
)()13(
2
1
3.,,331)(
.,,,,,
13331)1(3)2()2(
431)0(3)1()1(
1)1(3)0()0(,0
12
2
nuny
yuy
yuy
yuyn
nn
时 1)0()0(,.2yy即若理解为信号加入之后完全解完全解
)(
2
1;
2
1
13
3)()1(3)(
nuDDDDD
nunyny
；得设特解为
，特征根为方法二
：
经典法
)()
2
13
2
5()( nuny n
)0(1)0(.1 yy 为若把
)()213.()( nucny n完全解：
5
22)0()0(
cyy 代入上式得出由
ncnyn 3.)(0 时，方程的解为当
)1(3)(0
3
1
)1()0(
nunyn
yy
n时，
由
)()13(
2
1
3)(
11)0_(
3)(
1
1
1
nuny
cy
cny
nn
n
所以全响应由；设零输入响应
)()13.5(21)1(3)( nununy nn
z.i.r z.s.r
完全解
y_(0)=?
)()13(
2
1
)(
0;
2
3
)()
2
1
3.()(
1
nuny
nc
nucny
n
n
时定出由,1)0()0(.2
yy若完全解决定。应由初始样值决定；完全响零输入响应由起始样值等于零。零状态：系统起始样值结论：
)(
)(.2
)(.1
ny
ny
ny
3.对于因果系统，并且在 n>=0时作用信号，边界值
y(-1),y(-2),y(-3),即可以用于确定零输入响应，也可以用于经典法确定自由响应
)()(0,nynyn 时，因果系统?
已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为 y[?1]=2,y[?2]=?1,y[?3]= 8，
求系统的零输入响应 yx[k]。
解,系统的特征方程为
][]3[5.0]2[]1[5.0][ kfkykykyky
05.05.0 23 rrr
kjejrr 2
3,21,5.0
系统的特征根为：
kCkCCky kx 2πc o s2πs in)21(][ 321
22]1[ 21 CCy
14]2[ 31 CCy
88]3[ 21 CCy
0,2πc o s5)21(][ kkky kx
§ 7.1 引言本章主要研究 离散信号 的时域分析及 离散系统 的时域分析
离散信号及特性
离散系统的描述及模拟
差分方程 的经典解
单位函数响应
卷积和
7.2 离散信号及其时域特性一,离散信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：
仅在一些 离散时刻 k (k=0,± 1,± 2,…) 上才有定义 (确定的函数值 )的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用 f(k)
表示。
连续时间信号 经过抽样（即离散化）后 所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用 f(kT)表示,T 为抽样周期。 f
(kT)一般简写为 f(k) 。
k
)(kTf
k
)(kf
二,离散信号的描述方法
数学解析式
图形形式
序列形式
)(kf
t0 1 2 3 4 5
2
3
4
1
k
kkkf
其它,0
40,)(
]4,3,2,1,0[)(kf
( ),0f k k k ( ) [ 0,1,2,3,4,]fk
三、离散信号的运算
（ 1）相加：序列中同序号的数值逐项对应相加。
.,,)()()( nynxnz
（ 2）相乘：序列中同序号的数值逐项对应相乘。
),,,()()( nynxnz?
（ 3）移序：函数序号的增减。 )()( knxnx 移序
)(,)()(:
)(,)()(:
向右移为减序减序向左移为增序增序
kknxnx
kknxnx
（ 4）反褶：
)()( nxnx 反褶
（ 5）尺度变换：
扩展压缩
a
a
nx
aanx
nx )(
)(
)(
（ 6）差分：相邻相减
)()()(:
)()()(:
nxnxnx
nxnxnx
后向差分前向差分?
(见下页 )
(7)累加,
M
k
kxnz )()(
0 1 2 3 4 5 6 7 n
X(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 n
X1(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n
X(n/2)
0 1 2 3 4 5 6 7 n
X(2n)
由输入序列中偶数点组成保留偶数点,奇数点 =0
单位样值信号（ Unit Sample)
)0(0
)0(1
)(
n
n
n?
)(0
)(1
)(
0
0
0 nn
nn
nn?
)(n?
0
n
)( 0nn
0 n0n
四、常用典型信号举例与 得区别？)(t?
离散单位阶跃信号
离散矩形序列
)0(0
)0(1
)(
n
n
nu
1
.....43210 n
1
43210 n
)()(
)(
)(
)(
nnunu
Nnorn
Nn
nG
N
斜变序列
)()( nnunR?
.,,,,543210
n
1
2
3
4
5
0
)()( 2 nunnr?
.,,,,543210
n
4
9
16
25
实指数信号,f (k) = Ca k a,C 均为实数
当 |a|>1，指数为上升曲线；当 |a|<1时，指数为衰减曲线,
当 a 为负时,f(k)的值符号交替变化。当 a为正,f(k)的值均为正。
kakf?)(
10a
k0 1 2 3 41?
kakf?)(
1?a
k0 1 2 3 41?
kakf?)(
01 a
k0 1 2 3 41?
kakf?)(
1a
k0 1 2 3 41?
复指数信号,
f (k) = Ca k a=|a|ejw0,均为复数
当 |a|=1时，实部和虚部都是正弦序列；
当 |a|<1时，实部和虚部都是指数衰减的正弦序列；
当 |a|>1时，实部和虚部都是指数增长的正弦序列。
0()
00
()
c o s( ) sin ( )
jkk
kk
f k A a e
A a k jA a k
jC A e
复指数信号
指数衰减的正弦序列复指数信号
指数增长的正弦序列
正弦序列
tAtf 0s i n)(
)s i n (
)s i n ()(
0
0
nA
nTAnx s
t = nTs
s
s fTN
0
00
2
0co s)(?nAnx?
43210
n
1?N
数字角频率?0 与模拟角频率?0的关系
由于离散信号定义的时间为 kT，显然有,?0 =?0 Ts
模拟角频率?0的单位是 rad/s，而数字角频率?0 的单位为
rad。
0表示相邻两个样值间弧度的变化量 。
)(tf
st/0
01.0 02.0
sr ad /3 1402.020
)(kf
k0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
284 ra d
0表示 1秒内变化了 50个 2?rad
0表示两个离散值之间的弧度变化量正弦序列的周期
周期序列的定义,f (k+N)=f (k)
式中,N为序列的周期，只能为任意整数。
周期 N 的计算方法：
与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值 2?/?0是正整数、有理数还是无理数。
是正整数时，则周期为 N。因为：
0
2 N?
0 0 0
0
2s in [ ( ) ] s in [ ( ) ] s inA k N A k A k
是有理数时，则周期为
0
2 N
m
0
2Nm?
为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。
但包络线仍是正弦函数。0
2?
正弦序列的周期
(a)cos(?k/10)是周期的,
周期 N=20
(b)cos(0.5k)是非周期的,
任意离散序列 (离散信号的分解 )
m
mnmxnx )()()(?
加权表示 )(tx
m
mn )(?
)(nx
§ 7.3 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型
从常系数微分方程得到差分方程一,离散 线性 时不变 系统
线性,
1、可加性：
2、均匀性：
时不变性
)(nxi )(nyi)(nh
M
i
i nx
0
)(?
M
i
i ny
0
)(
M
i
ii nxa
0
)(?
M
i
ii nya
0
)(
)( mnx i? )( mny i?
连续系统的数学模型
)(
)(
.,,
)()(
)(
)(
.,,
)()(
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
基本运算：各阶导数，系数乘，相加二,离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合 (差分方程描述 )
系数乘，相加，延时单元
),.,,,(),(),( nxnxnx
),.,,,(),(),( nynyny
M
r
r
N
k
k rnxbknyany )()()(
)(nx
Z?
)1(?nx
)(ny
E?
)1(?ny
延时器加法器
)(nx
)1(?ny
)()1()( nxnyny
乘法器 )(nx
)()( naxny?
a
P11
)1()()( naynxny
例 1：
)1(?ny
)(nx
E1
a?
)()1()( nxnayny
)(nx E1
a
)()()1( nxnayny
)]()1([1)( nxnyany
例 2：
后向差分方程多用于因果系统前向差份方程多用于状态方程网络结构图,
)()1(1)( nxny
a
ny
)(nx
a
1? E1
)(ny
1 0 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )y n a y n b x n b x n
)(nx
1a?
E1
E1
)1(?nx
0b
1b
)1(?ny
)(ny
)(nx
1a?
E1
E1
0b
1b
)(nq
)(ny
)(nx
1a?
E1
E1
)1(?nx
0b
1b
)1(?ny
)(ny
1a?
E1
0b
1b
)(nq
)(nx )(ny
1a?
E1
0b
1b
)(nx )(ny
直接 I型直接 II型 （转置型）
1a?
E1
)(nq
)(nx )(ny
)()1()(
)()1()(
1
1
nynqbnq
nqnqanx
11
11
)()(
)1(
)()1()()(
ab
nxny
nq
nynqabnx
11
)1()1()(
ab
nxnynq
)()()1()1(
)1()1()()(
11
11
nxnynyanxb
nxnynyanxb
1b
)(nx
1a?
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny
2a?
E1
E1
0b
1b
2b
)1(?nx
)2(?nx
)()()(
)()()(
nxbnxbnx
nyanyany
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
1b
2b
)(ny
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
1b
2b
)(ny
直接 I型直接 II型 （转置型）
0b
0b
三、微分方程与差分方程的关联
1、数学形式上
T
nTyTny
nTTn
nTyTny
dt
tdy )(])[(
)(
)(])[()(
)()()(:
)()()(':
nxnayny
txtAyty
一阶差分系统一阶微分系统相当与与与 )()(');()();()(nytynxtxnyty
2、由微分到差分以周期 T对连续时间函数 y(t)抽样，于 t=nT各点取得样值 y(nT),若 T足够小，则：
由此，式 写为：
)()()()( nxnAyT nyny
差分方程 )()()()( nTxnyATny
即：微分方程在一定的条件下可由差分方程来近似。可以用差分方程近似处理微分方程的问题。
)(tx )(ty
)()()( txtydt tdyRC
取近似,)()( nyty?
)]()([)( nynyTRCdt tdyRC
s
)()()]()([ nxnynynyTRC
s
)()()()( nxRCTnyRCTny
用求解差分方程的方法求出其响应 y(t).便于计算机处理，但，若不采取补偿措施，必然存在误差。
例,RC低通网络可表示为例,列出生物科学的群体增长系统方程
假定每对兔子每月可以生育一对小兔,新生的小兔要隔一个月才具有生育能力,若第一个月只有一对新生小兔,求第 n个月兔的数目是多少?
分析,令 y(n)表示第 n个月兔的数目显然,y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2
可推得,在第 n个月时,y(n-2)对兔生了小兔,变为 2y(n-2),而
y(n-1)- y(n-2) 对兔子保持不变,于是在第 n个月时 y(n) = [y(n-1)- y(n-2) ]+ 2y(n-2)
整理 y(n) -y(n-1)- y(n-2) =0
§ 7.4 常系数差分方程的求解
迭代法
时域经典法
分别求零输入与零状态响应
变换域法（ Z变换法）
状态变量分析法一,迭代法
当差分方程阶次较低时常用此法
)()(
)()1()(
0.)2()1()2(2
0)1()0()1(1
1)(0)0()1()0(0
)()()()1()(
2
nuany
anxnaynynn
aaaxayyn
aaxayyn
nxayyn
nnxnxnayny
n
n
一阶
N阶差分方程解的模式,n
k
N
k
kCny
)(
二,时域经典法
差分方程
特征根,有 N个特征根
齐次解：
非重根时的齐次解
L次重根 时的齐次解
共轭根 时的齐次解
M
r
r
N
k
k rnxbknya )()(
k?
1
()
N
n
kk
k
y n C?
n
k
kl
l
k
k nCny
)(
nn jCjC )()(
0.,,1110 NNnn aaaa其特征方程：
特解：依据右端的 自由项 (输入信号 )与特征根来 确 定 (Ｐ 20)
例如,输入信号 含有 且 不是齐次根,则特解
如果 是单次 齐次根,则特解如果 是 K重 齐次根,则特解
na nDaa
a
a
nkkk aDnDnD )(
naDnD )( 21?
完全解 =齐次解 +特解
代入边界条件求出待定系数,于是得到完全解的闭式
iC
例：
)()()()( nxnxnyny
)()( ynnx
解,02 nCny )()(
齐次解
nnnr i g h t )(
DnDny )(
特解的形式代入差分方程
nDnDDnD )(
nny
DD
nDDnD
)( 特解完全解 =齐次解 +特解
nCny
n)()(
代入边界条件求出待定系数,
C
C
Cy )()()(
得到完全解
nny n)()(
例
)(,)(s in)()()( yynnynyny
)s i nc o s()(
,,
n
A
n
Any
ej
n
j?
齐次解
DDnnDDnDD s i nc o ss i n
AAyy,)(,)(
nnnnny n c o ss i ns i nc o s)(
nDnDnD c o ss i n)(
特解代入边界条件三 零输入与零状态响应
全响应
)()()( nynyny zszi
特征根,有 N个特征根
)( knya
N
k
k k?
n
k
N
k
zizi Cny
0
)(
零输入响应,
零状态响应,
)()(
0
nDCny nk
N
k
zszs
单位样值响应 卷积)(nh
§ 7.5 离散系统单位样值响应
和 的定义的区别
的定义
的定义
)(t? )(n?
)(t?
)(n?
1)( dtt?
00
01
)(
n
n
n?
t0
0 n
一,求系统单位样值响应（ 1）
一般时域经典方法求 h(n)
将 转化为起始条件，于是齐次解，即零输入解就是单位样值响应 。
在 时，接入的激励转化为起始条件
在 时，接入的激励用线性时不变性来进行计算。
)(n?
)(nh
0?n
0?n
例
)()3()2(3)1(3)( nxnynynyny
三重根
nCnCnCny )1)(()( 3221 齐次解
,0)2(,0)1(,1)0( xxx
,0)2(,0)1(,1)0( hhh
确定初始条件
12321 321 CCC
)()23(
2
1)( 2 nunnnh
系统差分方程如下,求其单位样值响应
1
)(n?作用 时响应为 )(nh
例
)2(3)()2(6)1(5)( nxnxnynyny
32 21
,0)1(,1)0( hh 3,2 21 CC
只考虑 激励
)(nx
)2(3 nx只考虑 激励
)(][
)()(
nu
nhnh
nn
利用 LTI
)()()()(
)()()(
nunu
nhnhnh
nnnn
系统差分方程如下,求其单位样值响应
)()23()( 111 nunh nn
nn CCnh 32)( 211
求系统单位样值响应（ 2）
利用与阶跃响应互化求单位冲激响应 h(n)
例：已知因果系统是一个二阶常系数差分方程，并已知当 x(n)=u(n) 时的响应为：
求系统单位样值响应
)()10532()( nung nn
解
)()10532()( nung nn
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ) ( 1 )
n u n u n
h n g n g n
由 g(n) 求 h(n)
11( 1 ) (2 3 5 1 0 ) ( 1 )nng n u n
( ) ( 2 3 5 1 0 ) ( )
( 2 3 5 1 0 ) ( ( 1 ) ( ) )
( 2 3 5 1 0 ) ( 1 ) 1 4 ( )
nn
nn
nn
g n u n
u n n
u n n
1 1214 ( ) ( 2 5 ) ( 1 )
25
nnn u n
二,根据单位样值响应分析系统的因果性和稳定性
因果性：输出变化不领先于输入变化充分必要条件
稳定性：输入有界则输出必定有界充分必要条件
0)(0 nhn
n
nh )(
例：已知某系统的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？
)()( nuanh n?
是因果系统
a
a
a
a
a
nuanh
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
)()(
1
有界稳定发散不稳定
0)()(0)(0 nuanhnun n
一、用卷积和求解零状态响应的基本思路：
将信号分解成冲激序列，然后令每个冲激函数作用于系统，再将每个冲激函数对系统的响应叠加，得到零状态响应。
§ 7.6 卷积和（ 1）
二、卷积和的导出：
knkn
knknn
,)(
,)()( 的定义有：由
m
mnmxnxnxnxnx
nx
)()(.,,)()()()()()(.,,)(
)( 可写为：激励信号
m
zs mnhmxnhxnhxnhxny )()(...)()()()()()(...)(则：
卷积和于是：
)(*)()(*)()( nxnhnhnxny
三、卷积和的性质
§ 7.6 卷积和（ 2）
1、卷积和满足交换律、结合律、分配律
2、卷积和求和：
k
i
k
i
k
i
ifififififif )(*)]([)(*)]([)](*)([
的卷积和与,)()( nnf
)()(*)(.
)()(*)(.)()(*)(.
nnnfnnnnfc
knfknnfbnfnnfa
的卷积和与,)()( nunf?
n
i
kn
i
n
i
kififknunfbifnunfa )()()(*)(.)()(*)(.
)(*)()(*)(
)(*)()(*)(
nfknfknfnf
nfknfknfnf
,
§ 7.6 卷积和（ 3）
四、卷积和的计算
1、图解法
)(*)()( nhnxny?例：求
)(nx
)(mx )( mh?
)(nh
)( mh
)( mh
)( mh
)( mh
)(,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
nyn
y
y
y
y
y
y
y
2、序列对位相乘求和
)()()()(
)()()()()(
nnnnh
nnnnnx
例 1中
)(*)()( nhnxny?求解,将序列表示为
{x(n)}={1 2 2 1}
{h(n)}={0 1 2 3/2}
所以,{y(n)}={0 1 4 15/2 8 5 3/2}
§ 7.6 卷积和（ 4）
思考,7-34
2
321:)(
1221:)(
nh
nx
1221
2442
2
3
33
2
3
2
358
2
1541
§ 7.6 卷积和（ 5）
3、解析法例 1中：
)()()()(
)()()()()(
nnnnh
nnnnnx
)(*)()()()( nhnxmnhmxny
m
)]()()([*)]()()()([)( nnnnnnnny
)()()()()()( nnnnnn
§ 7.7 解卷积（略）
本章 小结,
1.离散信号的时域分析定义、描述、示例、运算
2.离散系统的时域分析定义、数模、系统性质、求解
3.离散系统全响应的三种分解方式全响应 =零输入响应 +零状态响应
=自由响应 +强迫响应
=稳态响应 +瞬态响应冲激响应 h(n),系统的稳定性注意给定的边界条件
4.卷积的性质及求解例 1:P25
中国建设银行与北京市住房资金管理中心共同发布的等额均还个人购房贷款每月 偿还金额 计算公式为式中,P为总贷款金额,I为贷款月利息,还款期限为
N个月,R为每月还款金额,
要求,建立差分方程,并导出以上公式
1)1(
)1(
N
N
I
IIPR
分析,y(N)=0,y(0)=P--------边界条件第 n个月，总欠款为 y(n)
第 n-1个月，总欠款为 y(n-1),
y(n)=y(n-1)－Ｒ＋ Ｉ y(n-1)
则差分方程,y(n)=y(n-1)－Ｒ＋Ｉ y(n-1)
整理 y(n)-(1+I)y(n-1)=-R n>=1
求系统全响应：
nIcny )1()(
齐次解完全解
Dny?)(
代入差分方程
RDID )1(
I
RD?
I
RIcny n )1()(
由边界值 y(0)=P 得
I
Rpc
特解
I
RI
I
Rpny n )1)(()(
由当 n=Ｎ时,y(N)=0,得
1)1(
)1(
N
N
I
IIPR
1)0();()1(3)( ynunyny
例 2
差分方程的求解,起始条件和初始条件的差别 ;
起始条件,在激励信号加入 以前,系统已具有的一组样值,
初始条件,在激励信号加入 之后,系统已具有的一组样值,
rizny,.)( 表示。用
rcny,)( 表示。用
0?n
对于因果系统,若激励在 时刻加入
rcnyny
nynyn
nynyn
.),()(
)()(0
)()(0
再求系统求出用迭代法由时，但：
时，则：
下面结合本例,说明把 y(0)=1分别理解为起始条件和初始条件时，求解差分方程的具体过程．
nn
nyny
yyn
yyn
yyn
nynyn
3)
3
1
()1(
3
1
)(
.,,,)
3
1
()2(
3
1
)3(:2
)
3
1
()1(
3
1
)2(:1
3
1
)0(
3
1
)1(:0
0)1(3)(,0
3
2
，用迭代法时当方法一
：
迭代法
1)0()0(,1)0(.1yyy 即若理解为加入信号前
3
1
)1()1(
)()1(3)(0
yy
nunynyn
因果性；
时，当
.,,,,,
23331311)3(
67)]231(31[31)2(3)3()3(
22)231(31)1(3)2()2(
7231)0(3)1()1(
211)1(3)0()0(
22
y
yuy
yuy
yuy
yuy
：由以上两式用迭代法得
)13.5(213.23.,,331)( 12 nnnny
)()13.5(21)1(3)( nununy nn；时：由迭代法求得 0)(0 nyn
)()13(
2
1
3.,,331)(
.,,,,,
13331)1(3)2()2(
431)0(3)1()1(
1)1(3)0()0(,0
12
2
nuny
yuy
yuy
yuyn
nn
时 1)0()0(,.2yy即若理解为信号加入之后完全解完全解
)(
2
1;
2
1
13
3)()1(3)(
nuDDDDD
nunyny
；得设特解为
，特征根为方法二
：
经典法
)()
2
13
2
5()( nuny n
)0(1)0(.1 yy 为若把
)()213.()( nucny n完全解：
5
22)0()0(
cyy 代入上式得出由
ncnyn 3.)(0 时，方程的解为当
)1(3)(0
3
1
)1()0(
nunyn
yy
n时，
由
)()13(
2
1
3)(
11)0_(
3)(
1
1
1
nuny
cy
cny
nn
n
所以全响应由；设零输入响应
)()13.5(21)1(3)( nununy nn
z.i.r z.s.r
完全解
y_(0)=?
)()13(
2
1
)(
0;
2
3
)()
2
1
3.()(
1
nuny
nc
nucny
n
n
时定出由,1)0()0(.2
yy若完全解决定。应由初始样值决定；完全响零输入响应由起始样值等于零。零状态：系统起始样值结论：
)(
)(.2
)(.1
ny
ny
ny
3.对于因果系统，并且在 n>=0时作用信号，边界值
y(-1),y(-2),y(-3),即可以用于确定零输入响应，也可以用于经典法确定自由响应
)()(0,nynyn 时，因果系统?
已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为 y[?1]=2,y[?2]=?1,y[?3]= 8，
求系统的零输入响应 yx[k]。
解,系统的特征方程为
][]3[5.0]2[]1[5.0][ kfkykykyky
05.05.0 23 rrr
kjejrr 2
3,21,5.0
系统的特征根为：
kCkCCky kx 2πc o s2πs in)21(][ 321
22]1[ 21 CCy
14]2[ 31 CCy
88]3[ 21 CCy
0,2πc o s5)21(][ kkky kx
