§ 5.1 引言本章主要介绍 傅 里叶变换的应用 -----滤波、调制和抽样系统对于不同频率的信号以其 特性有不同程度的响应,
即对信号各频率分量进行加权,对某些频率分量加强,某些消弱或不变 ---起到滤波作用调制、抽样调制抽样原理是频分复用与时分复用通信系统的理论基础第五章 傅立叶变换应用于通信系统依据 傅 里叶变换 及 卷积定理 求得系统的 频域响应
----傅 里叶变换分析法滤波,改变一个信号所含频率分量的相对大小,
)(?jH
§ 5.2 利用系统函数 求响应一 频域系统函数即冲激响应 h(t)与系统函数 H(S),分别从 时域 和 S域 （复频域） 频域 表征了系统的特性
b.物理意义,
)()()(
)()()(
)()()(
jEjHjR
sEsHsR
tethtr
连续时间系统响应的求解方式,
c,求解
)]([)( thFTjH（ 1）从系统的冲激响应求
（ 2）系统函数 H(S)与 互推当 H(s)的极点在左半平面时,
jssHjH )()(
a,定义,系统的零状态响应的 傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比
)(?jH
)(?jH
)(?jH
)(?jH
)(?jH
§ 5.2 利用系统函数 求响应当 H(s)在虚轴上 有 极点时
jwssHjwH )()(
)()()()( trjEjHjR
二,付里叶分析法：
将系统和信号由时域变换到频域，求得系统的频响
（ 3）根据 正弦稳态分析法 从频域电路模型求得
1.对于 非周期信号 的零状态响应
)()(
)(*)()( )(
jHedehe
dehethty
tjjtj
tjtj
zs
由卷积求得
2.对于激励信号为 的零状态响应
tje?
)(?jH
)(?jH
例 1.如图所示 RC低通网络,在输入端加入矩形脉冲 v1(t),利用 傅里叶分析法求输出端电压 v2(t)
R
C
+
V1
_
+
V2
_
RC
s
RC
RV
V
sH
Cs
Cs
1
1
.
1
)(
1
1
1
2
解,
jwssHjwH )()(
jwjwHRC )(,
1令
)1(
)
2
()( 21
j
j
e
jw
E
eSaEjV
V1(t)
)1()1(
)1()(
2
jj
j
e
ja
E
e
j
E
ja
a
e
j
E
jV
)]()([)]()([)( )(2 tuetueEtutuEtv taat
V2(t)
V1(t)
0
)(1?jV
0
)(2?jV
0
)(?jH
jaj
11
由图可见,
信号通过低通网络后,由于系统的低通幅频特性,低通高不通,输入信号的高频分量比低频分量衰减程度大,输入矩形波的突变处含有高频分量,因而输出信号的波形与输入信号相比产生了失真 (幅度失真 ).
三 付里叶变换形式的系统函数 H(jw )
优点,便于 从频谱的观点解释激励与响应,研究信号传输,建立滤波频响特性的概念,
缺点,付里叶变换式中可能含有冲激项,计算不如 H(S)方便
)(,s in)(,
1
1
)(2,trtte
j
jH 求系统的稳态响应激励系统函数例?
)45s in (21s in1 1)(2 1)()(,1 。tjtj ttjeejjHtr解一、失真的概念,
§ 5.3 无失真传输 (1)
失真：系统的响应波形与激励波形不相同。失真分为线性失真与非线性失真两种。
线性失真：有波形上的变化，但 不产生 新的频率分量。
非线性失真：有波形上的变化,产生 新的频率分量。
发生变化。在时间轴上的相对位置相位失真：各频率分量相对幅度产生变化。幅度失真线性失真,
二、信号通过线性系统不产生失真的条件激励 e(t)通过系统，不发生失真，则响应 r(t)为：
)()( ttketr j w tejwKEjwR )()(
)()()( jwEjwHjwR?又
:对照两式有
e(t)
r(t)
§ 5.3 无失真传输 (2)
相位条件幅度条件
wtw
kjwH
)(
)(
kjwH?)(
wtw )(得出信号通过线性系统不失真的理想条件是,
(1)系统的幅度特性在整个频率范围里为常数。
(2)系统的相频特性为过原点的直线。
从频域
)()()( wjj w t ejwHkejwH
)()( 0ttkth
从时域讲,无失真系统与延时系统一样例：
tEtEte s i ns i n)(
)](s i n [ ()](s i n [
)s i n ()s i n ()(
tEtE
tEtEtr
c o n s te n tt
nnn
d
jdttj )()(
)( j
§ 5.4 理想低通滤波器
)( j
0wt?
|)(|?jH
cwcw?
理想低通滤波器 ----理想系统模型 (与理想信号冲激信号阶跃信号一样 )是理想化的模型
)(|)(|)( jjejwHjwH?
0
1
t
h(t)
))(()( 0ttSath cc
一,理想低通滤波器的频域特性及冲激响应二,理想低通的阶跃响应理想低通滤波器的网络函数
)(0
)()( 0
为其它值w
wwwejwH ccj w t
阶跃信号的付里叶变换
0
dw
w
ttw
dw
jw
ttw
dw
jw
e
dwee
jw
wjwRFTtr
c
c
c
c
c
c
c
c
w
w
w
w
w
w
ttjw
w
w
j w tj w t
)](s i n [
2
1)](c o s [
2
1
2
1
2
1
2
1
]
1
)([
2
1
)]([)(
00
)(
1
0
0
0]1)([)()()( j w tejwwjwEjwHjwR于是响应
jwwtuFTjwE
1)()]([)(
)( 0ttwx令
dxx xys yi 0 s i n)(而
)]([121)( 0ttwstr ci
由此可见,
1.信号通过低通网络后 输出信号的波形与输入信号相比产生了失真,
2.输出响应的上升时间与系统的截止频率成反比
(图形见下页 )
三,理想低通对矩形脉冲的响应阶跃响应的线性叠加
dxx xdww ttw ttww
w
cc
c
)(
0
0 0 s i n1)](s i n [
2
1
Sinx/x------偶函数
-?/2
/2
2? 3? 5?4? x
y
Si(y)
1
0
0
处出现极值在处变号，在 nxySinxSa )()(
2)(,0)0(
SiSi
Si(y)------奇函数
Sinx/x
-
c?
1
u(t)
1
0.5
c?
0t
rt
)(tru
t
t
例 1、系统图如下且四个分系统均为 LTI系统
]2s i n[)(1 t twdtdth c c
w
wj
ewH
2
2 )(;
t
twth c
3s in)(;
3? )()(; 4 tuth?
)( tx )(1 th?
)(2 wH
)(3 th )(4 th
)(ty
)(,1 wHa 确定
)(,thb 整个系统的冲激响应求解：
).(,)2c o s (2s i n)(,tytwtwtxc cc 求系统零状态响应时输入
:,解a
)2()( wSatG
)(2)(:2 2 wwSawtGw ccwc c 时有?
)(2)(2 2 wGtwSaw cc
)()(,)( 22 twSawwGwG ccww
cc?
为偶函数
)(212s in)(s in,22 wGt twwGt tw cc wcwc即
)(
2
1
)(
)(
2
1
]
2
s i n
[:
21
2
wj w GwH
wGjw
t
tw
dt
d
c
c
w
w
c
即由微分特性有
cw?
cw
w
)()()]()([)()(::,4321 thththtththb为由图知系统的冲激响应解
)()()](1)[()(,4321 wHwHwHwHwH由卷积定理有
c
c
w ww
wwjwwj w GwH
c,0
,5.0)(
2
1)(
21
cw
wj
ewH
2
2 )(;
c
c
w ww
ww
wGwH
c 3,0
3,1
)()(,323同样用对称特性可求
)(1)]([)(4 wjwtuFTwH
cw cw3
)](1)[(]1)[(
2
1)(
6
2
2 wjwwGewj w GwH c
c
c w
w
wj
w
:时当 cww
]1[
2
1]1)][(1[1
2
1)( 22 cc w wjw wj eew
jw
jwwH
dweewHFTth j w tw
wj
c ]1[
2
1
2
1)]([)( 21?
dwee j w tw
wj
w
w
cc
c
]1[4 1
2?
)2(
s in
)2(2
)]2(s in [
2
s in
twt
tw
w
t
w
tw
t
tw
c
c
c
c
c
c
:)(:,的傅立叶变换式为解 txc
)]2()2([)]2()2([)( cccc wwwwwwwwjwX
)()()(:,),()()( wHwXwYthtxty 则用卷积定理由于
)]}
2
()
2
([)]2()2([{
]1[
2
1
)(
2
cc
cc
w
w
j
w
w
w
wwwwwj
ewY c
cwwwH?定义域为但对 ),(
)]
2
()
2
([
)]
2
()
2
([]1[
2
1
)(
2
cc
ccw
w
j
w
w
w
w
w
w
w
wewY c
)2cos( tw c
)2c o s ()]([)( 1 twwYFTty c
解二,
2
c o s
]1[
2
1
2
c o s)()(
2/
2
tw
e
tw
wHety
c
w
wj
ctj
c
c
§ 5.5 系统的物理可实现性、佩利 —— 维纳准则并且若 djH )(
...,)(ln 称则系统是可实现的
djH
(1)佩利 —— 维纳准则的实质是 频域 里 系统因果性 的表现形式，
但它只是系统可实现的 必要条件 。（因相位条件未约束）
(2)系统函数若在 一频段上幅值为零,则系统是非因果的，
不可实现 的。
(3)若系统在 不连续的频率点上幅值为零,系统是因果的，
可实现的。
即：物理上可实现的系统，其转移函数 可以在不连续的点上为零，但是不可以在一段频带上为零，同时的幅值不可以衰减过快。
从时域看,一个 物理可实现系统 必须具有因果性,即 h(t)=0(t<0)
从频域看
)(?jH
)(?jH
例,考察理想低通滤波器的物理可实现性。
§ 5.5 系统的物理可实现性、佩利 ——维纳准则
dddd
jH
c
c
c
c
w
w
w
w lnlnln)(ln
该系统不可实现。
希尔伯特变换表现的是,时域中的因果性,频域 中其 实部和虚部 的制约关系。
§ 5.6 利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性
)()()(,tuthth?对因果系统
)()()( jjXjRjH
jwwtuFTjwU
)()]([)(
d
RjX
jd
XjR
j
jjXjR
j
jH
tuFTthFTthFT
)()()()(
])([*)]()([
])([*)(
)]([*)]([)]([
)(?jR
)(?jX
利用实部和虚步对应相等，得到 希尔伯特变换对,
§ 5.6 利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性
d
R
jX
d
X
jR
)(
)(
)(
)(
上式表明：时域下满足因果性的函数，变换到频域中，其实部
R(w)由已知虚部唯一确定，同样，其虚部 X(w)由已知实部唯一确定。
一、对信号调制的原因
§ 5.7 调制与解调
1、天线
2、频谱搬迁,实现信道的复用二、调制解调原理相乘
tw?cos
)(tg twtg?cos)(
)]()([][ co s wwwwtwFT
)()]([ wGtgFT?
)]()([
)]()([*)(
]c o s)([)(
wwGwwG
wwwwwG
twtgFTwF
1、调制（幅度调制）原理调制是实现是通信系统 频分复用 的理论基础
m?m
0?0
0?0
)(?G
2、解调：由已调制信号恢复原始信号的过程
§ 5.7 调制与解调相乘 低通
tw?cos
twtgtf co s)()( )(tg? )(tg
twtgtg
tw
tg
twtwtgtg
c o s)()(
c o s
)(
c o s]c o s)([)(
)]()([)()]([ wwGwwGwGtgFT
G ( w ))](F T [ gw 0m 即可得的滤波器处理用 twww m
m?m
图见下页
0?0
)( 0)( 0
0?0
2 02?
0
21
21
41 41
m?m
)(?G
0?0
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
)(?F? 频域,恢复 取主频带
时域,恢复 时域卷积定理：
)()()(?
n
sss nTtnTftf?
)()( tSath cc?
sT
ms 2? m
c? =
cms
sT?
2
22若满足
)()()( HFF s?
)(tf
则完全恢复原信号 (信号的内插恢复 )
抽样是实现通信系统 时分复用 的理论基础
sT )]([)(
)(*)()(
scs
n
c
s
nTtSanTf
thtftf
0 t
)(tfs )(?sF
m?m
s?
s
)(th
0 t
c?
c
)(?H
sT
c
)(tf
卷积 包络
sTs
T?
0
m?m
)(?F
相乘
0
0
t
sT
sT
1
由抽样信号恢复连续信号的时域和频域解释二、零阶抽样保持实质：从矩形脉冲抽样恢复原时间信号三、一阶抽样保持实质：从三角波脉冲抽样恢复原时间信号
5.11 频分复用与时分复用一、多路复用：在同一信道中传输多路信号频分复用：根据 调制原理 通过 不同载波 将各路 信号频谱 搬到各不同频率范围,使它们互不重叠，在同一信道传输不同信号 (303
页）
频分复用 调制,解调 动画
t3co s?
t2co s?
t1co s?
)(1 tx
)(2 tx
)(3 tx
理想信道
y y
)(1?H
)(2?H
)(3?H
t3co s?
t2co s?
t1co s?
HL
HL
HL
载频调制 复用解复用 同步解调利用正弦幅度调制的频分多路 复用和解复用 的原理图频分复用?
时分复用,理论基础是 抽样定理,采用不同的抽样时刻，每一路信号只在 抽样时刻 占用信道在其余的时刻可以传输第二路第三路等。即将一个信道的一段时间划分为 若于间隔,每一间隔内限定传送一路信号，从而能在同一信道传输不同信号，在接收端，抽样值由适当的同步检测器分离 。如下图２路时分复用时分复用 动画二、频分复用与时分复用比较：
（ 1）频分复用的每一信号占用 不同的频率区间,相同的时间区间；时分复用的每一信号占用 不同的时间区间,相同的频率区间；频分复用保留了频谱的个性，时分复用保留了波形的个性。
（ 2）从硬件上看，频分复用的每一信号产生不同的载波，
系统复杂；而时分复用则简单，易于大规模集成。
（ 3）时分复用不会产生 信号间的串话,而频分复用由于有谐波失真，易于产生信号间的串话。
但时分复用容易产生 码间串扰 。
(a)单个脉冲
(b)带限后的波形
(c)数字脉冲序列
(d)有 码间干扰的波形
(e)数字脉冲序列
(f)无 码间干扰的波形图 1 数字信号通过带限信道的波形顶部变圆，底部展宽
“1”,0”码出现码误数字信号的频带非常宽 0~?
码间干扰,当一系列数字脉冲信号通过 带限 的电缆线,由于高频成分被滤去，使输出波形出现了失真，如图 (b)所示。
这种波形顶部变圆，底部展宽。一个码元的波形展宽到其他码元位置，影响到其他码元,这种影响称码间干扰，如图 (d)所示。
为了减少码间干扰,数字信号传输的基本 理 论 —— 奈奎斯特第一准则规定,带限信道的理想信道截止频率为 fH时，
最高的无码间干扰传 输 的 极限速度 为 2fH，无码间干扰的波形如图 (f)所示。即码元的有效脉宽不能太窄三、码速、带宽
码速：由时钟周期 T确定,f=1/T
单位比特／秒
带宽：频带宽度 Ｂ＝１／ ζ,频谱分量集中的第一个零点之内，或有效脉宽的倒数．
合理设计码脉波形使频带充分利用且防止码间串扰上图 b是矩形归零码,c是矩形不归零码。为了节省带宽，
我们使用矩形不归零码，其宽度 T正好等于抽样时钟周期，
则脉码传输速率为 f＝ 1/T。但是忽略了矩形波频谱第一零点外的高频成分，这些高频成分较小时，在接收端对应抽样点不会产生误判；当失真较严重时，可能出现误判，引起码间干扰。
解决办法：不使用宽度为 T的矩形脉冲，使用频率成分相对集中的波形，例如升余弦码,Sa函数等，使得第一零点以外的高频成分较少，也即干扰较少。
Sa函数码型示例
)(?jH
2
)2(2)2(4.2 1)]([)( tSatSajHFth
)()(
2
1
)()(
ftF
jFtf
)2()2()]([)( tutujEFte
dthethtetr u )()()()()(
)2(2|)()( 2 tSatSath
c
c
c
或者,由理想低通 h(t)替换解：由对称性作业,Ｐ 310,5-9
dxxtSa
dxxtSaxuxu
))(
2
(
2
)](
2
[
2
)]
2
()
2
([
2
2
则（令,)
2
uxt
) ] }
2
(
2
[)]
2
(
2
[{
1
)(
tSitSitr
)(1
2
1)( twstr
ci
当输入为 u(t)
)
2
((1
2
1)(?
twstr ci
当输入为 u(t+ζ/2)
) ] }2(2[)]2(2[{1)( tSitSitr
当输入为 u(t+ζ/2)-u(t-ζ/2)
或者：
2
c令作业 P312,5－ 17
0 m?m 02?02
)(1?F
0?0
m0m0
)( 0 m
0
0?0
)(1 tf单边带信号证明：同步解调就是使
ttftf
t
01
0
c o s)()(
c o s
在时域中乘上
)]()([
)]()([*)()(:
0101
001
FF
FF频域中
).(
)
,2
0
G
mc
原信号频谱就可得到利用一低通滤波器（
的单边带信号载波为包括原信号的频谱和一可以看到：
作业 P312,5－ 18
m?m
)(?G
时域相乘
tw?cos
)(tg
移相?/2
)sin( 0tw?
时域相乘)(?jH
)(tv
上图是产生一单边带调幅信号 V(t)如图５ -17
]s in)][(*)([c o s)()( 00 twthtgtwtgtv
)]()([*)()(
2
1
)]()([
2
1
)(
00
00
jHG
GGV
s g n)( jjH?
]s g n)(s g n)([
2
1
)]()([*s g n)(
2
1
)]()([*)s g n)((
2
1
0000
00
00
GG
G
jjG
00
00
)(
)()(
G
GV所以
)()()()()( 0000 uGuGV或者如图５ -17
即对信号各频率分量进行加权,对某些频率分量加强,某些消弱或不变 ---起到滤波作用调制、抽样调制抽样原理是频分复用与时分复用通信系统的理论基础第五章 傅立叶变换应用于通信系统依据 傅 里叶变换 及 卷积定理 求得系统的 频域响应
----傅 里叶变换分析法滤波,改变一个信号所含频率分量的相对大小,
)(?jH
§ 5.2 利用系统函数 求响应一 频域系统函数即冲激响应 h(t)与系统函数 H(S),分别从 时域 和 S域 （复频域） 频域 表征了系统的特性
b.物理意义,
)()()(
)()()(
)()()(
jEjHjR
sEsHsR
tethtr
连续时间系统响应的求解方式,
c,求解
)]([)( thFTjH（ 1）从系统的冲激响应求
（ 2）系统函数 H(S)与 互推当 H(s)的极点在左半平面时,
jssHjH )()(
a,定义,系统的零状态响应的 傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比
)(?jH
)(?jH
)(?jH
)(?jH
)(?jH
§ 5.2 利用系统函数 求响应当 H(s)在虚轴上 有 极点时
jwssHjwH )()(
)()()()( trjEjHjR
二,付里叶分析法：
将系统和信号由时域变换到频域，求得系统的频响
（ 3）根据 正弦稳态分析法 从频域电路模型求得
1.对于 非周期信号 的零状态响应
)()(
)(*)()( )(
jHedehe
dehethty
tjjtj
tjtj
zs
由卷积求得
2.对于激励信号为 的零状态响应
tje?
)(?jH
)(?jH
例 1.如图所示 RC低通网络,在输入端加入矩形脉冲 v1(t),利用 傅里叶分析法求输出端电压 v2(t)
R
C
+
V1
_
+
V2
_
RC
s
RC
RV
V
sH
Cs
Cs
1
1
.
1
)(
1
1
1
2
解,
jwssHjwH )()(
jwjwHRC )(,
1令
)1(
)
2
()( 21
j
j
e
jw
E
eSaEjV
V1(t)
)1()1(
)1()(
2
jj
j
e
ja
E
e
j
E
ja
a
e
j
E
jV
)]()([)]()([)( )(2 tuetueEtutuEtv taat
V2(t)
V1(t)
0
)(1?jV
0
)(2?jV
0
)(?jH
jaj
11
由图可见,
信号通过低通网络后,由于系统的低通幅频特性,低通高不通,输入信号的高频分量比低频分量衰减程度大,输入矩形波的突变处含有高频分量,因而输出信号的波形与输入信号相比产生了失真 (幅度失真 ).
三 付里叶变换形式的系统函数 H(jw )
优点,便于 从频谱的观点解释激励与响应,研究信号传输,建立滤波频响特性的概念,
缺点,付里叶变换式中可能含有冲激项,计算不如 H(S)方便
)(,s in)(,
1
1
)(2,trtte
j
jH 求系统的稳态响应激励系统函数例?
)45s in (21s in1 1)(2 1)()(,1 。tjtj ttjeejjHtr解一、失真的概念,
§ 5.3 无失真传输 (1)
失真：系统的响应波形与激励波形不相同。失真分为线性失真与非线性失真两种。
线性失真：有波形上的变化，但 不产生 新的频率分量。
非线性失真：有波形上的变化,产生 新的频率分量。
发生变化。在时间轴上的相对位置相位失真：各频率分量相对幅度产生变化。幅度失真线性失真,
二、信号通过线性系统不产生失真的条件激励 e(t)通过系统，不发生失真，则响应 r(t)为：
)()( ttketr j w tejwKEjwR )()(
)()()( jwEjwHjwR?又
:对照两式有
e(t)
r(t)
§ 5.3 无失真传输 (2)
相位条件幅度条件
wtw
kjwH
)(
)(
kjwH?)(
wtw )(得出信号通过线性系统不失真的理想条件是,
(1)系统的幅度特性在整个频率范围里为常数。
(2)系统的相频特性为过原点的直线。
从频域
)()()( wjj w t ejwHkejwH
)()( 0ttkth
从时域讲,无失真系统与延时系统一样例：
tEtEte s i ns i n)(
)](s i n [ ()](s i n [
)s i n ()s i n ()(
tEtE
tEtEtr
c o n s te n tt
nnn
d
jdttj )()(
)( j
§ 5.4 理想低通滤波器
)( j
0wt?
|)(|?jH
cwcw?
理想低通滤波器 ----理想系统模型 (与理想信号冲激信号阶跃信号一样 )是理想化的模型
)(|)(|)( jjejwHjwH?
0
1
t
h(t)
))(()( 0ttSath cc
一,理想低通滤波器的频域特性及冲激响应二,理想低通的阶跃响应理想低通滤波器的网络函数
)(0
)()( 0
为其它值w
wwwejwH ccj w t
阶跃信号的付里叶变换
0
dw
w
ttw
dw
jw
ttw
dw
jw
e
dwee
jw
wjwRFTtr
c
c
c
c
c
c
c
c
w
w
w
w
w
w
ttjw
w
w
j w tj w t
)](s i n [
2
1)](c o s [
2
1
2
1
2
1
2
1
]
1
)([
2
1
)]([)(
00
)(
1
0
0
0]1)([)()()( j w tejwwjwEjwHjwR于是响应
jwwtuFTjwE
1)()]([)(
)( 0ttwx令
dxx xys yi 0 s i n)(而
)]([121)( 0ttwstr ci
由此可见,
1.信号通过低通网络后 输出信号的波形与输入信号相比产生了失真,
2.输出响应的上升时间与系统的截止频率成反比
(图形见下页 )
三,理想低通对矩形脉冲的响应阶跃响应的线性叠加
dxx xdww ttw ttww
w
cc
c
)(
0
0 0 s i n1)](s i n [
2
1
Sinx/x------偶函数
-?/2
/2
2? 3? 5?4? x
y
Si(y)
1
0
0
处出现极值在处变号，在 nxySinxSa )()(
2)(,0)0(
SiSi
Si(y)------奇函数
Sinx/x
-
c?
1
u(t)
1
0.5
c?
0t
rt
)(tru
t
t
例 1、系统图如下且四个分系统均为 LTI系统
]2s i n[)(1 t twdtdth c c
w
wj
ewH
2
2 )(;
t
twth c
3s in)(;
3? )()(; 4 tuth?
)( tx )(1 th?
)(2 wH
)(3 th )(4 th
)(ty
)(,1 wHa 确定
)(,thb 整个系统的冲激响应求解：
).(,)2c o s (2s i n)(,tytwtwtxc cc 求系统零状态响应时输入
:,解a
)2()( wSatG
)(2)(:2 2 wwSawtGw ccwc c 时有?
)(2)(2 2 wGtwSaw cc
)()(,)( 22 twSawwGwG ccww
cc?
为偶函数
)(212s in)(s in,22 wGt twwGt tw cc wcwc即
)(
2
1
)(
)(
2
1
]
2
s i n
[:
21
2
wj w GwH
wGjw
t
tw
dt
d
c
c
w
w
c
即由微分特性有
cw?
cw
w
)()()]()([)()(::,4321 thththtththb为由图知系统的冲激响应解
)()()](1)[()(,4321 wHwHwHwHwH由卷积定理有
c
c
w ww
wwjwwj w GwH
c,0
,5.0)(
2
1)(
21
cw
wj
ewH
2
2 )(;
c
c
w ww
ww
wGwH
c 3,0
3,1
)()(,323同样用对称特性可求
)(1)]([)(4 wjwtuFTwH
cw cw3
)](1)[(]1)[(
2
1)(
6
2
2 wjwwGewj w GwH c
c
c w
w
wj
w
:时当 cww
]1[
2
1]1)][(1[1
2
1)( 22 cc w wjw wj eew
jw
jwwH
dweewHFTth j w tw
wj
c ]1[
2
1
2
1)]([)( 21?
dwee j w tw
wj
w
w
cc
c
]1[4 1
2?
)2(
s in
)2(2
)]2(s in [
2
s in
twt
tw
w
t
w
tw
t
tw
c
c
c
c
c
c
:)(:,的傅立叶变换式为解 txc
)]2()2([)]2()2([)( cccc wwwwwwwwjwX
)()()(:,),()()( wHwXwYthtxty 则用卷积定理由于
)]}
2
()
2
([)]2()2([{
]1[
2
1
)(
2
cc
cc
w
w
j
w
w
w
wwwwwj
ewY c
cwwwH?定义域为但对 ),(
)]
2
()
2
([
)]
2
()
2
([]1[
2
1
)(
2
cc
ccw
w
j
w
w
w
w
w
w
w
wewY c
)2cos( tw c
)2c o s ()]([)( 1 twwYFTty c
解二,
2
c o s
]1[
2
1
2
c o s)()(
2/
2
tw
e
tw
wHety
c
w
wj
ctj
c
c
§ 5.5 系统的物理可实现性、佩利 —— 维纳准则并且若 djH )(
...,)(ln 称则系统是可实现的
djH
(1)佩利 —— 维纳准则的实质是 频域 里 系统因果性 的表现形式，
但它只是系统可实现的 必要条件 。（因相位条件未约束）
(2)系统函数若在 一频段上幅值为零,则系统是非因果的，
不可实现 的。
(3)若系统在 不连续的频率点上幅值为零,系统是因果的，
可实现的。
即：物理上可实现的系统，其转移函数 可以在不连续的点上为零，但是不可以在一段频带上为零，同时的幅值不可以衰减过快。
从时域看,一个 物理可实现系统 必须具有因果性,即 h(t)=0(t<0)
从频域看
)(?jH
)(?jH
例,考察理想低通滤波器的物理可实现性。
§ 5.5 系统的物理可实现性、佩利 ——维纳准则
dddd
jH
c
c
c
c
w
w
w
w lnlnln)(ln
该系统不可实现。
希尔伯特变换表现的是,时域中的因果性,频域 中其 实部和虚部 的制约关系。
§ 5.6 利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性
)()()(,tuthth?对因果系统
)()()( jjXjRjH
jwwtuFTjwU
)()]([)(
d
RjX
jd
XjR
j
jjXjR
j
jH
tuFTthFTthFT
)()()()(
])([*)]()([
])([*)(
)]([*)]([)]([
)(?jR
)(?jX
利用实部和虚步对应相等，得到 希尔伯特变换对,
§ 5.6 利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性
d
R
jX
d
X
jR
)(
)(
)(
)(
上式表明：时域下满足因果性的函数，变换到频域中，其实部
R(w)由已知虚部唯一确定，同样，其虚部 X(w)由已知实部唯一确定。
一、对信号调制的原因
§ 5.7 调制与解调
1、天线
2、频谱搬迁,实现信道的复用二、调制解调原理相乘
tw?cos
)(tg twtg?cos)(
)]()([][ co s wwwwtwFT
)()]([ wGtgFT?
)]()([
)]()([*)(
]c o s)([)(
wwGwwG
wwwwwG
twtgFTwF
1、调制（幅度调制）原理调制是实现是通信系统 频分复用 的理论基础
m?m
0?0
0?0
)(?G
2、解调：由已调制信号恢复原始信号的过程
§ 5.7 调制与解调相乘 低通
tw?cos
twtgtf co s)()( )(tg? )(tg
twtgtg
tw
tg
twtwtgtg
c o s)()(
c o s
)(
c o s]c o s)([)(
)]()([)()]([ wwGwwGwGtgFT
G ( w ))](F T [ gw 0m 即可得的滤波器处理用 twww m
m?m
图见下页
0?0
)( 0)( 0
0?0
2 02?
0
21
21
41 41
m?m
)(?G
0?0
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
)(?F? 频域,恢复 取主频带
时域,恢复 时域卷积定理：
)()()(?
n
sss nTtnTftf?
)()( tSath cc?
sT
ms 2? m
c? =
cms
sT?
2
22若满足
)()()( HFF s?
)(tf
则完全恢复原信号 (信号的内插恢复 )
抽样是实现通信系统 时分复用 的理论基础
sT )]([)(
)(*)()(
scs
n
c
s
nTtSanTf
thtftf
0 t
)(tfs )(?sF
m?m
s?
s
)(th
0 t
c?
c
)(?H
sT
c
)(tf
卷积 包络
sTs
T?
0
m?m
)(?F
相乘
0
0
t
sT
sT
1
由抽样信号恢复连续信号的时域和频域解释二、零阶抽样保持实质：从矩形脉冲抽样恢复原时间信号三、一阶抽样保持实质：从三角波脉冲抽样恢复原时间信号
5.11 频分复用与时分复用一、多路复用：在同一信道中传输多路信号频分复用：根据 调制原理 通过 不同载波 将各路 信号频谱 搬到各不同频率范围,使它们互不重叠，在同一信道传输不同信号 (303
页）
频分复用 调制,解调 动画
t3co s?
t2co s?
t1co s?
)(1 tx
)(2 tx
)(3 tx
理想信道
y y
)(1?H
)(2?H
)(3?H
t3co s?
t2co s?
t1co s?
HL
HL
HL
载频调制 复用解复用 同步解调利用正弦幅度调制的频分多路 复用和解复用 的原理图频分复用?
时分复用,理论基础是 抽样定理,采用不同的抽样时刻，每一路信号只在 抽样时刻 占用信道在其余的时刻可以传输第二路第三路等。即将一个信道的一段时间划分为 若于间隔,每一间隔内限定传送一路信号，从而能在同一信道传输不同信号，在接收端，抽样值由适当的同步检测器分离 。如下图２路时分复用时分复用 动画二、频分复用与时分复用比较：
（ 1）频分复用的每一信号占用 不同的频率区间,相同的时间区间；时分复用的每一信号占用 不同的时间区间,相同的频率区间；频分复用保留了频谱的个性，时分复用保留了波形的个性。
（ 2）从硬件上看，频分复用的每一信号产生不同的载波，
系统复杂；而时分复用则简单，易于大规模集成。
（ 3）时分复用不会产生 信号间的串话,而频分复用由于有谐波失真，易于产生信号间的串话。
但时分复用容易产生 码间串扰 。
(a)单个脉冲
(b)带限后的波形
(c)数字脉冲序列
(d)有 码间干扰的波形
(e)数字脉冲序列
(f)无 码间干扰的波形图 1 数字信号通过带限信道的波形顶部变圆，底部展宽
“1”,0”码出现码误数字信号的频带非常宽 0~?
码间干扰,当一系列数字脉冲信号通过 带限 的电缆线,由于高频成分被滤去，使输出波形出现了失真，如图 (b)所示。
这种波形顶部变圆，底部展宽。一个码元的波形展宽到其他码元位置，影响到其他码元,这种影响称码间干扰，如图 (d)所示。
为了减少码间干扰,数字信号传输的基本 理 论 —— 奈奎斯特第一准则规定,带限信道的理想信道截止频率为 fH时，
最高的无码间干扰传 输 的 极限速度 为 2fH，无码间干扰的波形如图 (f)所示。即码元的有效脉宽不能太窄三、码速、带宽
码速：由时钟周期 T确定,f=1/T
单位比特／秒
带宽：频带宽度 Ｂ＝１／ ζ,频谱分量集中的第一个零点之内，或有效脉宽的倒数．
合理设计码脉波形使频带充分利用且防止码间串扰上图 b是矩形归零码,c是矩形不归零码。为了节省带宽，
我们使用矩形不归零码，其宽度 T正好等于抽样时钟周期，
则脉码传输速率为 f＝ 1/T。但是忽略了矩形波频谱第一零点外的高频成分，这些高频成分较小时，在接收端对应抽样点不会产生误判；当失真较严重时，可能出现误判，引起码间干扰。
解决办法：不使用宽度为 T的矩形脉冲，使用频率成分相对集中的波形，例如升余弦码,Sa函数等，使得第一零点以外的高频成分较少，也即干扰较少。
Sa函数码型示例
)(?jH
2
)2(2)2(4.2 1)]([)( tSatSajHFth
)()(
2
1
)()(
ftF
jFtf
)2()2()]([)( tutujEFte
dthethtetr u )()()()()(
)2(2|)()( 2 tSatSath
c
c
c
或者,由理想低通 h(t)替换解：由对称性作业,Ｐ 310,5-9
dxxtSa
dxxtSaxuxu
))(
2
(
2
)](
2
[
2
)]
2
()
2
([
2
2
则（令,)
2
uxt
) ] }
2
(
2
[)]
2
(
2
[{
1
)(
tSitSitr
)(1
2
1)( twstr
ci
当输入为 u(t)
)
2
((1
2
1)(?
twstr ci
当输入为 u(t+ζ/2)
) ] }2(2[)]2(2[{1)( tSitSitr
当输入为 u(t+ζ/2)-u(t-ζ/2)
或者：
2
c令作业 P312,5－ 17
0 m?m 02?02
)(1?F
0?0
m0m0
)( 0 m
0
0?0
)(1 tf单边带信号证明：同步解调就是使
ttftf
t
01
0
c o s)()(
c o s
在时域中乘上
)]()([
)]()([*)()(:
0101
001
FF
FF频域中
).(
)
,2
0
G
mc
原信号频谱就可得到利用一低通滤波器（
的单边带信号载波为包括原信号的频谱和一可以看到：
作业 P312,5－ 18
m?m
)(?G
时域相乘
tw?cos
)(tg
移相?/2
)sin( 0tw?
时域相乘)(?jH
)(tv
上图是产生一单边带调幅信号 V(t)如图５ -17
]s in)][(*)([c o s)()( 00 twthtgtwtgtv
)]()([*)()(
2
1
)]()([
2
1
)(
00
00
jHG
GGV
s g n)( jjH?
]s g n)(s g n)([
2
1
)]()([*s g n)(
2
1
)]()([*)s g n)((
2
1
0000
00
00
GG
G
jjG
00
00
)(
)()(
G
GV所以
)()()()()( 0000 uGuGV或者如图５ -17
