第三章 傅立叶变换 （ 3）
§ 3.9 周期信号的傅立叶变换目的：使周期信号与非周期信号的分析方法统一。
周期信号不满足绝对可积条件，但引入冲激表示频谱的条件下，其傅立叶变换存在。
一：正、余弦信号的傅立叶变换
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2
1
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2
1
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11
11
1
1
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由欧拉公式：
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111
111
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][ sin 1twjF T
§ 3.9 周期信号的傅立叶变换二：一般周期信号的傅立叶变换展开角频率：设周期信号的周期为 )(),2(,
1
111 tfTwwTA
tj n wn eFtf 1)(成傅立叶级数形式则：
两边取傅立叶变换，则：
)(2)( 11 nwwFeFFT ntj n wn
][)]([ 1?
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)(2)]([)( 1nwwFtfFTwF n
2
21
1
1
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1 T
T
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n dtetfTF其中：
§ 3.9 周期信号的傅立叶变换
B:周期性矩形脉冲与单脉冲的傅立叶变换的关系
）（其中,1)(1 2
21
1
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1?
T
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2
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T
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若 从 中 取 一 个 周 期,记 为 记 其 傅 立 叶变 换 为 则,
tj n wn eFtf 1)(周期信号傅立叶级数：
对比 (1),(2)式，显然有：
10
1
1 ()
n w n wF F wT
§ 3.9 周期信号的傅立叶变换例 1：若单位冲激函数的间隔为 T，用 表示单位冲激序列，即,求其傅立叶级数与傅立叶变换。
)(tT?
立叶级数可写为：为周期函数，展开成傅解,)( tT?
s
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1
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另解：
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§ 3.9 周期信号的傅立叶变换例 2、求下图 周期矩形脉冲的傅立叶变换与傅立叶级数。
… …
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则：解：如图取 ),(0 tf E
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2
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… …
§ 3.10时域抽样信号的傅立叶变换
时域抽样的傅立叶变换
理想抽样
矩形抽样
时域抽样等效频域周期重复
频域抽样等效为时域周期重复抽样（采样 取样）：
利用抽样脉冲序列 从连续信号 中,抽取,一系列的离散样值；这种离散样值信号称为抽样信号
)(tf)(tP
)(tfs
量化编码抽样连续信号
)(tf
抽样脉冲
)(tP
抽样信号
)(tfs
数字信号抽样方框图
(1) )(?
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– 时域抽样等效频域周期重复
(2) )(tfs )(tf
---抽样定理 动画演示一,时域 理想抽样 的傅立叶变换（冲激抽样）
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时域抽样频域周期重复
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例：周期矩形被冲激抽样的频谱
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时域周期频域离散时域离散频域周期
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（二 ）非理想抽样 信号的傅立叶变换（矩形脉冲抽样）
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关于非理想抽样
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二,频域 抽样后的时间函数
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相乘
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周期信号和抽样信号的特性时域周期 信号 (T1)
抽 样信号 (离散 )
间隔 TS
频域离散 频谱 (间隔 W1)
周期 频谱 (周期 WS)
周期 离散非周期 连续连续 非周期离散 周期
)(tf )(?F
时域和频域抽样定理的应用
)5c o s3c o s( c o s)( 151131120 ttttf E
)(21 0 tft
三角波乘对称方波
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1
2T
2T?
例 1
)(?F
分析信号 的频谱
§ 3.11 抽样定理
（一）时域抽样定理 ——
一个频谱有限信号 如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于 （其中 ），或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
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mm
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1
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ms 2?
不满足抽样定理时产生频率混叠现象
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（二）、由抽样信号恢复原连续信号 P294-295
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时域,恢复 时域卷积定理：
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2
22若满足
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则完全恢复原信号 (信号的内插恢复 )
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卷积 包络
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相乘
0
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1
由抽样信号恢复连续信号的时域和频域解释
（三）、频域抽样定理若信号 为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，以不大于的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号 。
)(tf mm tt
mt2
1
)(tf )(?F
)(1?F
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
)]([)()( sc
n
s nTtSanTftf
)()( 11 ntSanFF m
n
抽样定理小结
时域对 抽样等效于频域对 重复时域抽样间隔不大于 。
频域对 抽样等效于时域对 重复频域抽样间隔不大于 。
满足抽样定理，则不会产生混叠。
)(?F)(tf
)(tf)(?F
mt2
1
mf2
1
本章小结基本要求,
1、周期信号表示为付里叶级数，以及级数与波形对称性的关系函数的奇偶性 正余项,奇谐偶谐 奇 /偶次项
2、周期信号频谱的特点（方波、三角波）
离散性、谐波性、收敛性
3、非周期信号表示为付里叶变换（频谱密度函数）
4、典型信号的付里叶变换方波、三角波
5、付里叶变换的性质与应用
6、周期信号的付里叶变换与付里叶级数的关系
1
)(1 0 nwwn wFTF
7、抽样定理及抽样信号的付里叶变换
§ 3.9 周期信号的傅立叶变换目的：使周期信号与非周期信号的分析方法统一。
周期信号不满足绝对可积条件，但引入冲激表示频谱的条件下，其傅立叶变换存在。
一：正、余弦信号的傅立叶变换
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§ 3.9 周期信号的傅立叶变换二：一般周期信号的傅立叶变换展开角频率：设周期信号的周期为 )(),2(,
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两边取傅立叶变换，则：
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§ 3.9 周期信号的傅立叶变换
B:周期性矩形脉冲与单脉冲的傅立叶变换的关系
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若 从 中 取 一 个 周 期,记 为 记 其 傅 立 叶变 换 为 则,
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对比 (1),(2)式，显然有：
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1
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§ 3.9 周期信号的傅立叶变换例 1：若单位冲激函数的间隔为 T，用 表示单位冲激序列，即,求其傅立叶级数与傅立叶变换。
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立叶级数可写为：为周期函数，展开成傅解,)( tT?
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§ 3.9 周期信号的傅立叶变换例 2、求下图 周期矩形脉冲的傅立叶变换与傅立叶级数。
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§ 3.10时域抽样信号的傅立叶变换
时域抽样的傅立叶变换
理想抽样
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时域抽样等效频域周期重复
频域抽样等效为时域周期重复抽样（采样 取样）：
利用抽样脉冲序列 从连续信号 中,抽取,一系列的离散样值；这种离散样值信号称为抽样信号
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（二 ）非理想抽样 信号的傅立叶变换（矩形脉冲抽样）
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周期信号和抽样信号的特性时域周期 信号 (T1)
抽 样信号 (离散 )
间隔 TS
频域离散 频谱 (间隔 W1)
周期 频谱 (周期 WS)
周期 离散非周期 连续连续 非周期离散 周期
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时域和频域抽样定理的应用
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三角波乘对称方波
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例 1
)(?F
分析信号 的频谱
§ 3.11 抽样定理
（一）时域抽样定理 ——
一个频谱有限信号 如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于 （其中 ），或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
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（二）、由抽样信号恢复原连续信号 P294-295
)(?F? 频域,恢复 取主频带
时域,恢复 时域卷积定理：
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22若满足
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则完全恢复原信号 (信号的内插恢复 )
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卷积 包络
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由抽样信号恢复连续信号的时域和频域解释
（三）、频域抽样定理若信号 为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，以不大于的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号 。
)(tf mm tt
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)(tf )(?F
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根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
)]([)()( sc
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抽样定理小结
时域对 抽样等效于频域对 重复时域抽样间隔不大于 。
频域对 抽样等效于时域对 重复频域抽样间隔不大于 。
满足抽样定理，则不会产生混叠。
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本章小结基本要求,
1、周期信号表示为付里叶级数，以及级数与波形对称性的关系函数的奇偶性 正余项,奇谐偶谐 奇 /偶次项
2、周期信号频谱的特点（方波、三角波）
离散性、谐波性、收敛性
3、非周期信号表示为付里叶变换（频谱密度函数）
4、典型信号的付里叶变换方波、三角波
5、付里叶变换的性质与应用
6、周期信号的付里叶变换与付里叶级数的关系
1
)(1 0 nwwn wFTF
7、抽样定理及抽样信号的付里叶变换
